2025年中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷3套（含答案）

第第頁(yè)2025年中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷1(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分．每小題都給出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．實(shí)數(shù)－2的相反數(shù)是()A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)2．2024年春節(jié)出游人次和旅游總花費(fèi)均創(chuàng)歷史新高，經(jīng)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測(cè)算，春節(jié)假期全國(guó)國(guó)內(nèi)旅游出游4.74億人次．4.74億＝474000000，將474000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()A．4.74×109 B．4.74×108C．47.4×107 D．474×1063．如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體是()A．圓錐 B．圓柱C．三棱柱 D．長(zhǎng)方體4．下列計(jì)算正確的是()A．3a＋2b＝5ab B．a(chǎn)2·a3＝a6C．(－a3b)2＝a6b2 D．a(chǎn)2b÷a＝b35．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半徑OA＝3，C是eq\o(AB,\s\up7(⌒))上一點(diǎn)，連接OC，D是OC上一點(diǎn)，且OD＝DC，連接BD.若BD⊥OC，則eq\o(AC,\s\up7(⌒))的長(zhǎng)為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．π6．函數(shù)y＝eq\f(m,x)與y＝m(x－1)(m≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()A． B．C． D．7．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，大于eq\f(1,2)BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD.若CD＝AC，∠B＝26°，則∠ACB的度數(shù)為()A．26° B．52°C．128° D．102°8．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱B．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4C．－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根D．當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小9．如圖，正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)P為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△PBC沿CP折疊得到△PCE，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，作射線AE交CD于點(diǎn)F，若點(diǎn)E恰好為AF的中點(diǎn)，則BP的長(zhǎng)為()A．2eq\r(3) B．eq\f(4,3)eq\r(3)C．3 D．eq\f(7,2)10．如圖1，點(diǎn)P從菱形ABCD的邊AD上一點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，沿直線運(yùn)動(dòng)到菱形的中心，再沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，點(diǎn)P到AB的距離為m，到CD的距離為n，且y＝eq\f(n,m)(當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，y＝0)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x的變化關(guān)系如圖2所示，則菱形ABCD的面積為()eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))A．6eq\r(7) B．5eq\r(7)C．10 D．6二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．式子eq\f(\r(x),x－1)中x的取值范圍是________．12．比較大小：3eq\r(2)________2eq\r(3).(填“＞”“＜”或“＝”)13．生肖也稱屬相，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的一種紀(jì)年方式，是一種十二年一個(gè)循環(huán)的紀(jì)年系統(tǒng)，每年用一種動(dòng)物來(lái)代表，是由十二地支演變而來(lái)的．小明手繪了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三種生肖卡，準(zhǔn)備將其中的兩張送給好朋友小亮．小明將它們洗勻后背面朝上放在桌面上(手繪生肖卡背面完全相同)，讓小亮從中隨機(jī)抽取兩張，則小亮抽到的兩張生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是________．14．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝eq\f(1,4)AB＝1，點(diǎn)F在邊BC上，點(diǎn)G在邊CD上，∠GFE＝90°.