陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分 4.3.1 平面圖形的面積教學(xué)實(shí)錄 北師大版選修2-2

陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第四章定積分4.3.1平面圖形的面積教學(xué)實(shí)錄北師大版選修2-2主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)選修2-2第四章4.3.1平面圖形的面積

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高一年級(jí)（1）班

3.授課時(shí)間：2022年10月10日星期一第2節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象的核心素養(yǎng)。通過(guò)平面圖形面積的計(jì)算，學(xué)生能夠理解定積分的概念，學(xué)會(huì)運(yùn)用積分方法解決實(shí)際問(wèn)題，提高空間想象能力和解決問(wèn)題的能力。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和團(tuán)隊(duì)合作精神。學(xué)情分析高一年級(jí)的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上正處于由初中向高中過(guò)渡的階段，他們?cè)趲缀螆D形的認(rèn)識(shí)和理解上已經(jīng)有了初步的基礎(chǔ)，但對(duì)更為抽象的數(shù)學(xué)概念和理論體系還需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)和適應(yīng)。以下是對(duì)本班學(xué)生學(xué)情的具體分析：

1.學(xué)生層次：班級(jí)學(xué)生整體數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，能夠理解和運(yùn)用基本的幾何知識(shí)和公式。但在深入理解定積分的概念和計(jì)算方法時(shí)，部分學(xué)生可能會(huì)遇到困難，需要更多的引導(dǎo)和幫助。

2.知識(shí)方面：學(xué)生在平面幾何和解析幾何方面已有一定的基礎(chǔ)，對(duì)直角坐標(biāo)系和圖形的面積計(jì)算較為熟悉。然而，對(duì)于定積分這一新的概念，學(xué)生的認(rèn)識(shí)較為模糊，需要通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)加深理解。

3.能力方面：學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力正在逐步形成，但在面對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力還有待提高。本節(jié)課將通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定積分進(jìn)行計(jì)算，旨在提升他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

4.素質(zhì)方面：學(xué)生在學(xué)習(xí)習(xí)慣上表現(xiàn)出較強(qiáng)的自主性，能夠積極參與課堂討論，但在合作學(xué)習(xí)方面，部分學(xué)生可能存在依賴性，需要教師引導(dǎo)他們更好地進(jìn)行小組合作。

5.行為習(xí)慣：學(xué)生在課堂上的紀(jì)律較好，能夠認(rèn)真聽(tīng)講，但在作業(yè)完成上，部分學(xué)生存在拖延和粗心大意的情況，需要教師在課后加強(qiáng)輔導(dǎo)和監(jiān)督。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有北師大版選修2-2教材，以便于課堂學(xué)習(xí)和課后復(fù)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的幾何圖形面積計(jì)算實(shí)例圖片、定積分概念解釋視頻以及相關(guān)的數(shù)學(xué)圖表。

3.實(shí)驗(yàn)器材：本節(jié)課不涉及實(shí)驗(yàn)，故無(wú)需實(shí)驗(yàn)器材。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，以便于學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)；在黑板上提前繪制定積分相關(guān)圖形，便于講解和演示。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：展示一張不規(guī)則圖形的平面圖紙，詢問(wèn)學(xué)生如何計(jì)算其面積。

2.提出問(wèn)題：引導(dǎo)學(xué)生思考如何將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，并計(jì)算其面積。

3.學(xué)生回答：鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的方法，并對(duì)答案進(jìn)行簡(jiǎn)要點(diǎn)評(píng)。

4.總結(jié)導(dǎo)入：引出定積分的概念，強(qiáng)調(diào)其在計(jì)算不規(guī)則圖形面積中的應(yīng)用。

二、講授新課（15分鐘）

1.定積分的概念：介紹定積分的定義，以幾何意義為例，說(shuō)明定積分表示的是曲線下圖形的面積。

2.計(jì)算方法：講解定積分的計(jì)算方法，包括定積分的表示法、計(jì)算步驟等。

3.應(yīng)用實(shí)例：結(jié)合具體實(shí)例，如計(jì)算曲線下圖形的面積，講解定積分的計(jì)算過(guò)程。

4.討論與互動(dòng)：針對(duì)學(xué)生提出的疑問(wèn)，進(jìn)行解答和討論，加深對(duì)定積分概念的理解。

三、鞏固練習(xí)（15分鐘）

1.課堂練習(xí)：發(fā)放定積分計(jì)算題，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。

