湖北省隨州市部分高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

湖北省隨州市部分高中學(xué)年下學(xué)期三月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，題，全卷滿分分，考試用時(shí)分鐘.★祝考試順利★考試范圍：選擇性必修一；選擇性必修二第4章注意事項(xiàng)：、答題前，請(qǐng)將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.、選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.、考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.ABC-ABC1是面BBCC＝a，＝b，＝()A.a＋b＋cB.a－b＋cC.a＋b－cD.－a＋b＋c【答案】D【解析】【分析】由＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋＋)即可得解.第1頁(yè)/共16頁(yè)【詳解】＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋＋)＝－＋(－)＋b＝－＋＋答案：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加法和減法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.若過(guò)點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則的值為（）A.1B.4C.1或3D.1或4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜率公式即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得.故選：A.3.過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平行直線的特點(diǎn)先設(shè)出待求直線方程，代入所過(guò)點(diǎn)可得答案.【詳解】由題意設(shè)所求方程為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以所求直線為.故選：A.4.已知條件直線與直線平行，條件，則是的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行的條件分析判斷第2頁(yè)/共16頁(yè)【詳解】當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，所以是的既不充分也不必要條件，故選：D5.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為橢圓上任意一點(diǎn)，若，的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)化簡(jiǎn)后得出，然后求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】由題意，故，又，則焦點(diǎn)在軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：D6.若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項(xiàng)的值不可能為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計(jì)算，能得到數(shù)列第3頁(yè)/共16頁(yè)是周期為4的周期數(shù)列，得項(xiàng)的所有可能值，判斷選項(xiàng)即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計(jì)算得，，，，是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.故選：D.7.已知數(shù)列滿足，為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的前5，大值.【詳解】解：由，得，，，，．又，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為．故選：B．8.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，則等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第4頁(yè)/共16頁(yè)【分析】由題設(shè)及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，求的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)，，可得，∴.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的有（）A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B.單位向量都相等C.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同D.“若是不共線的四點(diǎn)，且'“四邊形是平行四邊形”【答案】AD【解析】ABC向量及平行四邊形的性質(zhì)判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，方向相同或相反的兩個(gè)非零向量為共線向量，故A正確；對(duì)于B：?jiǎn)挝幌蛄康哪?，但是方向不一定相同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若兩個(gè)向量相等，它們的起點(diǎn)不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D且是平行四邊形，故充分性成立，若四邊形是平行四邊形，則，故必要性也成立，故D正確.故選：AD10.設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，且則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.與均為的最大第5頁(yè)/共16頁(yè)值【答案】ABD【解析】的公差為判定，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋傻?，?duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以，所以C不正確；對(duì)于D中，由，可得數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以，所以和均為的最大值，所以D正確.故選：ABD.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.是數(shù)列中的最大值D.數(shù)列無(wú)最大值【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)條件判斷，分和兩情況討論得成立與否得出ABACD第6頁(yè)/共16頁(yè)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由可得，（*由可得.當(dāng)時(shí)，因，則，則（*）不成立；所以，則，即A正確；對(duì)于B，因，故B正確；對(duì)于C,D，由上分析，且，則是數(shù)列中最大值，故C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：邊界條件的遺漏：在判斷數(shù)列的公比時(shí)，容易忽略公比為正的條件，尤其是當(dāng)涉及到前項(xiàng)和與前項(xiàng)積的比較時(shí)，應(yīng)特別注意各個(gè)條件的限制.最大值的判斷：在判斷數(shù)列是否存在最大值時(shí)，容易因數(shù)列項(xiàng)的變化規(guī)律分析不準(zhǔn)確而得出錯(cuò)誤結(jié)論.對(duì)于無(wú)窮項(xiàng)的數(shù)列，要明確變化的趨向.三、填空題：本題共3小題，每題5分，共分12.經(jīng)過(guò)橢圓M：的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線記為l.