(1)若tan∠GEF＝3，則GE的長(zhǎng)為_(kāi)_______；(2)若△EFG與△FCG相似，則GE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．解方程：x(x＋1)＝2(2x＋5).16．如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，放置一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)O及點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．(1)結(jié)合所給圖形，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)：點(diǎn)A________，點(diǎn)C________；(2)平移△ABC得到△A′B′C′，其中點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′，B′，C′，且點(diǎn)C′與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，畫(huà)出△A′B′C′，并說(shuō)明△A′B′C′是由△ABC怎樣平移得到的？四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)100萬(wàn)件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖所示)；該產(chǎn)品的總銷售額z(萬(wàn)元)＝預(yù)售總額(萬(wàn)元)＋波動(dòng)總額(萬(wàn)元)，預(yù)售總額＝每件產(chǎn)品的預(yù)售額(元)×年銷售量x(萬(wàn)件)，波動(dòng)總額與年銷售量x的平方成正比，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．年銷售量x(萬(wàn)件)…2040…總銷售額z(萬(wàn)元)…5601040…生產(chǎn)出的該產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲年毛利潤(rùn)為w萬(wàn)元．(年毛利潤(rùn)＝總銷售額－生產(chǎn)費(fèi)用)(1)求y與x以及z與x之間的函數(shù)解析式；(2)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤(rùn)最大，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量應(yīng)為多少？(3)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤(rùn)不低于1000萬(wàn)元，結(jié)合函數(shù)圖象，求該產(chǎn)品年銷售量x的變化范圍．18．【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A，B和C，D，AB和CD相交于點(diǎn)P，求tan∠BPD的值．【方法歸納】利用網(wǎng)格將線段CD平移到線段BE，連接AE，得到格點(diǎn)△ABE，且AE⊥BE，則∠BPD就變換成Rt△ABE中的∠ABE.【問(wèn)題解決】(1)圖1中tan∠BPD的值為_(kāi)_______；(2)如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A，B和C，D，AB與CD交于點(diǎn)P，求cos∠BPD的值；【思維拓展】(3)如圖3，AB⊥CD，垂足為B，且AB＝4BC，BD＝2BC，點(diǎn)E在AB上，且AE＝BC，連接AD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，利用網(wǎng)格求sin∠CPD.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖3))五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．某地廣播電視塔由塔體(含塔座、塔身、塔樓)和桅桿兩部分組成，如圖1.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們開(kāi)展了測(cè)量塔體部分高度的實(shí)踐活動(dòng)，過(guò)程如下：【制訂方案】如圖2，在塔座底部所在的水平面上，選取兩個(gè)不同的測(cè)量地點(diǎn)A，B，分別由甲、乙兩組同學(xué)測(cè)量塔體頂端點(diǎn)D和桅桿天線頂部點(diǎn)C的仰角，丙組同學(xué)測(cè)量這兩個(gè)測(cè)量地點(diǎn)之間的距離．【實(shí)地測(cè)量】水平地面上測(cè)量地點(diǎn)A，B與塔體底端(點(diǎn)H)在同一條直線上，線段AE，BF分別表示測(cè)角儀支架，線段CD表示桅桿天線，DH表示塔體．測(cè)量一：甲組同學(xué)在A處測(cè)量一次，測(cè)得塔體頂端點(diǎn)D的仰角為31°；測(cè)量二：乙組同學(xué)在B處測(cè)量一次，測(cè)得桅桿天線頂部點(diǎn)C的仰角為45°；測(cè)量三：丙組同學(xué)測(cè)量了三次，數(shù)據(jù)如下：測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次第三次A，B之間的距離57.6m57.8m57.7m(1)丙組同學(xué)三次測(cè)量A，B之間距離的平均值為_(kāi)_______m；(2)已知塔頂部桅桿天線CD高100m，測(cè)角儀支架高1.6m，求塔體DH的高度(結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)；(3)從減小誤差的角度考慮，你認(rèn)為哪個(gè)小組的測(cè)量方法更合理？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：∠BAC＝∠ECF；(2)若AD＝6，CD＝2，cos∠BAC＝eq\f(\r(10),10)，求CF的長(zhǎng)．六、(本題滿分12分)21．