高數第三章一元函數的導數和微分

第三章一元函數得導

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數與微分

3、1導數概念

A—、問題得提出

1、切線問題A割線得極限位置一一切線位置A

如圖，如果割線MN繞點M旋轉而趨

向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處得切線、

極限位置即AA

切線MT得斜率為A2、自由落體運動得瞬時速度問題

A二、導數得定義

設函數產f(x)在點得某個鄰域內有定義，當自變量x在處取得增量Ax(點仍在該鄰

域內)時，相應地函數y取得增量;如果Ay與Ax之比當Ax->0時得極限存在,則稱函數

y=f(x)在點處可導，并稱這個極限為函數y=f(x)在點處得導數，記為

即A

其它形式

關于導數得說明:

在點處得導數就是因變量在點處得變化率，它反映了因變量隨自變量得變化而變化得

快慢程度。4如果函數y=f(x)在開區(qū)間I內得每點處都可導，就稱函數f(x)在開區(qū)間

I內內導。

對于任一,都對應著f(x)得一個確定得導數值，這個函數叫做原來函數f(x)得導函數,

記作AAA注意：AA2、導函數(瞬時變化率)就是函數平均變化率得逼近函數、

A導數定義例題：

例1、115頁a設函數f(x)在點x=a可導，求：

(l)A【答疑編號11030101：針對該題提問】

(2)A【答疑編號11030102:針對該題提問】

】手寫板圖示0301-03

limf(a+5h)-f(a-3h)

h—02h

_limf(a+5h)-f(a)+f(a)—f(a-3h)

―h->02H-

lim垃一f(a)_f(a—3h)T(a)

-h—02h卜―02h

=_Llimf(a+5h)-f(a)

2h-0Sh-

,3limf(a-3h)-f(a)

~2hf0-3h

R3

=-(a)+—(a)=4f*(a)

三、單側導數A1、左導數：A

2、右導數:A

函數f(x)在點處可導左導數與右導數都存在且相等、A例2、討淪函數f(x)=|x|在

x=0處得可導性。A【答疑編號11030103:針對該題提問】A解

?兀手寫板圖示0301-04

閉區(qū)間上可導得定義:如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，且及都存在，就說f(x)在閉

區(qū)間［a,b］上可導、

由定義求導數

步驟:A

例3、求函數f(x)=C(C為常數)得導數。

【答疑編號11030104:針對該題提問】

解

4A例4、設函數

【答疑編號11030105:針對該題提問】A解

同理可以得到aA

例5、求

天手寫板圖示0301-05

例6、求函數得導數。

【答疑編號11030106:針對該題提問】

解

例7、求函數得導數。

【答疑編號11030107:針對該題提問】

解

四、常數與基本初等函數得導數公式

五、導數得幾何意義

表示曲線y=f(x)在點處得切線得斜率，即A

切線方程為A法線方程為

例8、求雙曲線處得切線得斜率，并寫出在該點處得切線方程與法線方程。A【答疑

編號11030108：針對該題提問】

解由導數得幾何意義，得切線斜率為

所求切線方程為

法線方程為g六、可導與連續(xù)得關系A1、定理凡可導函數都就是連續(xù)函數、A

注意:該定理得逆定理不成立,即:連續(xù)函數不一定可導。A我們有:不連續(xù)一定不可導A

極限存在、連續(xù)、可導之間得關系。

2、連續(xù)函數不存在導數舉例A例9、討論函數在x=0處得連續(xù)性與可導性。

【答疑編號11030109:針對該題提問】

解：

.元手寫板圖示0301-08

:手寫板圖示0301-09

例10、P115第10題

設，a在什么條件下可使f（x）在點x=0處。

（D連續(xù)；（2）可導。A【答疑編號11030110：針對該題提問】

解：（1）

L手寫板圖示0301T0

asin-XWO

rI0X=0

及二f(x)=及,xa-sin^-#=f(0)=0

X—>0X-03x

lim

當a>0時Af(x)=0=f(0)

a=0占二。,(X)=K'oSin=不存在

a<0時(x)=xZ0x%inj不存在

(2)

A七、小結

1、導數得實質：增量比得極限;A2、導數得幾何意義:切線得斜率;

3、函數可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;A4、

5、求導數最基本得方法：由定義求導數、A6、判斷可導性

3、2求導法則

3、3基本求導公式

A—、與、差、積、商得求導法則

1、定理：

如果函數在點x處可導，則它們得與、差、積、商（分母不為零）在點x處也可導，并且

推論A

Eu(x)v(x)v(x)]/

=[u(x)?v(x)]'?w(x)+u(x)v(x)?w'(x)

