奧數(shù)題型與解題思路21-40講

21、數(shù)字和與最大最小問題

【數(shù)字求和】

例1100個連續(xù)自然數(shù)的和是8450,取其中第1個，第3個，第5個，.....，第99

個（所有第奇數(shù)個），再把這50個數(shù)相加，和是o

（上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）

講析：第50、51兩個數(shù)的平均數(shù)是8450+100=84.5,所以，第50個數(shù)是84。那

么100個連續(xù)自然數(shù)是：

35,36,37,............,133,134。

上面的一列數(shù)分別取第1、3、5、……、99個數(shù)得:

35,37,39,........131,133。

那么這50個數(shù)的和是：

例2把1至100的一百個自然數(shù)全部寫出來，所用到的所有數(shù)碼的和是o

（上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）

講析；可把1至100這一百個自然數(shù)分組，得

[1、2、3、……、9）,（10、11、12、……、19）,（20、21、22、……29）,……，

（90、91、92、……99）,（100）。

容易發(fā)現(xiàn)前面10組中，每組的個位數(shù)字之和為45。而第一組十位上是0,第二組十位

上是1,第三組十位上是2,……第十組十位上是9,所以全體十位上的數(shù)字和是（1+2+3+……

+9）X10=450o故所有數(shù)碼的和是45X10+450+1=901。

續(xù)假設干個數(shù)字之和是1992,那么a二—o

（北京市第八屆“迎春杯〃小學數(shù)學競賽試題）

乂，1992+27=73余21,而21=8+5+7+1,所以a=6。

例4有四個數(shù)，每次選取其中三個數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另外一個數(shù)，用這

種方法計算了四次，分別得到四個數(shù)：86,92,100,106o那么，原來四個數(shù)的平均數(shù)是

（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）

講析：每次所選的三個數(shù)，計算其平均數(shù)，實際上就是計算這三個數(shù)中

原來四個數(shù)的平均數(shù)為（86+92+100+106）+2=192。

【最大數(shù)與最小數(shù)】

例1三個不同的最簡真分數(shù)的分子都是質數(shù)，分母都是小于20的合數(shù)，要使這三個

分數(shù)的和盡可能大,這三個分數(shù)是

（全國第四屆《從小愛數(shù)學》邀請賽試題）。

講析：20以內的質數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19

要使三個分數(shù)盡量大，必須使每個分子盡量大而分母盡量小。且三個真

例2將1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)分成三組，分別計算各組數(shù)的和。這三個

和互不相等，.且最大的和是最小和的2倍。問：最小的和是多少？

（全國第三屆“華杯賽”決賽口試試題）

講析；因為1+2+3+……+8=36,又知三組數(shù)的和各不相同，而且最大的

例3把20以內的質數(shù)分別填入口中（每個質數(shù)只用一次）：

使A是整數(shù)。A最大是多少？

（第五屆《從小愛數(shù)學》邀請賽試題）

講析：要使A最大，必須使分母盡量小，而分子盡量大。

分母分別取2、3、5時，A都不能為整數(shù)。當分母取7時，

例4一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1,最大的數(shù)是25。除1之外、這組數(shù)

中的任一個數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個數(shù)之和。問：

這組數(shù)之和的最大值是多少？當這組數(shù)之和有最小值時，這組數(shù)都有哪些數(shù)？并說明和是

最小值的理由。

（全國第四屆“華杯賽〃決賽第一試試題）

析：觀察自然數(shù)1、2、3、4、5、……、25這25個數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們除1之外，每個數(shù)

都能用其中某一個數(shù)的2倍，或者某兩個數(shù)之和表示。因此，這組數(shù)之和的最大值是

1+2+3+........+25=325.

下面考慮數(shù)組中各數(shù)之和的最小值。

1和25是必取的，25不能表示成一個數(shù)的2倍，而表示成兩個數(shù)之和的形式，共有

12種。我們取兩個加數(shù)中含有盡可能大的公約數(shù)的一組數(shù)（20+5）或者（10+15）o當取1、

5、20、25時，還需取2、3、10三個；當取1、10、15、25時，還需取2、3、5。經比擬

這兩組數(shù)，可知當取1、2、3、4、5、10、15、25時，和最小是61。

22、數(shù)字串問題

【找規(guī)律填數(shù)】

例1找規(guī)律填數(shù)

（杭州市上城區(qū)小學數(shù)學競賽試題）

（1992年武漢市小學數(shù)學競賽試題）

講析：數(shù)列填數(shù)問題，關鍵是要找出規(guī)律；即找出數(shù)與數(shù)之間有什么聯(lián)系。

第（1）小題各數(shù)的排列規(guī)律是:第1、3、5、……（奇數(shù)）個數(shù)分別

別是4和2。

第（2）小題粗看起來，各數(shù)之間好似沒有什么聯(lián)系。于是，運用分數(shù)

