大物物理教程 第2版 課件 第2章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)

一、角動量§2-1質(zhì)點的角動量與角動量守恒定律質(zhì)點對圓心的角動量行星在公轉(zhuǎn)軌道上的角動量定義：質(zhì)點對點的角動量為角動量大小（面積）角動量方向

（1）質(zhì)點對點的角動量，不但與質(zhì)點運動有關(guān)，且與參考點位置有關(guān)。（2）方向的確定討論：

（3）做圓周運動時，由于，質(zhì)點對圓心的角動量大小為質(zhì)點對圓心O的角動量為恒量大小不變大小不變大小不變方向不變方向不變方向不變例題1

按經(jīng)典原子理論，認為氫原子中的電子在圓形軌道上繞核運動.電子與氫原子核之間的靜電力為F=ke2/r2，其中e為電子或氫原子核的電荷量，r為軌道半徑，k為常量．因為電子的角動量具有量子化的特征，所以電子繞核運動的角動量只能等于h/2π的整數(shù)(n)倍，問電子運動容許的軌道半徑等于多少?解：由牛頓第二定律得由于電子繞核運動時，角動量具有量子化的特征，即由式(1)和式(2)兩式，得由上式可知，電子繞核運動容許的軌道半徑與n平方成正比．這就是說，只有半徑等于一些特定值的軌道才是容許的，軌道半徑的量值是不連續(xù)的。將各常量的值代人式(3)，并取n=1，得最小的r值：從近代物理學(xué)中知道，這一量值與用其他方法估計得到的量值符合得很好．

二、角動量守恒定律表明小球?qū)A心的角動量保持不變實驗中發(fā)現(xiàn)行星繞太陽的運動表明行星在運動過程中，對太陽的角動量保持不變。對t求導(dǎo)

質(zhì)點的角動量定理：如果作用在質(zhì)點上的外力對某給定點的力矩為零，則質(zhì)點對點的角動量在運動過程中保持不變。這就叫做角動量守恒定律。例題2

我國第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球的中心O為該橢圓的一個焦點．已知地球的平均半徑R=6378km，人造衛(wèi)星距地面最近距離l1=439km，最遠距離l2=2384km．若人造衛(wèi)星在近地點A1的速度v1=8.10km/s，求人造衛(wèi)星在遠地點v2的速度．

解：因人造衛(wèi)星所受引力指向地球中心，所以，人造衛(wèi)星的角動量守恒。l2l1A1A2星系圖片球形原始氣云具有初始角動量L，L在垂直于L方向，引力使氣云收縮，

但在與L平行的方向無此限制，所以形成了旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)。

角動量守恒，粒子的旋轉(zhuǎn)速度

，慣性離心力

，離心力與引力達到平衡，維持一定的半徑。引言

描述質(zhì)點或質(zhì)點系轉(zhuǎn)動狀態(tài)的物理量

——角動量行星繞日運動，其動量時刻變化，但其角動量在運動過程中卻保持不變。勻質(zhì)圓盤繞其中心垂直軸轉(zhuǎn)動，其動量為零。需要一個描述轉(zhuǎn)動的物理量—角動量來描述轉(zhuǎn)動。

能量、動量和角動量是最基本的物理量。它們的守恒定律是自然界中的基本規(guī)律，適用范圍遠遠超出了牛頓力學(xué)。動量描述平動，角動量描述轉(zhuǎn)動。

力的時間積累（沖量）引起動量的變化；力矩的時間積累引起角動量的變化。星系圖片

既考慮物體的質(zhì)量，又考慮形狀和大小，但忽略其形變的物體模型。一、剛體剛體（rigidbody）：剛體可看作是質(zhì)量連續(xù)分布的且任意兩質(zhì)量元之間相對距離保持不變的質(zhì)點系。§2-2剛體模型及其運動二、平動和轉(zhuǎn)動

當(dāng)剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動（translation）。

可以用質(zhì)點動力學(xué)的方法來處理剛體的平動問題。平動時，剛體內(nèi)各質(zhì)點在任一時刻具有相同的速度和加速度。剛體內(nèi)任何一個質(zhì)點的運動，都可代表整個剛體的運動，如質(zhì)心。1、平動

如果剛體的各個質(zhì)點在運動中都繞同一直線作圓周運動，這種運動就叫做轉(zhuǎn)動（rotation），這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸是固定不動的，就叫做定軸轉(zhuǎn)動（fixed-axisrotation）。