綜合與探究小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上(即四點(diǎn)共圓)時(shí)，就可以通過(guò)添加輔助圓的方式，使得某些復(fù)雜的問(wèn)題變得相對(duì)簡(jiǎn)單，于是開(kāi)始和同學(xué)一起探究四點(diǎn)共圓的條件．小明同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．因此，他想探究它的逆命題是否成立，以下是小明同學(xué)的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整．(1)【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”的逆命題為：___________________________________________________________________，如果該逆命題成立，則可以作為判定四點(diǎn)共圓的一個(gè)依據(jù)；(2)【驗(yàn)證】如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，請(qǐng)?jiān)趫D1中作出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的⊙O，并直接判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系；(要求尺規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法)eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))(3)【證明】已知：如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°.求證：點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓．證明：過(guò)A，B，C三點(diǎn)作⊙O，假設(shè)點(diǎn)D不在⊙O上，則它有可能在圓內(nèi)(如圖2)，也有可能在圓外(如圖3).假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)時(shí)，如圖2，延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E，連接AE.因?yàn)椤螦DC是△DEA的外角，所以∠ADC＞∠AEC.因?yàn)樗倪呅蜛BCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠ABC＋∠AEC＝180°.又因?yàn)椤螦BC＋∠ADC＝180°，所以∠ADC＝∠AEC.圖3這與∠ADC＞∠AEC相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點(diǎn)D不可能在⊙O內(nèi)．請(qǐng)仿照以上證明，用反證法證明“假設(shè)點(diǎn)D在⊙O外”(如圖3)的情形．七、(本題滿分12分)22．(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，矩形AEFG與矩形ABCD相似，且矩形AEFG的兩邊分別在矩形ABCD的邊AB和AD上，BC∶AB＝1∶eq\r(3)，連接CF.線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；(2)【拓展探究】如圖2，將矩形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，(1)中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖2說(shuō)明理由；eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))圖3(3)【解決問(wèn)題】如圖3，當(dāng)矩形ABCD的邊AD＝AB時(shí)，點(diǎn)E為直線CD上異于點(diǎn)D，C的一點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG，點(diǎn)H為正方形AEFG的中心，連接DH，若AD＝4，DE＝2，直接寫(xiě)出DH的長(zhǎng)．八、(本題滿分14分)23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，連接BE.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)∠EBD＝90°時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)度；(3)在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠ACP＝45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2025年中考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷·教師版(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分．每小題都給出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．實(shí)數(shù)－2的相反數(shù)是()A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案：A2．2024年春節(jié)出游人次和旅游總花費(fèi)均創(chuàng)歷史新高，經(jīng)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測(cè)算，春節(jié)假期全國(guó)國(guó)內(nèi)旅游出游4.74億人次．4.74億＝474000000，將474000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()A．4.74×109 B．4.74×108C．47.4×107 D．