數(shù)字信號處理習題答案：第六章 離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

第六章離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

6.1求圖P6.1兩個網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)，并證明它們有相同的極點。

解：對網(wǎng)絡I有：

K(z)=2rcos^_,r(z)-r2z-2Y(z)+X(z)

.-y(z)「i一，、

一八；-X(z)-l-2rcos^-,+r2z-2~{rz~l

網(wǎng)絡I的極點在z=re,和z="一"處。

對網(wǎng)絡2有：

_|

Wl(z)=X(z)-rsin6ty(z)+rcos6t,VVjz)

..⑵二X(z)”—)

1-rzcos。

y(z)=rz-sin6W](z)+/z-1cos^y(z)

將％(z)代入得：

-1

v/\-I-nx(z)-^sin^y(z).](X

Y\z)=rzsin?！?----：--------+rzcosOY(z)

1-rzcos。

/(z)-(l-2rz-1cos^+r2z_2)=rz"sin嵌(z)

/\_/(z)_rz~]sin6^_rz-1sin6^

"2。-y(^)-l-2rcos6h-,+r2z-2-(/z-1-e-j(,\rz-l

網(wǎng)絡2的極點在z=%"和z=%-〃處。

網(wǎng)絡1和網(wǎng)絡2有相同的極點。

6.2圖P6.2代表一個線性常系數(shù)差分方程的信號流圖，求輸出)，卜]關(guān)于輸入吊印的差分方

程.

解：由最上邊的傳輸路徑可直接得:)[〃]=疝]

6.3考慮某一由系數(shù)乘法器和延遲單元組成的一般信號流圖(記作網(wǎng)絡A),如圖P6.37所示。

如果系統(tǒng)是初始松弛的，其特性完全由它的沖激響應田川來表征。現(xiàn)在要將該系統(tǒng)作

一些變化以得到一個新的流圖(記作網(wǎng)絡A),其沖激響應h}[n]=(-1)”川。

(a)若如圖P6.3-2所示，試畫出。

(b)說明如何用網(wǎng)絡A的系數(shù)乘法器和或者延遲支路的簡單變化有網(wǎng)絡A而形

成一個新的網(wǎng)絡A,4的沖激響應為九[川。

(c)若網(wǎng)絡A如圖P6.3-3所示，說明如何僅用系數(shù)乘法器的簡單變化把該網(wǎng)絡

A變化為沖激響應為/“川的網(wǎng)絡兒。

圖P6.3-2

解：（a）,/4[〃]=（一1）”〃[川

n=-x?

■HX

=E—〃]（-z）f

4="00

=H（-z）

的圖像如下：

(b)由z變換式H1(z)可以看出，只需要將A網(wǎng)絡中的延遲因子變成(-z)T=-zf即

可。就是說在延遲支路上乘以一1即可。如下圖：

即可得系統(tǒng)差分方程：

y[n\=e"%y[n]+x[n]。

設yin]=yr[n]+及同，x[n]=+同川。則可得到:

yrW=cos4?y』〃-1]一sin利)?y\n-1J+x\n],

yj川=sin<y()-yr[n-1]+cos<y()?-1J+xj川。

注意，實際中往往M〃]=x4〃l。

即可得實現(xiàn)的系統(tǒng)流圖，如圖解6.4。

O-OO

)'」川

COS01

o_76

-sin?.

O—OO—O

雙川兆川

z_,

?例3

sin例

圖解6.4

6.5對于系統(tǒng)函數(shù)

48

作為一階系統(tǒng)的級聯(lián)對該系統(tǒng)畫出所有可能實現(xiàn)的流圖。

(")2-1

解：”(z)=14-Z

，

1---Z-IH-1Z-2

482

田口/、1+2Z-1+z-2、-7+8z-125_18

又H(z)=-------------=8+-31\i-/yr

z+z-2

+-z-214-8-1—z1—z

4842

所以所有可能實現(xiàn)的流圖如下:

(1)直接I型：

(3)直接I型級聯(lián)形式:

(5)一階并聯(lián)形式:

8

9

MT

o-o則

opoo

3

zT8

o二<>

▲z-'

O0

6.6.圖P6.6的流圖是不可計算的；也就是說，用該流圖所表示的差分方程不能計算出

輸出，因為流圖中包含了一個沒有延遲單元的閉合回路。

(a)寫出圖P6.6系統(tǒng)的差分方程，并由差分方程求網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù);

(b)由系統(tǒng)函數(shù)求一個可計算的流圖。

解：(〃)設各節(jié)點如圖所示,可得:

VV)[//]=A[/?]+〃嗎,[〃]

%[〃]="[〃]

卬3H=叼同

%[〃]=_/[”]

卬5[〃]=。卬3卜]+卬1〃-1]

必[〃]+。卬/〃]

)，["]=%[〃]

由上可得：

>{/?]+by[n-1]=x[n]

對上式兩邊進行z變換得：

(i+z?z-1)r(z)=x(z)

?,■)=眼=/

⑹采用直接I型來實現(xiàn)〃(z)可得:

因為上圖中僅包含一個含有延遲單元的回路，所以這是一個可計算得流圖.

6.7考慮一個因果線性時不變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)如下：

1+-Z-1

“(z)=—j——r------i—

(1%ZT+§Z-2)(I+%T)

(a)對下列每種形式畫出信號流圖：

(1)直接I型

(2)直接II型

(3)用一階和二階直接II型的級聯(lián)型

(4)用一階和二階直接II型的并聯(lián)型

(5)轉(zhuǎn)置直接II型

(b)對于上面(a)中最后一個流圖，寫出差分方程，并證明該系統(tǒng)有正碓的系

統(tǒng)函數(shù)。

解：一個因果線性時不變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)如下：

(z

xZ)11

2

+-Z+-Z

3)(14

(a)對于每種形式畫出信號流圖

(i)直接I型

(ii)直接I【型(合并公共延遲單元)

(iii)用一階和二階直接I【型的級聯(lián)型

(iv)用一階和二階直接II型的并聯(lián)型

623627

--H---Z

H(z)=3：35__35

1——z+-Z

23

川川MR

(v)轉(zhuǎn)置直接n型

匕)[〃]

匕m

(b)設置如上圖的中間變量，得出如下的差分方程組

%[川=升川+%5一1]

p」川=-M川+-M川+嶺[〃-1]

4一,

v2[?]=--yW+v3[7t-i]

%而=)M]

整理如上的方程組，得出如下的差分方程：

M川一;M〃一”+康乂〃-21-\乂〃-3]=Mm+：石〃T]

也就是系統(tǒng)函數(shù)對應的差分方程。

轉(zhuǎn)置直接II型信號流圖有正確的系統(tǒng)函數(shù)。

6.8求圖P6.8所示出幾個流圖各自的轉(zhuǎn)置，并證明原流圖和轉(zhuǎn)置流圖具有相同的系統(tǒng)函數(shù)。

圖P6.8

解:

原流圖一組合適節(jié)點變量的選取，以及轉(zhuǎn)置后的流圖可參照圖解6.8。

*[n]

轉(zhuǎn)置后的流圖及相應的節(jié)點變量

圖解6.8

各個流圖的系統(tǒng)函數(shù)分析如下。

(a)原流圖：〃河網(wǎng)+M〃]。

轉(zhuǎn)置后流圖：y[n]=ay[n]+乂川。

當然，從二者流圖形式也可以直觀的看出二者一樣。

(b)原流圖：

W(z)=X(z)+—W(z)-z-1,

y(z)=W(z)+-W(z)-z-,。

4

即可得：H(z)=-^-=—告—。

X(Z)j.1r1

2-

轉(zhuǎn)置后：

y(z)=X(z)+Jz-i?X(z)+Jz-T?(z)，

44

同樣有：H(z)=-^-=—g—。

X(2)

2"

(c)原流圖：Y(z)=aX(z)+^z-tX(z)+cz-2X(z),

即:"⑶二折力。

轉(zhuǎn)置后同樣有：V(z)=aX(z)+Z?z-'X(z)+cz-2X(z),

同樣：H(z)=-------------

a+bz+cz~

(d)原流圖：

W(z)=X(z)-rsin^-z~lY(z)+4cosaz''W(z),

Y(z)=rsin^-z~W⑵+rcos^-z~lY(z)?

