2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 第1章 二次函數(shù)1.2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第5課時(shí) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄 （新版）湘教版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第1章二次函數(shù)1.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第5課時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄（新版）湘教版主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：九年級(jí)（1）班

3.授課時(shí)間：2023年X月X日第5課時(shí)

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，學(xué)生能夠抽象出二次函數(shù)的一般形式，理解其幾何意義，發(fā)展邏輯推理能力，并能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型進(jìn)行解決，提升數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的探索精神和應(yīng)用意識(shí)，以及良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.二次函數(shù)圖象的開口方向和大小。

2.二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

難點(diǎn)：

1.理解二次函數(shù)圖象與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。

2.正確繪制二次函數(shù)的圖象。

解決辦法與突破策略：

1.通過實(shí)際操作和對比實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生直觀感受系數(shù)a對圖象開口方向和大小的影響。

2.利用坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換，幫助學(xué)生理解對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法。

3.設(shè)計(jì)一系列練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握二次函數(shù)圖象的繪制技巧，并通過小組討論和合作學(xué)習(xí)，共同解決難點(diǎn)問題。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源1.軟硬件資源：多功能教學(xué)白板、計(jì)算機(jī)、投影儀、數(shù)學(xué)計(jì)算器。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部數(shù)學(xué)教學(xué)平臺(tái)。

3.信息化資源：二次函數(shù)圖象動(dòng)態(tài)生成軟件、相關(guān)教學(xué)視頻。

4.教學(xué)手段：多媒體課件、實(shí)物模型、黑板板書。教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)為理解二次函數(shù)的基本形式及其與系數(shù)的關(guān)系。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：圍繞“如何判斷二次函數(shù)圖象的開口方向和大?。俊痹O(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考影響圖象的因素。

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生是否完成了預(yù)習(xí)問題的思考和初步的圖象繪制。

學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生閱讀關(guān)于二次函數(shù)基本形式和系數(shù)關(guān)系的資料，初步理解相關(guān)概念。

思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生根據(jù)預(yù)習(xí)資料，思考如何判斷開口方向和大小，并嘗試?yán)L制簡單的二次函數(shù)圖象。

提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將初步的思考結(jié)果和繪制的圖象提交至平臺(tái)或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

幫助學(xué)生提前理解二次函數(shù)的基本形式和系數(shù)關(guān)系，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過展示不同開口方向和大小的二次函數(shù)圖象，引出本節(jié)課的主題，激發(fā)學(xué)生的興趣。

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象展示其幾何意義。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)“繪制并分析特定二次函數(shù)圖象”的小組活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

學(xué)生活動(dòng)：

聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，思考對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法。

參與課堂活動(dòng)：學(xué)生分組進(jìn)行圖象繪制和分析，討論并分享各自的觀點(diǎn)。

教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：通過講解，幫助學(xué)生理解對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算。

實(shí)踐活動(dòng)法：通過小組活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握繪制和分析二次函數(shù)圖象的技能。

合作學(xué)習(xí)法：通過小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和溝通技巧。

作用與目的：

幫助學(xué)生深入理解二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握繪制和分析二次函數(shù)圖象的技能。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：布置“繪制不同參數(shù)的二次函數(shù)圖象并分析其性質(zhì)”的作業(yè)，鞏固學(xué)生對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的理解。

提供拓展資源：提供與二次函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件和在線工具，供學(xué)生進(jìn)一步探索。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，針對學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，嘗試使用不同的參數(shù)繪制二次函數(shù)圖象。

拓展學(xué)習(xí)：利用提供的資源，探索二次函數(shù)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生通過獨(dú)立完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)，鞏固和深化所學(xué)知識(shí)。

反思總結(jié)法：學(xué)生通過對作業(yè)的反思，總結(jié)自己的學(xué)習(xí)過程和成果。

作用與目的：

鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的知識(shí)，通過拓展學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.理解二次函數(shù)的基本形式及其與系數(shù)的關(guān)系

