2024-2025學年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學期開學摸底考數(shù)學學情檢測試題合集2套（附解析）

2024-2025學年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學期開學摸底考數(shù)學學情檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列2，，，，，，，則是這個數(shù)列的（）A.第20項 B.第21項 C.第22項 D.第19項2．已知等差數(shù)列an的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．3．設公差的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.4．數(shù)列的前n項和為，且，，則數(shù)列的前n項和為（）A. B.C. D.5．記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件6．已知數(shù)列的前項和為．若，則（）A.48 B.50 C.52 D.547．已知函數(shù)，若數(shù)列滿足且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．在正項等比數(shù)列中，．則滿足的最大正整數(shù)的值為（）A.12 B.11 C.9 D.10二、多選題（本大題共3小題）9．已知數(shù)列的前n項和為，則下列結論正確的是（）A.若是等差數(shù)列，且，則B.若是等比數(shù)列，且，則C.若，則是等差數(shù)列D.若是公比大于1的等比數(shù)列，則10．數(shù)列的前項和為，若，則有（）A. B.為等比數(shù)列 C. D.為等比數(shù)列11．設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件：，，下列結論正確的是（）A.B.C.是數(shù)列中的最大值D.數(shù)列無最大值三、填空題（本大題共3小題）12．已知是公比為的等比數(shù)列，若，則.13．數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為______．14．鎮(zhèn)江中學學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折5次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______．四、解答題（本大題共5小題）15．已知an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．（1）求an（2）求數(shù)列前n項和．16．記為等差數(shù)列的前項和，已知．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．17．記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．18．已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設為數(shù)列的前項和.若對任意的恒成立，求k的取值范圍.19．設等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．（1）若，（?。┣蟮耐椆?；（ⅱ）若數(shù)列的前項和為，求．（2）若為等差數(shù)列，且，求．

參考答案1．【答案】A【分析】令，解出即可得.【詳解】令，解得，即是這個數(shù)列的第項.故選：A.2．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質根據(jù)等差數(shù)列的性質，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D3．【答案】A【分析】由題意可得，根據(jù)求解即可.【詳解】因為公差的等差數(shù)列an中，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.故選：A.4．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用的關系求出，再利用裂項相消法求和即得.【詳解】數(shù)列的前n項和，當時，，而滿足上式，因此，，所以.故選：D5．【答案】C【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選C.6．【答案】C【分析】根據(jù)得到，，，，相加得到答案.【詳解】因為，所以，，，，所以故選：C7．【答案】C【分析】在上單調(diào)遞增，結合函數(shù)圖象，得到不等式，求出.【詳解】由題意可知，在上單調(diào)遞增，由于和均為單調(diào)函數(shù)，故，解得.故選：C8．【答案】D【分析】求出等比數(shù)列的公比和首項，可得數(shù)列的通項公式和及的表達式，化簡可得關于n的不等式，解之可得n的范圍，取上限的整數(shù)部分即可得答案.【詳解】設正項等比數(shù)列公比為，則，由題意可得，解之可得，，故其通項公式為．記，．由題意可得，即，化簡得，由且，因此只須，即，解得，由于n為正整數(shù)，因此n最大為的整數(shù)部分，也就是10．故選：D.9．【答案】AB【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式判斷選項AB;利用判斷選項C；通過舉例，判斷選項D.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，則，且，故，故A正確；對于B，若是等比數(shù)列，則當時，，且，則；當時，，舍去，故B正確；對于C，若，則，，，故，所以不是等差數(shù)列，故C錯誤；對于D，若，則,此時，不滿足，故D錯誤.故選：AB10．【答案】AD【分析】BC選項，根據(jù)得到，從而得到BC錯誤；A選項，結合等比數(shù)列求和公式得到A正確；D選項，計算出，得到D正確.【詳解】BC選項，①，當時，，當時，②，①-②得，故，故從第二項開始，為公比為3的等比數(shù)列，B錯誤；故，C錯誤；A選項，，A正確；D選項，，故為等比數(shù)列，D正確.故選：AD11．【答案】ABC【分析】根據(jù)條件判斷，分和兩情況討論得成立與否得出，即可判斷A；對于B，利用A的結論和等比數(shù)列項的性質即可判定；對于C，D，由前面推得的即可判斷.【詳解】對于A，由可得，（*），由可得.當時，因，則，即（*）不成立；當時，，（*）成立，故，即A正確；對于B，因，故B正確；對于C,D，由上分析，且，則是數(shù)列中的最大值，故C正確，D錯誤.故選：ABC.12．【答案】25【分析】由等比數(shù)列的性質即可求解.【詳解】因為所以故答案為：2513．【答案】【分析】利用數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項公式，將，經(jīng)化簡可知新的數(shù)列是等差數(shù)列，在變形可求得.【詳解】由題意知將等式兩邊同時除以，可得，因為，所以可知，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：14．【答案】①.②.分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結果.【詳解】第一空：由對折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，所以對折三次的結果有：，，共4種不同規(guī)格；對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，共5種不同規(guī)格；對折5次可得到如下規(guī)格：，，，，，共6種不同規(guī)格；第二空：由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對折后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為,第次對折后的圖形面積為，對于第此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)為種，則，，兩式作差得：，因此.故答案為：①；②.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結構，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結構，利用分組求和法；（4）對于結構，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.15．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)條件求等比數(shù)列的公比，再寫出通項公式；（2）代入等比數(shù)列前項和公式，即可求解.【詳解】(1)因為數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，所以令數(shù)列an的公比為q，，，所以，解得（舍去）或4，所以數(shù)列an是首項為2、公比為4的等比數(shù)列，．(2)因為，求和可得：．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：.17．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）因為，所以，所以,又因為是公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以當時，，所以，整理得，即，所以，顯然對于也成立，所以的通項公式；（2）因為所以.【關鍵點撥】常見的裂項：①；②；③.18．【答案】（1）（2）【分析】（1）運用公式，已知求即可；（2）求出，后運用錯位相減求出，后結合函數(shù)單調(diào)性可解．【詳解】（1）①，且，當時，代入①得；當時，.②①-②得，整理得，因為，所以，所以數(shù)列an為等差數(shù)列，公差為1，所以.（2），，③，④③-④得，所以，所以，且，化簡得，令，所以，所以的最大值為，所以.所以的取值范圍為.19．【答案】（1）（?。唬áⅲ?）【分析】（1）由等差數(shù)列基本量的計算以及的定義即可求解；（2）由等差數(shù)列前n項和基本量的計算結合分類討論即可求解.【詳解】（1）（ⅰ）由，得，解得，則，又，有，即，解得或（舍去），所以.（ⅱ），則，則.（2）若bn為等差數(shù)列，則有，即，得，即，解得或，由，則，又，，由等差數(shù)列性質知，，即，得，即，解得或（舍去），當時，，解得，與矛盾，無解；當時，，解得.時，，，符合題意，所以等差數(shù)列an的公差.2024-2025學年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學期開學摸底考數(shù)學學情檢測試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．兩條平行直線和之間的距離是（

