《備考指南 理科數(shù)學(xué)》課件-第4章 第5講

第四章第5講[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2018年吉林模擬)要得到y(tǒng)＝cosx，則要將y＝sinx()A．向左平移π個單位長度 B．向右平移π個單位長度C．向左平移eq\f(π,2)個單位長度 D．向右平移eq\f(π,2)個單位長度【答案】C【解析】將y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx的圖象．故選C．2．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|<π)的圖象如圖所示，且過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，則φ的值為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(5π,6)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D．－eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)【答案】A【解析】當(dāng)x＝0時，sinφ＝eq\f(1,2)，又因為點P在y＝sin(2x＋φ)的單調(diào)增區(qū)間上，所以φ＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.又|φ|<π，所以φ＝eq\f(π,6).3．(2018年北京模擬)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期為π，將f(x)的圖象向右平移φ(φ＞0)個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的一個值是()A．eq\f(2π,3) B．eq\f(π,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)【答案】B【解析】因為f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.將f(x)的圖象向右平移φ(φ＞0)個單位長度，得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－φ＋\f(π,6)))的圖象．根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱，得－2φ＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝－eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，k∈Z.令k＝－1，可得φ＝eq\f(π,3).故選B．4．(2018年德陽模擬)函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度后關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A．0 B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－1【答案】D【解析】f(x)＝cos(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度，得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))的圖象．由所得圖象關(guān)于原點對稱，得eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，結(jié)合|φ|<eq\f(π,2)，解得φ＝eq\f(π,6)，則f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)))，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為－1.故選D．5．設(shè)ω＞0，函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＋2的圖象向右平移eq\f(4π,3)個單位長度后與原圖象重合，則ω的最小值是________．【答案】eq\f(3,2)【解析】因為函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＋2的圖象向右平移eq\f(4π,3)個單位長度后與原圖象重合，所以eq\f(4π,3)＝n×eq\f(2π,ω)，n∈Z.所以ω＝eq\f(3,2)n，n∈Z.又ω＞0，故其最小值是eq\f(3,2).6．(2018年北京模擬)將函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖象向左平移φ(φ＞0)個單位長度，若所得到圖象關(guān)于原點對稱，則φ的最小值為________．【答案】eq\f(π,12)【解析】將函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖象向左平移φ(φ＞0)個單位長度，所得到圖象對應(yīng)的解析式為y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,6))).因為所得到圖象關(guān)于原點對稱，所以2φ－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，即φ＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.又φ＞0，取k＝0，可得φ的最小值為eq\f(π,12).7．(2018年騰沖模擬)已知f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＋sin2(5π＋x)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)把函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度，向下平移eq\f(1,2)個單位長度后，再把圖象沿x軸翻折后得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的解析式．【解析】(1)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＋sin2(5π＋x)＝－eq\r(3)cosxsinx＋sin2x＝－eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故函數(shù)f(x)的增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.(2)把f(x)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度，得y＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＝－cos2x＋eq\f(1,2)的圖象．再向下平移eq\f(1,2)個單位，得y＝－cos2x的圖象．再把圖象沿x軸翻折，得y＝cos2x的圖象．所以g(x)＝cos2x.[B級能力提升]8．定義行列式運算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1a2,a3a4))＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)sinx,1cosx))的圖象向左平移n(n>0)個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)【答案】D【解析】由題意可知f(x)＝eq\r(3)cosx－sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，將f(x)的圖象向左平移n(n>0)個單位長度后，得y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋n＋\f(π,6)))為偶函數(shù)，所以n＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得n＝kπ－eq\f(π,6).又n＞0，令k＝1，得n的最小值為eq\f(5π,6).9．(2018年河南模擬)已知點A(0,2eq\r(3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是函數(shù)f(x)＝4sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<ω<6，\f(π,2)<φ<π))圖象上的兩個點，若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的圖象的一條對稱軸的方程為()A．x＝eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,6)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(5π,12)【答案】A【解析】因為f(0)＝4sinφ＝2eq\r(3)，eq\f(π,2)<φ<π，所以φ＝eq\f(2π,3).由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)ω＋\f(2π,3)))＝0，得eq\f(π,6)ω＋eq\f(2π,3)＝kπ，k∈Z，又0<ω<6，所以ω＝2，故f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得g(x)＝4sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(2π,3)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象．易知x＝eq\f(π,12)是g(x)的一條對稱軸．故選A．10．將f(x)＝sin2x的圖象向右平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))個單位后得到g(x)的圖象，若對滿足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝eq\f(π,3)，則φ的值為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(5π,12)【答案】A【解析】由題意知g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)．若滿足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨設(shè)f(x1)＝1，g(x2)＝－1，即2x1＝eq\f(π,2)＋2kπ，x1＝eq\f(π,4)＋kπ，2x2－2φ＝－eq\f(π,2)＋2mπ，x2＝－eq\f(π,4)＋φ＋mπ(k，m∈Z)．|x1－x2|min＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋k－mπ－φ))min＝eq\f(π,3)，φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則φ＝eq\f(π,6).11．(2018年東莞模擬)將函數(shù)f(x)＝1－2eq\r(3)cos2x－(sinx－cosx)2的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))【解析】f(x)＝1－2eq\r(3)cos2x－(sinx－cosx)2＝1－2eq\r(3)×eq\f(1＋cos2x,2)－(1－2sinxcosx)＝sin2x－eq\r(3)cos2x－eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\r(3)，f(x)的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位長度，得y＝g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))－eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－eq\r(3)的圖象．令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(5π,12)＋kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，k∈Z.又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12))).12．(2018年長沙模擬)已知向量m＝(2cosωx，－1)，n＝(sinωx－cosωx,2)(ω＞0)，函數(shù)f(x)＝m·n＋3，若函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰對稱中心 的距離為eq\f(π,2).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位長度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))時，求函數(shù)g(x)的值域．【解析】(1)f(x)＝m·n＋3＝2cosωx(sinωx－cosωx)－2＋3＝2sinωxcosωx－2cos2ωx＋1＝sinωx－cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,4)