可以證明，剛體的一般運動可看作是平動和轉(zhuǎn)動的疊加。如：門、窗的轉(zhuǎn)動等。如：車輪的滾動。2、轉(zhuǎn)動3、剛體的定軸轉(zhuǎn)動

定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上各點都繞同一固定轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動。

在同一時間內(nèi)，各點轉(zhuǎn)過的圓弧長度不同，但在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同，稱為角位移，它可以用來描述整個剛體的轉(zhuǎn)動。

作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)各點具有相同的角量，包括角位移、角速度和角加速度。但不同位置的質(zhì)點具有不同的線量，包括位移、速度和加速度。

線量與角量的關(guān)系：角位移角速度角加速度角量：[例題1]一半徑為R=0.1m的砂輪作定軸轉(zhuǎn)動，其角位置隨時間t

的變化關(guān)系為

=(2+4t3)rad，式中t以s計。試求：（1）在t=2s時，砂輪邊緣上一質(zhì)點的法向加速度和切向加速度的大小。（2）當(dāng)角

為多大時，該質(zhì)點的加速度與半徑成45o角。解：

(1)(2)此時砂輪轉(zhuǎn)過的角度

=(2+4t3)=2+4×(0.55)3=2.67(rad)[例2]一細棒繞

O點自由轉(zhuǎn)動，初始時

=0，。求：(1)

=

/3時，

=？(2)端點A和中點B的線速度為多大?

解：(1)棒做變加速運動由得§2.3

繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能轉(zhuǎn)動慣量一.轉(zhuǎn)動動能z

O設(shè)系統(tǒng)包括有N

個質(zhì)量元,其動能為各質(zhì)量元速度不同，但角速度相同剛體的總動能P?繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半結(jié)論取二、轉(zhuǎn)動慣量的計算若質(zhì)量離散分布若質(zhì)量連續(xù)分布J的單位：kg·m21.轉(zhuǎn)動慣量的計算Momentofinertia注意：(1)J只是對某個軸的。

(2)dm的取法：需使dm

上各點的r相等。例：對Jx，

Jy，

Jz

，dm的不同取法。dmdmdmyox質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中

、

、

分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布面分布體分布dm為質(zhì)量元，簡稱質(zhì)元。其計算方法如下：[例題1]

求質(zhì)量為

m、半徑為

R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：設(shè)線密度為

J是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。

dmRORrdrO

解：設(shè)面密度為

，取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán)[例題2]求質(zhì)量為m、半徑為R、薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心?？梢姡D(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。[例題3]求質(zhì)量為m、半徑為R、長為l的勻質(zhì)圓柱體對其軸線的轉(zhuǎn)動慣量。解：取薄圓盤dmldm由上題[例題4]求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：取如圖坐標(biāo)，dm=

dxxABL/2L/2Cdm可見，與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀(質(zhì)量分布)ABLdmx記住幾個典型的轉(zhuǎn)動慣量：圓環(huán)（通過中心軸）…

J=mR2圓盤、圓柱（通過中心軸）…………細棒（端點垂直軸）…細棒（質(zhì)心垂直軸）…2.平行軸定理

若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：前例中Jo＝Jc＋md2平行軸定理ABL/2L/2Cxdm3.正交軸定理Jz＝Jx＋

Jy正交軸定理例：薄圓板。對通過圓心和板面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為rdm[習(xí)題]一棒長l，質(zhì)量m，其質(zhì)量分布與O點距離成正比，將細棒放在粗糙的水平面上，棒可繞O點轉(zhuǎn)動，如圖，棒的初始角速度為

0

，棒與桌面的摩擦系數(shù)為

。求：(1)細棒對O點的轉(zhuǎn)動慣量。(2)細棒繞O點的摩擦力矩。(3)細棒從以ω0

開始轉(zhuǎn)動到停止所經(jīng)歷的時間。解：(2)細棒上距O

點r處長dr

的線元所受的摩擦力和對O點的摩擦力矩：（3）由角動量原理§2.4力矩的功剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

O

功的定義力矩作功的微分形式對一有限過程若

M=C(積分形式）力的累積過程——力矩的空間累積效應(yīng)??.P三.轉(zhuǎn)動動能定理——

力矩功的效果對于一有限過程繞定軸轉(zhuǎn)動剛體在任一過程中動能的增量，等于在該過程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。這就是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的——動能定理(2)力矩的功就是力的功。(3)內(nèi)力矩作功之和為零。討論(1)合力矩的功