2.掌握二次函數(shù)圖象的繪制方法

學(xué)生在課堂實(shí)踐中學(xué)會(huì)了如何根據(jù)給定的系數(shù)繪制二次函數(shù)的圖象。他們能夠利用坐標(biāo)軸和坐標(biāo)變換，準(zhǔn)確繪制出函數(shù)的拋物線形狀，并標(biāo)注出關(guān)鍵點(diǎn)。

3.理解二次函數(shù)的對稱性

學(xué)生通過學(xué)習(xí)，理解了二次函數(shù)圖象的對稱性，即拋物線關(guān)于其對稱軸對稱。他們能夠識(shí)別對稱軸，并利用這一性質(zhì)來分析函數(shù)圖象。

4.應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題

學(xué)生能夠?qū)⒍魏瘮?shù)應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如計(jì)算拋物線的最大值或最小值，求解二次方程的根，以及分析物體的運(yùn)動(dòng)軌跡等。

5.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力

6.增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力

在小組活動(dòng)中，學(xué)生需要相互合作，共同完成任務(wù)。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。他們在討論和分享中學(xué)會(huì)了傾聽他人意見，尊重他人觀點(diǎn)，并能夠有效地表達(dá)自己的觀點(diǎn)。

7.提高自主學(xué)習(xí)能力和探究精神

本節(jié)課鼓勵(lì)學(xué)生自主探索和思考，通過預(yù)習(xí)、課堂活動(dòng)和課后作業(yè)，學(xué)生能夠逐步提高自主學(xué)習(xí)能力。他們在面對問題時(shí)，能夠主動(dòng)尋找解決方案，培養(yǎng)了探究精神。

8.增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和自信心

9.提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力和邏輯思維能力

學(xué)生在課堂上需要用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)的性質(zhì)，這有助于提高他們的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。同時(shí)，通過分析函數(shù)圖象，學(xué)生能夠鍛煉邏輯思維能力，學(xué)會(huì)從多個(gè)角度思考問題。

10.培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和時(shí)間管理能力

本節(jié)課要求學(xué)生在課前進(jìn)行預(yù)習(xí)，課后完成作業(yè)，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和時(shí)間管理能力。他們能夠合理安排時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效率。內(nèi)容邏輯關(guān)系①二次函數(shù)的基本形式

-知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)=ax^2+bx+c（a≠0）

-關(guān)鍵詞：標(biāo)準(zhǔn)形式、系數(shù)a、b、c、非零系數(shù)

-句子：二次函數(shù)的一般形式為y=ax^2+bx+c，其中a、b、c為常數(shù)，且a≠0。

②二次函數(shù)的圖象

-知識(shí)點(diǎn)：拋物線的開口方向、大小、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)

-關(guān)鍵詞：拋物線、開口方向、大小、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)

-句子：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。對稱軸為直線x=-b/(2a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/(2a),c-b^2/(4a))。

③二次函數(shù)的性質(zhì)

-知識(shí)點(diǎn)：頂點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)的最值、對稱軸與函數(shù)的對稱性

-關(guān)鍵詞：頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值、對稱軸、對稱性

-句子：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/(2a),c-b^2/(4a))，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值。函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱。

④二次函數(shù)的應(yīng)用

-知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的應(yīng)用

-關(guān)鍵詞：幾何、物理、經(jīng)濟(jì)、應(yīng)用

-句子：二次函數(shù)在幾何上可以描述拋物線，在物理上可以描述物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，在經(jīng)濟(jì)上可以描述成本與收益的關(guān)系。

⑤二次函數(shù)的繪制

-知識(shí)點(diǎn)：利用坐標(biāo)軸和坐標(biāo)變換繪制二次函數(shù)圖象

-關(guān)鍵詞：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)變換、繪制

-句子：通過確定函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)（如頂點(diǎn)、交點(diǎn)等），利用坐標(biāo)軸和坐標(biāo)變換，可以繪制出二次函數(shù)的圖象。