1VAy**

///

=[u(x)v(x)4-u(x)v(x)]w(x)+u(x)v(x)w(x)

=u'vw+uv'w+uvw'

[c■f(x)]'=c'f(x)4-c-ff(x)

=c?f'(x)

2、例題分析

例1、求得導數。A【答疑編號11030201：針對該題提問】

解

例2、求得導數。A【答疑編號11030202:針對該題提問】A解

手寫板圖示0302-02

y=sin2x?皿乂求/

sin2x■lnx=2sinxcosx'Inx

.*.y,=2(sinx)zcosxlnx+sinx(cosx),Inx

+sinxcosx■(inx)’

一c2i?2nisinXcosx

-2cosxlux-smxInx+------------

--------x

例3、求y=tanx得導數。

【答疑編號11030203：針對該題提問】A解

同理可得

4例4、求y二secX得導數。A【答疑編號11030204:針對該題提問】

解

同理可得

4例5、131頁例"設，求、

【答疑編號11030205:針對該題提問】

手寫*板圖示0302-05

f(x)=x(x-l)(X—2)'-(X—50)

求r(o)-

解：f/(x)=(x-l)(x-2)-(x-50)

+x-1■(x—2)*"(x—50)

+x???,(x—1)-1,(x—3),,e(x-50)

d----Fx■(x-1)…(x-49)?1

f'(0)=(-1)(-2)-(-50)

=501

二、反函數得導數

1、定理:A如果函數在某區(qū)間內單調、可導且,那么它得反函數在對應區(qū)間內也可導，

且有A即反函數得導數等于直接函數導數得倒數、

2、例題分析

例6、求函數y=arcsinx得導數A【答疑編號11030206:針對該題提問】A解A

A同理可得44A例7、求函數得導數。

【答疑編號11030207：針對該題提問】A解

AA

特別J的

A三、小結:初等函數得求導問題

1、常數與基本初等函數得導數公式

2、函數得與、差、積、商得求導法則A設

u=u(x),v=v(x)可導,則

例8、127頁1題(6)(14)(15)

(1)1題(6)小題

【答疑編號11030208:針對該題提問】

解：

、工手寫板圖示0302-06

(2)1題(14)小題

【答疑編號11030209:針對該題提問】A解:

V8手寫板圖示0302-07

y=$tanxInx

y1=2xtanx,Inx

+，,sec^x■Inx

+，■tanx■Y

22

=2xtanxInx+xsecxlnx+xtanx

(3)1題(15)小題

【答疑編號11030210:針對該題提問】人解:

?夫手罵板圖示0302-08

y—2X4-x^4-logg5

y=(/f+x-2+log25

y'=(尹?ln/+(—2)X-27+0

=-2-xln2-2^3

例9、115頁3

若一直線運動得運動方程為，求在t二3時運動得瞬時速度。

【答疑編號11030211:針對該題提問】

解：

手寫板圖示0302-09

S=-t2+2t+lV（3）

V（t）=S/（t）

=2t+2

.,.V（3）=6+2=8

例10、115頁5

求曲線得與直線y=5x得平行得切線。A【答疑編號11030212：針對該題提問】

'板圖示0302-10

y=x3+x2.=5x

解：y'=3x24~2x

令3xZ+2x=5

3x2-|-2x—5=0

（3x4~5）（x--I）=0

xi——73-X2-1

x2=1Y2=2

???過旭2）的切線為

y—2=5（x—1）

另一條求出來就是

A

四、分段函數得求導問題AI、114頁定理：設

(1)如果函數在上連續(xù)，在上可導，且當時，則

(2)如果函數在上連續(xù),在上可導,且當時,則

2、分段函數得求導問題舉例A例11、116頁11求下列分段函數f(x)得:A(1)

【答疑編號11030213:針對該題提問】A解：

五、復合函數得求導法則AI、復合函數得求導法則

定理A如果函數在點x?？蓪В鴜=f(u)在點可導，則復合函數在點X。可導，且其

導數為AA即因變量對自變量求導，等于因變量對中間變量求導，乘以中間變量對自

變量求導。(鏈式法則)