得到了

例2右表中每豎行的三個數(shù)都是按照一定的規(guī)律排列的。按照這個規(guī)律在空格中填上

適宜的數(shù)。

（1994年天津市小學數(shù)學競賽試題）

講析：根據(jù)題意，可找出每豎行的三個數(shù)之間的關系。不難發(fā)現(xiàn)每豎行中的第三個數(shù),

是由前兩數(shù)相乘再加上1得來的。所以空格中應填33O

【數(shù)列的有關問題】

數(shù)是幾分之幾？

（第一屆《從小愛數(shù)學》邀請賽試題）

講析：經觀察發(fā)現(xiàn)，分母是1、2、3、4、5……的分數(shù)個數(shù)，分別是1、3、5、7、9……。

所以，分母分別為1、2、3……9的分數(shù)共

例2有一串數(shù)：1,1993,1992,1,1991,1990,1,1989,1988,…這個數(shù)列的第

1993個數(shù)是

（首屆《現(xiàn)代小學數(shù)學》邀請賽試題）

講析：把這串數(shù)按每三個數(shù)分為一組，那么每組第一個數(shù)都是1,第二、三個數(shù)是從

1993開始,依次減1排列。

而19934-3=664余1,可知第1993個數(shù)是10

例3小數(shù)……9899的小數(shù)點后面的數(shù)字，是由自然數(shù)1—99依次排列而成的。那么小

數(shù)點后面第88位上的數(shù)字是o

每一斜行數(shù)的個數(shù)分別是1、2、3、4、5、……，奇數(shù)斜行中的數(shù)由下向上排列，偶

數(shù)斜行中的數(shù)由上向下排列。

斜行,該斜行的數(shù)是由下向上排列的,且第63行第1列是1954o

由于從1954開始，每增加1時，行數(shù)就減少1,而列數(shù)就增加1。所以1993的列數(shù)、

行數(shù)分別是：

1993—1954+1=40（歹Q,63-（1993—1954）=24（行）

23、數(shù)陣圖

【方陣】

例1將自然數(shù)1至9,分別填在圖5.17的方格中，使得每行、每列以及兩條對角線上

的三個數(shù)之和都相等。

（長沙地區(qū)小學數(shù)學競賽試題）

講析：中間一格所填的數(shù)，在計算時共算了4次，所以可先填中間一格的數(shù)。

（1+2+3+……+9）+3=15,那么符合要求的每三數(shù)之和為15。顯然，中間一數(shù)填“5〃。

再將其它數(shù)字順次填入，然后作對角線交換，再通過旋轉（如圖5.18）,便得解答如

下。

例2從1至13這十三個數(shù)中挑出十二個數(shù)，填到圖5.19的小方格中，使每一橫行四

個數(shù)之和相等，使每一豎列三個數(shù)之和又相等。

（“新苗杯〃小學數(shù)學競賽試題）

講析：據(jù)題意，所選的十二個數(shù)之和必須既能被3整除，又能被4整除，（三行四列）。

所以，能被12整除。十三個數(shù)之和為91,91除以12,商7余7,因此，應去掉7。每列

為（91—7）4-4=21

而1至13中，除7之外，共有六個奇數(shù)，它們的分布如圖5.20所示。

三個奇數(shù)和為21的有兩種：21=1+9+11=3+5+13。經檢驗，三個奇數(shù)為3、5、13的

不合要求，故不難得出答案，如圖5.21所示。

例3十個連續(xù)自然數(shù)中，9是第三大的數(shù)，把這十個數(shù)填到圖5.22的十個方格中，每

格填一個，要求圖中三個2X2的正方形中四數(shù)之和相等。那么，這個和數(shù)的最小值是

（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）

講析：不難得出十個數(shù)為:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它們的和是65。在三

個2X2的正方形中，中間兩個小正方形分別重復了兩次。

設中間兩個小正方形分別填上a和b,那么（65+a+b）之和必須是3的倍數(shù)。所以,

（a+b）之和至少是7。

故，和數(shù)的最小值是24。

【其他數(shù)陣】

例1如圖5.23,橫、豎各12個方格，每個方格都有一個數(shù)。

橫行上任意三個相鄰數(shù)之和為20,豎列上任意三個相鄰數(shù)之和為21。圖中已填入3、

5、8和“X〃四個數(shù)，那么“X〃代表的數(shù)是。

（1994年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）

講析：可先看豎格。因為每相鄰三格數(shù)字和為21,所以每隔兩格必出現(xiàn)重復數(shù)字。從

而容易推出，豎格各數(shù)從上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。

同理可推導出橫格各數(shù)，其中“X〃二5。

例2如圖5.24,有五個圓，它們相交后相互分成九個區(qū)域，現(xiàn)在兩個區(qū)域里已經分別

填上數(shù)字10、6,請在另外七個區(qū)域里分別填進2、3、4、5、6、7、9七個數(shù)字，使每個

圓內的數(shù)之和都是150

1上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）

講析：可把圖中要填的數(shù)，分別用a、b、c、d、c、f、g代替。（如圖5.25）

顯然a=5,g=9o

那么有：b+c=10,e+f=6,c+d+e=15o經適當試驗，可得b=3,c=7,d=6,e=2,

f=4o

例3如圖5.26,將六個圓圈中分別填上六個質數(shù)，它們的和是20,而且每個小三角

形三個頂點上的數(shù)之和相等。那么，這六個質數(shù)的積是_____O

（全國第一屆“華杯賽”決賽試題）

講析：最上面的小三角形與中間的小三角形，都有兩個共同的頂點，且每個小三角形

頂點上三數(shù)之和相等。所以，最上邊圓圈內數(shù)字與最下面中間圓圈內數(shù)字相等。

同樣，左下角與右邊中間的數(shù)相等，右下角與左邊中間數(shù)相等。

204-2=10,10=2+3+5。

所以，六個質數(shù)積為2X2X3X3X5X5=900。

例4在圖5.27的七個。中各填上一個數(shù)，要求每條直線上的三個數(shù)中，中間一個數(shù)

是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù)?，F(xiàn)已填好兩個數(shù)，那么X=_______。

（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）

講析：如圖5.28,可將圓圈內所填各數(shù)分別用a、b、c、d代替。

那么d=15o

由15+c+a=17+c+b,得：a比b多2。

所以，b=13+2=15o進而容易算出，x=19o

例5圖5.29中8個頂點處標注的數(shù)字：

a、b、c、d、e、f、g、h,其中的每一個數(shù)都等于相令，三個頂點

（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）

講析：將外層的四個數(shù)，分別用含其它字母的式子表示，得

即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0

24、數(shù)的組成

【數(shù)字組數(shù)】

例1用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字組成質數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到，

并且只能用一次，那么這九個數(shù)字最多能組成______個質數(shù)。

（1990年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）

講析：自然數(shù)1至9這九個數(shù)字中，2、3、5、7本身就是質數(shù)。于是只剩下1、4、6、

8、9五個數(shù)字，它們可組成一個兩位質數(shù)和一個三位質數(shù)：41和689。所以，最多能組成

六個質數(shù)。

例2用0、1、2、……9這十個數(shù)字組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們

的和是一個奇數(shù)，并且盡可能的大。那么，這五個兩位數(shù)的和是o

（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）

講析：組成的五個兩位數(shù)，要求和盡可能大，那么必須使每個數(shù)盡可能大。所以它們

的十位上分別是9、8、7、6、5,個位上分別是0、1、2、3、4。但要求五個兩位數(shù)和為

奇數(shù)，而1+2+3+4=10為偶數(shù)，所以應將4與5交換，使和為：

19+8+7+6+4)X10+(1+2+3+5)=351。

351即此題答案。

例3一個三位數(shù)，如果它的每一個數(shù)字都不超過另一個三位數(shù)對應數(shù)位上的數(shù)字，那

么就稱它被另一個三位數(shù)“吃掉〃。例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何數(shù)都可

