人教版高中數(shù)學(xué)第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布

【必修第二冊】【選擇性必修第三冊】

第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

【課標(biāo)要求】1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和

“步”；2.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題。

【命題規(guī)律】兩個計數(shù)原理是解決排列、組合問題的基本方法，同時又能獨立地解決

一些簡單的計數(shù)問題，在本章中占有十分重要的地位。

基礎(chǔ)?細梳理

1.分類加法計數(shù)原理的推廣

完成一件事有幾類不同方案，在第1類方案中有叫種不同的方法，在第2類方案

中有根2種不同的方法……在第一類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有

N=+m2+…+mn和不同的方法。

2.分步乘法計數(shù)原理的推廣

完成一件事需要幾個步驟，做第1步有mi種不同的方法，做第2步有TH2種不同

的方法做第八步有小九種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1xm2x...xmn

種不同的方法。

3.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理

聯(lián)系兩個計數(shù)原理回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題

區(qū)別完成一件事共有幾類不同方完成一件事共分n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”

一案，關(guān)鍵詞是“分類”

區(qū)別每類方案都能完成這件事任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這

二件事，只有每個步驟都完成了，才能完成這件事

區(qū)別各類方案都是互斥的、并列各步之間是相互關(guān)聯(lián)的、互相依存的

三的、獨立的

小題?微演練

一、基礎(chǔ)題

1.已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為12。

［解析］將4個門編號為1,2,3,4,從1號門進入后，有3種出門的方式，共3種

走法，從2,3,4號門進入，同樣各有3種走法，共有不同走法3x4=12（種）。

2.如圖，從A城到8城有3條路；從8城到。城有4條路；從A城到。城有4條路，從

C城到。城有5條路，則某旅客從4城到0城共有32條不同的路線。

［解析］3x4+4x5=32°

二、易錯題

3.（分步不清致誤）某人有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)

送方法有243種。

［解析］因為每封電子郵件有3種不同的發(fā)送方法，所以要發(fā)5封電子郵件，不同的發(fā)送

方法有3x3x3x3x3=243（種）。

4.（分類、分步不清致誤）有3女2男共5名志愿者要全部分配到3個社區(qū)去參加志

愿服務(wù)，每個社區(qū)1到2人，甲、乙2名女志愿者需到同一社區(qū)，男志愿者到不同社

區(qū)，則不同的分法共有12種。

［解析］第一步安排甲、乙2名女志愿者，有3種分法：第二步將剩余1女2男分為1男

1女和1男兩組，分組后安排到2個社區(qū)，共有2x2=4（種）分法。故不同的分法

共有3x4=12（種）o

5.（不會分類討論致誤）從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無

重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為我。

［解析］分兩類情況討論：第一類，三位數(shù)的百位、十位、個位分別為奇數(shù)、偶數(shù)、奇

數(shù)，個位數(shù)有3種選擇，十位數(shù)有2種選擇，百位數(shù)有2種選擇，有3x2x2=12

（個）奇數(shù)；第二類，三位數(shù)的百位、十位、個位數(shù)分別為偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)，個位

數(shù)有3種選擇，十位數(shù)有2種選擇，百位數(shù)有1種選擇，有3x2XI=6（個）奇數(shù)。

根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12+6=18（個）奇數(shù)。

關(guān)鍵能力」銬向探究

類型一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用

1.從甲地到乙地有三種方式可以到達。每天有8班汽車、2班火車和2班飛機。一天

人從甲地去乙地，共有包種不同的方法。

［解析］分三類：第一類是乘汽車有8種方法；第二類是乘火車有2種方法；第三類是乘

飛機有2種方法，由分類加法計數(shù)原理知，共有8+2+2=12（種）方法。

2.有不同的語文書9本，不同的數(shù)學(xué)書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同

一學(xué)科的書2本，則不同的選法有141種。

［解析］分三類：第一類：語文、數(shù)學(xué)各1本，共有9x7=63（種）；第二類：語文、

英語各1本，共有9x5=45（種）；第三類：數(shù)學(xué)、英語各1本，共有7x5=35

（種）。所以共有63+45+35=143（種）不同的選法。

3.滿足Q,b6{-1,04,2）,且關(guān)于x的方程a/+2x4-b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對（a,b）

的個數(shù)為12。

［解析］當(dāng)a=0時，b的值可以是一1,0,1,2,故（Q/）的個數(shù)為4；當(dāng)QH0時，

要使方程。/+2%+8=0有實數(shù)解，需使4二4一4成20,即QbWl。若Q=—1,

則b的值可以是一1,0,l,2,（a,b）的個數(shù)為4;若Q=1,則b的值可以是一1,0,1,

（a,b）的個數(shù)為3；若Q=2,貝肪的值可以是一1,0,（a,b）的個數(shù)為2。由分類加法計

數(shù)原理可知，（a,b）的個數(shù)為4+4+3+2=13。

練后感悟

1.根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)。分類標(biāo)準(zhǔn)是運用分類加法計數(shù)原理的難點