推廣設,則復合函數得導數為

逐'手寫板圖示0303-01

y=f(u),u=。(x)

y-u-X

dy_dydu

dxdudx

2、例題分析

例1、求函數y=Insinx得導數。A【答疑編號11030301:針對該題提問】

解Vy=lnu,u=sinxA

“手寫板圖示0303-02

y=Insinxy=Inu,u=sinx

I

u

例2、已知y=(2x?—3x+5)嗎求。

【答疑編號11030302:針對該題提問】

~手寫板圖示0303-03

人啟他比§

I""

二/“(4彳4-，〃7)

例3^求y=sin5x得導數

【答疑編號11030303：針對該題提問】

L公手寫板圖示0303-04

j二"拉

例4、求函數得導數

【答疑編號11030304：針對該題提問】A解

手寫板圖示0303-06

例5、（教材133頁習題3、3,1題（2）小題）求得導數

【答疑編號11030305:針對該題提問】

,大手寫板圖示0303-08

b工手寫板圖示030309

例6、求得導數

【答疑編號11030306:針對該題提問】

例7、求得導數(a>0)A【答疑編號11030307:針對該題提問】

rx手寫1板圖示0303T1

例8、求函數得導數A【答疑編號11030308：針對該題提問】

L手寫■板圖示0303-12

解

例9、(教材128頁習題3、2,3題(5)小題)求得導數

【答疑編號11030309：針對該題提問】

逐'手罵板圖示0303，3

y=In+31nx

11

=lnx3+(lnx)r3

1

=ylnx4-(Inx)3

VAAA7__]

發(fā)U?/+MnX)3.X

vAA/

11-2_

=—><—(l+(lnX)3)

3x

例10、(教材128頁習題3、2,3題(7)小題)求y=(sinnx)(cos")得導數A【答

疑編號11030310:針對該題提問】

。美手寫'板圖示0303-14

y=sinnX■cos11X

yl=(sinnX)1,cos11X4~sinnXt(cos)X)f

=(cosnX■n),cosnx+sinnX

■n(CDSX)n1(-sinX)

=ncosnX■cosnX-nsinnX

?sinX,(cosx)n1

例11、求得導數A【答疑編號11030311；針對該題提問】

r復手寫1板圖示0303-15

例12、求得導數

【答疑編號11030312：針對該題提問】

例13、求得導數

【答疑編號11030313：針對該題提問】

公手寫板圖示0303-17

7

例14、求得導數A【答疑編號11030314:針對該題提問】

三寫板圖示0303-18

y,%欠

/燈f///

7二/〃a吟

x依次I

:〃不伏火"加觀2）

例15、（教材習題3、2,8題）已知在點x=l可導,求a,b。A【答疑編號11030

315:針對該題提問】

」復手寫板圖示0303T9

手寫'板圖示0303-20

如尸°

JI,

0刈］XV

“I

舞指函數、抽象得復合函數得求導例題

一、器指函數求導A例1:父4【答疑編號11030401:針對該題提問】

例2：y=(sinx)"8"求y，

【答疑編號11030402：針對該題提問】

、人手寫板圖示0304-03

y=(sinx)cosx求y'

一acosx■Insinx

y=eu，u=cosx■Insinx

y,=eu[—sinx"Insinx+cosx?sLxcosx]

=(sinx)C°SX(-sinxInsinx+cotx,cosx]

二、抽象得復合函數求導A例3：設f(u)可導，求下列函數得導數A(l)f(1nx)+

1nf(x)

【答疑編號11030403:針對該題提問】

解：

白靈手寫板圖示0304-04

y=f(x)+lnf(x)

=f(Inx)y2=lnf(x)

y1=f(u)>u=lnxyg=Inu,u=f(x)

Jo

y/=f'(u)-L靈=Lf'(x)

1x

(x)

=—fz(inx)

xffeT

/=f#(lnx).f+(x)

f(x)

⑵產f(e")【答疑編號11030404:針對該題提問】

解：

手寫板圖示0304-05

dy

y=f(eFx)求—

y=f(u)fu=e

o——

y；=f'(u)?e*1,(—1)

e-x?r(e-x)

(3)y-cf(x)A【答疑編號11030405:針對該題提問】

、人手寫板圖示0304-06

e￡&)

y—eu=f(x)

y；=eu-f'(x)

z

-e￡&)f(x)