以被與它相同的數(shù)吃掉），但240和223互不被吃掉?，F(xiàn)請你設計出6個三位數(shù)，它們當

中任何一個數(shù)不被其它5個數(shù)吃掉，并且它們的百位上數(shù)字只允許取1、2；十位上數(shù)字只

允許取1、2、3；個位上數(shù)字只允許取1、2、3、4o

這6個三位數(shù)是o

（第五屆《從小愛數(shù)學》邀請賽試題）

講析：六個三位數(shù)中，任取兩個數(shù)a和b,那么同數(shù)位上的數(shù)字中，a中至少有一個數(shù)

字大于b,而b中至少有一個數(shù)字大于a。

當百位上為1時，十位上可從1開始依次增加1,而個位上從4開始依次減少lo即：

114,123,1320當百位上為2時，十位上從1開始依次增加1而個位上只能從3開始依次

減少1。即：213,222,231o經檢驗，這六個數(shù)符合要求。

例4將1、1、2、2、3、3、4、4這八個數(shù)字排成一個八位數(shù)，使得兩個1之間有一

個數(shù)字；兩個2之間有兩個數(shù)字；兩個3之間有三個數(shù)字；兩個4之間有四個數(shù)字。那么

這樣的八位數(shù)中的一個是______o

（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）

講析：兩個4之間有四個數(shù)字，那么在兩個4之間必有一個數(shù)字重復，而又要求兩個

1之間有一個數(shù)，于是可推知，這個重復數(shù)字必定是1，即412134或421314。然后可添上

另一個2和3。

經調試，得23421314,此數(shù)即為所答。

【條件數(shù)字問題】

例1某商品的編號是一個三位數(shù)，現(xiàn)有五個三位數(shù)：874,765,123,364,925。其

中每一個數(shù)與商品編號，恰好在同一位上有一個相同的數(shù)字，那么這個三位數(shù)是_______

（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）

講析：將五個數(shù)按百位、十位、個位上的數(shù)字分組比擬，可發(fā)現(xiàn)：百位上五個數(shù)字都

不同；十位上有兩個2和兩個6；個位上有兩個4和兩個5。故所求的數(shù)的個位數(shù)字一定是

4或5,百位上一定是2或6。經觀察比擬，可知724符合要求。

例2給一本書編頁碼，共用了1500個數(shù)字，其中數(shù)字“3〃共用了個

（首屆《現(xiàn)代小學數(shù)學）》邀請賽試題）

講析：可先求出1500個數(shù)字可編多少頁。

從第一頁到第9頁，共用去9個數(shù)字：從第10頁到第99頁，共用去2X90=180（個）

數(shù)字；余下的數(shù)字可編（1500-189）4-3=437（頁）

所以，這本書共有536頁。

1至99頁，共用20個“3〃，從100至199頁共用20個“3〃，從200至299頁共用20

個“3〃，從300至399頁共用去120個“3”,從400至499頁共用去20個“3”,從500

到536頁共用去11個“3〃。所以，共用去211個數(shù)字3。

例3在三位數(shù)中，數(shù)字和是5的倍數(shù)的數(shù)共有______個。

（全國第四屆“華杯賽〃決賽口試試題）

講析：可把三位數(shù)100至999共900個數(shù)，從100起，每10個數(shù)分為一組，得

（100,101、....109）,（110、11k.......119）,........（990、991、...、999）

共分成了90組，而每組中有且只有兩個數(shù)的數(shù)字和是5的倍數(shù)，所以一共有2X90=180

（個）。

例4有四個數(shù)，取其中的每兩個數(shù)相加，可以得到六個和。這六個和中最小的四個數(shù)

是83、87、92、94,原因數(shù)中最小的是。

（上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）

講析：設原四個數(shù)從小到大為a、b、c、d,那么有a+b=83,a+c=87,所以c二匕b大4。

而對于和為92和94時,或者是b+c=92,或者是b+c=94。

當b十c=92時，因c比b人4,可得b=45,進而可求得a=38。

當b+c=94時，因c比匕大4,可得b=44,進而可求得a=39。

所以，原四數(shù)中最小的數(shù)是38或39。

abcd=______

（廣州市小學數(shù)學競賽試題）

講析：原四位數(shù)增加8倍后得新的四位數(shù)，也就是原四位數(shù)乘以9,得新四位數(shù)（如

圖5.29）。從而可知，a一定為1,否那么積不能得四位數(shù)。那么

例6有兩個兩位數(shù)，它們的個位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和是11。這兩個數(shù)的根的十位

數(shù)字肯定不會是哪兩個數(shù)字？

〔1990年《小學生報》小學數(shù)學競賽試題）

講析：由題意可知，兩個數(shù)的十位上為（2,9）,（3,8）,（4,7）,（5,6）,

而個上那么可以是。至9的任意一個數(shù)字。如果分別去求這兩個數(shù)的積，那是很麻煩的。

設這兩個數(shù)的個位數(shù)字是C,十位數(shù)字分別為a、b,那么a+b=ll,兩數(shù)分別為（10a+c）,

（10b+c）o

字。

能是6、8o

例7期的記法是用6個數(shù)字，前兩個數(shù)字表示年份，中間兩個數(shù)字表示月份，后兩個

數(shù)字表示日（如1976年4月5日記為760405）。

第二屆小學“祖杯賽〃的競賽日期記為921129。這個數(shù)恰好左右對稱。因此這樣的日

期是“桔祥日”。問：從87年9月1日到93年6月30日，共有______個桔祥日。（第

二屆“祖沖之杯〃小學數(shù)學競賽試題）

講析：一個六位數(shù)從中間分開，要求左右對稱，那么在表示月份的兩個數(shù)中，只有11

月份。而且“年份〃的個位數(shù)字只能是0、1、2o

所以是共有3個桔祥日：901109、911119、921129。

25、數(shù)的整除性規(guī)律

【能被2或5整除的數(shù)的特征】（見小學數(shù)學課本，此處略）

【能被3或9整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當且僅當它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3

和9整除時，這個數(shù)便能被3或9整除。

例如，1248621各位上的數(shù)字之和是

1+2+4+8+6+2+1=24

3I24,那么3I124862k

又如，372681各位上的數(shù)字之和是

3+7+2+6+8+1=27

9|27,那么9|372681.