所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置。

2.分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同

種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)。

3.分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏。

類型二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用

【例I】有6名同學(xué)報名參加3個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報

名方法（6名同學(xué)不一定都能參加）？

（1）每人只參加一項，每項人數(shù)不限；

［答案］解每人都可以從三個競賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分

步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36=729（種）。

（2）每項限報一人，且每人至多參加一項；

［答案］解每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有‘6

種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,

可得不同的報名方法共有6x5x4=120（種）。

（3）每項限報一人，但每人參加的項目不限。

［答案］解每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這6名同學(xué)中選出一人參賽,

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63=216（種）。

總結(jié)反思

一類元素允許重復(fù)選取的計數(shù)問題，可以采用分步乘法計數(shù)原理來解決，關(guān)鍵是

明確要完成的一件事是什么。用分步乘法計數(shù)原理求解元素可重復(fù)選取的問題時，哪

類元素必須“用完”就以哪類元素作為分步的依據(jù)。

【變式訓(xùn)練】

（1）［2022.蘭州市診斷考試］2019年9月1日蘭州地鐵1號線啟用新列車運行圖,進

一步增加上線列車數(shù)量、縮短列車運行間隔、延長運營時間。兩位同學(xué)同時去乘坐地

鐵，一列地鐵有6節(jié)車廂，兩人進入車廂的方法共有（C）

A.15種

B.30種

C.36種

D.64種

［解析］設(shè)這兩位同學(xué)分別為甲、乙，由題意，可分為兩步：第一步，甲同學(xué)從這6節(jié)

車廂中選擇一節(jié)進入有6種選法，第二步，乙同學(xué)從這6節(jié)車廂中選擇一節(jié)進入有6

種選法，所以兩人進入車廂的方法共有6x6=36（種），故選C。

（2）某市在創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城市”活動中，大力加強垃圾分類投放宣傳。某居

民小區(qū)設(shè)有“廚余垃圾”“可回收物”“其它垃圾”三種不同的垃圾桶。一天，居民

甲提著上述分好類的垃圾各一袋，每桶隨機投一袋，則恰好有一袋垃圾投對的概率為

（D）

［解析］三袋垃圾中恰有一袋投放正確的情況有3種，由古典概型概率計算公式得三袋

垃圾恰有一袋投對的概率「=三=9故選D。

3x2x12

類型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

微考向1：與數(shù)字有關(guān)的問題

【例2】

（1）用0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成儂個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)。

（用數(shù)字作答）

［解析］要完成的“一件事”為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0,

個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個數(shù)字不能重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步。

第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1,3,5中的任意一個時，個位數(shù)字可取0,2,

4,6中的任意一個，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這

三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3x4x5x4=240（種）取法。

第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2,4,6中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除首位

數(shù)字的任意一個偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能

取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3x3x5x4=180（種）

取法。根據(jù)分類加法計數(shù)原理.，共可以組成240+180=420（個）無重復(fù)數(shù)字的四

位偶數(shù)。

（2）在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”。

比如“102”“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的“駝峰

數(shù)”有7個。

［解析］分三步：第一步，選3個數(shù)，有4種方法；第二步，把選出的3個數(shù)中最小的數(shù)

排在十位，有1種方法；第三步，排個位和百位，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理

共有4x1x2=8（個），

總結(jié)反思

與數(shù)字有關(guān)的問題常見的有以下4類：①組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”“被某數(shù)

整除的數(shù)”；②在某范圍內(nèi)的數(shù)；③各數(shù)字的和具有某種特征；④各數(shù)字滿足某種關(guān)

系。

微考向2:與幾何圖形有關(guān)的問題

【例3】如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面

對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交

線面對”的個數(shù)是（D）

A.48

B.18

C.24

D.36

［解析］第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正

交線面對”有2X12=24（個）；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角

面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個。所以正方體中“正交線面對”

共有24+12=36（個）。

總結(jié)反思

幾何圖形問題，分析幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點，分清事件由哪些幾何元素構(gòu)成，滿足