例1

一根長為

l

，質(zhì)量為m

的均勻細直棒，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置解由動能定理求它由此下擺

角時的

此題也可用機械能守恒定律方便求解Olm

Cx[例2]沖床的飛輪m=600kg，飛輪半徑r=0.4m，正常轉(zhuǎn)速為n1=240rev/min。沖一次孔轉(zhuǎn)速減低20%。求沖一次孔沖頭做的功。解：沖孔前后的角速度分別表示為ω1和ω2

[例3]已知棒L，M可繞桿上端水平軸O點轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量m的泥團以速度v0打桿的中部并粘住。求：桿剛開始擺動時的角速度及可擺動的最大角度。O

§2.5剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律質(zhì)點與剛體綜合題目求解步驟：（1）隔離體受力或受力矩分析。（2）建立坐標(biāo)系。（3）列方程。（4）找角量與線量的關(guān)系。（5）解方程。解:聯(lián)合解得

對輪：又有對m2：[例題1]如圖，求m2的加速度a，輪子的角加速度。[例題2]

如圖所示m1>m2試由牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律寫出系統(tǒng)的運動方程，求出m2上的加速度和張力T1，T2，T3。

解：設(shè)m2的加速度為a，方向向上，則m1的加速度也為a，方向向下，滑輪與繩不打滑，則滑輪與繩的加速度為：②③⑥⑦兩端相加：本題中當(dāng)M

1，M2質(zhì)量可以忽略時T1=T2=T3

(2)桿與豎直方向成

角時積分，得

小球的法向加速度解：(1)

[例題3]如圖所示。求：(1)剛體繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量。(2)桿與豎直方向成

角時,小球的角速度和法向加速度?！?.6剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律思路:與處理動量定理動量守恒問題相同1.質(zhì)點對定點的角動量

t時刻(如圖)定義為質(zhì)點對定點o的角動量方向：垂直組成的平面SI大小：贗矢量角動量方向vrma

t時刻如圖定義

為力對定點o的力矩單位時間內(nèi)傳遞的角動量2.力對定點的力矩大?。褐袑W(xué)就熟知的：力乘力臂方向：垂直組成的平面注意:角動量和力矩均與定點有關(guān)力矩：贗矢量方向用右手螺旋法規(guī)定稱為角動量定理的微分形式。二、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理由定軸轉(zhuǎn)動定律，若J不變，為時間內(nèi)力矩M

對給定軸的沖量矩。角動量定理的積分形式：且系統(tǒng)滿足角動量定理

角動量定理比轉(zhuǎn)動定律的適用范圍更廣，適用于剛體，非剛體和物體系。

對幾個物體組成的系統(tǒng)，如果它們對同一給定軸的角動量分別為、、…，系統(tǒng)對該軸的角動量為：三、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動角動量定理：定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒定律：物體在定軸轉(zhuǎn)動中，當(dāng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，物體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。當(dāng)時，有即(常量)適用于剛體，非剛體和物體系。1、剛體(J

不變)的角動量守恒若

M=0，則J

=常量，而剛體的J

不變，故

的大小，方向保持不變。此時，即使撤去軸承的支撐作用，剛體仍將作定軸轉(zhuǎn)動——定向回轉(zhuǎn)儀——

可以作定向裝置。如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。o

2、非剛體(J可變)的角動量守恒當(dāng)J增大，w就減小，當(dāng)J減小，w就增大。如：芭蕾舞、花樣滑冰、跳水中的轉(zhuǎn)動，恒星塌縮(R0，

0)(R，

)中子星的形成等。3、物體系的角動量守恒

若系統(tǒng)由幾個物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對軸的力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動量守恒：如：直升機機尾加側(cè)向旋葉，是為防止機身的反轉(zhuǎn)。1）角動量守恒定律的條件2）動量守恒與角動量守恒是相互獨立的定律3）有心力力始終過某一點centralforce角動量守恒如行星運動動量不守恒角動量守恒討論行星受力方向與矢徑在一條直線（中心力），故角動量守恒。

例1

摩擦離合器飛輪1：J1、

w1摩擦輪2：

J2、靜止，兩輪沿軸向結(jié)合，求結(jié)合后兩輪達到的共同角速度。兩輪對共同轉(zhuǎn)軸的角動量守恒解：在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉(zhuǎn)化為熱能。21