八年級上冊《直角三角形的性質(zhì)和判定》課件與練習

第十一章

三角形11.2

與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角第2課時

直角三角形的性質(zhì)和判定1.了解直角三角形兩個銳角的關(guān)系.2.掌握直角三角形的判定.3.會運用直角三角形的性質(zhì)和判定進行相關(guān)計算.學習重點：了解直角三角形兩個銳角的關(guān)系.學習難點：1.掌握直角三角形的判定.

2.會運用直角三角形的性質(zhì)和判定進行相關(guān)計算.在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F結(jié).可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納悶.你知道其中的道理嗎？內(nèi)角三兄弟之爭在這個家里，我是永遠的老大.

老大的度數(shù)為90°，老二若是比老大的度數(shù)大，那么老二的度數(shù)要大于90°，而三角形的內(nèi)角和為180°，相互矛盾，因而是不可能的.如下圖所示是我們常用的三角板，兩銳角的度數(shù)之和為多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°直角三角形的兩個銳角互余知識點1問題1：學生活動一

【一起探究】如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？

在直角三角形ABC中，因為

∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，

即

∠A+∠B=90°.由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？問題2：ABC直角三角形的兩個銳角互余．(直角三角形的性質(zhì)定理）應(yīng)用格式：

在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．歸納總結(jié)例1（1）如圖

，∠B=∠C=90°，AD交BC于點O，∠A與∠D有什么關(guān)系？圖利用直角三角形的性質(zhì)證明角相等或求角的度數(shù)素養(yǎng)考點1方法一（利用平行的判定和性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，

∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性質(zhì)）：

∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠D.圖解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠C.（2）如圖

，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，∠A與∠C有什么關(guān)系？請說明理由.圖與圖有哪些共同點與不同點？

在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數(shù)是(

)A．120°B．90°

C．60°

D．30°

D如圖，AB∥CD，EF與AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)，EP⊥EF，與∠EFD的平分線FP相交于點P，且∠BEP＝50°，則∠EPF＝(

)度A．70B．65C．60D．55A例2如圖，∠C=∠D=90°，

AD，

BC相交于點E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°–∠AEC.

在Rt△BDE中，∠DBE=90°–∠BED.

∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F(xiàn)是BE和CD的交點，∠DCB＝45°.求∠ABE的度數(shù)．解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.【思考】通過前面的例題，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？基本圖形∠A=∠C∠A=∠D歸納總結(jié)有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？有兩個角互余的三角形是直角三角形知識點2ABC學生活動二

【一起探究】

在△ABC中，

因為∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

所以∠C=90°.

即△ABC是直角三角形.ABCABC應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有兩個角互余的三角形是直角三角形.

(直角三角形的判定定理）歸納總結(jié)例1如圖，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？ACBDE((12解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.利用直角三角形的判定定理識別直角三角形素養(yǎng)考點2已知∠A＝37°，∠B＝53°，則△ABC為(

)A．銳角三角形

B．鈍角三角形C．直角三角形

D．以上都有可能

C具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝2∠B＝3∠CD例2如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.如圖，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.試判斷△ABD的形狀．解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C

＝180°–80°–70°＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.

在△ABD中，∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴△ABD是直角三角形．1.在一個直角三角形中，有一個銳角等于40°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．40°B．50°C．60°D．70°2.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C

B．∠A-∠B=∠C

C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠CBD3.如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，

CD⊥AB，與∠1互余的角有（）A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCDC4.將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD＝20°，則∠BOC的大小為（）A．140°B．160°C．170°D．150°B5.如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點，且∠ACD=∠B．求證：△ACD是直角三角形．證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形.直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余判定有兩個角互余的三角形是直角三角形

1.

直角三角形的兩個銳角

，直角三角形可以用符號“

”表示，直角三角形

ABC

可以寫成

?.2.

有兩個角

的三角形是直角三角形.互余Rt△

Rt△

ABC

互余課后作業(yè)

1.

若直角三角形的一個銳角是30°，則另一個銳角的度數(shù)是(

B

)A.

50°B.

60°C.

70°D.

90°B2.

如圖，若∠1＝40°，則∠

C

的度數(shù)為(

C

)A.

30°B.

40°C.

50°D.

60°第2題圖C3.

如圖，在△

ABC

中，若∠

BAC

＝90°，

AC

≠

AB

，

AD

是斜邊

BC

上的高，

DE

⊥

AC

，

DF

⊥

AB

，垂足分別為

E

，

F

，則圖中與∠

C

(∠

C

除外)相等的角的個數(shù)是(

A

)A.

3個B.

4個C.

5個D.

6個第3題圖A4.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

BD

平分∠

ABC

，且∠

CAD

＝∠

CBD

，△

ABD

是直角三角形嗎？為什么？解：△

ABD

是直角三角形.理由：在Rt△

ABC

中，∵∠

BAC

＝90°，∴∠

BAD

＋∠

CAD

＝90°.∵

BD

平分∠

ABC

，∴∠

ABD

＝∠

CBD

.

∵∠

CAD

＝∠

CBD

，∴∠

ABD

＝∠

CAD

.

∴∠

BAD

＋∠

ABD

＝90°.∴△

ABD

是直角三角形.5.

如圖，在△

ABC

中，

CD

，

CE

分別是△

ABC

的高和角平分線，∠

BAC

＝α，∠

B

＝β(α＞β).(1)若α＝70°，β＝40°，求∠

DCE

的度數(shù)；

(2)試用含α，β的代數(shù)式表示∠

DCE

的度數(shù)：

?.