什么樣的幾何特征才是完成一個事件。

微考向3:涂色問題

【例4】如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A,B,C,。中，要求相鄰

的矩形涂色不同，則不同的涂法有（C）

A.256種

B.128種

C.72種

D.64種

［解析］解法一：首先涂4有4種涂法，然后涂8有3種涂法，C與A,B相鄰，則C有

2種涂法，。只與C相鄰，則。有3種涂法，所以共有4x3x2x3=72（種）涂法。

解法二：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：第一類是4種顏色都用，這時A

有4種涂法，B有3種涂法，。有2種涂法，。有1種涂法，共有4x3x2x1=24

（種）涂法；第二類是用3種顏色，這時A,B,。的涂法有4x3x2=24（種），

。只要不與。同色即可，故D有2種涂法。所以不同的涂法共有24+24x2=72

（種）。

總結(jié)反思

涂色問題一般綜合利用兩個計數(shù)原理求解，但乜有兩種常用方法：按區(qū)域的不同,

以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；以顏色為主分類討論，用分類加法

計數(shù)原理分析。

【題組對點練】

1.（微考向2）從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的

共有（C）

A.24對

B.30對

C.48對

D.60對

［解析］如圖，在正方體中，與面對角線4C成60°角的面對角線有

&C/當(dāng)AC,共8條；同理,與。B成60。角的面對角線

也有8條。因此，一個面上的2條面對角線與其相鄰的4個面上的8條對角線共組成

16對。又正方體共有6個面，所以共有16x6=96（對）。又因為每對被計算了2次,

因此成60°角的面對角線有：x96=48（對）。

2.（微考向3）現(xiàn)用4種小同的顏色對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊

界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（D）

金榜

題名

A.144種

B.72種

C.64種

D.84種

［解析］根據(jù)題意，分3步進行分析：①給“金”著色，有4種方法；②給“榜”著色，

有3種方法；③給“題”著色，若

其與“榜”同色，則給“名”著色有3種方法；若其與“榜”不同色，則給“題”著

色有2種方法，然后給“名”著色，有2種方法。綜上，共有4x3x(3+2x2)=84

(種)方法，故選D。

3.(微考向1)中國古代一進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌

實際上是一根根同長短的小木棍。如圖，是利用算籌表示卜9的一種方法，則據(jù)此，3

可表示為“三”，26可表示為。現(xiàn)有6根算籌。據(jù)此表示方法，若算籌不能

剩余，則可以表示的兩位數(shù)的個數(shù)為(C)

_===1±±^=

123456789

A.9

B.13

C.16

D.18

［解析］根據(jù)題意，6根算籌可以表示的數(shù)字組合為(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),

(6,8),(3,3),(3,7),(7,7)。數(shù)字組合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),

(3,7)中，每組可以表示2個兩位數(shù)，則可以表示2x7=14(個)兩位數(shù)；數(shù)字組合

(3,3),(7,7)中，每組可以表示1個兩位數(shù)，則可以表示2x1=2(個)兩位數(shù)。綜

上，共可以表示14+2=16(個)兩位數(shù)。故選C,

教師備用題

【例1】(配合類型一使用)某班有9名運動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，

現(xiàn)從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有(A)

A.28種

B.30種

C.27種

D.29種

［解析］由題意知，9名運動員中，有2人既會踢足球又會打籃球，有3人只會打籃球，

有4人只會踢足球。選派兩種球都會的運動員有2種方案；選派兩種球都會的運動員

中的一名踢足球，只會打籃球的一名運動員打籃球，有2/3=6（種）方案；選派兩

種球都會的運動員中的一名打籃球，只會踢足球的一名運動員踢足球，有2x4=8

（種）方案；選派只會打籃球和只會踢足球的各一名運動員分別打籃球和踢足球，有

3x4=12（種）方案。綜上可知，共有2+6+8+12=28（種）不同的選派方案。

故選Ao

【例2】（配合例1使用）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)進行數(shù)學(xué)應(yīng)用知識比賽，決

出第1名至第5名（沒有重名次）。已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名,

則5名同學(xué)的名次排列情況有（C）

A.27種

B.48種

C.54種

D.72種

［解析］分五步完成：第一步，決出第1名有3種情況；第二步，決出第5名有3種情況;

第三步，決出第2名有3種情況；第四步，決出第3名有2種情況；第五步，決出第4

名有1種情況。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知I,5名同學(xué)的名次排列情況有3X3X3X

