八年級上冊《最短路徑問題》課件與練習

第十三章

軸對稱13.4

最短路徑問題

1.能利用軸對稱和平移解決簡單的最短路徑問題，培養(yǎng)從實際問題抽象出熟悉模型的方法，增強應用意識.2.體會圖形的變換在解決最值問題中的作用，培養(yǎng)幾何直觀和模型觀念.3.通過解決問題感悟轉化思想,進一步獲得數(shù)學活動的經驗,增強數(shù)學的應用意識.學習重點：1.利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”.2.利用軸對稱和平移將造橋選址問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題.學習難點：最短路徑問題的解決思路及證明方法.1.如圖，連接A，B兩點的所有線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短.2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PC最短，因為垂線段最短.PlABCD3.在以前學習過哪些有關線段大小的結論？三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點A關于直線l的對稱點？AlA′“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.AB①②③PlABCD利用對稱知識解決最短路徑問題知識點1現(xiàn)實生活中經常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史上著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學問題作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl

現(xiàn)在假設點A,B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？

根據(jù)“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.解：連接AB,與直線l相交于一點C.問題1：AlBC學生活動一

【一起探究】如果點A,B分別是直線l同側的兩個點，又應該如何解決所走路徑最短的問題？【思考】對于問題2，如何將點B“移”到l

的另一側B′處，滿足直線l

上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？ABl利用軸對稱，作出點B關于直線l的對稱點B′.問題2：作法：（1）作點B

關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC

最短．問題3：ABlB′CC′例1如圖，已知點D,點E分別是等邊三角形ABC中BC,AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定B最短路徑問題的應用素養(yǎng)考點解析：△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.而CE=AD.方法點撥此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關鍵，而后將求線段長的和轉化為求某一線段的長，再根據(jù)已知條件求解.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需要管道最短的是（）答案：DPQlA.MPQlB.MPQlC.MPQlD.M如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點（保留作圖痕跡）.解：如圖，P點即為該點.例2如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）A解析：作B點關于y軸對稱點B′，連接AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，然后依據(jù)點A與點B′的坐標可得到BE、AE的長，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．B′C′E方法點撥求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.如圖，已知牧馬營地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，然后回到營地，請你替牧馬人設計出最短的放牧路線.解：如圖AP+AB即為最短的放牧路線.

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM利用平移知識解決造橋選址問題知識點2

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定橋的位置，才能使A到B的路徑最短呢？BA●●學生活動二

【一起探究】BA●●

?NMNNMM【思考】我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BAＭＮBAＭＮA'B'1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了.2.把B平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了.BAＭＮ3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長度有沒有改變呢？BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.BAA1MN理由:另任作橋M1N1，連接AM1，BN1，A1N1.Ｎ１Ｍ１由平移性質可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.AM+MN+BN轉化為AA1＋A1B，而AM1+M1N1+BN1轉化為AA1＋A1N1+BN1.在△A1N1B中，因為A1N1+BN1＞A1B.因此AM1+M1N1+BN1

＞AM+MN+BN.A·BMNECD證明：由平移的性質，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，故橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.解決最短路徑問題的方法

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.方法點撥牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑.A′B′PQ....如圖，荊州古城河在CC′處直角轉彎，河寬相同，從A處到B處，須經兩座橋：DD′,EE′（橋寬不計），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點之間線段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD原理線段公理和垂線段最短最短路徑問題解題方法造橋選址問題關鍵是將固定線段“橋”和同側點平移最短路徑問題軸對稱知識+線段公理解題方法思想化歸思想

“兩點的所有連線中，

最短”“連接直線外一點與直線上

?

的所有線段中，

最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪?/p>

徑問題.線段各

點垂線段課后作業(yè)1.

如圖，點

M

，

N

在直線

l

的同側，小東同學想通過作圖在直線

l

上確

定一點

Q

，使

MQ

與

QN

的和最小，那么下面的作圖中，正確的是

(

C

)C

2.

如圖，

A

和

B

兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋

MN

，使從

A

到

B

的路徑

A

—

M

—

N

—

B

最短的是(假定河的兩岸是平行直線，橋要

與河岸垂直)(

D

)

D3.

如圖，△

ABC

是等邊三角形，

AD

是

BC

邊上的高，

E

是

AC

的中點，

P

是

AD

上的一個動點，當

PC

與

PE

的和最小時，∠

ACP

＝

?.30°

4.

