江蘇專用2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六應(yīng)用題教學(xué)案

PAGEPAGE1專題六應(yīng)用題eq\a\vs4\al([江蘇卷5年考情分析])“在考查基礎(chǔ)學(xué)問的同時，側(cè)重考查實力”是高考的立意之本，而應(yīng)用實力的考查又是近幾年高考考查的重點．考查實際問題背景下的數(shù)學(xué)建模是江蘇卷幾年不變的題型．所以如何由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模過程的探究是復(fù)習(xí)的關(guān)鍵．應(yīng)用題的載體許多，前幾年主要考查函數(shù)建模，以三角、導(dǎo)數(shù)、不等式學(xué)問解決問題，以往有一次函數(shù)模型(條件不等式模型)．有先構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求解(2015年、2024年)，演化為立體幾何模型(2024年、2024年)；近兩年三角模型走紅(2024年、2024年)．考查利用三角學(xué)問、導(dǎo)數(shù)、直線與圓等學(xué)問綜合建模與求解實力，難度中等．題型(一)函數(shù)模型的構(gòu)建及求解主要考查以構(gòu)建函數(shù)模型為背景的應(yīng)用題，一般常見于經(jīng)濟問題或立體幾何表面積和體積最值問題中.[典例感悟][例1](2024·江蘇高考)現(xiàn)須要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形態(tài)是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1(1)若AB＝6m，PO1＝2m(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當(dāng)PO1為多少時，[解](1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因為A1B1＝AB＝6，所以正四棱錐P-A1B1C1D1V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．(2)設(shè)A1B1＝am，PO1＝hm，則0＜h＜6，O1O＝4h.連結(jié)O1B1.因為在Rt△PO1B1中，O1Beq\o\al(2,1)＋POeq\o\al(2,1)＝PBeq\o\al(2,1)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))eq\s\up12(2)＋h2＝36，即a2＝2(36－h(huán)2)．于是倉庫的容積V＝V柱＋V錐＝a2·4h＋eq\f(1,3)a2·h＝eq\f(13,3)a2h＝eq\f(26,3)(36h－h(huán)3)，0＜h＜6，從而V′＝eq\f(26,3)(36－3h2)＝26(12－h(huán)2)．令V′＝0，得h＝2eq\r(3)或h＝－2eq\r(3)(舍去)．當(dāng)0＜h＜2eq\r(3)時，V′＞0，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)2eq\r(3)＜h＜6時，V′＜0，V是單調(diào)減函數(shù)．故當(dāng)h＝2eq\r(3)時，V取得極大值，也是最大值．因此，當(dāng)PO1＝2eq\r(3)m[方法技巧]解函數(shù)應(yīng)用題的四步驟[演練沖關(guān)]1．(2024·常州期末)某公園要設(shè)計一個如圖1所示的景觀窗格(其外框可以看成在矩形的四個角處對稱地截去四個全等的三角形所得)，整體設(shè)計方案要求：內(nèi)部井字形的兩根水平橫軸AF＝BE＝1.6米，兩根豎軸CH＝DG＝1.2米．記景觀窗格的外框(如圖2中的實線部分，軸和邊框的粗細(xì)忽視不計)總長度為l米．(1)若∠ABC＝eq\f(2π,3)，且兩根橫軸之間的距離為0.6米，求景觀窗格的外框總長度；(2)由于經(jīng)費有限，景觀窗格的外框總長度不超過5米，當(dāng)景觀窗格的面積(多邊形ABCDEFGH的面積)最大時，求出此景觀窗格的設(shè)計方案中∠ABC的大小與BC的長度．解：(1)記CH與AF，BE的交點分別為M，N，由∠ABC＝eq\f(2π,3)可得∠CBN＝eq\f(π,6)，易知AB＝0.6，CN＝HM＝eq\f(1,2)×(1.2－0.6)＝0.3，所以BC＝eq\f(CN,sin∠CBN)＝eq\f(0.3,sin\f(π,6))＝0.6，BN＝eq\f(CN,tan∠CBN)＝eq\f(0.3,tan\f(π,6))＝eq\f(3\r(3),10)，所以CD＝BE－2BN＝1.6－eq\f(3\r(3),5)＝eq\f(8－3\r(3),5)，則l＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HA＝2AB＋2CD＋4BC＝1.2＋eq\f(16－6\r(3),5)＋2.4＝eq\f(34－6\r(3),5).答：景觀窗格的外框總長度為eq\f(34－6\r(3),5)米．(2)由題意知，l＝2AB＋2CD＋4BC≤5.設(shè)∠CBN＝α，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，BC＝r，則CN＝rsinα，BN＝rcosα，所以AB＝CH－2CN＝1.2－2rsinα，CD＝BE－2BN＝1.6－2rcosα，所以2(1.2－2rsinα)＋2(1.6－2rcosα)＋4r≤5，即4r(sinα＋cosα－1)≥eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).設(shè)景觀窗格的面積為S，則S＝1.2×1.6－2r2sinαcosα≤eq\f(48,25)－eq\f(9sinαcosα,200（sinα＋cosα－1）2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(當(dāng)且僅當(dāng)4r(sinα＋cosα－1)＝eq\f(3,5)時取等號)．