【能被4或25整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當且僅當它的末兩位數(shù)能被4或25整除時,

這個數(shù)便能被4或25整除。

例如，173824的末兩位數(shù)為24,4|24,那么4|173824。

43586775的末兩位數(shù)為75,25I75,那么25I

43586775c

【能被8或125整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當且僅當它的末三位數(shù)字為0,或者末三位數(shù)

能被8或125整除時，這個數(shù)便能被8或125整除。

例如，32178000的末三位數(shù)字為0,那么這個數(shù)能被8整除，也能夠被125整除。

3569824的末三位數(shù)為824,8|824,那么8|35698240

214813750的末三位數(shù)為750,125I750,那么125I214813750。

【能被7、11、13整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當且僅當它的末三位數(shù)字所表示的數(shù)，與末

三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)的差（大減小的差）能被7、11、13整除時，這個數(shù)就能被7、

11、13整除。

例如，75523的末三位數(shù)為523,末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是75,523-75=448,

448?7=64,即

7I448,那么7I75523。

又如，1095874的末三位數(shù)為874,末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是1095,

1095-874=221,2214-13=17,即

13I221,那么13I1095874o

再如，868967的末三位數(shù)為967,末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是868,967-868=99,

994-11=9,即

11I99,那么11I868967o

此外，能被11整除的數(shù)的特征，還可以這樣表達：

一個數(shù)，當且僅當它的奇數(shù)位上數(shù)字之和，與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?/p>

11整除時，那么這個數(shù)便能被11整除。

例如，4239235的奇數(shù)位上的數(shù)字之和為

4+3+2+5=14,

偶數(shù)位上數(shù)字之和為2+9+3=14,

二者之差為MT4=0,04-11=0,

即11I0,那么11I4239235c

26、數(shù)的公理、定理或性質

【小數(shù)性質】小數(shù)的性質有以下兩條:

(1)在小數(shù)的末尾添上或者去掉幾個零，小數(shù)的大小不變。

(2)把小數(shù)點向右移動n位，小數(shù)就擴大100倍；把小數(shù)點向左移動n位，小數(shù)就縮

小10n倍。

【分數(shù)根本性質】一個分數(shù)的分子和分母都乘以或者都除以同一不為零的數(shù)，分數(shù)的

大小不變。即

【去九數(shù)的性質】用9去除一個數(shù)，求出商后余下的數(shù)，叫做這個數(shù)的“去九數(shù)〃，

或者叫做“9余數(shù)〃。求一個數(shù)的“去九數(shù)〃，一般不必去除，只要把該數(shù)的各位數(shù)字加

起來，再減去9的倍數(shù)，就得到該數(shù)的“去九數(shù)〃。［求法見本書第一局部“〔四)法那

么、方法〃“2.運算法那么或方法〃中的“棄九驗算法〃詞條。)去九數(shù)有兩條重要的性

質：

(1)幾個加數(shù)的和的去九數(shù)，等于各個加數(shù)的去九數(shù)的和的去九數(shù)。

(2)幾個因數(shù)的積的去九數(shù)，等于各個因數(shù)的去九數(shù)的積的去九數(shù)。

這兩條重要性質，是用“棄九驗算法〃驗算加、減、乘、除法的依據(jù)。

【自然數(shù)平方的性質】

(1)奇數(shù)平方的性質。任何一個奇數(shù)的平方被8除余1。

為什么有這一性質呢？這是因為奇數(shù)都可以表示為2k+l的形式，k為整數(shù)。而

(2k+l)2=4k2+4k+l

=4k(k+1)+1

k與k+1又是連續(xù)整數(shù)，其中必有一個是偶數(shù)，故4k(k+1)是8的倍數(shù)，能被8整除，所

以“4k(k+1)+1〃，即(2X1)2能被8除余1,也就是任何一個奇數(shù)的平方被8除余1。

例如，272=729

7294-8=91....1

(2)偶數(shù)平方的性質“任何一個偶數(shù)的平方，都是4的倍數(shù)0

這是因為偶數(shù)可以用2k(k為整數(shù))表示，而(2k)2=4上

顯然，4L是4的倍數(shù)，即偶數(shù)的平方為4的倍數(shù),

例如，2162=46656

46656+4=11664

即4|46656

【整數(shù)運算奇偶性】整數(shù)運算的奇偶性有以下四條:

(1)兩個偶數(shù)的和或差是偶數(shù)；兩個奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。

(2)一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。

(3)兩個奇數(shù)之積為奇數(shù)；兩個偶數(shù)之積為偶數(shù)。

(4)一個奇數(shù)與一個偈數(shù)之積為偶數(shù)。

由第(4)條性質，還可以推廣到：

假設干個整數(shù)相乘，只要其中有一個整數(shù)是偶數(shù)，那么它們的積就是個偶數(shù)。

【偶數(shù)運算性質】偶數(shù)運算性質有：

(1)假設干個偶數(shù)的和或者差是偶數(shù)。

(2)假設干個偶數(shù)的積是偶數(shù)。

例如,四個偶數(shù)38、126、672和如74的和,是偶數(shù)2023；用偶數(shù)相減的算式

3756-128-294-1350的差,也是偶數(shù)1984。

【奇數(shù)運算性質】奇數(shù)運算性質有：

(1)奇數(shù)個奇數(shù)的和(差)是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和(差)是偶數(shù)。