2x1=54（種）。

【例3】（配合例4使用）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，若要

求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有21種

（用數(shù)字作答）。

［解析］解法一：區(qū)域1有禺種著色方法；區(qū)域.2有C；種著色方法；區(qū)域3有?種著色

方法；區(qū)域4,5共有3種著色方法（4與2同色有2種，4與2不同色有1種）。所

以共有4x3x2x3=72種不同的著色方法。

解法二：因區(qū)域1與其他四個區(qū)域都相鄰，宜先考慮。區(qū)域1有4種涂法。若區(qū)域2,

4同色，有3種涂法，此時區(qū)域3,5均有2種涂法，涂法總數(shù)為4x3x2x2=48

種；若區(qū)域2,4不同色，先涂區(qū)域2有3種方法，再涂區(qū)域4有2種方法。此時區(qū)域

3,5也都只有1種涂法，涂法總數(shù)為4x3x2xlxl=24種。因此涂法共有48+

24=72(種)。

第二節(jié)排列與組合

【課標(biāo)要求】1.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問

題；2.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題。

【命題規(guī)律】排列組合問題主要以實際問題為背景考查計數(shù)問題，常與概率問題綜合

考查。

必備知識,

基礎(chǔ)?細梳理

1.兩個概念1

(1)排列：從幾個不同元素中取出?n(m4n)個元素，按照一定的順序排成一列,

叫做從幾個不同元素中取出租個元素的一個排列。

(2)組合：從幾個不同元素中取出＜n)個元素作為一組,叫做從幾個不同

元素中取出m個元素的一個組合。

［微點清］1元素之間與順序有關(guān)的為排列，與順序無關(guān)的為組合。

2.兩個公式2

(1)排列數(shù)公式

A胃=n(n—l)(n—2)...(n—m4-1)=.二,。規(guī)定0!=工。

(2)組合數(shù)公式

rm_n(n-l)(n-2)...(n-m+l)_n!十網(wǎng)型「0_1

以"——!°舫不〃-1°

［微點清］2①排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系為C/A霽=A魯。②兩種形式分別為連乘積形

式和階乘形式，前者多用于數(shù)字計算，后者多用于含有字母的排列數(shù)式子的變形與論

證。

3.排列數(shù)與組合數(shù)的性質(zhì)

⑴優(yōu)=煞；(2)C-=CL；(3)C%=CL+優(yōu);(4)暇=n*二；°

小題?微演練

一、基礎(chǔ)題

1.從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)

是(B)

A.12

B.24

C.64

D.81

［解析］4本不同的課外讀物選3本送給3位同學(xué)，每人一本，則不同的送法種數(shù)為A：=

24o

2J2021?全國乙卷］將5名二匕京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺

4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則

不同的分配方案共有（C）

A.60種

B.120種

C.240種

D.480種

［解析］根據(jù)題設(shè)中的要求，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿

者，可分兩步進行安排：第一步，將5名志愿者分成4組，其中1組2人，其余每組1

人，共有釐種分法；第二步，將分好的4組安排到4個項目中，有A：種安排方法。故

滿足題意的分配方案共有釐,A%=240（種）。

3.某市為了提高整體教學(xué)質(zhì)量，在高中率先實施了市區(qū)共建“1+2”合作體，現(xiàn)某市

直屬高中學(xué)校選定了6名教師和2名中層干部去兩所共建學(xué)校交流學(xué)習(xí)。若每所共建

學(xué)校需要派3名教師和1名中層干部，則共有選派方法（C）

A.160種

B.80種

C.40種

D.20種

［解析］先給一所學(xué)校派3名教師和1名中層干部，則有髭C；種選派方法，剩余的3名

教師和1名中層干部直接去另一所學(xué)校，只有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可知共

有髭瑪=40（種）選派方法，故選C。

二、易錯題

4.（不會應(yīng)用組合數(shù)的性質(zhì)致誤）計算G+C}+喘+C8的值為210（用數(shù)字作答）。

［解析］原式=酸+源+=巧+C$=C%=C?o=210。

5.（相同元素的排列問題不會應(yīng)用組合解決）有大小形狀相同的3個紅色小球和5個

白色小球，排成一排，共有也種不同的排列方法。

［解析］8個小球排好后對應(yīng)著8個位置，題中的排法相當(dāng)于在8個位置中選出3個位置

給紅球，剩下的位置給白球，故共有量=56（種）不同的排列方法。

6.（不能靈活運用間接法致誤）現(xiàn)有6個人排成一排照相，則甲、乙、丙3人不同時

相鄰的排法有皿種。

［解析］用6個人全排列的排法數(shù)減去甲、乙、丙同時相鄰的排法數(shù)，可得甲、乙、丙3

人不同時相鄰的排法種數(shù)為線-A1A1=576。

關(guān)鍵能力」,考向探究

類型一排列問題

【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)。

（1）選5人排成一排；

［答案］解從7人中選5人排列，有法今=7x6x5x4x3=2520（種）。

（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；

［答案］解解法一：分兩步完成，先選3人站前排，有的種方法，余下4人站后排，有

A*種方法，共有的?A%=5040（種）。

解法二：（多排問題單排法）由題意知共有A5=5040（種）。

（3）全體排成一排，甲穴站排頭也不站排尾；

［答案］解解法一：（特殊元素優(yōu)先法）先排甲，有5種方法，其余6人有A?種排列方

法，共有5xA&=3600（種）。

解法二：（特殊位置優(yōu)先法）首尾位置可安排除甲外6人中的兩人，有A看種排法，其

他有腐種排法，共有線A?=3600（種）。

（4）全體排成一排，女生必須站在一起；

［答案］解（捆綁法）將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A*種方法，再將

女生全排列，有Af種方法,共有A*A：=576（種）°

（5）全體排成一排，男生互不相鄰。

［答案］解（插空法）先排女生，有A1種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3

個空位安排男生，有Ag種方法，共有A，Ag=1440（種）。

總結(jié)反思

求解排列應(yīng)用問題的5種主要方法

直接把符合條件的排列數(shù)直接列式計算

法

優(yōu)先優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

法

綁

捆

把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列

法

空

插

對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔

法

中

間接正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法

法

【變式訓(xùn)練】

（1）（多選）若3男3女排成一排，則下列說法錯誤的是（BC）

A.共計有720種不同的排法

B.男生甲排在兩端的排法共有12（）種

C.男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為12（）種

D.男女生相間排法總數(shù)為72種

［解析］3男3女排成一排的排法共計有A&=720種；男生甲排在兩端的排法共有2A1=

240種；男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為A,Ag=240種；男女生相間排法總數(shù)為2