令t＝sinα＋cosα(t∈(1，eq\r(2)])，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，所以S≤eq\f(48,25)－eq\f(9×\f(t2－1,2),200（t－1）2)＝eq\f(48,25)－eq\f(9,400)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,t－1)))，其中1＋eq\f(2,t－1)≥1＋eq\f(2,\r(2)－1)(當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\r(2)，即α＝eq\f(π,4)時取等號)．所以S≤eq\f(48,25)－eq\f(9,400)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,t－1)))≤eq\f(48,25)－eq\f(9,400)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,\r(2)－1)))＝eq\f(48,25)－eq\f(9,400)(3＋2eq\r(2))＝eq\f(741,400)－eq\f(9\r(2),200)，即S≤eq\f(741,400)－eq\f(9\r(2),200)(當(dāng)且僅當(dāng)4r(sinα＋cosα－1)＝eq\f(3,5)且α＝eq\f(π,4)時，取等號)，所以當(dāng)且僅當(dāng)r＝eq\f(3（\r(2)＋1）,20)且α＝eq\f(π,4)時，S取得最大值．答：當(dāng)景觀窗格的面積最大時，此景觀窗格的設(shè)計方案中∠ABC＝eq\f(3π,4)且BC＝eq\f(3（\r(2)＋1）,20)米．2．(2024·鹽城三模)如圖，某人承包了一塊矩形土地ABCD用來種植草莓，其中AB＝99m，AD＝49.5m．現(xiàn)安排建立如圖所示的半圓柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)個，每個半圓柱型大棚的兩半圓形底面與側(cè)面都需蒙上塑料薄膜(接頭處忽視不計)，塑料薄膜的價格為每平方米10元；另外，還需在每兩個大棚之間留下1m寬的空地用于建立排水溝與行走小路(如圖中EF＝1(1)當(dāng)n＝20時，求蒙一個大棚所需塑料薄膜的面積；(結(jié)果保留π)(2)試確定大棚的個數(shù)，使得上述兩項費用的和最低．(計算中π取3.14)解：(1)設(shè)每個半圓柱型大棚的底面半徑為r.當(dāng)n＝20時，共有19塊空地，所以r＝eq\f(99－19×1,2×20)＝2(m)，所以每個大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為πr2＋πr×AD＝π×22＋2π×49.5＝103π(m2)，即蒙一個大棚所需塑料薄膜的面積為103πm2.(2)設(shè)兩項費用的和為f(n)．因為r＝eq\f(99－（n－1）×1,2n)＝eq\f(100－n,2n)，所以每個大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為S＝πr2＋πr×AD＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－n,2n)))eq\s\up12(2)＋π×49.5×eq\f(100－n,2n)，則f(n)＝10nS＋31.4×1×49.5(n－1)＝10neq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－n,2n)))\s\up12(2)＋π×49.5×\f(100－n,2n)))＋31.4×1×49.5(n－1)＝31.4×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（100－n）2,4n)＋49.5×\f(100－n,2)＋49.5（n－1）))＝eq\f(31.4,4)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（100－n）2,n)＋99（100－n）＋198（n－1）))＝eq\f(31.4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1002,n)＋100n＋9502))＝eq\f(31.4,4)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(100×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,n)＋n))＋9502))，因為eq\f(100,n)＋n≥2eq\r(\f(100,n)·n)＝20，當(dāng)且僅當(dāng)n＝10時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)n＝10時，f(n)取得最小值，即當(dāng)大棚的個數(shù)為10個時，上述兩項費用的和最低．題型(二)與三角形、多邊形有關(guān)的實際應(yīng)用題主要考查與三角形有關(guān)的實際應(yīng)用題，所建立函數(shù)模型多為三角函數(shù)模型.[典例感悟][例2](2024·江蘇高考)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形態(tài)為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形態(tài)為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為θ.(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．[解](1)如圖，設(shè)PO的延長線交MN于點H，則PH⊥MN，所以O(shè)H＝10.過點O作OE⊥BC于點E，則OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ·(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，△CDP的面積為eq\f(1,2)×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1600(cosθ－sinθcosθ)．過點N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于點G和K，則GK＝KN＝10.連結(jié)OG，令∠GOK＝θ0，則sinθ0＝eq\f(1,4)，θ0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).