(2)假設干個奇數(shù)的積是奇數(shù)。

27、數(shù)的大小概念

【比擬分數(shù)大小】用常規(guī)方法比擬分數(shù)大小，有時候速度很慢。采用下述方法，往往

可大大提高解題的速度。

(1)交叉相乘。把要比擬大小的兩個分數(shù)的分子分母交叉相乘，然后

2X5=10,3X3=9,3X8=24,5X5=25,

之所以能這樣比擬，是由于它們通分時，公分母是分母的乘積。這時，分數(shù)的大小就

只取決于分子的大小了。

(2)用“1〃比擬。當兩個分數(shù)都接近1,又不容易確定它們的大小

(4)化相同分子。把分子不同的分數(shù)化成同分子分數(shù)比擬大小。有時

序排列起來:

（5）兩分數(shù)相除。用兩個分數(shù)相除，看它們的商是大于1還是小于1,往往能快速地

找出它們的大小關系。由于這樣做，省略了通分的過程，所以

顯然，將它們反過來相除，也是可以的：

【巧比兩數(shù)大小】假設甲、乙兩數(shù)間的關系未直接給出，比擬它們的大小，有一定難度。

這時，可按下面的方法去做：

（1）先看分子是1的情況。例如下題：

第一種方法是直觀比擬。先畫線段圖［圖4.4）：

由對線段圖的直觀比擬可知，乙數(shù)大于甲數(shù)。

數(shù)。

可知

12）再看分子不是1的情況。例如下題：

它同樣也可以用四種方法比擬大小。比方

用直觀比擬方法，可畫線段圖如下（圖4.5）：

由圖可知，甲數(shù)大于乙數(shù)。

用統(tǒng)一分子的方法，也可比擬它們的大小。因為

用圖表示就是圖4.6；

這就是說，把甲數(shù)分為9份，乙數(shù)分為8份，它們的6份相等。所以，它們每一份也

相等。而甲數(shù)有9份，乙數(shù)只有8份，故甲數(shù)大于乙數(shù)。

去，即可知道甲數(shù)大于乙數(shù)。

如果用轉化關系式比擬。由題意可知

根據(jù)一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)，可得

28、數(shù)的大小比擬

【分數(shù)、小數(shù)大小比擬】

（全國第二屆“華杯賽〃決賽口試試題）

講析：這兩個分數(shù)如果按通分的方法比擬大小，計算將非常復雜。于是可采用比擬其

倒數(shù)的方法去解答。倒數(shù)大的數(shù)反而較小。

個數(shù)是______。

（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）

講析：將給出的六個數(shù)分別寫成小數(shù)，并且都寫出小數(shù)點后面前四位數(shù)，那么把這六

個數(shù)按從大到小排列是：

【算式值的大小比擬】

例1設A=9876543X3456789；B=9876544X3456788。

試比擬A與B的大小。

[1990年《小學生數(shù)學報》小學數(shù)學競賽試題）

講析：可將A、B兩式中的第一個因數(shù)和第二個因數(shù)分別進行比擬。這時，只要把兩式

中某一局部變成相同的數(shù)，再比擬不同的數(shù)的大小，這兩個算式的大小便能較容易地看出

來了。于是可得

A=9876543X（3456788+1）

=9876543X3456788+9876543；

B=（9876543+1）X3456788

=9876543X3456788+3456788；

所以，A>Bo

例2在下面四個算式中，最大的得數(shù)是算式o

（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）

講析：如果直接把四個算式的值計算出來，顯然是很麻煩的，我們不妨運用化簡繁分

數(shù)的方法，比擬每式中相同位置上的數(shù)的大小。

比擬上面四個算式的結果，可得出最大的得數(shù)是算式（3）o

例3圖5.1中有兩個紅色的正方形和兩個藍色正方形，它們的面積

問：紅色的兩個正方形面積大還是藍色的兩個正方形面積大？

（全國第四屆“華杯賽〃決賽口試試題）

講析：

方形放入大正方形中去的方法，來比擬它們的大?。ㄈ鐖D5.2）。

所以，兩個藍色正方形的面積比兩個紅色正方形的面積大。

29、實踐與實際操作

【最短路線】

例1一只螞蟻要從A史出發(fā)，經粘合在一塊木板上的正方體（如圖5.74）的外表爬到

B處。

請你在圖上畫出最短的路線（看得見的畫實線，看不見的畫虛線），有幾條就畫幾條。

〔1990年“新苗杯〃小學數(shù)學競賽試題）

講析：可將正方體的幾個面，按正視位置的前面一上面展開，前面一右面展開，左面

-后面展開，左邊一上面展開，其展開圖都是由兩個正方形面組成的長方形（如圖5.75所

示）。

根據(jù)兩點之間直線段最短的原理，故最短路線為每個長方形對角線，它們共有四條，

如圖5.76所示。

例2請你在圖5.77（3）、（4）、（5）上畫出三種與圖（2）不一樣的設計圖，使它

們折起來后，都成為圖（1）所示的長方形盒子（粗線和各棱交于棱的中點）。

（第四屆《從小愛數(shù)學》邀請賽試題）講析：解題的關鍵，是要分清實線與虛線，然

后思考它們是按什么方式展開的。

不難想象，其答案如圖（3）、（4）、（5）所示。

【切分圖形】

例1請將圖5.78分成面積相等，形狀相同，且每一塊中都含有“數(shù)學競賽〃字樣的四

塊圖形。

（“新苗杯〃小學數(shù)學競賽試題）

講析：從條件看，所分成的每一塊圖中，必須有四個小正方形，且只有五種〔如圖5.79）o

根據(jù)圖中漢字的具體位置，可發(fā)現(xiàn)圖5.79中圖11）、圖（2）明顯不合，圖（3）、

圖（4〕也不能分成。于是只剩以下圖（5）。

進一步搜索，便可得到答案。答案如圖5.80所示。

例2在一張正方形紙上畫兩個三角形，最多可以把這個正方形分成塊，畫三

個三角形，最多可以把這個正方形分成塊；畫四個三角形，最多可以把這個正方

形分成塊。

11990年無錫市小學數(shù)學競賽試題）

講析：可先找出規(guī)律。

在正方形紙上，畫一個三角形，依次畫三條邊時，增加了(1+1+1)塊，最多可把它

分成4塊；畫二個三角形，依次畫三條邊時，增加了(3+3+3)塊，共13塊；畫三個三

角形，依次畫三條邊時，增加了(5+5+5)塊，共28塊，如圖5.81所示。

由此推得，畫四個三角形，可增加(7+7+7)塊，最多，共49塊。

【拼合圖形】

例1圖5.82是由圖5.83中的六塊圖形拼合而成的，其中圖①放在中間一列的某一格。

請在圖5.82中找出這六個圖形，并畫出來。

(1993年全國小學數(shù)學奧林匹克總決賽試題)