=72種，故選BC。

（2）北京大興國際機場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機器人自動泊車系統(tǒng),

解決了停車滿、找車難的問題，現(xiàn)有4輛載有不同救援物資的車輛可以停放在8個并

排的泊車位上，要求停放的車輛相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有12Q

種。（用數(shù)字作答）

［解析］根據(jù)題意，分2步進行分析：

①要求4輛停放的車輛相鄰，且被安排在8個并排的泊車位上，有5種情況，

②將相鄰的4輛載有不同救援物資的車輛全排列，有A：=24種排法，

則共有5x24=120（種）不同的泊車方案。

類型二組合問題

【例2】從7名男生、5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種?

（1）4,8必須當(dāng)選；

［答案］解由于A,B必須當(dāng)選，那么從剩下的10人中選取3人即可，所以有底。=

120（種）、

（2）A,B必不當(dāng)選；

［答案］解從除去4,8兩人的10人中選5人即可，所以有盤o=252（種）。

（3）A,B不全當(dāng)選；

［答案］解全部選法有C5利IA,B全當(dāng)選有C：o種，

故A,8不全當(dāng)選有第2-Co=672（種）。

（4）至少有2名女生當(dāng)選；

［答案］解注意到“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或沒有女生”，故可用

間接法進行，

所以有32-所以-Cf=596（種）選法。

（5）選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委

員必須由男生擔(dān)任，班長必須由女生擔(dān)任。

［答案］解分三步進行。

第一步：選1男1女分別擔(dān)任兩個職務(wù)為G禺種。

第二步：選2男1女補足5人有髭禺種。

第三步：為這3人安排工作有A片種。

由分步乘法計數(shù)原理共有G禺髭禺Ag=12600（種）選法。

總結(jié)反思

1.組合問題常有以下兩類題型：（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:

“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，

再從剩下的元素中去選取。（2）“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這

類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解，用直

接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處

理。

2.有限制條件的組合問題的解題思路：從限制條件入手。組合問題只是從整體中選

出部分即可，相對來說較簡單。常見情況有：（1）某些元素必選；（2）某些元素不

選；（3）把元素分組，根據(jù)在各組中分別選多少，分類；（4）排除法。

【變式訓(xùn)練】

（1）［2022.揚州高三考試］（多選）在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化

學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門。學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，首先

在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中選擇2

門，考試成績計入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)。某學(xué)生想在物理、化學(xué)、

生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（BD）

A.若任意選科，選法總數(shù)為熊

B.若化學(xué)必選，選法總數(shù)為禺禺

C.若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為最禺的

D.若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為?瑪+1

［解析］若任意選科，選法總數(shù)為?第，A錯誤；若化學(xué)必選，選法總數(shù)為最的，B正

確；若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為禺（禺禺+1）,C錯誤；若物理必選，化

學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為&禺+1,D正確。

（2）［2022.昆明市教學(xué)質(zhì)量檢測］小華在學(xué)校里學(xué)習(xí)了二十四節(jié)氣歌，打算在網(wǎng)上搜

集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩，他準(zhǔn)備在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6

個冬季節(jié)氣與立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨6個春季節(jié)氣中一共選出3個節(jié)

氣，若冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少選出1個，則小華選取節(jié)氣的不同方法種數(shù)是（B）