⑥二次函數(shù)的解法

-知識(shí)點(diǎn)：求解二次方程的根，利用配方法、公式法等

-關(guān)鍵詞：二次方程、根、配方法、公式法

-句子：二次方程ax^2+bx+c=0的根可以通過配方法或公式法求解，其中根的判別式為Δ=b^2-4ac。典型例題講解例題1：已知二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)，求該函數(shù)的表達(dá)式。

解答：由題意知，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)，因此函數(shù)表達(dá)式可以寫為y=a(x+1)^2+2。由于開口向上，系數(shù)a>0。為了求出a的具體值，我們可以利用頂點(diǎn)坐標(biāo)來解方程。

將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，得到：

2=a(-1+1)^2+2

2=a(0)^2+2

2=2

由于方程成立，我們可以選擇任意正數(shù)作為a的值。為了簡化計(jì)算，我們可以取a=1。因此，二次函數(shù)的表達(dá)式為：

y=(x+1)^2+2

例題2：已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,0)和(3,0)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)，求該函數(shù)的表達(dá)式。

解答：由題意知，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,0)和(3,0)，因此這兩個(gè)點(diǎn)是函數(shù)的根。函數(shù)可以寫為y=a(x+2)(x-3)。由于頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)，我們可以利用頂點(diǎn)公式來求解a。

頂點(diǎn)公式為x=-b/(2a)，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,-4)得到：

1=-(-2)/(2a)

1=2/(2a)

a=1

因此，二次函數(shù)的表達(dá)式為：

y=(x+2)(x-3)

例題3：已知二次函數(shù)的圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,5)，且函數(shù)在x=0時(shí)的值為4，求該函數(shù)的表達(dá)式。

解答：由題意知，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,5)，因此函數(shù)表達(dá)式可以寫為y=a(x+3)^2+5。由于開口向下，系數(shù)a<0。我們知道函數(shù)在x=0時(shí)的值為4，可以代入函數(shù)表達(dá)式求解a。

將x=0和y=4代入函數(shù)表達(dá)式，得到：

4=a(0+3)^2+5

4=9a+5

9a=-1

a=-1/9

因此，二次函數(shù)的表達(dá)式為：

y=-(1/9)(x+3)^2+5

例題4：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,2)和(2,0)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3)，求該函數(shù)的表達(dá)式。

解答：由題意知，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3)，因此函數(shù)表達(dá)式可以寫為y=a(x-1)^2-3。我們需要找到系數(shù)a的值。

首先，將點(diǎn)(-1,2)代入函數(shù)表達(dá)式，得到：

2=a(-1-1)^2-3

2=4a-3

4a=5

a=5/4

然后，將點(diǎn)(2,0)代入函數(shù)表達(dá)式驗(yàn)證a的值：

0=(5/4)(2-1)^2-3

0=(5/4)(1)^2-3

0=5/4-3

0=-7/4

由于第二個(gè)點(diǎn)不滿足方程，我們需要重新計(jì)算a的值。實(shí)際上，這里存在一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)槎魏瘮?shù)的頂點(diǎn)公式告訴我們頂點(diǎn)是對稱軸上的點(diǎn)，所以兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)應(yīng)該是對稱軸上的點(diǎn)。因此，我們應(yīng)該使用中點(diǎn)公式來找到a的值。

中點(diǎn)坐標(biāo)為((-1+2)/2,(2+0)/2)=(1/2,1)。將中點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式求解a：

1=a(1/2-1)^2-3

1=a(-1/2)^2-3

1=a(1/4)-3

a=(1+12)/4

a=13/4

因此，二次函數(shù)的表達(dá)式為：

y=(13/4)(x-1)^2-3

例題5：已知二次函數(shù)的圖象的對稱軸為x=2，且函數(shù)在x=1時(shí)的值為-1，且函數(shù)的最大值為1，求該函數(shù)的表達(dá)式。