講析：可先確定圖①的位置。因為圖①在中間的一列的某一格，當圖①放在A、B、C

處時，經試驗，與其它五圖不能拼成圖5.82。

當圖①放在D處時，這六幅圖可以拼成圖5.82。拼法如圖5.84所示。

例27塊正方體積木堆在桌上。

從東、南、西、北四個方向看去，所看到的一面都只有5個正方形，而且看到的圖案

是一一樣的。(如圖5.85)。那么從上面看下去，看到的圖形可能是什么

樣的？請在圖5.86中正確的圖形下面打

“，錯誤的圖形下面打“X〃。(《從小愛數(shù)學》邀請賽第五屆試題)

講析：上面的七幅圖都是俯視圖。在看每幅圖是否正確時，關鍵是想象出將另兩塊積

木，放在這五塊中哪兩塊的上面，然后分別從東西南北四個方向去看，得出的圖形是否與

圖5.85相吻合。

經試驗，得出的答案如圖5.86所示，即按從左往右，從上至下的位置，依次為J、J、

X、J、義、J、Vo

省工省時問題

例1某車隊有4輛汽車，擔負A、B、C、D、E、F六個分廠的運輸任

(圖5.97所標出的數(shù)是各分廠所需裝卸工人數(shù))。假設各分廠自派裝卸工，那么共

需33人。假設讓一局部人跟車裝卸，在需要裝卸工人數(shù)較多的分廠再配備一個或幾個

裝卸工，那么如何安排才能既保證各分廠所需工人數(shù)，又使裝卸工人數(shù)最少？

（1990年《小學生報》小學數(shù)學競賽試題J

講析：可從需要工人數(shù)最少的E分廠著手。假定每輛車上配備3人，那么需在D、

C、B、A、F五處分別派1、5、2、3、4人，共需27人。

假設每車配備4人，那么需在C、B、A、F四處分別派4、1、2、3人，共需26

人。

假設每車配備5人，那么需在C、A、F三處分別派3、1、2人，共需26人。

所以，上面的第二、三種方案均可，人數(shù)為26人。

例2少先隊員在植樹中，每人植樹2棵。如果一個人挖一個樹坑需要25分鐘，運

樹苗一趟（最多可運4棵）需要20分鐘，提一桶水（可澆4棵樹）需要10分鐘，栽好

一棵樹需要10分鐘，現(xiàn)在以兩個人為一個小組進行合作，那么，完成植樹任務所需的

最短時間是分鐘。

（福州市鼓樓區(qū)小學數(shù)學競賽試題）

講析：可將甲、乙兩人同時開始勞動的整個過程安排，用圖5.98來表示出來。

由圖可知，完成任務所需的最短時間，是85分鐘。

例3假設干箱同樣的貨物總重19.5噸，只知每箱重量不超過353千克。今有載重

量為1.5噸的汽車，至少需要輛，才能保證把這些貨物一次全部運走。（箱子不

能拆開）

（北京市第七屆“迎春杯〃小學數(shù)學競賽試題）

講析：關鍵是要理解“至少幾輛車，才能保證一次運走〃的含義。也就是說，在最

大浪費車位的情況下，最少要幾輛車。

?:這堆貨物箱數(shù)至少有：

19500+353七55.2七56（箱）；

一輛汽車每次最多能裝的箱數(shù):

1500-353^4.2-4（箱〕。

???一次全部運走所有貨物，至少需要汽車56:4=14（輛）。

例4如圖5.99,一條公路（粗線）兩側有7個工廠（01、02.............07）,通過小

路（細線）分別與公路相連于A、B、C、D、E、F點?，F(xiàn)在要設置一個車站，使各工

廠［沿小路和公路走）的距離總和越小越好。這個車站應設在一點。

（1992年福州市小學數(shù)學競賽試題）

講析：從各工廠到車站，總是先走小路，小路的總長不變，所以問題可轉化為：“在

一條公路上的A、B、C、D、E、F處各有一個工廠，D處有兩個工廠。要在公路上設

一個站，使各廠到車站的距離總和最?。ㄈ鐖D5.100）。

顯然，車站應設在盡量靠七個廠的中間部位。

如果車站設在D處，那么各廠到D總長是：

（DA+DF）+（DB+DE）+DC=AF+BE+DC；

如果車站設在C處，邦么各廠到C總長是

（CA+CF）+（BC4-CE）+2DC=AF+BE+2DC。

比擬上面兩個式子得：當車站設在D處時，七廠到車站的距離總和最小c【費

用最少問題】例1在一條公路上每隔100千米有一個倉庫（如圖5.101）,共有五

個倉庫。一號倉庫存有10噸貨物，二號倉庫存有20噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物,

其余兩個倉庫是空的。現(xiàn)在想把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸

1千米需要0.5元的運費，那么最少要花多少運費才行？

（全國第一屆“華杯賽”復賽試題）

講析：這類問題思考時，要盡量使運這些貨物的噸千米數(shù)的和最小。處理的方法是:

“小往大處靠〃。

因為第五個倉庫有40噸，比第一、二倉庫貨物的總和還多。所以，盡量把第五個

倉庫的貨不動或者動得最近。

當存放站設在第四倉庫時，一、二、五倉庫貨物運輸?shù)膰嵡讛?shù)為：

10x300+20x200+40x100=11000；

當存放站設在第五倉庫時，一、二倉庫貨物運輸?shù)膰嵡讛?shù)為：

10x400+20x300=10000o

所以，存放點應設在第五號倉庫，運費最少。運費是0.5x10000=5000（元）。

例2有十個村，坐落在從縣城出發(fā)的一條公路上（如圖（5.102,單位：千米），要

安裝水管，從縣城送自來水到各村，可用粗細兩種水管，粗管足夠供給所有各村用水，

細管只能供一個村用水，粗管每千米要用8千元，細管每千米要用2千元。把粗管細管

適當搭配，互相連接，可降低工程總費用。按最節(jié)省的方法，費用應是多少？

（全國第一屆“華杯賽”決賽第二試試題）

講析：因為粗管每千米的費用是細管的4倍，所以應該在需要安裝四根或四根以上

水管的地段，都應安裝粗管。因此，只有到最后三個村安裝細管，費用才最省.