當(dāng)θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ0，\f(π,2)))時，才能作出滿意條件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).答：矩形ABCD的面積為800(4sinθcosθ＋cosθ)平方米，△CDP的面積為1600(cosθ－sinθcosθ)平方米，sinθ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).(2)因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k(k>0)，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k＞0)，則年總產(chǎn)值為4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1600(cosθ－sinθcosθ)＝8000k(sinθcosθ＋cosθ)，θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ0，\f(π,2))).設(shè)f(θ)＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ0，\f(π,2)))，則f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1)．令f′(θ)＝0，得θ＝eq\f(π,6)，當(dāng)θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ0，\f(π,6)))時，f′(θ)＞0，所以f(θ)為增函數(shù)；當(dāng)θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))時，f′(θ)＜0，所以f(θ)為減函數(shù)．所以當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時，f(θ)取到最大值．答：當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．[方法技巧]三角應(yīng)用題的解題策略(1)解三角應(yīng)用題是數(shù)學(xué)學(xué)問在生活中的應(yīng)用，要想解決好，就要把實際問題抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后求解．(2)解三角應(yīng)用題常見的兩種狀況：①實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．②實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．(3)三角函數(shù)的值域或最值的求解方法一般有化歸法、換元法、導(dǎo)數(shù)法．[演練沖關(guān)](2024·南通等七市一模)如圖1，一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部分為矩形ABCD，AB，AD的長分別為2eq\r(3)m和4m，上部分是圓心為O的劣弧CD，∠COD＝eq\f(2π,3)(1)求圖1中拱門最高點到地面的距離；(2)現(xiàn)欲以B點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形ABCD所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示．設(shè)BC與地面水平線l所成的角為θ，記拱門上的點到地面的最大距離為h，試用θ的函數(shù)表示h，并求出h的最大值．解：(1)如圖1，過O作與地面垂直的直線，分別交AB，CD于點O1，O2，交劣弧CD于點E，O1E的長即拱門最高點到地面的距離．在Rt△O2OC中，∠O2OC＝eq\f(π,3)，CO2＝eq\r(3)，所以O(shè)O2＝1，圓的半徑R＝OC＝2.所以O(shè)1E＝R＋O1O2－OO2＝5.(2)在拱門放倒過程中，過點O作與地面垂直的直線，與“拱門外框”相交于點P.當(dāng)點P在劣弧CD上(不含點D)時，拱門上的點到地面的最大距離h等于圓O的半徑長與圓心O到地面的距離之和；當(dāng)點P在線段AD上時，拱門上的點到地面的最大距離h等于點D到地面的距離．連接OB，由(1)知，在Rt△OO1B中，OB＝eq\r(OOeq\o\al(2,1)＋O1B2)＝2eq\r(3).以B為坐標(biāo)原點，水平線l為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．①如圖2，當(dāng)點P在劣弧CD上(不含點D)時，eq\f(π,6)<θ≤eq\f(π,2).由∠OBx＝θ＋eq\f(π,6)，OB＝2eq\r(3)，得Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，2\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))，則h＝2＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6))).所以當(dāng)θ＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,3)時，h取得最大值，為2＋2eq\r(3).②如圖3，當(dāng)點P在線段AD上時，0≤θ≤eq\f(π,6).連接BD，設(shè)∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，DB＝eq\r(BC2＋CD2)＝2eq\r(7)，則sinφ＝eq\f(2\r(3),2\r(7))＝eq\f(\r(21),7)，cosφ＝eq\f(4,2\r(7))＝eq\f(2\r(7),7).由∠DBx＝θ＋φ，得D(2eq\r(7)cos(θ＋φ)，2eq\r(7)sin(θ＋φ))．所以h＝2eq\r(7)sin(θ＋φ)＝4sinθ＋2eq\r(3)cosθ.又當(dāng)0<θ<eq\f(π,6)時，h′＝4cosθ－2eq\r(3)sinθ>4coseq\f(π,6)－2eq\r(3)sineq\f(π,6)＝eq\r(3)>0，所以h＝4sinθ＋2eq\r(3)cosθ在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上單調(diào)遞增．