等差數(shù)列求和公式教學(xué)設(shè)計(jì)

等差數(shù)列求和公式教學(xué)設(shè)計(jì)?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能理解等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，掌握等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式。能熟練運(yùn)用等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。2.過程與方法目標(biāo)通過公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理等邏輯思維能力。體會(huì)從特殊到一般、再從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)讓學(xué)生在探究活動(dòng)中體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和勇于探索的精神。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得，即如何引導(dǎo)學(xué)生通過倒序相加的方法發(fā)現(xiàn)并理解公式的推導(dǎo)過程。

三、教學(xué)方法1.講授法：講解等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式的概念、推導(dǎo)過程及應(yīng)用方法，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)。2.討論法：組織學(xué)生討論公式推導(dǎo)過程中的思路和方法，激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力。3.探究法：引導(dǎo)學(xué)生自主探究公式的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生在探究過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

四、教學(xué)過程

（一）新課導(dǎo)入1.情境引入播放一段關(guān)于堆放鋼管的視頻，展示一堆堆放成梯形的鋼管（頂層\(4\)根，底層\(10\)根，共\(7\)層）。提出問題：如何快速計(jì)算出這堆鋼管的總數(shù)呢？2.引導(dǎo)思考讓學(xué)生思考計(jì)算鋼管總數(shù)的方法，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的思路。有的學(xué)生可能會(huì)一層一層地相加：\(4+5+6+7+8+9+10=49\)（根）。教師進(jìn)一步引導(dǎo)：有沒有更簡便的方法呢？比如類似于求梯形面積的方法。引出本節(jié)課的主題等差數(shù)列求和公式。

（二）知識(shí)講解1.等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式的推導(dǎo)設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的首項(xiàng)為\(a_{1}\)，公差為\(d\)，前\(n\)項(xiàng)和為\(S_{n}\)。寫出\(S_{n}\)的表達(dá)式：\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\)①再把\(S_{n}\)倒過來寫：\(S_{n}=a_{n}+a_{n1}+a_{n2}+\cdots+a_{1}\)②①+②得：\(2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n1})+(a_{3}+a_{n2})+\cdots+(a_{n}+a_{1})\)因?yàn)閈(\{a_{n}\}\)是等差數(shù)列，所以\(a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n1}=a_{3}+a_{n2}=\cdots=a_{n}+a_{1}\)。那么\(2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\)，所以\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，將其代入\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)中，可得\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)。2.公式分析\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)這個(gè)公式表示等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)\(n\)與首項(xiàng)\(a_{1}\)與末項(xiàng)\(a_{n}\)之和乘積的一半。例如，對于剛才堆放鋼管的問題，\(n=7\)，\(a_{1}=4\)，\(a_{7}=10\)，則\(S_{7}=\frac{7\times(4+10)}{2}=49\)（根）。\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)此公式中，\(na_{1}\)表示首項(xiàng)\(a_{1}\)的\(n\)倍，\(\frac{n(n1)}{2}d\)表示公差\(d\)與項(xiàng)數(shù)\(n\)及\(n1\)乘積的一半。當(dāng)已知首項(xiàng)\(a_{1}\)、公差\(d\)和項(xiàng)數(shù)\(n\)時(shí)，可直接用這個(gè)公式計(jì)算前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}\)。3.公式的變形由\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)可得：\(S_{n}=\fracxmfohvo{2}n^{2}+(a_{1}\fracr4k9mlo{2})n\)這是一個(gè)關(guān)于\(n\)的二次函數(shù)形式（當(dāng)\(d\neq0\)時(shí)），其圖象是一條拋物線（過原點(diǎn)或不過原點(diǎn)）。通過這種變形，可以從函數(shù)的角度進(jìn)一步理解等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和的性質(zhì)。