不難求出，最少費用為414000元。

30、容斥原理問題

例1在1至1000的自然數(shù)中，不能被5或7整除的數(shù)有個。

（莫斯科市第四屆小學數(shù)學競賽試題）

講析：能被5整除的數(shù)共有1000?5二200（個）；

能被7整除的數(shù)共有1000+7=142（個）……6（個）；

同時能被5和7整除的數(shù)共有1000+35=28（個）……20（個）。

所以，能被5或7整除的數(shù)一共有（即重復了的共有）：

200+142-28=314（個）；

不能被5或7整除的數(shù)一共有

1000—314=686（個）。

例2某個班的全體學生進行短跑、游泳、籃球三個工程的測試，有4名學生在這三個

工程上都沒有到達優(yōu)秀，其余每人至少有一個工程到達了優(yōu)秀。這局部學生到達優(yōu)秀的工

程、人數(shù)如下表：

求這個班的學生人數(shù)。

［全國第三屆“華杯賽〃復賽試題）

講析：如圖5.90,圖中三個圓圈分別表示短跑、游泳和籃球到達優(yōu)秀級的學生人數(shù)。

只有籃球一項到達優(yōu)秀的有

15—6—5+2=6（A）;

只有游泳一項到達優(yōu)秀的有

18—6—6+2=8（人）；

只有短跑一項到達優(yōu)秀的有

17—6—5+2=8（:人）。

獲得兩項或者三項優(yōu)秀的有

64-6+5—2X2-13（人）。

另有4人一項都沒獲優(yōu)秀。

所以，這個班學生人數(shù)是13+6+8+8+4=39（人）。

31、奇數(shù)偶數(shù)與奇偶性分析

【奇數(shù)和偶數(shù)】

例1用1、2、3、4、5這五個數(shù)兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積。問乘積中是

偶數(shù)多還是奇數(shù)多？

（全國第二屆“華杯賽〃決賽口試試題）

講析：如果兩個整數(shù)的積是奇數(shù)，那么這兩個整數(shù)都必須是奇數(shù)。在這五個數(shù)中，只

有三個奇數(shù)，兩兩相乘可以得到3個不同的奇數(shù)積。而偶數(shù)積共有7個。所以，乘積中是

偶數(shù)的多。

例2有兩組數(shù)，甲組：1、3、5、7、9...、23：乙組：2、4、6、8、10、....24,

從甲組任意選一個數(shù)與乙組任意選出一個數(shù)相加，能得到個不同的和。

（《現(xiàn)代小學數(shù)學》邀請賽試題）

講析：甲組有12個奇數(shù)，乙組有12個偶數(shù)。甲組中任意一個數(shù)與乙組中任意一個數(shù)

相加的和，必為奇數(shù)，其中最大是47,最小是3。

從3到47不同的奇數(shù)共有23個。

所以，能得到23個不同的和。

此題中，我們不能認為12個奇數(shù)與12個偶數(shù)任意搭配相加,會得到12X12=1441個）

不同的和。因為其中有很多是相同的。

【奇偶性分析】

例1某班同學參加學校的數(shù)學競賽。試題共50道。評分標準是：答對一道給3分，

不答給1分，答錯倒扣1分。請你說明：該班同學得分總和一定是偶數(shù)。

（全國第三屆《從小愛數(shù)學》邀請賽試題）

講析：如果50道題都答對，共可得150分，是一個偶數(shù)。每答錯一道題，就要相差4

分，不管答錯多少道題，4的倍數(shù)總是偶數(shù)。150減偶數(shù)，差仍然是一個偶數(shù)。

同理，每不答一道題，就相差2分，不管有多少道題不答，2的倍數(shù)總是偶數(shù)，偶數(shù)

加偶數(shù)之和為偶數(shù)。

所以，全班每個同學的分數(shù)都是偶數(shù)。那么全班同學的得分之和也一定是個偶數(shù)。

例25只杯子杯口全都朝上。規(guī)定每次翻轉4只杯子，經過假設干次后，能否使杯口

全部朝下？

（美國小學數(shù)學奧林匹克通訊賽試題）

講析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必須翻轉奇數(shù)次。要想5只杯口全都

朝上的杯子，杯口全都朝下，那么翻動的總次數(shù)也一定是奇數(shù)次才能辦得到。

現(xiàn)在每次只翻轉4只杯子，無論翻多少回，總次數(shù)一定是偶數(shù)。

所以，不能使杯口全部朝下。

例3某班共有25個同學。坐成5行5列的方陣。我們想讓每個同學都坐到與他相鄰

的座位上去。（指前、后、左、右），能否做得到？

（廣州市小學數(shù)學競賽預賽試題）

講析：如圖5.44,為了方便，我們將每一格用A或B表示，也就是與A相鄰的用B表

示，與B相鄰的用A表示。

要想使每位同學都坐到相鄰座位上去，也就是說坐A座位的同學都要坐到B座位上去,

而坐B座位上的同學都要坐到A座位上去。

但是，A座位共13個，而B座位共12個，所以，不管怎樣坐，要想坐A座位的同學

都坐到B座位上去，是辦不到的。

例4線段AB的兩個端點，一個標以紅色，一個標以藍色。在線段中間插入1991個分

點，每個分點隨意標上紅色或藍色。這樣分得1992條不重疊的小線段，如果把兩端點顏色

不同的小線段叫做標準線段，那么標準線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

(1992年長沙市小學數(shù)學競賽預選賽試題)