若橢圓M的中心到直線l的距離等于2，且短軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則橢圓M的方程為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的截距式方程，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)橢圓M：的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線記為l，所以直線l的方程可設(shè)為，因?yàn)閳AM的中心到直線l的距離等于2，第7頁(yè)/共16頁(yè)所以，因?yàn)槎梯S長(zhǎng)是焦距的2倍，所以，因此有，所以橢圓M的方程為，故答案為：13.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，若A?B是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且垂直于x軸，則周長(zhǎng)的最大值為___________.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義以及三角形中兩邊之和大于第三邊的關(guān)系即可求解.【詳解】如圖.設(shè)與x軸相交于點(diǎn)C，橢圓右焦點(diǎn)為，連接，所以周長(zhǎng)為故的周長(zhǎng)的最大值為12，故答案為：12.第8頁(yè)/共16頁(yè)14.在數(shù)列中，，，則通項(xiàng)公式______.【答案】【解析】【分析】利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，同時(shí)右邊求和時(shí)需要利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】因?yàn)?，即則，，所以，即，又因?yàn)?，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分15.如圖，在長(zhǎng)方體中，，為的中點(diǎn).第9頁(yè)/共16頁(yè)（1）求證：.（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面.若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（12）存在，.【解析】1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可；（2的一個(gè)法向量即可求出得出.1為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.設(shè)，則，，，，，故，，，.因?yàn)?，所?第10頁(yè)/共16頁(yè)（2）假設(shè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，此時(shí).又設(shè)平面的法向量，所以，得，取，得平面的一個(gè)法向量.要使平面，只要，有，解得.又平面，所以存在點(diǎn)，滿足平面，此時(shí).“四破”“建系關(guān)”破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.16.已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R（1）證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；（2）若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；（3l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Ay軸正半軸于點(diǎn)BOAOB的面積為SS的最小值及此時(shí)直線l的方程．【答案】（12）3）S的最小值為4，直線l的方程為x－2y＋4＝0．【解析】y＝k（x＋2）＋1，可以得出直線l總過(guò)定點(diǎn)；（2）考慮直線斜率及在y軸上的截距建立不等式求解；（3）利用直線在坐標(biāo)軸上的截距表示出三角形的面積，利用均值不等式求最值，確定等號(hào)成立條件即可求出直線方程.1）證明：直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1，故無(wú)論k取何值，直線l總過(guò)定點(diǎn)（－2，1（2）直線l方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則解得k≥0，故k的取值范圍是．（3）依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1＋2k，第11頁(yè)/共16頁(yè)∴A，B（0，1＋2k又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時(shí)，取等號(hào)．故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0．17.在數(shù)列中，，.（1）設(shè)，求證數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合代入整理即可得解.(2)利用(1)的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】在數(shù)列中，，，則當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得：，而，即，則有，整理得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由得：，而，則，，，因此，等差數(shù)列公差，即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，第12頁(yè)/共16頁(yè)則，即，于是得：，所以數(shù)列通項(xiàng)公式.18.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，有．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】1）利用數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由條件轉(zhuǎn)化為，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)的不等式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)棰?，則②①－②可得，故為等差數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則有,得則，，故的取值范圍為．19.在①，，②，，③點(diǎn)在直線上，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并解答.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，___________.第13頁(yè)/共16頁(yè)（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】1）2）.【解析】1）若選①，根據(jù)已知條件考慮對(duì)應(yīng)的等式，兩式作差得到的關(guān)系，通過(guò)條件證明是等比數(shù)列，并求解出通項(xiàng)公式；若選②，根據(jù)已知條件考慮對(duì)應(yīng)的等式，結(jié)合得到的關(guān)系，通過(guò)條件證明是等比數(shù)列，并求解出通項(xiàng)公式；若選③，將點(diǎn)代入直線方程，然后根據(jù)得到的關(guān)系，通過(guò)條件證明是等比數(shù)列，并求解出通項(xiàng)公式；（2）先求解出的通項(xiàng)公式，然后采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.1）方案一：選條件①.∵，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，整理得，∵，∴，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴.方案二：選條件②.∵，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，整理得，第14頁(yè)/共16頁(yè)∵，，∴，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.∴方案三：選條件③.點(diǎn)在直線上，∴