解答：由題意知，二次函數(shù)的對稱軸為x=2，因此頂點(diǎn)的x坐標(biāo)為2。函數(shù)的最大值為1，所以頂點(diǎn)的y坐標(biāo)也為1。函數(shù)表達(dá)式可以寫為y=a(x-2)^2+1。

我們知道函數(shù)在x=1時(shí)的值為-1，可以代入函數(shù)表達(dá)式求解a：

-1=a(1-2)^2+1

-1=a(-1)^2+1

-1=a+1

a=-2

因此，二次函數(shù)的表達(dá)式為：

y=-2(x-2)^2+1教學(xué)評價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)整體良好，積極參與討論，對于二次函數(shù)圖象的性質(zhì)有較好的理解。大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確繪制出二次函數(shù)的圖象，并指出其開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。課堂提問環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠主動(dòng)回答問題，表現(xiàn)出對知識(shí)的興趣和求知欲。

2.小組討論成果展示：

在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生們能夠積極合作，共同分析二次函數(shù)圖象的性質(zhì)。他們能夠通過繪制圖象、計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸等方法，驗(yàn)證自己的推理。在展示成果時(shí)，學(xué)生們能夠清晰、有條理地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，并能夠接受其他小組的反饋。

3.隨堂測試：

隨堂測試主要考察學(xué)生對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的理解和應(yīng)用能力。測試結(jié)果顯示，大部分學(xué)生能夠正確判斷二次函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。然而，部分學(xué)生在計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)存在錯(cuò)誤，需要進(jìn)一步指導(dǎo)。

4.學(xué)生自評與互評：

在課程結(jié)束后，學(xué)生進(jìn)行了自評和互評。他們能夠認(rèn)識(shí)到自己在二次函數(shù)學(xué)習(xí)中的優(yōu)點(diǎn)和不足，并提出改進(jìn)措施。自評和互評環(huán)節(jié)有助于學(xué)生反思自己的學(xué)習(xí)過程，提高自我認(rèn)知能力。

5.教師評價(jià)與反饋：

針對學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)和隨堂測試結(jié)果，教師進(jìn)行了以下評價(jià)與反饋：

-針對課堂表現(xiàn)：教師肯定了學(xué)生在課堂上的積極參與和良好表現(xiàn)，同時(shí)指出部分學(xué)生在計(jì)算過程中存在粗心大意的問題，建議學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)練習(xí)，提高計(jì)算準(zhǔn)確度。

-針對小組討論成果展示：教師對學(xué)生的合作精神和表達(dá)能力給予肯定，同時(shí)建議學(xué)生在展示成果時(shí)，注意邏輯性和條理性，以便更好地傳達(dá)自己的觀點(diǎn)。

-針對隨堂測試：教師指出部分學(xué)生在計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)存在錯(cuò)誤，建議學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的理解，并加強(qiáng)對相關(guān)計(jì)算方法的練習(xí)。

-針對學(xué)生自評與互評：教師鼓勵(lì)學(xué)生積極參與自評和互評，認(rèn)為這有助于學(xué)生提高自我認(rèn)知能力，同時(shí)建議學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中，多關(guān)注自己的學(xué)習(xí)方法和效果，不斷調(diào)整和優(yōu)化學(xué)習(xí)策略。

總體而言，本節(jié)課的教學(xué)效果較好，學(xué)生能夠掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用于實(shí)際問題。在今后的教學(xué)中，教師將繼續(xù)關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，針對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提供個(gè)性化的指導(dǎo)和支持。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)法的應(yīng)用：在講解二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我嘗試引入實(shí)際生活中的案例，如拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡、建筑設(shè)計(jì)中的曲線等，讓學(xué)生在實(shí)際情境中理解二次函數(shù)的應(yīng)用，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。