A.90

B.180

C.220

D.360

［解析］根據(jù)題意，選出的3個節(jié)氣可以是2個冬季節(jié)氣和1個春季節(jié)氣，也可以是1個

冬季節(jié)氣和2個春季節(jié)氣，對應(yīng)的方法種數(shù)都是禺髭=90,所以不同的方法種數(shù)為

18（）o故選B。

類型三排列與組合的綜合應(yīng)用

微考向1:特殊元素（位置）優(yōu)先考慮法

【例3】中國古典樂器一股按“八音”分類，這是我國最早按樂器的制造材料來對樂

器進行分類的方法，最早見于《周禮?春官?大師》。八音分為“金、石、土、革、

絲、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂

器，“絲”為彈撥樂器。某同學(xué)安排了包括“土、匏、竹”在內(nèi)的六種樂器的學(xué)習(xí)，

每種樂器安排一節(jié)，連排六節(jié)，并要求“土”與“匏”相鄰排課，但均不與“竹相

鄰排課，且“絲”不能排在第一節(jié)，則不同的排課方式的種數(shù)為（C）

A.960

B.1024

C.1296

D.2021

［解析］排課可分為以下兩大類。第一類“絲”被選中，不同的排課方式種數(shù)為M=

CiAlAlA^-CM1A1A1=720（種）；第二類“絲”不被選中，不同的方式種數(shù)為

N2=CjAlA|Aj=576（種）、故共有N=720+576=1296（種）。故選C。

解排列、組合問題要遵循的2個原則

1.按元素（位置）的性質(zhì)進行分類。

2.按事情發(fā)生的過程進行分步。

具體地說，解排列、組合問題常以元素（位置）為主體，即先滿足特殊元素（位

置），再考慮其他元素（位置）。

微考向2:順序一定問題

【例4】某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛,

主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，且

不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有辿種。

［解析］解法一：添入三個節(jié)目后共十個節(jié)目，故該題可轉(zhuǎn)化為安排十個節(jié)目，其中七

個節(jié)目順序固定。這七個節(jié)目的不同安排方法共有A；種，添加三個節(jié)目后，節(jié)目單中

共有十個節(jié)目，先將這十個節(jié)目進行全排列，不同的排列方法有A珞種，而原先七個

A10

節(jié)目的順序一定，故不同的安排方式共有粵=720（種）。

A7

解法二：將10個節(jié)目看作10個元素排列位置。在10個位置中選7個按一定順序排列,

有C；。種排法，其余3個位置進行全排列，有A1種排法，所以共有（：號舄=720

（種）。

解法三：將三個節(jié)目逐個插入，共有8x9x10=720（種）。

求解順序一定問題一般有2種方法

1.全體元素全排列，再除以部分元素全排列。

2.從全體位置中選取部分位置放置特殊元素。

【題組對點練】

1.（微考向1）北京APEC峰會期間，有2位女性和3位男性共5位領(lǐng)導(dǎo)人站成一排照

相，則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲不在兩端，3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中有且只有2位相鄰的站法有（C）

A.12種

B.24種

C.48種

D.96種

［解析］從3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中任取2人“捆”在一起記作4,4共有C弘芻=6（種）不同

排法，剩下1位男性領(lǐng)導(dǎo)人記作8,2位女性分別記作甲、乙；則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲必須

在4,B之間，此時共有6x2=12（種）排法（4左B右和4右B左），最后再在排

好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以共有12x4=48（種）不同排法。

2.（微考向1）元宵節(jié)是口國傳統(tǒng)節(jié)日，放煙花、吃湯圓、觀花燈是常見的元宵節(jié)民

俗活動。某社區(qū)計劃舉辦元宵節(jié)找花燈活動，準(zhǔn)備在3個不同的地方懸掛5盞不同的

花燈，其中2盞是人物燈?，F(xiàn)要求這3個地方都有燈（同一地方的花燈不考慮位置的

差別），且人物燈不能掛在同一個地方，則不同的懸掛方法種數(shù)為（A）

A.114

B.92

C.72

D.42

［解析］按要求，3個地方的花燈的數(shù)量分布應(yīng)該是1,1,3或者1,2,2兩種情況。

第一種情況1,1,3,若兩個“1”均為人物燈，見有Ag種方法，若兩個“1”只有

一個為人物燈，則有久C弘多種方法,即第一種情況共有A多+禺第A§=42（種）方法;

第二種情況1,2,2,若“1”為人物燈，則有最的A多種方法，若“1”不是人物燈,

則有C拇種方法,即第二種情況共有禺禺A^+瑪?A4=72（種）方法。由分類加

法計數(shù)原理可得，滿足條件的不同懸掛方法共有42+72=114（種）。故選A。

3.（微考向2）由數(shù)字0,1組成的一串?dāng)?shù)字代碼，其中恰好有7個1,3個0,則這樣

的不同數(shù)字代碼共有3個。

［解析］解法一：10個元素進行全排列共有A錯種結(jié)果，在這些結(jié)果中有7個1,3個0,

這樣前面的全排列就出現(xiàn)了重復(fù)，不同的排列中每個排列出現(xiàn)了A馬Ag次，得到不同的

排列共有篝=120（個）。

A煙

解法二：10個位置選3個填入0,其余填入7,則有C；o=120種，所以可以組成120

個不同數(shù)字代碼。

4.（加強練）2021年是鞏固脫貧攻堅成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國家政策，選派了

6名工作人員到4,B,C三個村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個村至少去1人，不同的

安排方式共有（C）

A.630種

B.600種

C.540種

D.480種

［解析］可分為兩步,第一步,將這6名工作人員分成三組,有（2,2,2）,（1,2,3）及

（1,1,4）三種分法，所以有竽+瑪釐0+筆咨=90（種）方法；第二步，將分好

的這三組任意分配到A,B,C三個村進行調(diào)研，有的種方法。根據(jù)分步乘法計數(shù)原

理知共有90A1=540（種）安排方式，故選C。

素養(yǎng)提升增分培優(yōu)