H(z)=—―一?：，

即:

1-2/*cos^-z+r~z~

轉(zhuǎn)置后：

W(z)=X(z)+rcos^-z-'VV(z)-z*sin^-z-'y(z),

y(z)?z=rsin/9-VV(z)+rcos^-Y(z)。

一?sin..z-

同樣:

1-2/*cos^-z~l+r2z~2

6.9圖P6.10(a)?(f)示出六個系統(tǒng)，試確定最后五個(b)?(f)中的哪一個于與(a)有相

同的系統(tǒng)函數(shù)，你應該憑觀察就能排除某些可能性。

(a)

疝］

(d)

o—

巾］疝］

_3

~8

(e)(0

2+-z-'

11

解：(a)圖”(z)=4

.1-i.3_|,「3-2

1——z\+—z1+-Z1--Z2

2448

(b)圖“(z)=——--

l+-z-1--z~2

48

sin^z-

(c)圖H(z)=----4

3、

1-2|cos-Z

4J

1

-

4-

(d)圖H(z)=13

n+-z-z

48--2

2+-z-l

(e)圖H(z)=-4

1--Z-1+-z

48

2|l+

(f)圖”(z)二一—

+-Z-2

48

所以(d)和(a)具有相同的傳遞函數(shù)。

6.10.考慮圖P6.10的系統(tǒng)

(a)求系統(tǒng)函數(shù)z)

(b)寫出輸入輸出序列滿足的差分方程。

⑹畫出一種與圖P6.I0系統(tǒng)具有相同輸入輸出關(guān)系，但具有最少可能延遲單元個數(shù)的

信號流圖。

解:（a）該系統(tǒng)可看成先由兩個系統(tǒng)并聯(lián)，再與另一系統(tǒng)串聯(lián)而得.

并聯(lián)的兩系統(tǒng)分別為：

-|_2

/72（z）=14-2z+z

所以并聯(lián)后系統(tǒng)函數(shù)：

"Q）=乜（Z）+%（Z）

然后再與〃31）串聯(lián):

%（Z）=T

所以總的系統(tǒng)函數(shù)：

"（Z）="'（Z）"3（Z）

--------l+2z-'+z-2+

1-Z_,1-"+口

88

997

-2+1-1Z-3+Z一

8-8-88-

J(z)

X(z)

(b)由"(z)可得輸入輸出滿足的差分方程為：

WT-Y)["1]+[4”2]一]3]=2巾]+，[〃-1]+:2]+?_3]+[x[n-4]

o4ooooo

(c)該系統(tǒng)最少應含有4個延遲單元

6.11一線性時不變系統(tǒng)用圖P6.11來實現(xiàn)。

(a)寫出該流圖所代表的差分方程。

(b)該系統(tǒng)的系統(tǒng)漢書是什么？

(c)用圖P6.11的實現(xiàn)中，計算每個輸出樣本需要多少次實數(shù)乘法和實數(shù)加

法？(假設M網(wǎng)是實數(shù)，且假設乘1不計在乘法的總次數(shù)中。)

圖P6.ll的實現(xiàn)要求四個存儲寄存器［延遲單元)，用另一種不同的結(jié)構(gòu),

有可能減少存儲寄存器的個數(shù)么？若可以，畫出其流圖，若不行，請解釋

為什么不能再減少。

叱〃]yW

o

圖P6.11

解：一個LTI系統(tǒng)如題圖所示：

該流圖代表的差分方程如下:

vf〃]=+3vf〃-1]+v(〃-2]

y[n]+W〃-1]+2\{n-2J=乂川

(b)系統(tǒng)函數(shù)為:

(c)單位延遲不計，則每個樣本需要2次乘法和4次實數(shù)加法。

(d)用直接II型信號流圖實現(xiàn)，合并延遲單元，如下圖：

M川y[n]

Q

6.12一線性時不變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為

0.2(1+zT卜

(l-2z-,+-Z-2)(14-Z-,+-z")(1-L"+z")

822

(a)將圖P6.12中的全部系數(shù)填入，并考慮答案是否唯一。

(b)在圖P6.12中選定合適的節(jié)點變量，并寫出由該流圖所表示的一組差分方程。

解：

(a)將H(z)化為二階系統(tǒng)的級聯(lián)形式:

口，、0.2(1+z-')2(14-z-*1)2(i+z-1)2

H⑶:--------------7--------------------------i-------i------------

1-2z-l+-z_21+Z-,+-z-2l--z-l+z-2

822

().2+().4NT+().2工-2i+2z“+z-2i+22T+/

?-M7_2t_I1_?>1-1

1-2zH---Z1+ZH----Z1€-----Z+Z-

822

系數(shù)填入方法并不唯一，上式所表示的僅是其中一種實現(xiàn)方式，相應得流圖可參照圖解

6.⑵

(b)取如圖解6.12所示的節(jié)點變量，即有:

間川w2[n]%明【用

_C)?C)-?_C~~?~C>->_C~?C5C―_C)—>"Cp-?>-O

[n],

rz-\y[n]

211/2

、//S/、2,<、，

)----?\dS)?C)\，

i—(Z-1-Z-1

0.2-7/8-1/21-1

-4—<)?C)—>—-4_C

圖解6.12

7

-12

叱(z)=0.2X(z)+0.4??X⑵+0.2?z7?X(z)+2?zz--Wi(z)；

8

對應的差分方程為：

7

w[n]=0.2x[n]+0.4x[n-1]+02vf〃-2]+Zwjn-l]——vvj/?-2]°

t8

同樣：

l2

W2(z)=叱(z)-z-W2(z)--Z-W2(Z),

2

-I2

嗎⑶=W2(z)+2ZW2(Z)+Z~W2(Z)O

可得：*J+2Z-+Z-2

%(Z)1+Z、L-2

2

對應得差分方程為:

vv3[/z]=w][n]+2*-1]+Wj[n-2]-w^n—1]-—嗎-2]。

同樣:

]2

W4(z)=W；(z)+2Z-W3(Z)+z-W.(z),

2

r（z）=vvl（z）+1z-'y（z）-z-y（z）o

可得：上包J+二+廠

2

嗎⑶+2-

2

對應得差分方程為：y[n]=%+2%-11+w3f/7-?.]4--y[/7-1]-y[n-?.]

6.13下列簡單的FORTRAN程序?qū)崿F(xiàn)了一個二階離散時間濾波器。輸入序列存放在長度為L

的數(shù)組X內(nèi)，輸出序列放在丫內(nèi)。

DIMENSIONX(L),Y(L)

F=0.

G=0.

DO1N=1.L

Y(N)=X(N)+F

F=-X(N)+0.75*Y(N)+G

G=-0.125*Y(N)

ICONTINUE

STOP

END

試畫出該系統(tǒng)的流圖表示。

解：由程序可知,Y[N]=X[TV]--1]+0.75r[^V-1]-0.125Y[N-2]

所以Y[N]-0.75Y[N-1]+0.125Y[N-2]=X[N]-X[N-1]

則系統(tǒng)傳函為H(z)=

l-0.75z-,+0.125z-2

系統(tǒng)流圖如下:

6.14.求圖P6.14各系統(tǒng)的沖激響應。

解：(a)//(Z)=1-2Z-'+4Z-2+3Z-3-Z+z

n=0

n=1

n=2

n=3

〃二4

77=5

〃為其他

(b)/7(z)=1-2z~l+4z-2+3z~3-z-4+z-5

所以，〃]同上.