所以當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時，h取得最大值，為5.又2＋2eq\r(3)>5，所以h的最大值為2＋2eq\r(3).答：(1)拱門最高點到地面的距離為5m(2)h＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4sinθ＋2\r(3)cosθ，0≤θ≤\f(π,6)，,2＋2\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，\f(π,6)<θ≤\f(π,2).))藝術(shù)拱門在放倒的過程中，拱門上的點到地面的最大距離h的最大值為(2＋2eq\r(3))m.題型(三)與圓有關(guān)的實際應(yīng)用題主要考查與直線和圓有關(guān)的實際應(yīng)用題，在航海與建筑規(guī)劃中的實際問題中常見.[典例感悟][例3](2024·江蘇高考)如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型馬路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)．規(guī)劃在馬路l上選兩個點P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA，規(guī)劃要求：線段PB，QA上的全部點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A，B到直線l的距離分別為AC和BD(C，D為垂足)，測得AB＝10，AC＝6，BD＝12(單位：百米)．(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；(3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d(單位：百米)，求當(dāng)d最小時，P，Q兩點間的距離．[解]eq\a\vs4\al(法一：)(1)如圖①，過A作AE⊥BD，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因為PB⊥AB，所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).所以PB＝eq\f(BD,cos∠PBD)＝eq\f(12,\f(4,5))＝15.因此道路PB的長為15(百米)．(2)均不能．理由如下：①若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段BE上的點(除B，E)到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿意規(guī)劃要求．②若Q在D處，連接AD，由(1)知AD＝eq\r(AE2＋ED2)＝10，從而cos∠BAD＝eq\f(AD2＋AB2－BD2,2AD·AB)＝eq\f(7,25)>0，所以∠BAD為銳角．所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑．因此Q選在D處也不滿意規(guī)劃要求．綜上，P和Q均不能選在D處．(3)先探討點P的位置．當(dāng)∠OBP＜90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時，對線段PB上隨意一點F，OF≥OB，即線段PB上全部點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求．當(dāng)∠OBP＝90°時，設(shè)P1為l上一點，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此時P1D＝P1Bsin∠P1BD＝P1Bcos∠EBA＝15×eq\f(3,5)＝9；當(dāng)∠OBP>90°時，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再探討點Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求．當(dāng)QA＝15時，CQ＝eq\r(AQ2－AC2)＝eq\r(152－62)＝3eq\r(21).此時，線段QA上全部點到點O的距離均不小于圓O的半徑．綜上，當(dāng)PB⊥AB，點Q位于點C右側(cè)，且CQ＝3eq\r(21)時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3eq\r(21).因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17＋3eq\r(21)(百米)．eq\a\vs4\al(法二：)(1)如圖②，過O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．因為BD＝12，AC＝6，所以O(shè)H＝9，直線l的方程為y＝9，點A，B的縱坐標(biāo)分別為3，－3.因為AB為圓O的直徑，AB＝10，所以圓O的方程為x2＋y2＝25.從而A(4，3)，B(－4，－3)，直線AB的斜率為eq\f(3,4).因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為－eq\f(4,3)，直線PB的方程為y＝－eq\f(4,3)x－eq\f(25,3).所以P(－13，9)，PB＝eq\r(（－13＋4）2＋（9＋3）2)＝15.因此道路PB的長為15(百米)．(2)均不能．理由如下：①若P在D處，取線段BD上一點E(－4，0)，則EO＝4<5，所以P選在D處不滿意規(guī)劃要求．②若Q在D處，連接AD，由(1)知D(－4，9)，又A(4，3)，所以線段AD：y＝－eq\f(3,4)x＋6(－4≤x≤4)．在線段AD上取點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，因為OM＝eq\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))\s\up12(2))<eq\r(32＋42)＝5，所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑．因此Q選在D處也不滿意規(guī)劃要求．綜上，P和Q均不能選在D處．(3)先探討點P的位置．當(dāng)∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時，對線段PB上隨意一點F，OF≥OB，即線段PB上全部點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求．當(dāng)∠OBP＝90°時，設(shè)P1為l上一點，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此時P1(－13，9)；當(dāng)∠OBP>90°時，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再探討點Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求．當(dāng)QA＝15時，設(shè)Q(a，9)，由AQ＝eq\r(（a－4）2＋（9－3）2)＝15(a>4)，得a＝4＋3eq\r(21)，所以Q(4＋3eq\r(21)，9)．此時，線段QA上全部點到點O的距離均不小于圓O的半徑．綜上，當(dāng)P(－13，9)，Q(4＋3eq\r(21)，9)時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ＝4＋3eq\r(21)－(－13)＝17＋3eq\r(21).因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17＋3eq\r(21)(百米)．[方法技巧]與圓有關(guān)應(yīng)用題的求解策略(1)在與圓有關(guān)的實際應(yīng)用題中，有些時候，在條件中沒有干脆給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)覺圓(或圓的方程),從而最終可以利用圓的學(xué)問來求解，如本例，需通過條件到兩個定點A，B的距離之比為定值3來確定動點(攔截點)的軌跡是圓．(2)與直線和圓有關(guān)的實際應(yīng)用題一般都可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系或者轉(zhuǎn)化為直線和圓中的最值問題．[演練沖關(guān)](2024·南京三模)如圖，某摩天輪底座中心A與旁邊的景觀內(nèi)某點B之間的距離AB為160m．摩天輪與景觀之間有一建筑物，此建筑物由一個底面半徑為15m的圓柱體與一個半徑為15m的半球體組成．圓柱的底面中心P在線段AB上，且PB為45m．半球體球心Q到地面的距離PQ為15m．把摩天輪看作一個半徑為72m的圓C，且圓C在平面BPQ內(nèi)，點C到地面的距離CA為75m．該摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周須要30min，若某游客乘坐該摩天輪(把游客看作圓C解：以點B為坐標(biāo)原點，BP所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)．過點B作直線l與半圓Q相切，與圓C交于點M，N，連接CM，CN，過點C作CH⊥MN，垂足為H.設(shè)直線l的方程為y＝kx，即kx－y＝0，則點Q到l的距離為eq\f(|45k－15|,\r(k2＋1))＝15，解得k＝eq\f(3,4)或k＝0(舍)．所以直線l的方程為y＝eq\f(3,4)x，即3x－4y＝0.所以點C(160，75)到直線l的距離CH＝eq\f(|3×160－4×75|,\r(32＋（－4）2))＝36.因為在Rt△CHM中，CH＝36，CM＝72，所以cos∠MCH＝eq\f(36,72)＝eq\f(1,2).又∠MCH∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠MCH＝eq\f(π,3)，所以∠MCN＝2∠MCH＝eq\f(2π,3)，所以該游客能看到點B的時長為30×eq\f(\f(2π,3),2π)＝10(min)．答：該游客能看到點B的時長為10min.eq\a\vs4\al([課時達標(biāo)訓(xùn)練])A組——大題保分練1.如圖，為愛護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形愛護區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；愛護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上隨意一點的距離均不少于80m．經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝eq\f(4,3).(1)求新橋BC的長；(2)當(dāng)OM多長時，圓形愛護區(qū)的面積最大？解：法一：(1)如圖(1)，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.由條件知A(0，60)，C(170，0)，直線BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－eq\f(4,3).又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率kAB＝eq\f(3,4).設(shè)點B的坐標(biāo)為(a，b)，則kBC＝eq\f(b－0,a－170)＝－eq\f(4,3)，①kAB＝eq\f(b－60,a－0)＝eq\f(3,4).②聯(lián)立①②解得a＝80，b＝120.所以BC＝eq\r(（170－80）2＋（0－120）2)＝150.因此新橋BC的長是150m(2)設(shè)愛護區(qū)的邊界圓M的半徑為rm，OM＝dm(0≤d≤60)．由條件知，直線BC的方程為y＝－eq\f(4,3)(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圓M與直線BC相切，故點M(0，d)到直線BC的距離是r，即r＝eq\f(|3d－680|,\r(42＋32))＝eq\f(680－3d,5).因為O和A到圓M上隨意一點的距離均不少于80m所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r－d≥80，,r－（60－d）≥80，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(680－3d,5)－d≥80，,\f(680－3d,5)－（60－d）≥80.))