474×106答案：B3．如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體是()A．圓錐 B．圓柱C．三棱柱 D．長(zhǎng)方體答案：B4．下列計(jì)算正確的是()A．3a＋2b＝5ab B．a(chǎn)2·a3＝a6C．(－a3b)2＝a6b2 D．a(chǎn)2b÷a＝b3答案：C5．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半徑OA＝3，C是eq\o(AB,\s\up7(⌒))上一點(diǎn)，連接OC，D是OC上一點(diǎn)，且OD＝DC，連接BD.若BD⊥OC，則eq\o(AC,\s\up7(⌒))的長(zhǎng)為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．π答案：B6．函數(shù)y＝eq\f(m,x)與y＝m(x－1)(m≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()A． B．C． D．答案：C7．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，大于eq\f(1,2)BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD.若CD＝AC，∠B＝26°，則∠ACB的度數(shù)為()A．26° B．52°C．128° D．102°答案：D8．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱B．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4C．－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根D．當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小答案：D9．如圖，正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)P為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△PBC沿CP折疊得到△PCE，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，作射線AE交CD于點(diǎn)F，若點(diǎn)E恰好為AF的中點(diǎn)，則BP的長(zhǎng)為()A．2eq\r(3) B．eq\f(4,3)eq\r(3)C．3 D．eq\f(7,2)答案：B10．如圖1，點(diǎn)P從菱形ABCD的邊AD上一點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，沿直線運(yùn)動(dòng)到菱形的中心，再沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，點(diǎn)P到AB的距離為m，到CD的距離為n，且y＝eq\f(n,m)(當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，y＝0)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x的變化關(guān)系如圖2所示，則菱形ABCD的面積為()eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))A．6eq\r(7) B．5eq\r(7)C．10 D．6答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．式子eq\f(\r(x),x－1)中x的取值范圍是________．答案：x≥0且x≠112．比較大?。?eq\r(2)________2eq\r(3).(填“＞”“＜”或“＝”)答案：＞13．生肖也稱屬相，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的一種紀(jì)年方式，是一種十二年一個(gè)循環(huán)的紀(jì)年系統(tǒng)，每年用一種動(dòng)物來(lái)代表，是由十二地支演變而來(lái)的．小明手繪了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三種生肖卡，準(zhǔn)備將其中的兩張送給好朋友小亮．小明將它們洗勻后背面朝上放在桌面上(手繪生肖卡背面完全相同)，讓小亮從中隨機(jī)抽取兩張，則小亮抽到的兩張生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是________．答案：eq\f(1,3)14．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝eq\f(1,4)AB＝1，點(diǎn)F在邊BC上，點(diǎn)G在邊CD上，∠GFE＝90°.(1)若tan∠GEF＝3，則GE的長(zhǎng)為_(kāi)_______；(2)若△EFG與△FCG相似，則GE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：(1)因?yàn)锽E＝eq\f(1,4)AB＝1，所以AB＝4.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠B＝∠C＝90°，所以∠BEF＋∠BFE＝90°.因?yàn)椤螱FE＝90°，所以∠CFG＋∠BFE＝90°，所以∠BEF＝∠CFG，所以△BEF∽△CFG，所以eq\f(EB,FC)＝eq\f(BF,CG)＝eq\f(EF,FG).在Rt△EFG中，tan∠GEF＝eq\f(FG,EF)＝3，所以eq\f(1,FC)＝eq\f(BF,CG)＝eq\f(1,3)，所以FC＝3，所以BF＝BC－FC＝4－3＝1，所以CG＝3，EF2＝12＋12＝2，所以FG2＝32＋32＝18，所以GE2＝EF2＋FG2＝2＋18＝20，所以GE＝eq\r(20)＝2eq\r(5).(2)有兩種情況：①△EFG∽△GCF，即∠EGF＝∠GFC，所以EG∥BC，則四邊形BCGE為矩形，所以GE＝BC＝4；②△EFG∽△FCG，則eq\f(EF,FC)＝eq\f(FG,CG).