2.小組討論：學(xué)生以小組為單位，共同完成練習(xí)題，討論解題思路和方法。

3.學(xué)生展示：每組選派代表展示解題過(guò)程，其他組進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。

4.教師點(diǎn)評(píng)：對(duì)學(xué)生的解題過(guò)程進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，指出不足之處，并給出改進(jìn)建議。

四、課堂提問(wèn)（5分鐘）

1.隨機(jī)提問(wèn)：針對(duì)課堂內(nèi)容，隨機(jī)提問(wèn)學(xué)生，檢查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。

2.學(xué)生回答：鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，并對(duì)答案進(jìn)行簡(jiǎn)要點(diǎn)評(píng)。

3.總結(jié)提問(wèn)：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，強(qiáng)化記憶。

五、師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（10分鐘）

1.創(chuàng)新教學(xué)：結(jié)合生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題。

2.分組討論：學(xué)生以小組為單位，探討如何將定積分應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

3.學(xué)生展示：每組選派代表展示討論成果，其他組進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。

4.教師點(diǎn)評(píng)：對(duì)學(xué)生的討論成果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，指出創(chuàng)新點(diǎn)和不足之處，并給出改進(jìn)建議。

六、核心素養(yǎng)能力的拓展要求（5分鐘）

1.鼓勵(lì)學(xué)生將定積分應(yīng)用于其他學(xué)科領(lǐng)域，如物理、工程等。

2.引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注定積分在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和創(chuàng)新思維。

教學(xué)時(shí)間：45分鐘知識(shí)點(diǎn)梳理1.定積分的概念：

-定積分的定義：定積分是函數(shù)在一定區(qū)間上的積分，表示為∫[a,b]f(x)dx。

-定積分的幾何意義：定積分可以表示為曲線y=f(x)與x軸及直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積。

2.定積分的表示法：

-原函數(shù)法：通過(guò)求函數(shù)的原函數(shù)，計(jì)算定積分。

-微積分基本定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么定積分∫[a,b]f(x)dx等于f(x)在區(qū)間[a,b]上的不定積分F(x)在端點(diǎn)b和a的差值，即F(b)-F(a)。

3.定積分的計(jì)算方法：

-定積分的線性性質(zhì)：定積分滿足線性性質(zhì)，即k∫[a,b]f(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx，其中k為常數(shù)。

-定積分的加法性質(zhì)：定積分滿足加法性質(zhì)，即∫[a,b][f(x)±g(x)]dx=∫[a,b]f(x)dx±∫[a,b]g(x)dx。

-定積分的換元法：通過(guò)變量替換，將定積分轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式進(jìn)行計(jì)算。

-定積分的分部積分法：通過(guò)分部積分法，將復(fù)雜的多項(xiàng)式或三角函數(shù)的定積分轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式。

4.定積分的應(yīng)用：

-計(jì)算平面圖形的面積：利用定積分計(jì)算曲線與x軸及直線所圍成的圖形的面積。

-計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積：利用定積分計(jì)算曲線繞x軸或y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

-計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)：利用定積分計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)。

5.定積分的性質(zhì)：

-定積分的保號(hào)性：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上非負(fù)（或非正），那么定積分∫[a,b]f(x)dx非負(fù)（或非正）。

-定積分的中值定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么存在至少一個(gè)點(diǎn)ξ∈[a,b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)。

-定積分的黎曼和近似：定積分可以通過(guò)黎曼和來(lái)近似計(jì)算，當(dāng)分割數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，黎曼和的極限即為定積分的值。

6.定積分的近似計(jì)算方法：

-矩形法：將積分區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用矩形近似代替曲線，計(jì)算矩形的面積之和。

-梯形法：將積分區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用梯形近似代替曲線，計(jì)算梯形的面積之和。

-帕斯卡法：將積分區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用拋物線近似代替曲線，計(jì)算拋物線的面積之和。板書設(shè)計(jì)①定積分的概念