作圖(保留作圖痕跡).(1)如圖1，在直線

l

異側有兩點

A

，

B

，在直線上找一點

P

使點

P

到

A

，

B

兩點的距離和最短；解：(1)如圖1，連接

AB

交

l

于點

P

，則點

P

即為所求.(2)如圖2，在直線

AB

同側有兩點

C

，

D

，在直線上找一點

P

使

PC

＋

PD

的長最短；解：(2)如圖2，作點

C

關于直線

AB

的對稱點C'，連接C'D，交

AB

于點

P

，則點

P

即為所求.(3)如圖3，在∠

AOB

內部有一點

P

，在

OA

，

OB

上找出

E

，

F

兩點，使

得以

E

，

F

，

P

三點為頂點的三角形的周長最短.解：(3)如圖3，分別作點

P

關于

OA

的對稱點

C

，點

P

關于

OB

的對稱點

D

，連接

CD

，交

OA

于點

E

，交

OB

于點

F

，則點

E

，

F

即為所求.第十三章軸對稱《13.4課題學習最短路徑問題》同步練習

垂線段最短1.

已知在平面直角坐標系中點

M

(－4，2)，若點

N

是

y

軸上一動點，則

M

，

N

兩點之間的距離最小值為(

C

)A.

－4B.

2C.

4D.

－2C

兩點之間線段最短2.

A

，

B

是直線

l

上的兩點，

P

是直線

l

上的任意一點，要使

PA

＋

PB

的

值最小，那么點

P

的位置應在(

A

)A.

線段

AB

上B.

線段

AB

的延長線上C.

線段

AB

的反向延長線上D.

直線

l

上A3.

如圖，在平面直角坐標系中，有點

A

(－2，4)和

B

(4，2)，在

x

軸上取一點

P

，使點

P

到點

A

和點

B

的距離之和最小，則點

P

的坐標是(

B

)A.

(－2，0)B.

(2，0)C.

(0，－2)D.

(0，3)B【解析】如圖，作點

A

關于

x

軸的對稱點

C

，連接

BC

交

x

軸于點

P

，連

接

AP

，則此時

AP

＋

PB

的值最小，由圖知

P

(2，0).4.

如圖，在△

ABC

中，

AB

⊥

AC

，

AB

＝3，

BC

＝5，

AC

＝4，

EF

垂

直平分

BC

，

P

為直線

EF

上的任意一點，則△

ABP

周長的最小值是

(

C

)A.

12B.

6C.

7D.

8C【解析】∵

EF

垂直平分

BC

，

∴

B

，

C

關于

EF

對稱，

設

AC

交

EF

于

點

D

，

∴當點

P

和點

D

重合時，

AP

＋

BP

的值最小，最小值等于

AC

的

長.∵

AB

＝3，

AC

＝4，∴△

ABP

周長的最小值是

AB

＋

AC

＝3＋4＝7.5.

如圖，已知∠

AOB

的大小為α，

P

是∠

AOB

內部的一個定點，且

OP

＝5，點

E

，

F

分別是

OA

，

OB

上的動點，若△

PEF

周長的最小值等于

5，則α＝(

A

)A.

30°B.

45°C.

60°D.

90°A【解析】如圖，分別作點

P

關于

OA

的對稱點

C

，關于

OB

的對稱點

D

，

連接

CD

，交

OA

于點

E

，

OB

于點

F

.

此時，△

PEF

的周長最小.連接

OC

，

OD

，

PE

，

PF

.

∵點

P

與點

C

關于

OA

對稱，∴

OA

垂直平分

PC

.

∴∠

COA

＝∠

AOP

，

PE

＝

CE

，

OC

＝

OP

.

同理，可得∠

DOB

＝∠

BOP

，

PF

＝

DF

，

OD

＝

OP

.

∴∠

COA

＋∠

DOB

＝∠

AOP

＋∠

BOP

＝∠

AOB

＝α，

OC

＝

OD

＝

OP

＝5.∴∠

COD

＝2α.又∵△

PEF

的周長＝

PE

＋

EF

＋

FP

＝

CE

＋

EF

＋

FD

＝

CD

＝5，

∴

OC

＝

OD

＝

CD

＝5.∴△

COD

是等邊三角形.∴2α＝60°.∴α＝30°.

垂線段最短和兩點之間線段最短6.

如圖，點

P

在銳角∠

AOB

的內部，在

OB

邊上求作一點

D

，在

OA

邊

上求作一點

C

.

(1)使

PD

＋

CD

最小，并說明依據(jù)的數(shù)學道理；解：(1)如圖1所示，作點

P

關于直線

OB

的對稱點

P

'，過點

P

'向直線

OA

作

垂線，垂足為

C

，與

OB

交于點

D

.

