《高考備考指南 數學 》課件-第1講　導數的概念及其運算

一元函數的導數及其應用第三章第1講導數的概念及其運算(本講對應系統復習P67)課標要求考情概覽考向預測：從近三年高考情況來看，本講是高考中的必考內容，預測本年度高考將會涉及導數的運算及幾何意義，以客觀題的形式考查導數的定義、求曲線的切線方程，導數的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查，試題難度屬中低檔.學科素養(yǎng)：主要考查直觀想象、邏輯推理、數學運算的能力欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數定義記法幾何意義函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f'(x0)就是過該點切線的斜率k0，即k0＝

＝

.相應地，切線方程為y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0)

f'(x0)一個確定的值

這個確定的值

2.函數f(x)的導函數函數

為函數f(x)的導函數.

3.基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝C(C為常數)f'(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q)f'(x)＝

f(x)＝sinxf'(x)＝

f(x)＝cosxf'(x)＝

f(x)＝exf'(x)＝exf(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f'(x)＝

f(x)＝lnxf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)axlnaαxα－1

cosx

－sinx

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)

5.復合函數的導數復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx'＝

，即y對x的導數等于

的導數與

的導數的乘積.

u對xyu'·ux‘y對u【特別提醒】1.利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.2.曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.3.在復合函數求導中要分清每一步求導是哪個變量對哪個變量的求導，不能混淆.

CB

ABD

15x－y＋2＝01.求導之前，應利用代數運算、三角恒等式等對函數進行化簡，然后求導，盡量避免不必要的商的求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯.2.(1)若函數為根式形式，可先化為分數指數冪，再求導.(2)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時可進行換元.重難突破能力提升2導數的運算

ADA

【解題技巧】導數運算的原則和方法：(1)基本原則：先化簡、再求導；(2)具體方法：［提醒］當函數解析式中含有待定系數(例如f'(x0)，a，b等)，求導時把待定系數看成常數，再根據題意求出即可.

CBCD【解析】(1)令t＝ln

x，則t∈R，x＝et，所以f(t)＝et＋t，所以f'(t)＝et＋1，所以f'(0)＝e0＋1＝2.故選C.

導數的幾何意義

考向1求切線方程

(2022年新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為

.

x－ey＝0，x＋ey＝0

考向2求切點坐標(2022年貴陽模擬)設函數f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)為奇函數，且函數y＝f(x)的圖象在點P(x0，f(x0))處的切線與直線x＋y＝0垂直，則切點P(x0，f(x0))的坐標為

.

(0，0)

考向3求參數值(范圍)

A

考向4公切線問題

A

【解題技巧】1.求切線方程的方法：(1)求曲線在點P處的切線，則表明點P是切點，只需求出函數在點P處的導數，然后利用點斜式寫出切線方程；(2)求曲線過點P的切線，則點P不一定是切點，應先設出切點坐標，然后列出切點坐標的方程解出切點坐標，進而寫出切線方程.2.處理與切線有關的參數問題，通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程并解出參數：(1)切點處的導數是切線的斜率；

(2)切點在切線上；(3)切點在曲線上.

DA

C

導數與函數圖象

BD(2)已知y＝f(x)是可導函數，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g'(x)是g(x)的導函數，則g'(3)＝

.

0

【解題技巧】函數圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數圖象在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數圖象升降的快慢.【變式精練】3.(1)(2023年江南名校聯考)已知函數f(x)的圖象如圖所示，f'(x)是f(x)的導函數，則下列數值排序正確的是(

)A.0＜f'(2)＜f'(3)＜f(3)－f(2)B.0＜f'(3)＜f'(2)＜f(3)－f(2)C.0＜f'(3)＜f(3)－f(2)＜f'(2)D.0＜f(3)－f(2)＜f'(2)＜f'(3)C

(2)如圖所示為函數y＝f(x)，y＝g(x)的導函數的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(

)ABCDD

素養(yǎng)微專直擊高考3易錯警示——求曲線的切線方程典例精析若存在過點O(0，0)的直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值.【考查角度】導數的幾何意義.【核心素養(yǎng)】邏輯推理、數學運算.【易錯分析】由于題目中沒有指明點O(0，0)的位置情況，容易忽略點O在曲線y＝x3－3x2＋2x上這個隱含條件，進而不考慮點O為切點的情況.

【易錯警示】1.求曲線過點P的切線方程的方法(1)當點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0＝f'(x0)·(x－x0).(2)當點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標P'(x1，f(x1))；第二步：寫出過點P'(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程.2.對于求曲線的切線方程沒有明確切點的情況，要先判斷切線所過點是否在曲線上，若所過點在曲線上，要對該點是否為切點進行討論.

D

2.已知函