（三）例題講解1.例1已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{n}=16\)，\(n=8\)，求\(S_{n}\)。分析：直接運(yùn)用公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。解：\(S_{8}=\frac{8\times(2+16)}{2}=72\)。教師強(qiáng)調(diào)：在運(yùn)用公式時(shí)，要準(zhǔn)確找到公式中所需的各項(xiàng)值，代入計(jì)算即可。2.例2等差數(shù)列\(zhòng)(10\)，\(6\)，\(2\)，\(2\)，\(\cdots\)的前多少項(xiàng)和為\(54\)？分析：首先確定該等差數(shù)列的首項(xiàng)\(a_{1}=10\)，公差\(d=6(10)=4\)。然后設(shè)前\(n\)項(xiàng)和為\(54\)，代入公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)求解\(n\)。解：由\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)，可得\(54=10n+\frac{n(n1)}{2}\times4\)?；喎匠痰茫篭(54=10n+2n^{2}2n\)，即\(2n^{2}12n54=0\)，進(jìn)一步化簡為\(n^{2}6n27=0\)。因式分解得\((n9)(n+3)=0\)，解得\(n=9\)或\(n=3\)（項(xiàng)數(shù)不能為負(fù)數(shù)，舍去）。所以該數(shù)列前\(9\)項(xiàng)和為\(54\)。教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題步驟：先確定數(shù)列的基本量，再根據(jù)已知條件代入合適的求和公式，然后求解方程得到答案，注意對解的合理性進(jìn)行判斷。3.例3已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_{n}\)，且\(S_{10}=100\)，\(S_{100}=10\)，求\(S_{110}\)。分析：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的首項(xiàng)為\(a_{1}\)，公差為\(d\)，根據(jù)已知條件列出關(guān)于\(a_{1}\)和\(d\)的方程組，解出\(a_{1}\)和\(d\)，再求\(S_{110}\)。但這樣計(jì)算量較大。我們可以利用等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式的性質(zhì)：\(S_{n}\)，\(S_{2n}S_{n}\)，\(S_{3n}S_{2n}\)，\(\cdots\)仍然成等差數(shù)列。解：因?yàn)閈(S_{10}\)，\(S_{20}S_{10}\)，\(S_{30}S_{20}\)，\(\cdots\)，\(S_{100}S_{90}\)，\(S_{110}S_{100}\)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為\(D\)。則\(S_{100}S_{10}=(S_{20}S_{10})+(S_{30}S_{20})+\cdots+(S_{100}S_{90})=9(S_{20}S_{10})+\frac{9\times8}{2}D\)。已知\(S_{10}=100\)，\(S_{100}=10\)，可得\(10100=9(S_{20}100)+\frac{9\times8}{2}D\)③又因?yàn)閈(S_{20}S_{10}=S_{10}+D\)，即\(S_{20}=2S_{10}+D=200+D\)，代入③式可求出\(D\)。再根據(jù)\(S_{110}S_{100}=S_{10}+10D\)，求出\(S_{110}\)。另一種方法：由\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)可得：\(\begin{cases}10a_{1}+\frac{10\times9}{2}d=100\\100a_{1}+\frac{100\times99}{2}d=10\end{cases}\)解方程組：由\(10a_{1}+\frac{10\times9}{2}d=100\)可得\(a_{1}+\frac{9}{2}d=10\)，即\(a_{1}=10\frac{9}{2}d\)。將\(a_{1}=10\frac{9}{2}d\)代入\(100a_{1}+\frac{100\times99}{2}d=10\)得：\(100(10\frac{9}{2}d)+\frac{100\times99}{2}d=10\)\(1000450d+4950d=10\)\(4500d=990\)\(d=\frac{11}{50}\)將\(d=\frac{11}{50}\)代入\(a_{1}=10\frac{9}{2}d\)得：\(a_{1}=10\frac{9}{2}\times(\frac{11}{50})=10+\frac{99}{100}=\frac{1099}{100}\)則\(S_{110}=110\times\frac{1099}{100}+\frac{110\times109}{2}\times(\frac{11}{50})\)\(=\frac{110\times1099}{100}\frac{110\times109\times11}{100}\)\(=\frac{110\times(10991199)}{100}\)\(=110\)教師引導(dǎo)學(xué)生比較兩種方法，體會(huì)利用等差數(shù)列性質(zhì)解題的便捷性，拓寬學(xué)生的解題思路。

（四）課堂練習(xí)1.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，\(a_{n}=21\)，\(d=2\)，求\(n\)及\(S_{n}\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}=n^{2}2n\)，求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)。3.等差數(shù)列\(zhòng)(2\)，\(5\)，\(8\)，\(\cdots\)的前多少項(xiàng)和是\(950\)？

（五）課堂小結(jié)1.學(xué)生總結(jié)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程、公式的形式及應(yīng)用。鼓勵(lì)學(xué)生分享自己在學(xué)習(xí)過程中的收獲和遇到的問題。2.教師補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式推導(dǎo)過程中倒序相加法的巧妙運(yùn)用，以及公式中各個(gè)量的含義?？偨Y(jié)利用公式解題的一般步驟：首先確定數(shù)列的首項(xiàng)\(a_{1}\)、公差\(d\)、項(xiàng)數(shù)\(n\)和末項(xiàng)\(a_{n}\)等基本量，然后根據(jù)已知條件選擇合適的公式進(jìn)行計(jì)算，注意對結(jié)果的合理性進(jìn)行檢驗(yàn)。指出公式的變形及性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度理解和運(yùn)用等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式。

（六）布置作業(yè)1.基礎(chǔ)作業(yè)課本課后習(xí)題第\(1\)、\(3\)、\(5\)題。要求學(xué)生認(rèn)真完成，鞏固所學(xué)的等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式的基本應(yīng)用。2.拓展作業(yè)已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_{n}\)，且\(S_{5}=35\)，\(S_{10}=120\)，求\(S_{15}\)。思考：能否通過本節(jié)課所學(xué)知識(shí)及方法找到更簡便的解法？并嘗試總結(jié)此類問題的一般規(guī)律。拓展作業(yè)旨在加深學(xué)生對公式的