）A． B． C．1 D．3．直線與直線垂直，則實數(shù)m的值為（

）A． B．1 C．2 D．或4．事件A與B獨立，、分別是A、B的對立事件，則下列命題中成立的是（

）A． B．C． D．5．已知，，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知圓C：，直線l：．則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知是直線上一點，，分別是圓和上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．8．已知直線與圓交于不同的兩點，O是坐標原點，且有，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，，，則下列結論正確的是（

）A．當時，直線的傾斜角為 B．直線過定點C．當時，直線在軸上的截距為 D．當時，直線與直線平行10．下列結論正確的是（

）A．已知點在圓上，則的最大值是4B．已知直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為C．已知是圓外一點，直線的方程是，則直線與圓相離D．若圓上恰有兩點到點的距離為1，則的取值范圍是11．如圖所示，在矩形中，，，平面，且，點為線段（除端點外）上的動點，沿直線將翻折到，則下列說法中正確的是（

）A．存在點，使平面.B．當點固定在線段的某位置時，點的運動軌跡為圓C．點到平面的距離為D．異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．若，則．13．若曲線與直線有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是．14．已知圓C：，若直線上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為，則實數(shù)k的取值范圍是四、解答題（本大題共5小題）15．已知兩直線和的交點為．(1)直線過點且與直線平行，求直線的一般式方程；(2)圓過點且與相切于點，求圓的一般方程．16．已知以點為圓心的圓與______，過點的動直線l與圓A相交于M，N兩點．從①直線相切；②圓關于直線對稱．這2個條件中任選一個，補充在上面問題的橫線上并回答下列問題．(1)求圓A的方程；(2)當時，求直線l的方程．17．已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且滿足．(1)求角；(2)若點在線段上，且平分，若，且，求的面積．18．如圖，四棱錐的側面是邊長為2的正三角形，底面為矩形，且平面平面，，分別為，的中點，二面角的正切值為2.(1)求四棱錐的體積；(2)證明：(3)求直線與平面所成角的正弦值.19．已知定點，，動點M滿足.(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)設，過點T作與x軸不重合的直線l交曲線C于E、F兩點．（i）過點T作與直線l垂直的直線m交曲線C于G、H兩點，求四邊形EGFH面積的最大值；（ii）設曲線C與x軸交于P、Q兩點，直線PE與直線QF相交于點N，試討論點N是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．