第十一章三角形11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角《第2課時直角三角形的性質(zhì)及判定》同步練習

直角三角形的兩個銳角互余1.

在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

B

＝40°，則∠

A

＝(

C

)A.

60°B.

30°C.

50°D.

40°【解析】∵∠

C

＝90°，∴∠

A

＋∠

B

＝90°.∵∠

B

＝40°，∴∠

A

＝50°.C2.

如圖，在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，沿

CD

折疊△

CBD

，使點

B

恰好落在

AC

邊上的點

E

處，∠

A

＝22°，則∠

DEC

等于(

C

)A.

44°B.

60°C.

68°D.

58°C【解析】在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

A

＝22°，∴∠

B

＝90°－∠

A

＝68°.由折疊的性質(zhì)，得∠

DEC

＝∠

B

＝68°.3.

將一副透明三角尺如圖放置，若∠

AOD

＝20°，則∠

BOC

的度數(shù)為

(

B

)A.

140°B.

160°C.

170°D.

150°B【解析】∵∠

COD

＝90°，∠

AOD

＝20°，∴∠

COA

＝∠

COD

－∠

AOD

＝90°－20°＝70°.又∵∠

AOB

＝90°，∴∠

BOC

＝∠

AOB

＋∠

AOC

＝90°＋70°＝160°.4.

【教材第14頁練習第1題改編】如圖，∠

ACB

＝90°，

CD

⊥

AB

，垂足為

D

.

下列結(jié)論中，不一定成立的是(

D

)A.

∠

A

與∠1互余B.

∠

B

與∠2互余C.

∠

A

＝∠2D.

∠1＝∠2D【解析】A.在Rt△

ACD

中，∠

ADC

＝90°，∴∠

A

與∠1互余，正確；B.在Rt△

BCD

中，∠

BDC

＝90°，∴∠

B

與∠2互余，正確；C.∵∠

A

＋∠1＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠

A

＝∠2，正確；D.當∠

A

＝∠

B

時，

AC

＝

BC

，

CD

既是∠

ACB

的平分線，也是斜邊上的高與中線，∴∠1＝∠2；當∠

A

≠∠

B

時，∠1≠∠2.5.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

DE

過點

C

且平行于

AB

，若∠

BCE

＝35°，求∠

A

的度數(shù).解：∵

DE

∥

AB

，∴∠

B

＝∠

BCE

＝35°.∴∠

A

＝90°－35°＝55°.

兩銳角互余的三角形是直角三角形6.

若三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2∶4∶6，則這個三角形一定是

(

B

)A.

銳角三角形B.

直角三角形C.

鈍角三角形D.

不能確定B7.

有下列說法：①三角形的三個內(nèi)角中至少有一個鈍角；②三角形的三個內(nèi)角中至少有兩個銳角；③一個三角形中，至少有一個角不小于60°；④鈍角三角形中，任意兩個內(nèi)角的和必大于90°；⑤直角三角形中兩銳角互余.其中正確的說法有

(填序號).②③⑤

【解析】銳角三角形中三個角都是銳角，∴①錯誤；三角形的三個內(nèi)角

中至少有兩個角是銳角，∴②正確；一個三角形的三個內(nèi)角中至少有一

個角不小于60°，∴③正確；鈍角三角形中兩個銳角的和小于90°，∴④

錯誤；直角三角形中兩銳角互余，∴⑤正確.8.

如圖，∠

C

＝90°，∠1＝∠2，△

ADE

是直角三角形嗎？為什么？解：△

ADE

是直角三角形.理由：∵∠

C

＝90°，∴∠

A

＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠

A

＋∠1＝90°.∴∠

ADE

＝90°.∴△

ADE

是直角三角形.

9.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

CAB

＝90°，∠

ABC

＝70°，

AD

是∠

CAB

的平分線，交

BC

于點

D

，則∠

ADC

的度數(shù)為(

B

)A.

120°B.

115°C.

110°D.

105°B

10.

如圖，

AD

是△

ABC

的高，

CE

是△

ADC

的角平分線.若∠

BAD

＝

∠

ECD

，∠

B

＝70°，則∠

CAD

＝

?°.50

【解析】∵

AD

是△

ABC

的高，∴∠

ADB

＝∠

ADC

＝90°.∵∠

B

＝70°，∴∠

BAD

＝20°.∵

CE

是△

ADC

的角平分線，∴∠

ACD

＝2∠

ECD

.

∵∠

BAD

＝∠

ECD

.

∴∠

ECD

＝20°，∴∠

ACD

＝40°.在△

ACD

中，∠

CAD

＝180°－90°－40°＝50°.11.

如圖，在△

ABC

中，∠

A

＝30°，∠

B

＝60°，

CE

平分∠

ACB

交

AB

于點

E

.

(1)求∠

ACE

的度數(shù)；

(2)若

CD

⊥

AB

于點

D

，∠

CDF

＝75°，求證：△

CFD

是直角三角形.(2)證明：∵

CD

⊥

AB

，∠

B

＝60°，∴∠

BCD

＝90°－60°＝30°.又∵∠

BCE

＝∠

ACE

＝45°，∴∠

DCF

＝∠

BCE

－∠

BCD

＝15°.又∵∠

CDF

＝75°，∴∠

CFD

＝180°－75°－15°＝90°.∴△

CFD