(c)該圖為M為奇整數(shù)時FIR線性相位系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)，其中

M-1「

-----=3

2

M=7

/?[0]=2

砸=3

物=-1

砌=1

雨=〃[7-4]=1

/?[5]=/?[7-5]=-1

/?[6]=/?[7-6]=3

/z[7]=/?[7-7]=2

(d)該圖為M為偶整數(shù)時FIR線性相位系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)，其中:

絲=3

2

:.M=6

/z[0]=l

=2

[2]=T

砌=3

/Z[4]=/?[6-4]=-1

/?[5]=/?[6-5]=2

/?[6]=/?[6-6]=1

6.15一線性時不變系統(tǒng)的沖激響應為：

…\an0</?<7

h\n\=<

(a)畫出該系統(tǒng)的一種直接型FIR實現(xiàn)流圖。

(b)證明對應的系統(tǒng)函數(shù)為：

1,8-8

z

“⑶二戶rIl>l4

(c)畫出另一種系統(tǒng)流圖，該流圖具有相同的系統(tǒng)函數(shù)，且由FIR和IIR系統(tǒng)

級聯(lián)所組成(設時<1)。

系統(tǒng)的那一種實現(xiàn)要求

(1)最多的存儲器(延遲單元)？

(2)最多的運算次數(shù)(每個輸出樣本的乘法和加法次數(shù))？

解：因為一線性時不變系統(tǒng)的沖激響應為:

h[n]=*a0<H<7

0其它

(a)H(z)=a2z-2+---+?7z-7

直接型FIR實現(xiàn)流圖如下:

O--*--p

?a6'a1

兄川

o---6-----o

71—/z

(b)證明:"(Z)=ZQT)”=「忖>14

n=0\-az"

(c)由(b)的結(jié)論，H(z)可以寫成如下的形式：〃(z)=—J(l—。，一8)

\~az

在系統(tǒng)函數(shù)不變的情況下：由F1R和HR系統(tǒng)級聯(lián)所組成，那么相應的信號流圖如

下：

o--O

M川

M川

-o

(d)直接型實現(xiàn)需要7次加法、7次乘法和7個延遲單元。

級聯(lián)型需要9個延遲單元，2次加法和2次乘法。

也就是說直接型實現(xiàn)需要最多的運算次數(shù)，而級聯(lián)型需要最多的存儲器(延

遲單元)

6.16設一FIR系統(tǒng)，其沖激響應為

〃[〃]=微。+cosg/15)(〃一〃o)D0</?<14

0else

該系統(tǒng)時頻率采樣濾波器的一個例子。

(a)對no=O和n0=7,畫出該系統(tǒng)的沖激響應。

(b)證明該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

1/2哪”5,戶。”5

122_________

l-z-l+J"行"+-

1一產(chǎn)2

(c)證明：若no=7,系統(tǒng)的頻率響應可以表示為

，口15/2)1sin[(0一21/15)15/2]1sin[(—+2-/15)15/2]

15sin(。/2)2sin[(<w-2^/15)/2]2sin[(ty+2^/15)/2]

利用該表示式畫出n0=7時系統(tǒng)頻率響應的幅度。對n0=0求一個類似的表達式。這個

系統(tǒng)具有廣義線性相位么？畫出n()=0時的幅度相應。

(d)畫出系統(tǒng)作為系統(tǒng)函數(shù)為(l-z"5)的FIR系統(tǒng)和?階及二階HR系統(tǒng)并聯(lián)后得到

系統(tǒng)的級聯(lián)的實現(xiàn)流圖。

解：

(a)兩圖如圖解6.16-a所示。

(b)證明如下：

H(z)==次(白(l+cos[(2乃/15)(〃一〃o)D)z-"

“=-XM=0ID

2

i14i.2.2.i,2

J—.I/-n.j-^(-n)I-j一1.j—

=—15z-')nk150+-(f15z-*)w)e15

1522

I1-注叫1-z-15

—<----+-e15

15l-z-,2"A"2

1-e15z

j_-j2mo”5j_j2現(xiàn)月5

士+上/2-ZT+I』5=ZT

(c)證明如下：

由h[n]得絕對可加性可得：H(ejM)=

特別地，當%=7時:

H(*)="(z)

z=*

“0.7

!0-/2則/IS

2mo"5

”1

_____________

15

★一

sin

2

=—(l-e-Jl5ft,)

152

2/sin—(0-------71(0+—71

22jsin15sin——巫

22

1.7j—a)-j—a)111

—e-jla,(e2-e2)--------------------—+----------z—

15c..022

2jsin—co-------71Ct)+—71

22./sin——1^—2,/sin——

1_sin(㈤5/2)18m[(69-2^/15)15/2]1sinf(69+2^/15)15/2]

-c>7----------1-----------------------1---------------------

15sin(ty/2)2sin[(@一21/15)/2]2siii[(6y4-2^/15)/2]

即，%)=7時幅度響應地表達式為:

1sin(㈤5/2)!sin[(o-2萬/15)15/2]1sin[(①+2乃/15)15/2]

15[sin(ftj/2)2sin[(^-2^/15)/2]2sin[(6y+2^/15)/2]

對應可得到頻率幅度響應圖，見圖解6-16c。

同樣，當%=0時:

〃(")=”(z)

z=e,M

“。=0

(1-6-，叫_!-----L1

右+]_/2;r/15eT“+]_?T2萬小/川

151-e

1.(0.開,.b).K

.(f)J--J-

2151J建不

，芍-ee

」(一3)----+29

152

2jsin—CO-------710+—71

2./sin152./sin—/―

2

,/r

-I一

15

1.153e小

=一sin-----+

152.CO2^2

smCD-----7t(0+—7T

2sin-----sin-----L5—

22

e巾

八.\+

15.(0.(CD71.(CO7U

sin—sinsin

21215；(215；

很明顯，此時系統(tǒng)并“線性相位系統(tǒng)。

幅度響應地表達式為：

----+

15.CD

sin

2

對應可得到頻率幅度響應圖，見圖解6-16co

nO=On0=7

0.2

0.15

50.1

0.05

%51015

圖解6-16a、c

(d)將系統(tǒng)函數(shù)化為(1-zF)的FIR系統(tǒng)和一階及二階IIR系統(tǒng)并聯(lián)后得到系統(tǒng)的級

聯(lián)，得:

2cos-5。+1)

/7(z)=-^(1-z-'5)-1°15

+15+

-1

JLJ1-zl-z-l2cos—+z-2

15

相應可得如圖解6-l6d所示得系統(tǒng)流圖。

Q-

1/2

O~~?-QOQOOOQO

[n]y[n]

?_OQ

-15

25"■z2乃,

cos

04?5-6—4~o

-1

圖解6-l6d

6.17在本題中我們將建立一種稱為頻率采樣濾波器的一類離散時間系統(tǒng)的某些性質(zhì)。這類

濾波器具有如下形式的系統(tǒng)函數(shù)

//(Z)=(1-Z-).E-?4^

k=01一之逐

式中4=，d那族,攵=0」,…,N-1。

(a)該系統(tǒng)函數(shù)"(z)可用系統(tǒng)函數(shù)為(1-z-N)的FIR系統(tǒng)的級聯(lián)與一階HR系統(tǒng)的

并聯(lián)組合來實現(xiàn)。畫出這種實現(xiàn)的信號流圖.