解得10≤d≤35.故當(dāng)d＝10時，r＝eq\f(680－3d,5)最大，即圓面積最大．所以當(dāng)OM＝10m時，法二：(1)如圖(2)，延長OA，CB交于點F.因為tan∠FCO＝eq\f(4,3)，所以sin∠FCO＝eq\f(4,5)，cos∠FCO＝eq\f(3,5).因為OA＝60，OC＝170，所以O(shè)F＝OCtan∠FCO＝eq\f(680,3)，CF＝eq\f(OC,cos∠FCO)＝eq\f(850,3)，從而AF＝OF－OA＝eq\f(500,3).因為OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝eq\f(4,5).又因為AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝eq\f(400,3)，從而BC＝CF－BF＝150.因此新橋BC的長是150m(2)設(shè)愛護區(qū)的邊界圓M與BC的切點為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD＝rm，OM＝dm(0≤d≤60)．因為OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝eq\f(MD,MF)＝eq\f(MD,OF－OM)＝eq\f(r,\f(680,3)－d)＝eq\f(3,5)，所以r＝eq\f(680－3d,5).因為O和A到圓M上隨意一點的距離均不少于80m所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r－d≥80，,r－（60－d）≥80，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(680－3d,5)－d≥80，,\f(680－3d,5)－（60－d）≥80.))解得10≤d≤35.故當(dāng)d＝10時，r＝eq\f(680－3d,5)最大，即圓面積最大．所以當(dāng)OM＝10m時，圓形愛護區(qū)的面積最大．2．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)一模)某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進行配套綠化．已知空地的一邊是直路AB，余下的外圍是拋物線的一段弧，直路AB的垂直平分線OP恰是該拋物線的對稱軸(如圖)．?dāng)M在這個空地上劃出一個等腰梯形ABCD區(qū)域種植草坪，其中A，B，C，D均在該拋物線上．經(jīng)測量，直路AB長為40米，拋物線的頂點P到直路AB的距離為40米．設(shè)點C到拋物線的對稱軸的距離為m米，到直路AB的距離為n米．(1)求出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m為多大時，等腰梯形草坪ABCD的面積最大？并求出其最大值．解：(1)以路AB所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－20，0)，B(20，0)，P(0，40)．∵曲線段APB為拋物線的一段弧，∴可以設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－20)(x＋20)，將P(0，40)代入得40＝－400a，解得a＝－eq\f(1,10)，∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,10)(400－x2)．∵點C在拋物線上，∴n＝eq\f(1,10)(400－m2)，0<m<20.(2)設(shè)等腰梯形ABCD的面積為S，則S＝eq\f(1,2)×(2m＋40)×eq\f(1,10)(400－m2)，S＝eq\f(1,10)(－m3－20m2＋400m＋8000)，S′＝eq\f(1,10)(－3m2－40m＋400)＝－eq\f(1,10)(3m－20)(m＋20)，令S′＝0，得m＝eq\f(20,3).meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20,3)))eq\f(20,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)，20))S′＋0－S極大值∴當(dāng)m＝eq\f(20,3)時，等腰梯形ABCD的面積最大，最大值為eq\f(25600,27)平方米．3．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)二模)某工廠擬制造一個如圖所示的容積為36π立方米的有蓋圓錐形容器．(1)若該容器的底面半徑為6米，求該容器的表面積；(2)當(dāng)容器的高為多少米時，制造該容器的側(cè)面用料最??？解：設(shè)圓錐形容器的底面半徑為r米，高為h米，母線長為l米，側(cè)面積為S平方米，容積為V立方米，則V＝36π.(1)由r＝6，V＝eq\f(1,3)πr2h＝36π，得h＝3，所以S＝πrl＝πreq\r(r2＋h2)＝6πeq\r(62＋32)＝18eq\r(5)π.易知該容器的底面積為πr2＝36π(平方米)，所以該容器的表面積為18eq\r(5)π＋36π＝18(2＋eq\r(5))π(平方米)．答：該容器的表面積為18(2＋eq\r(5))π平方米．(2)因為V＝eq\f(1,3)πr2h＝36π，所以r2＝eq\f(3×36π,πh)＝eq\f(108,h)，其中h>0.則S＝πrl＝πreq\r(r2＋h2)＝πeq\r(r4＋r2h2)＝πeq\r(\f(1082,h2)＋\f(108,h)h2)＝πeq\r(\f(1082,h2)＋108h)＝πeq\r(108)eq\r(\f(108,h2)＋h)，記f(h)＝eq\f(108,h2)＋h(h>0)，則f′(h)＝－eq\f(216,h3)＋1＝eq\f(h3－216,h3)，令f′(h)＝0，得h＝6.當(dāng)h∈(0，6)時，f′(h)<0，f(h)在(0，6)上單調(diào)遞減；當(dāng)h∈(6，＋∞)時，f′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上單調(diào)遞增．所以，當(dāng)h＝6時，f(h)最小，此時S最小，最小值為18eq\r(3)π.