由(1)，得eq\f(EF,FG)＝eq\f(BF,CG)，即eq\f(EF,BF)＝eq\f(FG,CG)，所以eq\f(EF,FC)＝eq\f(EF,BF)，所以FC＝BF＝2.因?yàn)橛?1)，得eq\f(EB,FC)＝eq\f(BF,CG)，所以eq\f(1,2)＝eq\f(2,CG)，所以CG＝4，即點(diǎn)G和點(diǎn)D重合．因?yàn)锳E＝AB－BE＝4－1＝3，所以GE＝eq\r(32＋42)＝5.綜上，GE的長(zhǎng)為4或5.答案：(1)2eq\r(5)(2)4或5三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．解方程：x(x＋1)＝2(2x＋5).解：x2＋x＝4x＋10，x2－3x－10＝0，(x－5)(x＋2)＝0，x－5＝0或x＋2＝0，解得x1＝5，x2＝－2.16．如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，放置一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)O及點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．(1)結(jié)合所給圖形，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)：點(diǎn)A________，點(diǎn)C________；(2)平移△ABC得到△A′B′C′，其中點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′，B′，C′，且點(diǎn)C′與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，畫(huà)出△A′B′C′，并說(shuō)明△A′B′C′是由△ABC怎樣平移得到的？解：(1)(－2，3)(0，－2)(2)如圖，△A′B′C′即為所求作．△A′B′C′是由△ABC向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)100萬(wàn)件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖所示)；該產(chǎn)品的總銷售額z(萬(wàn)元)＝預(yù)售總額(萬(wàn)元)＋波動(dòng)總額(萬(wàn)元)，預(yù)售總額＝每件產(chǎn)品的預(yù)售額(元)×年銷售量x(萬(wàn)件)，波動(dòng)總額與年銷售量x的平方成正比，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．年銷售量x(萬(wàn)件)…2040…總銷售額z(萬(wàn)元)…5601040…生產(chǎn)出的該產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲年毛利潤(rùn)為w萬(wàn)元．(年毛利潤(rùn)＝總銷售額－生產(chǎn)費(fèi)用)(1)求y與x以及z與x之間的函數(shù)解析式；(2)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤(rùn)最大，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量應(yīng)為多少？(3)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤(rùn)不低于1000萬(wàn)元，結(jié)合函數(shù)圖象，求該產(chǎn)品年銷售量x的變化范圍．解：(1)由題意，設(shè)y＝ax2(a≠0).因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(100，1000)，所以a·1002＝1000，解得a＝eq\f(1,10).所以y＝eq\f(1,10)x2.設(shè)每件產(chǎn)品的預(yù)售額為m元，因?yàn)樵摦a(chǎn)品的總銷售額z(萬(wàn)元)＝預(yù)售總額(萬(wàn)元)＋波動(dòng)總額(萬(wàn)元)，預(yù)售總額＝每件產(chǎn)品的預(yù)售額(元)×年銷售量x(萬(wàn)件)，波動(dòng)總額與年銷售量x的平方成正比，設(shè)比例系數(shù)為m，所以z＝mx＋nx2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20m＋400n＝560，,40m＋1600n＝1040，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝30，,n＝－\f(1,10)，))所以z＝30x－eq\f(1,10)x2.(2)由題意，得w＝z－y＝30x－eq\f(1,10)x2－eq\f(1,10)x2＝－eq\f(1,5)x2＋30x＝－eq\f(1,5)(x－75)2＋1125，因?yàn)椋璭q\f(1,5)＜0，所以當(dāng)x＝75時(shí)，年毛利潤(rùn)最大．所以要使該產(chǎn)品的年毛利潤(rùn)最大，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量應(yīng)為75萬(wàn)件．(3)由題意，令w＝－eq\f(1,5)x2＋30x＝1000，所以x2－150x＋5000＝0，所以(x－50)(x－100)＝0，所以x1＝50，x2＝100.因?yàn)槟昝麧?rùn)不低于1000萬(wàn)元，且相應(yīng)拋物線開(kāi)口向下，所以該產(chǎn)品年銷售量x的變化范圍為50≤x≤100.18．【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A，B和C，D，AB和CD相交于點(diǎn)P，求tan∠BPD的值．【方法歸納】利用網(wǎng)格將線段CD平移到線段BE，連接AE，得到格點(diǎn)△ABE，且AE⊥BE，則∠BPD就變換成Rt△ABE中的∠ABE.