(b)證明如上所定義的〃(z)是一個(N-1)階的zT多項式。為此就需要證明除

z=0外沒有任何極點，也沒有高于(N-1)次的zT項。關(guān)于該系統(tǒng)沖激響應的

長度這意味著什么？

(c)證明沖激響應由下列表示式給出：

胴=(懸碾/⑵叫(而］-〃［〃-M)。

［提示：求出該系統(tǒng)FIR和HR部分的沖激響應，然后將它們卷積以得到總沖激響

應。］

(d)利用洛皮塔爾(L'Hopital)法則證明

H(z〃J=〃(川2司陣)=磯〃?］6=0,1,…N_I,

這就是說，證明常數(shù)方［〃?］就是系統(tǒng)頻率響應在等間隔頻率以,二(2乃/2>〃,

m=0,1,…,N-l上的樣本，這類FIR系統(tǒng)的名稱就來自這一性質(zhì)。

(e)一般IIR部分的極點Z,,和頻率響應的樣本H［k］都是復數(shù)。然而，若是實數(shù)，就能

找到一種僅涉及實數(shù)量的實現(xiàn)，證明：若是實數(shù)且是偶數(shù)，那么可以表示為：

H（Z）=（1-Z-N）

喀?斗*3叫cos［0（2//W）］-z-cos［e（2成/N）-2砍W］

1-z-11+z-1念N1-2cos（2^/W）z-1+z-2

式中"（e扭）=,（〃&卜/⑻，當N=16和m/W）=0,%=3,4,…,14時，畫

出該系統(tǒng)的信號流圖表示。

解：⑶“⑵光一力與普粵

*=0zkz

令〃(Z)=5H1(Z)”2(Z)，其中，儲(z)=l—z-",為FIR系統(tǒng),

%(z)=￡后叱,為無線長系統(tǒng)。

?=01-Z&Z

信號流圖為：

i-z-N=0,Z.=e^'i=

:H](z)=n(l-z.z-1)

而火，k=0,l,…，N—l

i=%時z；=zk

1_Z-Nll(l-ZjZ')NT

,=乂--------=n(l-z/7)是z-'的(N_1)次多項式

1—zl-z,z;：：0

q=oI-z&ZINA=o1-Z?Z

rN-\iD

市1V-1颯、1=0L

NJl=0Z

”(z)除了z=o外沒有任何極點，也沒有高于N-1次的Z-I項。

N

(c),/H[(z)=1-z~h][n]=6[n]-6[n-N]

“2(Z)=￡磯"L，.」2[〃]=￡方同2；〃[〃]

k=O*~ZkZ?=O

ii?.

4〃]=—為H%Z方k】?z?）.（淅]-M）

A=0

=M”[W（2加乃.（如_淅-M）

/N

（）

d*):螞1喝饕-I

\--N

當/%w攵時，lim------z----=0

2Z

->3.I-zkz

Zf1fz

用洛必塔爾法則，

」.H（z?,）=limH（z）=lim旦園?K二="mH[m]^—

又z/=1所以”（z”J=limH[m]^=H[m]

fz,“

（e）當[〃]為實數(shù)，且N為偶數(shù)時—=0有兩個單根，即

N

k=0時,,z°=1和攵=一時，zN=-1

27

而去-二〃2T（NY?N=e-，2欣*=z；,k=\,2,…,N/2

又跳〃]為實數(shù),所以磯N—左]=H（z；）=H?（zJ="閃

所以第k個和第N-攵個共扼極點所在的一階網(wǎng)絡可合并成一個二階網(wǎng)絡，即

…嗎+^4

1-ZMl-zN_kz

H[k]?H[N-k]

l-z/l-z；z-'

H[k]ej^\H[k]e-0M

i-1

1-zkz~1-z^z

「做上叫一二[）+一劑：）（1一獷1）]

Q-z；zUl-z人z"）

_忸時，例“）（叫_（e例%；+d（*JzT]

i-k+^）z_|+z_2

_12cos[e（zJ]-2com-z』z「）

1-2cos（zjz74-z-2

2方k]（cos[e（2//N）]-cos[0（2//N）-2砍1W]z"）

i-2cos（2//N）zT+z"

心）=（1--八）￡普粵=（一那）

t=0l-Z^Z

HQ》N”（一1）/N（弋2的"\"""[cos[0（2砍W）]-z"cos[0（2砍7V）-2成/N]

?----------+-------------+）---------------------------------------------------------------------------

1-Z-,1+z-￡Nl-2cos（2//W）z-1+Z-2

當N=16和”(e9)=0,