(4)A【答疑編號11030406:針對該題提問】

手寫板圖示0304-07

3、4高階導數

一、高階導數得定義

問題:變速直線運動得加速度。

設s=f(t)，則瞬時速度為(th???加速度□就是速度v對時間t得變化率

Aa(t)-vz(t)-[r(t)]rA定義如果函數f(x)得導數(x)在點x處可

導,即

存在，則稱(f'(x))'為在點x處得二階導數。A記作。A二階導數得導數稱

為三階導數，。A三階導數得導數稱為四階導數，。A例4:y=3x?+sinxA【答疑

編號11030408:針對該題提問】

手寫板圖示0304-09

y=3xc+sinx

y，=6x+cosxy的

y*—(yf),=6—sinxyC2)

y"=(y*)/="cosxy(3)

一般地，函數f(x)得n-1階導數得導數稱為函數f(x)得n階導數，記作AA相應

地，『(x)稱為零階導數;f'(x)稱為一階導數。

例5:求下列函數得二階導數:A(l)y=ax+b

【答疑編號11030409:針對該題提問】

(2)y=cosnx；A【答疑編號11030410:針對該題提問】

(3)y=e8inx

【答疑編號11030411:針對該題提問】

二、對于某些特殊得導數得高階導數就是有規(guī)律得?！骼?：求下列函數得n階導

a)y=e、

【答疑編號11030412：針對該題提問】

⑵y=x

【答疑編號11030413：針對該題提問】

、手寫板圖示0304-14

_5

y-x

y/=5x5~<S=5x4

價5?里、4-1=5?4-X5"?

(5^2+1)

廣=5X4X3x3-l=5X4XgV④

/4>=5X4X3X2_-x5-?看-3+1)

(5-4+1)

yG>=5X4X3X2X1=51

y=xnyS『n?(n—l)---(n—k+1)乂“一卜

常產=n!

例7:設yr11求ye

解：》用數學歸納法可以證明:當

特別，當"n時，即kxn,其n階導數Ay<n>=(xn)<n>=n!^【答疑編號11030

414:針對該題提問】

例8:A【答疑編號11030415：針對該題提問】

例9:設丫=(x2+l),0(x9+x3+l)，求y(%【答疑編號11030416:針對該題提問】

例10：設丫=$1”,求嚴。A【答疑編號11030417：針對該題提問】A解

同理可簿注意：求n階導數時,求出1——3或4階后,不要急于合并,分析結果得

規(guī)律性，寫出n階導數、(數學歸納法證明)A例11:設f(x)得n—2階導數，求f(n)(x)。

必【答疑編號11030418:針對該題提問】

:板圖示0304-17

改一%)=彘求西心)

f笛必(盧■蘇/

1

_1?Inx?已?又——InX-1

~(Inx1-Qnx/

f$x)=(f啕)/

_^―?Qnx)2—Qnx—l)-21nxB

Qnx)，

=lnx-2(Inx-1)——Inx+2

xQnx)^xQnx),

3、5函數得微分

問題得提出A實例：正方形金屬薄片受熱后面積得改變量、A設邊長由X。變到X

o+Ax,A工?正方形面積

就是得線性函數

且為4A得主要部分,A就是Ax得高階無窮小，當|Ax|很小時可忽略。A微分得定

義A定義:設函數y=f(x)在某區(qū)間內有定義，X。及xo+ax在這區(qū)間內，如果

A成立(其中A就是與無關得常數)，則稱函數

y=f(X)在點X?？晌?，并且稱A?Ax為函數

y=f(x)在點X。相應于自變量漕量得微分，

記作A微分dy叫做函數增量Ay得線性主部。(微分得實質)A可微得條件

定理:函數f(x)在點x?？晌⒌贸湟獥l件就是函數f(x)在點X。處可導，且

［手寫板圖示0305-01

X

通常把自變量X得增量稱為自變量得微分,記作dX,即dX=Ax

即函數得微分dy與自變量得微分dx之商等于該函數得導數，導數也叫“微商”。A

微分得幾何意義A幾何意義：（如圖）

就是曲線得縱坐標增量時，dy就就是切線縱坐標對應得增量，當|很小時，在點”

得附近,切線段MP可近似代替曲線段MN.

手罵板圖示0305-02

微分得求法

求法：計算函數得導數，乘以自變量得微分。A1、基本初等函數得微分公式

2、函數與、差、積、商得微分法則

例1:設，求dy。A【答疑編號11030501:針對該題提問】

例2:,求dy。

【答疑編號11030502:針對該題提問】

_公手寫板圖示0305-04

例3：,求dy。A

、人手寫板圖示0305-05

微分形式得不變性A設函數y—f(x)有導數f'(x)

［手寫板圖示0305-06

當五是自變量時,7=/(u)dy=ff(u)dti

y