點

C

，

D

即為所求.原理：

PD

＋

CD

＝CP'，垂線段最短.(2)使

PD

＋

PC

＋

CD

最小，并說明依據(jù)的數(shù)學道理.解：(2)如圖2所示，分別作點

P

關于直

線

OA

，

OB

的對稱點P'，P''，連接

P'P''分別交

OA

，

OB

于點

C

，

D

，點

C

，

D

即為所求.原理：

PC

＋

PD

＋

CD

＝P'P''，兩點之間，線段最短.

平移和軸對稱解決最短問題7.

如圖，已知

A

，

B

是兩個定點，在定直線

l

上找兩個動點

M

與

N

，且

MN

等于定長

d

(動點

M

位于動點

N

左側)，使

AM

＋

MN

＋

NB

最小.解：如圖，過點

A

作

l

的平行線l'，取

AA

'＝

d

，作點

B

關于

l

的對稱點

B

'，連接

A

'

B

'交

l

于點

N

，連接

BN

，將

A

'

N

向左平移定長

d

得到

AM

，

點

M

，

N

即為所求.(根據(jù)平移和軸對稱的性質可得

BN

＝

B

'

N

，

AM

＝

A

'

N

.

則

AM

＋

MN

＋

NB

＝

A

'

N

＋

B

'

N

＋

MN

＝

A

'

B

'＋

MN

，此時值

最小.)

8.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BC

＝4，面積是16，

AC

的垂直平

分線

EF

分別交

AC

，

AB

于點

E

，

F

，若

D

為

BC

的中點，點

M

為線段

EF

上一動點，則△

CDM

的周長的最小值為(

C

)A.

6B.

8C.

10D.

12C【解析】如圖，連接

AD

，

AM

.

∵

AB

＝

AC

，

D

是

BC

的中點，∴

AD

⊥

BC

.

9.

如圖，在五邊形

ABCDE

中，∠

AMN

＋∠

ANM

＝84°，∠

B

＝∠

E

＝90°，在

BC

，

DE

上分別找一點

M

，

N

，

當△

AMN

的周長最小時，∠

BAE

的度數(shù)為(

D

)A.

96°B.

106°C.

126°D.

138°D【解析】如圖，分別作點

A

關于

BC

的對稱點

P

，關于

DE

的對稱點

Q

，

連接

PQ

與

BC

相交于點

M

，與

DE

相交于點

N

，∴

AM

＝

PM

，

AN

＝

QN

.

∴∠

P

＝∠

PAM

，∠

Q

＝∠

QAN

.

∴△

AMN

的周長＝

AM

＋

MN

＋

AN

＝

PM

＋

MN

＋

QN

＝

PQ

.

由軸對稱確定最短路徑，

PQ

的長度為△

AMN

的周長的最小值.∵∠

AMN

＝∠

P

＋∠

PAM

＝2∠

P

，∠

ANM

＝∠

Q

＋∠

QAN

＝2∠

Q

，∴∠

AMN

＋∠

ANM

＝2(∠

P

＋∠

Q

).∵∠

AMN

＋∠

ANM

＝84°，∴∠

P

＋∠

Q

＝42°，∴∠

BAE

＝180°－42°＝138°.10.

如圖，∠

AOB

＝30°，∠

AOB

內有一定點

P

，且

OP

＝15，若在

OA

，

OB

上分別有動點

M

，

N

，則△

PMN

周長的最小值是

?.15

【解析】如圖，作點

P

關于

OA

的對稱點

D

，關于

OB

的對稱點

E

，連接

DE

交

OA

于點

M

，交

OB

于點

N

，連接

PM

，

PN

，則此時△

PMN

的周

長最小，連接

OD

，

OE

，

OP

.

∵

P

，

D

關于

OA

對稱，

∴

OD

＝

OP

，

PM

＝

DM

，

OA

⊥

PD

.

同理，

OE

＝

OP

，

PN

＝

EN

，∴

OD

＝

OE

＝

OP

＝15.∵

OD

＝

OP

，

OA

⊥

PD

，∴∠

DOA

＝∠

POA

.

同理，∠

POB

＝∠

EOB

，∴∠

DOE

＝2∠

AOB

＝2×30°＝60°.∵

OD

＝

OE

，∴△

DOE

是等邊三角形.∴

DE

＝

OD

＝15.∴△

PMN

的周長是

PM

＋

MN

＋

PN

＝

DM

＋

MN

＋

EN

＝

DE

＝15.

11.

如圖，已知∠

MON

內有一點

A

，

AB

⊥

OM

于點

B

，

AC

⊥

ON

于點

C

，點

E

，

F

分別為

OB

，

OC

上的動點，若∠

MON

＝50°，則當△

AEF

周長最小時，∠

EAF

的度數(shù)是多少.解：如圖，分別作點

A