-定積分的定義：∫[a,b]f(x)dx

-幾何意義：曲線y=f(x)與x軸及直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積

②定積分的表示法

-原函數(shù)法：求函數(shù)的原函數(shù)，計(jì)算定積分

-微積分基本定理：F(b)-F(a)=∫[a,b]f(x)dx

③定積分的計(jì)算方法

-線性性質(zhì)：k∫[a,b]f(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx

-加法性質(zhì)：∫[a,b][f(x)±g(x)]dx=∫[a,b]f(x)dx±∫[a,b]g(x)dx

-換元法：變量替換，簡(jiǎn)化定積分形式

-分部積分法：udv=uv-∫vdu

④定積分的應(yīng)用

-計(jì)算平面圖形的面積

-計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積

-計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)

⑤定積分的性質(zhì)

-保號(hào)性：f(x)非負(fù)（或非正）時(shí)，∫[a,b]f(x)dx非負(fù)（或非正）

-中值定理：存在ξ∈[a,b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)

-黎曼和近似：黎曼和的極限即為定積分的值

⑥定積分的近似計(jì)算方法

-矩形法：每個(gè)小區(qū)間用矩形近似代替曲線，計(jì)算面積之和

-梯形法：每個(gè)小區(qū)間用梯形近似代替曲線，計(jì)算面積之和

-帕斯卡法：每個(gè)小區(qū)間用拋物線近似代替曲線，計(jì)算面積之和反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣：在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我嘗試通過(guò)展示生活中的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

2.小組合作，培養(yǎng)能力：在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，我鼓勵(lì)學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論和解答，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和解決問(wèn)題的能力。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊：在課堂上，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)定積分的概念理解不夠深入，這可能是因?yàn)樗麄兊臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我需要在課后進(jìn)行針對(duì)性的輔導(dǎo)。

2.教學(xué)方法單一：雖然我在課堂上采用了多種教學(xué)方法，但仍然感覺(jué)教學(xué)方法較為單一，缺乏創(chuàng)新。為了提高教學(xué)效果，我需要不斷探索新的教學(xué)方法。

3.課堂評(píng)價(jià)不夠全面：在課堂評(píng)價(jià)方面，我主要關(guān)注學(xué)生的答題情況，而忽視了他們的實(shí)際理解和應(yīng)用能力。為了更全面地評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，我需要改進(jìn)評(píng)價(jià)方法。

反思改進(jìn)措施（三）改進(jìn)措施

1.加強(qiáng)課后輔導(dǎo)：針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊的問(wèn)題，我將在課后安排輔導(dǎo)時(shí)間，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)薄弱的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，確保他們能夠跟上課程進(jìn)度。

2.豐富教學(xué)方法：為了提高教學(xué)效果，我計(jì)劃嘗試以下新的教學(xué)方法：

-案例教學(xué)法：通過(guò)實(shí)際案例，讓學(xué)生在實(shí)踐中學(xué)習(xí)定積分的應(yīng)用。

-任務(wù)驅(qū)動(dòng)法：設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索和解決問(wèn)題。

-多媒體輔助教學(xué)：利用多媒體資源，直觀展示定積分的概念和計(jì)算過(guò)程。

3.改進(jìn)課堂評(píng)價(jià)：為了更全面地評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，我將在以下幾個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：

-關(guān)注學(xué)生的課堂表現(xiàn)，鼓勵(lì)他們積極參與討論和互動(dòng)。

-設(shè)計(jì)多樣化的評(píng)價(jià)方式，如課堂練習(xí)、小組合作、個(gè)人展示等。

-定期進(jìn)行學(xué)生反饋，了解他們的學(xué)習(xí)需求和困難，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。課堂1.課堂評(píng)價(jià)：

-提問(wèn)：通過(guò)課堂提問(wèn)，我能夠及時(shí)了解學(xué)生對(duì)定積分概念的理解程度。我會(huì)設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，從基礎(chǔ)概念到應(yīng)用實(shí)例，逐步深入，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。

-觀察：在課堂上，我會(huì)密切觀察學(xué)生的參與度和反應(yīng)。通過(guò)觀察學(xué)生的眼神、表情和動(dòng)作，我可以判斷他們對(duì)新知識(shí)的接受程度和興趣點(diǎn)。