課外閱詢?開拓視野

分組問題

1.不等分問題

【典例1】若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有

3種不同的分法。

［解析］將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有黑

種取法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有髭種取法；第3步，余

下的3名教師作為一組，有或種取法。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有黑髭髭=60

（種）取法。再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A：=6（種）分法，根據(jù)分步乘法

計數(shù)原理可得共有60x6=360（種）不同的分法。

2.平均分組問題

【典例2】將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天參加社區(qū)公益活

動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有168（）種（用數(shù)字作

答）。

［解析］先選出3人，有《種，再由剩下的6人中選出3人，有髭種，最后由剩下的3

人為一組，有瑪種。由分步乘法計數(shù)原理以及每Ag種只能算一種不同的分組方法，

可得不同的安排方案共有粵騏?Ag=1680（種）。

3.部分均分問題

【典例3】10個人參加義務(wù)勞動，分成4組，各組分別為2人、2人、2人、4人，則

不同的分組方案共有L四種（用數(shù)字作答）。

［解析］由于分成2人、2人、2人、4人的四個組對應(yīng)的種數(shù)分別為第。，最，熊,C：種,

由分步乘法計數(shù)原理以及每Ag種只能算一種不同的分組方法，可得不同的分組方案共

有逐轡=3150（種）。

反思感悟

1.平均分配給不同小組的分法種數(shù)等于平均分堆的分法種數(shù)乘堆數(shù)的全排列。

2.對于分堆與分配問題應(yīng)注意三點：（1）處理分配問題要注意先分堆再分配；（2）

被分配的元素是不同的；（3）分堆時要注意是否均勻。

3.對于部分均分問題，解題時要注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有6

組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m!。

【變式訓(xùn)練】

（1）國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師

范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平

均分到3所學(xué)校去任教，有純種不同的分派方法（用數(shù)字作答）。

［解析］先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有空空種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校,

A3

有Ag=6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有

零騙'=90（種）分派方法。

（2）學(xué)校在高一年級開設(shè)選修課程，其中歷史開設(shè)了三個不同的班，選課結(jié)束后，

有5名同學(xué)要求改修歷史，但歷史每班至多可接收2名同學(xué)，那么安排好這5名同學(xué)

的方案有純種（用數(shù)字作答）。

［解析］由已知可得，先將5名學(xué)生分成3組，有筆1=15（種），所以不同的分法

A2

<15xA^=90（種）°

第三節(jié)二項式定理

【課標(biāo)要求】能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決

與二項展開式有關(guān)的簡單問題。

【命題規(guī)律】考查二項展開式的通項的應(yīng)用、二項式定理的正用和逆用、二項式系數(shù)

的性質(zhì)與各項的和，題型是選擇題與填空題。

必備知識,夯實四基

基礎(chǔ)?細梳理

1.二項式定理

(1)二項式定理：(Q+b)ni=/an+—+…+C^an-kbk+…+

C2bn(n6N")o

nkk

(2)通項：Tk+1=C^a-b,它表示笫k+1項。

（3）二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)喘（k=0,1,2,…，九）。

［微點清］l（a+b）n的展開式與（b+QF的展開式的項完全相同，但對應(yīng)的項不相同而

且兩個展開式的通項不同。

2.二項式系數(shù)的性質(zhì)

性性質(zhì)描述

質(zhì)

對

在二項展開式中與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C7=C；「m

稱

性

增當(dāng)?shù)葧r，二項式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)仁》等時，二項式系數(shù)逐漸減小

減

性

最

大當(dāng)九是偶數(shù)時，中間一項（第;+1項）的二項式系數(shù)最大，最大值為C：；當(dāng)n是奇數(shù)時，中

值n—1n+1

間兩項（第等項和第等項）的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為或cy

3.各二項式系數(shù)和

（1）（Q+b）n展開式的各二項式系數(shù)和：C?+加+鬃+…+C；；=2"。

（2）偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即華+鬣+第+

???=*+CW+*+,??=2n—o

小題?微演練

一、基礎(chǔ)題

1.［2021.北京高考］（二-的展開式中常數(shù)項是二4。

［解析］由二項式定理可得常數(shù)項為最-（%3）1?（-J）3=-4o

2.［2020.全國HI卷］8+：）6的展開式中常數(shù)項是2也（用數(shù)字作答）。

6丁

［解析（/+：）的展開式的通項G+1=C式％2）6T.Q=〃2612-3"令12-3丁=

0,解得r=4,所以常數(shù)項為第24=240。

3化簡

?+嚼7=22n-10

+c3++c2n

［解析］因為c為+c%+c猊+…+c|2=22n，所以c%2n2n

久%+$+…+嚼）=22X。

二、易錯題

4.（混淆“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”致誤）在（/-：）”的展開式中，所有二項式