講析：每插入一個點，無論其顏色怎樣，其非標準線段的條數(shù)增加0條或2條，所以

插入1991個點后，非標準線段增加總數(shù)是一個偶數(shù)。又原非標準線段條數(shù)為1,是一個奇

數(shù)，故最后得到的非標準線段必為奇數(shù)。

非標準線段條數(shù)+標準線段條數(shù)二1992條。

所以，標準線段的條數(shù)是奇數(shù)。

32、其他定理或性質

【算術根本定理】任意一個大于1的整數(shù)，都能表示成假設干個質數(shù)的乘積，如果不

許質因數(shù)的順序，那么這個分解式是唯一的。即任意一個大于1的整數(shù)

a=[piXp2Xp3X...Xpn(pWpzWpW....WpJ其中P、P2、P3、…、nP都質數(shù);并且假設

a=q1Xq2Xq：iX---q.(qiWqzWqaW-，WqJ

其中4、q2%q.、…、q,都是質數(shù)。那么，m=n,qi=pi(i=l,2,3,--?,n)

當這個整數(shù)是質數(shù)時是符合定理的特例。

上述定理，叫做“算術根本定理〃。

【方程同解變形定理】方程的同解變形，有以下兩個根本定理：

定理一方程兩邊同時加上(或同時減去)同一個數(shù)或整式，所得的方程與原方程同解。

根據(jù)這一同解定理，可把方程中某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊。這種

變形叫做移項。

例如，解方程3x=2x+50

解移項，得

3x-2x=5

合并同類項，得

x=5<>

定理二方程兩邊同時乘以（或除以）同一個不是零的數(shù)，所得的方程與原方程同解。

是同解的。

【一筆畫的性質】為掌握“一筆畫〃的性質，先介紹“一筆畫〃的有關概念。

圖一用假設干條線（不一定是直線段）把一些點連接起來的圖形，如圖1.7。這些

點叫圖的頂點，如A、B、C、D；這些線叫圖的邊，如IB、AC、AD等。

點的次一每個點上所連接的線的條數(shù)，叫做這個點的“次〃。如圖1.7中，A點有五

條線與它相連，B點有三條線與它相連，那么A點的次為5；B點有三條線與它相連，那么

B點的次為3。

奇點一點的次數(shù)為奇數(shù)，那么這個點為“奇點〃。如圖L7中的A、B、C、D點，全部

都是奇點。

偶點一點的次數(shù)為偶數(shù)，那么這個點叫做“偶點〃。

如圖1.8中的B點（4次）、D點（2次），都是偶點。一筆畫問題一在圖L8中，能

否從A點（或其他點）出發(fā)，不重復任一邊（點可隨便經過假設干次）而一筆畫出全圖的

問題，叫做“一筆畫問題〃（也稱“七橋問題〃，見本書第九局部“七橋問題〃詞條）。

能一筆畫的圖形，具有下面兩條性質：

J1）假設一個圖形中，奇點的個數(shù)不大于2,那么這個圖形必能一筆畫成，否那么就

不能畫成。

例如圖1.7中，奇點有A、B、C、D四個，它無論從哪一點出發(fā)，都是不可能一筆畫成

的。而圖1.8中，奇點只有A、C兩個，它是可以一筆畫成的。其畫法可如圖1.9所示：從

A點出發(fā)，經1至UC,經2到D,經3至IJB,經4至IJA,又經5到B,再經6到A,然后經7

到C,完成全圖。顯然，此圖的畫法并不止于這一種，這只是多種畫法中的一種畫法。

（2）假設一個圖中沒有奇點，那么始點和終點必須重合；假設一個圖中有兩個奇點，

幫么這兩個奇點必是起點和終點。

例如圖1.10中，點A、B、C均為偶點，沒有奇點,假設從A點出發(fā)，按圖外箭頭所指

的方向，經①、②、③、④、⑤，便又回到了A點。這樣，A點便既是始點又是終點。而

圖1.8中有A、C兩個奇點，按性質（1）中的畫法，可從A點出發(fā)，到C點結束，A是始

點，C是終點。圖1.9（也可以從C點出發(fā)，到A點結束，C為始點，A為終點。）

平移變換

【平移線段】有些幾何問題，通過線段的上、下、左、右平移以后，能使問題很快地

得到正確的解答。

例如，下面的兩個圖形（圖4.17和圖4.18）的周長是否相等？

單憑眼睛觀察，似乎圖4.18的周長比圖4.17的要長一些。但把有關線段平移以后，

圖4.18就變成了圖4.19,其中的線段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一個

正方形。于是，不難發(fā)現(xiàn)兩圖周長是相等的。

【平移空白或陰影局部】有些求陰影局部或空白局部面積的幾何題，采用平移空白局

部或平移陰影局部的方法，往往能化難為易，很快使問題求得解答。例如，計算圖4.20中

陰影局部的面積。

圓面積〃，然后相加，得整個陰影局部的面積。這顯然是很費時費力的。但認真觀察一下

就會發(fā)現(xiàn)，圖4.20左半左上部的空白局部，與右半左上部的陰影局部大小一樣，只需將右

半左上部的陰影局部，平移到左半左上部的空白局部，所有的陰影局部便構成一個正方形

了（如圖4.21）。所以，陰影局部的面積很快就可求得為5X5=25。

又如，一塊長30米，寬24米的草地，中間有兩條寬2米的走道，把草地分為四塊，

求草地的面積（如圖4.22）。

這只要把丙向甲平移靠攏，把丁向乙平移靠攏，題目也就很快能解答出來了。（具體

解法略）

33、平面圖形的計算

【周長的計算】

例1有9個同樣大小的小長方形，拼成一個大長方形（如圖5.54）的面積是45厘米

求這個大長方形的周長。

（第四屆《小學生數(shù)學報》邀請賽決賽試題）

講析：設每個小長方形的長是a厘米，寬是b厘米。于是有

aXb=454-9=5；

又有：4a=5b0

可求得b=2,a=2.5o

所以大長方形的周長為6a+7b=291厘米）。

例2圖5.55中圖（1）和圖（2）是兩個形狀、大小完全相同的大長方形，在每個大

長方形內放入四個如圖（3）所示的小長方形，斜線區(qū)域是空下來的地方，大長方形的長比

寬多6厘米，問：圖(1),圖(2)中畫斜線的區(qū)域的周長哪個大？大多少？(全國第四

屆“華杯賽〃決賽試題)

講析：圖5.55(1)中面斜線區(qū)域的周長恰好等于大長方形的周長，圖5.55(2)中畫

斜線區(qū)域的周長明顯比大長方形周長小。二者