答：當(dāng)容器的高為6米時，制造容器的側(cè)面用料最?。?．(2024·南京四校聯(lián)考)如圖，某生態(tài)園區(qū)P的旁邊有兩條相交成45°角的直路l1，l2，交點是O，P到直路l1的距離為1km，到直路l2的距離為eq\r(2)km，現(xiàn)打算修建一條通過該生態(tài)園區(qū)的直路AB，分別與直路l1，l2交于點A，B.(1)當(dāng)AB的中點為P時，求直路AB的長度；(2)求△AOB面積的最小值．解：以直路l1所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．因為直路l1，l2相交成45°角，所以直路l2所在直線的方程為x－y＝0.因為P到直路l1的距離為1km，到直路l2的距離為eq\r(2)km，所以可設(shè)P(x0，1)(x0>1)，所以eq\f(x0－1,\r(2))＝eq\r(2)，解得x0＝3，所以P(3，1)．(1)法一：設(shè)B(a，a)，因為P(3，1)是AB的中點，所以A(6－a，2－a)．由于A在x軸上，所以2－a＝0，即a＝2.所以A(4，0)，B(2，2)，AB＝eq\r(（4－2）2＋（0－2）2)＝2eq\r(2).所以直路AB的長度為2eq\r法二：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，不滿意題意，舍去．當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的斜率為k，由題意知k>1或k<0，則直線AB的方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,k)，0)).聯(lián)立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,kx－y－3k＋1＝0，))可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－1,k－1)，\f(3k－1,k－1))).由P(3，1)是AB的中點，得eq\f(3k－1,k－1)＝2，解得k＝－1，所以A(4，0)，B(2，2)，AB＝eq\r(（4－2）2＋（0－2）2)＝2eq\r(2).所以直路AB的長度為2eq\r(2)設(shè)B(a，a)(a>1)，當(dāng)a＝3時，A(3，0)，所以△AOB的面積為eq\f(9,2)km2.當(dāng)a>1且a≠3時，設(shè)直線AB的方程為y－1＝eq\f(a－1,a－3)(x－3)．令y＝0，得x＝eq\f(2a,a－1)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,a－1)，0))，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(2a,a－1)×a＝(a－1)＋eq\f(1,a－1)＋2≥2eq\r(（a－1）×\f(1,a－1))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝eq\f(1,a－1)，即a＝2時取等號．又eq\f(9,2)>4，所以△AOB面積的最小值為4km2.B組——大題增分練1．(2024·揚州期末)為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃成休閑草坪，休閑草坪的形態(tài)為如圖所示的四邊形ABCD，其中AB＝3百米，AD＝eq\r(5)百米，且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形．?dāng)M修建兩條小路AC，BD(路的寬度忽視不計)，設(shè)∠BAD＝θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).(1)當(dāng)cosθ＝－eq\f(\r(5),5)時，求小路AC的長度；(2)當(dāng)草坪ABCD的面積最大時，求小路BD的長度．解：(1)在△ABD中，由BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosθ，得BD2＝14－6eq\r(5)cosθ，又cosθ＝－eq\f(\r(5),5)，∴BD＝2eq\r(5).∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq\f(2,\r(5)).在△ABD中，由eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，得eq\f(2\r(5),\f(2,\r(5)))＝eq\f(3,sin∠ADB)，解得sin∠ADB＝eq\f(3,5).∵△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形，∴∠CDB＝eq\f(π,2)且CD＝BD＝2eq\r(5)，∴cos∠ADC＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ADB＋\f(π,2)))＝－sin∠ADB＝－eq\f(3,5).在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝(eq\r(5))2＋(2eq\r(5))2－2×eq\r(5)×2eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝37，得AC＝eq\r(37)，所以當(dāng)cosθ＝－eq\f(\r(5),5)時，小路AC的長度為eq\r(37)百米．(2)由(1)得BD2＝14－6eq\r(5)cosθ，S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×3×eq\r(5)×sinθ＋eq\f(1,2)×BD2＝7＋eq\f(3\r(5),2)sinθ－3eq\r(5)cosθ＝7＋eq\f(3\r(5),2)(sinθ－2cosθ)＝7＋eq\f(15,2)sin(θ－φ)，其中sinφ＝eq\f(2,\r(5))，cosφ＝eq\f(1,\r(5))，且φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).