系數(shù)的和是32,則展開式中各項系數(shù)的和為二1。

［解析］由題意得2八=32,所以九=5。令x=1，得各項系數(shù)的和為（1-2）5=-1o

5.(配湊不當(dāng)致誤)(%+1)5(%-2)的展開式中/的系數(shù)為二li。

［解析］(%+1)5(%-2)=%(%+I)5-2(%+I)5,展開式中含有產(chǎn)的項為欠禺-r1

I4-2c“2.13=-I5x2,故％2的系數(shù)為一15o

關(guān)鍵能力」銬向探究

類型一二項展開式中特定項或特定項的系數(shù)

1.［2020?北京高考］在(代-2f的展開式中，%2的系數(shù)為(C)

A.-5

B.5

C.-10

D.10

［解析］由二項式定理得(0一2)5的展開式的通項7；+1=砥(?)5-(-2)==

Cg(—2)，—亍，令三■=2，得丁=1，所以3=心(—2)/=—10避，所以避的系數(shù)

為一10o故選C。

2.若二項式_京y的展開式中含有常數(shù)項，則九的值可以是(o

A.8

B.9

C.10

D.11

［解析］二項式(一一專)”的通項為〃+1=喋(”尸-丁(一1)「(%一，’=CH—l)r/F,

由題意可知含有常數(shù)項，所以只需滿足4九一5丁=0,且n2r,對照選項當(dāng)九=10時,

r=8o故選C。

_q

3.在二項式(a+x)的展開式中，常數(shù)項是反返，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是￡。

Q_r

r

［解析］由一項展開式的通項可知7；-+1=C5?(V2)..r7rGN,0<r<9,當(dāng)項為常

數(shù)項時，r=0,Ti=Cg?(V5)9?”=(V5)9=16V5<>當(dāng)項的系數(shù)為有理數(shù)時，9-r

為偶數(shù)，可得r=1,3,5,7,9,即系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是5。

練后感悟

求二項展開式中特定項的方法

第一步，利用二項式定理寫出二項展開式的通項7；+i=C；；Qn-r〃，常把字母和系

數(shù)分離開來（注意符號不要出錯）。

第二步，根據(jù)題目中的相關(guān)條件（如常數(shù)項要求指數(shù)為零，有理項要求指數(shù)為整

數(shù)）先列出相應(yīng)方程（組）或不等式（組），解出丁。

第三步，把廠代入通項中，即可求出7；+1，有時還需要先求九，再求丁，才能求出

Tr+1或者其他量。

類型二二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

微考向1:二項式展開式中的系數(shù)和問題

［例1］

（1）［2022.濟南市模擬］（多選）在（：一工）6的展開式中，下列說法正確的是（BC）

A.常數(shù)項為160

B.第4項的二項式系數(shù)最大

C.第3項的系數(shù)最大

D.所有項的系數(shù)和為64

66rrr6r2r6

［解析］二項式（|一x）的展開式的通項Tr+i=墨（|）"（-x）=（-l）2-Qx-o

對于A,令2/一6=0,得r=3,所以展開式中的常數(shù)項為（一2?髭=一160,故

A不正確；對于B,因為該二項式的展開式共有7項，所以展開式中二項式系數(shù)最大

的項為笫4項，故B正確；對于C,因為展開式共有7項，系數(shù)最大項必為正項，即

在第1、3、5、7這4項中取得，又系數(shù)最大項必在中間偏左或偏右處，所以只需比

較第3與第5項系數(shù)的大小即可，因為第3項的系數(shù)為（-1A24髭=240,第5項的

系數(shù)為（一1戶22禺=60,所以該展開式中第3項的系數(shù)最大，故C正確；對于D,令

%=1,則各項的系數(shù)和為（2-I）6=1,故D不正確。

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（2）［2021?浙江高考］己知多項式（%—I）+（%+=x+a1x+a2x+a3x+a4,

則由=5；a2+。3+。4=IS。

［解析］（%-I）3展開式的通項7V+1=C3%3-r?（一1）「,（％+I）4展開式的通項7火+1=

2

心％4-"，則%=+C；=1+4=5泣2=禺（一1）1+C4=3;a3=C1（—l）+C4=

7;a4=C式-1）3+Cj=0o所以的+Q3+Q4=3+7+0=10。

“賦值法”普遍適用于恒等式，對形如(ax+by,(ax2+bx+c)m(a"GR)的式

子，求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令％=1即可；對形如(a%+

by)"(a/ER)的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令％=y=l即可。

微考向2:二項式系數(shù)與項的系數(shù)的最值問題

［例2］已知(妒+%2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x-iy的展開式的二項式系

數(shù)和大992,則在⑵-目崩的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為二S3,系數(shù)的絕

對值最大的項為-15360%4o

［解析］由題意知，22n-2n=992,即(2"—32)(2"+31)=0,故2n=32,解得九二

5。由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，(2x-￡f°的展開式中第6項的二項式系數(shù)