參考答案1．【答案】C【詳解】，所以，故選：C.2．【答案】B【詳解】由題意知，兩平行直線方程可變形為：，所以此兩平行直線之間的距離為.故選：B3．【答案】D【詳解】因為兩直線垂直，所以，解得或.故選：D4．【答案】C【詳解】A：由題意知，，故A錯誤；B：由題意知，，故B錯誤；C：事件A與B獨立，、分別是A、B的對立事件，所以A與獨立，則，故C正確；D：，故D錯誤．故選：C5．【答案】C【詳解】因為，所以，即，又因為，設的夾角為，所以，在上的投影為：，所以在上的投影向量為.故選：C.6．【答案】A【詳解】直線l：，令，解得，所以直線l恒過定點，圓C：的圓心為，半徑為，且，即P在圓內(nèi)，當時，圓心C到直線l的距離最大為，此時，直線l被圓C截得的弦長最小，最小值為．故選：A．7．【答案】C【詳解】圓，則圓心，，圓，則圓心，，因為，則兩圓心在直線的同側．又圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，則兩圓在直線的同側且與直線相離，如圖所示，圓心關于直線的對稱點為，則，解得，，所以，所以，當且僅當、、三點共線時等號成立；即的最小值為.故選：C．8．【答案】C【分析】設中點為C，由條件得出與的關系結合點到直線的距離解不等式即可.【詳解】設中點為C，則，∵，∴，∴，∵，即，又∵直線與圓交于不同的兩點，∴，故，則，.故選C．9．【答案】BD【詳解】對于A，當時，直線的斜率，則其傾斜角為，A錯誤；對于B，當時，，則直線過定點，B正確；對于C，當時，，則當時，，則其在軸上的截距為，C錯誤；對于D，當時，直線斜率；又，，直線與直線平行，D正確.故選：BD.10．【答案】AD【詳解】A選項，因為點Px,y在圓上，所以，當時，取得最大值4，故A正確；B選項，由，所以，即直線過點，因為直線和線段相交，故只需或，故B錯誤；C選項，圓的圓心到直線的距離，而點是圓外一點，所以，所以，所以直線與圓相交，故C錯誤；D選項，與點的距離為1的點在圓上，由題意知圓與圓相交，所以圓心距，滿足，解得，故D正確.故選：AD11．【答案】BCD【詳解】解：對A，無論在（端點除外）的哪個位置，均不與垂直，故不與平面垂直，故A錯；對B，當點固定在線段的某位置時，線段的長度為定值，，過作于點，為定點，的長度為定值，且在過點與垂直的平面內(nèi)，故的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故B對；對C，以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標系，則A0,0,0，，，．，設平面的法向量為n=x,y,z，取，則點A到平面的距離為，故C對；選項D：設，，BC=0,1,0，，設與所成的角為，則，故D正確.故選：BCD．12．【答案】/0.25【詳解】由已知，故答案為：.13．【答案】【詳解】由可得，即曲線表示以原點為圓心，2為半徑的圓的上半部分，畫出圖形，可得當直線經(jīng)過點A?2,0時，，當直線與曲線相切時，由圓心到直線的距離可得，由圖可得，所以要使直線與曲線有兩個公共點，則.故選：C.

故答案為：14．【答案】或．【詳解】圓，則圓心為，半徑，設兩切點為，則，因為，在中，，所以,因此只要直線上存在點，使得即可滿足題意．圓心，所以圓心到直線的距離，解得或．故答案為：或．

15．【答案】(1)．(2)．【詳解】（1）直線與直線平行，故設直線為，聯(lián)立方程組，解得．直線和的交點．又直線過點，則，解得，即直線的方程為．（2）設所求圓的標準方程為，的斜率為，故直線的斜率為1，由題意可得解得故所求圓的方程為．化為一般式：．16．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）選①：因為圓A與直線相切，所以圓A的半徑為，因此圓A的方程為；選②：因為圓A與圓關于直線對稱，所以兩個圓的半徑相等，因此圓A的半徑為