當(dāng)θ－φ＝eq\f(π,2)，即θ＝φ＋eq\f(π,2)時，四邊形ABCD的面積最大，此時sinθ＝eq\f(1,\r(5))，cosθ＝－eq\f(2,\r(5))，∴BD2＝14－6eq\r(5)cosθ＝14－6eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(5))))＝26，∴BD＝eq\r(26)，∴當(dāng)草坪ABCD的面積最大時，小路BD的長度為eq\r(26)百米．2．(2024·南京鹽城二模)某公園內(nèi)有一塊以O(shè)為圓心、半徑為20米的圓形區(qū)域．為豐富市民的業(yè)余文化生活，現(xiàn)提出如下設(shè)計方案：如圖，在圓形區(qū)域內(nèi)搭建露天舞臺，舞臺為扇形OAB(劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))所對的扇形)所在的區(qū)域，其中點A，B均在圓O上，觀眾席為梯形ABQP以內(nèi)、圓O以外的區(qū)域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝eq\f(2π,3)，且AB，PQ在點O的同側(cè)．為保證視聽效果，要求觀眾席內(nèi)的每一位觀眾到舞臺O處的距離都不超過60米(即要求PO≤60)．設(shè)∠OAB＝α，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).問：對于隨意的α，上述設(shè)計方案是否均能符合要求？解：過點O作OH垂直于AB，垂足為H.在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα，所以AB＝AP＝BQ＝40cosα.由題圖可知，觀眾席內(nèi)點P，Q處的觀眾離點O處最遠(yuǎn)．連接OP，在△OAP中，由余弦定理可知，OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝400＋(40cosα)2－2×20×40cosα·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cosα－\f(\r(3),2)sinα))＝400(6cos2α＋2eq\r(3)sinαcosα＋1)＝400(3cos2α＋eq\r(3)sin2α＋4)＝800eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＋1600.因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以當(dāng)2α＝eq\f(π,6)，即α＝eq\f(π,12)時，OP2取得最大值，(OP2)max＝800eq\r(3)＋1600，即(OP)max＝20eq\r(3)＋20.同理，連接OQ，在△OBQ中，(OQ)max＝20eq\r(3)＋20.因為20eq\r(3)＋20<60，所以觀眾席內(nèi)的每一位觀眾到舞臺O處的距離都不超過60米．故對于隨意的α，上述設(shè)計方案均能符合要求．3．(2024·無錫期末)我國堅持精準(zhǔn)扶貧，確保至2024年農(nóng)村貧困人口實現(xiàn)脫貧．現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實施脫貧工作，經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100家，他們均從事水果種植工作，2024年底該村平均每戶年純收入為1萬元，扶貧工作組一方面請有關(guān)專家對水果進行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其人數(shù)必需小于種植的人數(shù)．從2024年初起先，若該村抽出5x戶(x∈Z，1≤x≤9)從事水果包裝、銷售工作．經(jīng)測算，剩下從事水果種植農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高eq\f(x,20)，而從事包裝、銷售農(nóng)戶的年純收入每戶平均為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,4)x))萬元．(參考數(shù)據(jù)：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)(1)至2024年底，為使從事水果種植的農(nóng)戶能實現(xiàn)脫貧(每戶年均純收入不低于1.6萬)，則至少應(yīng)抽出多少戶從事包裝、銷售工作？(2)至2024年底，該村每戶年均純收入能否達到1.35萬元？若能，懇求出從事包裝、銷售工作的戶數(shù)；若不能，請說明理由．解：(1)由題意得1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,20)))eq\s\up12(3)≥1.6，∵5x＜100－5x，∴x∈Z，1≤x＜10.函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,20)))eq\s\up12(3)在x∈[1，9]上單調(diào)遞增，由數(shù)據(jù)知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，所以eq\f(x,20)≥0.2，得x≥4，則5x≥20.答：至少抽出20戶從事包裝、銷售工作．(2)假設(shè)該村每戶年均純收入能達到1.35萬元，由題意得，不等式eq\f(1,100)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,4)x))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,20)))（100－5x）))≥1.35有正整數(shù)解，化簡整理得3x2－30x＋70≤0，所以－eq\f(\r(15),3)≤x－5≤eq\f(\r(15),3).因為3<eq\r(15)<4，且x∈Z，所以－1≤x－5≤1，即4≤x≤6.答：至2024年底，該村每戶年均純收入能達到1.35萬元，此時從事包裝、銷售工作的農(nóng)戶數(shù)為20戶，25戶或30戶．4．(2024·蘇州期末)如圖，長途車站P與地鐵站O的直線距離為eq\r(5)千米，從地鐵站O動身有兩條道路l1，l2，經(jīng)測量，l1，l2的夾角為eq\f(π,4)，OP與l1的夾角θ滿意tanθ＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中0<θ<\f(π,