-測(cè)試：為了更量化地評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，我會(huì)定期進(jìn)行小測(cè)驗(yàn)。這些測(cè)驗(yàn)可以是選擇題、填空題或簡(jiǎn)答題，旨在測(cè)試學(xué)生對(duì)基本概念和計(jì)算方法的掌握。

-及時(shí)反饋：在課堂教學(xué)中，我會(huì)及時(shí)給予學(xué)生反饋，無(wú)論是正面鼓勵(lì)還是指出錯(cuò)誤，都是為了幫助他們鞏固知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效果。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-認(rèn)真批改：對(duì)于學(xué)生的作業(yè)，我會(huì)進(jìn)行認(rèn)真批改，確保每個(gè)問(wèn)題都得到仔細(xì)檢查。這不僅是對(duì)學(xué)生工作的尊重，也是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)責(zé)。

-點(diǎn)評(píng)與反饋：在批改作業(yè)時(shí)，我會(huì)給出詳細(xì)的點(diǎn)評(píng)，不僅指出錯(cuò)誤，還會(huì)解釋錯(cuò)誤的原因，并提供正確的解答方法。這樣的反饋有助于學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)，避免重復(fù)錯(cuò)誤。

-及時(shí)溝通：如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在作業(yè)中有普遍性的問(wèn)題，我會(huì)通過(guò)課堂講解或個(gè)別輔導(dǎo)的方式，及時(shí)與學(xué)生溝通，確保他們能夠理解并改正錯(cuò)誤。

-鼓勵(lì)與激勵(lì)：在作業(yè)評(píng)價(jià)中，我會(huì)對(duì)表現(xiàn)出色的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)，鼓勵(lì)他們繼續(xù)保持，同時(shí)對(duì)進(jìn)步明顯的同學(xué)給予肯定，激勵(lì)他們繼續(xù)努力。

3.課堂互動(dòng)與討論：

-鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)：在課堂上，我會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，無(wú)論問(wèn)題大小，都給予重視和解答。這樣可以激發(fā)學(xué)生的思考，提高他們的學(xué)習(xí)積極性。

-小組討論：通過(guò)小組討論，學(xué)生可以互相學(xué)習(xí)，共同解決問(wèn)題。我會(huì)設(shè)置討論題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，并從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的不同解法。

-課堂展示：我會(huì)安排學(xué)生進(jìn)行課堂展示，這不僅是對(duì)他們學(xué)習(xí)成果的檢驗(yàn)，也是對(duì)他們表達(dá)能力和自信心的一種鍛煉。

4.評(píng)價(jià)方式多樣化：

-形成性評(píng)價(jià)：通過(guò)日常的課堂參與、小測(cè)驗(yàn)和作業(yè)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行評(píng)價(jià)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題。

-總結(jié)性評(píng)價(jià)：在學(xué)期末，通過(guò)期末考試或項(xiàng)目展示，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行總結(jié)性評(píng)價(jià)。

-自我評(píng)價(jià)：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，反思自己的學(xué)習(xí)過(guò)程，明確自己的優(yōu)勢(shì)和不足，為下一階段的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。典型例題講解1.例題：

已知函數(shù)f(x)=x^2，求定積分∫[0,1]x^2dx。

解答：

∫[0,1]x^2dx=[1/3*x^3]從0到1

=(1/3*1^3)-(1/3*0^3)

=1/3

2.例題：

求曲線y=e^x與x軸及直線x=0、x=1所圍成的圖形的面積。

解答：

面積=∫[0,1]e^xdx

=[e^x]從0到1

=e-1

3.例題：

已知函數(shù)f(x)=sin(x)，求定積分∫[π/2,π]sin(x)dx。

解答：

∫[π/2,π]sin(x)dx=[-cos(x)]從π/2到π

=(-cos(π))-(-cos(π/2))

=1-0

=1

4.例題：

求曲線y=x^2與直線y=4所圍成的圖形的面積。

解答：

首先，找出交點(diǎn)：(x^2=4)=>x=±2。

面積=∫[-2,2](4-x^2)dx

=[4x-1/3*x^3]從-2到2

=(4*2-1/3*