【問(wèn)題解決】(1)圖1中tan∠BPD的值為_(kāi)_______；(2)如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A，B和C，D，AB與CD交于點(diǎn)P，求cos∠BPD的值；【思維拓展】(3)如圖3，AB⊥CD，垂足為B，且AB＝4BC，BD＝2BC，點(diǎn)E在AB上，且AE＝BC，連接AD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，利用網(wǎng)格求sin∠CPD.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖3))解：(1)由勾股定理可得AE＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，BE＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).因?yàn)镃D∥BE，所以tan∠BPD＝tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(2\r(2),\r(2))＝2.故答案為：2(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD，連接BE，可知E點(diǎn)在格點(diǎn)上，且∠AEB＝90°.由勾股定理可得AE＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AB＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，所以cos∠BPD＝cos∠BAE＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(\r(5),\r(10))＝eq\f(\r(5)×\r(10),\r(10)×\r(10))＝eq\f(5\r(2),10)＝eq\f(\r(2),2).(3)如圖，構(gòu)造網(wǎng)格，過(guò)點(diǎn)A作AN∥PC，連接DN，由圖可知N點(diǎn)在格點(diǎn)上，且∠AND＝90°.由勾股定理可得DN＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AD＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，所以sin∠CPD＝sin∠NAD＝eq\f(DN,AD)＝eq\f(\r(10),2\r(5))＝eq\f(\r(10)×\r(5),2\r(5)×\r(5))＝eq\f(5\r(2),10)＝eq\f(\r(2),2).五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．某地廣播電視塔由塔體(含塔座、塔身、塔樓)和桅桿兩部分組成，如圖1.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們開(kāi)展了測(cè)量塔體部分高度的實(shí)踐活動(dòng)，過(guò)程如下：【制訂方案】如圖2，在塔座底部所在的水平面上，選取兩個(gè)不同的測(cè)量地點(diǎn)A，B，分別由甲、乙兩組同學(xué)測(cè)量塔體頂端點(diǎn)D和桅桿天線頂部點(diǎn)C的仰角，丙組同學(xué)測(cè)量這兩個(gè)測(cè)量地點(diǎn)之間的距離．【實(shí)地測(cè)量】水平地面上測(cè)量地點(diǎn)A，B與塔體底端(點(diǎn)H)在同一條直線上，線段AE，BF分別表示測(cè)角儀支架，線段CD表示桅桿天線，DH表示塔體．測(cè)量一：甲組同學(xué)在A處測(cè)量一次，測(cè)得塔體頂端點(diǎn)D的仰角為31°；測(cè)量二：乙組同學(xué)在B處測(cè)量一次，測(cè)得桅桿天線頂部點(diǎn)C的仰角為45°；測(cè)量三：丙組同學(xué)測(cè)量了三次，數(shù)據(jù)如下：測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次第三次A，B之間的距離57.6m57.8m57.7m(1)丙組同學(xué)三次測(cè)量A，B之間距離的平均值為_(kāi)_______m；(2)已知塔頂部桅桿天線CD高100m，測(cè)角儀支架高1.6m，求塔體DH的高度(結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)；(3)從減小誤差的角度考慮，你認(rèn)為哪個(gè)小組的測(cè)量方法更合理？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)eq\f(1,3)×(57.6＋57.8＋57.7)＝57.7(m).故答案為：57.7(2)如圖，延長(zhǎng)EF交CH于點(diǎn)N，則∠CNF＝90°，∠CFN＝45°，所以CN＝NF.設(shè)DN＝xm，則NF＝CN＝(x＋100)m.因?yàn)锳B＝EF＝57.7m，所以EN＝57.7＋(x＋100)＝(x＋157.7)m.在Rt△DEN中，tan∠DEN＝eq\f(DN,EN)，則DN＝EN·tan∠DEN，即x≈0.60×(x＋157.7)，解得x＝236.55，則DH＝DN＋NH＝236.55＋1.6＝238.15≈238(m).答：塔體DH的高度約為238m.(3)丙組的測(cè)量方法更合理．因?yàn)閷?duì)多次測(cè)量結(jié)果取平均值可以減小誤差．20．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：∠BAC＝∠ECF；(2)若AD＝6，CD＝2，cos∠BAC＝eq\f(\r(10),10)，求CF的長(zhǎng)．解：(1)證明：因?yàn)锳C為⊙O的直徑，所以∠ADC＝∠DAC＋∠DCA＝90°.因?yàn)镃E是⊙O的切線，所以∠ACE＝∠DCE＋∠DCA＝90°，所以∠DAC＝∠DCE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于⊙O，所以∠DAB＋∠BCD＝180°.因?yàn)椤螪CF＋∠BCD＝180°，所以∠DAB＝∠DCF，所以∠BAC＝∠ECF.(2)因?yàn)锳C為⊙O的直徑，所以∠ADC＝∠CDE＝90°.又由(1)知∠DAC＝∠DCE，所以△ACD∽△CED，所以eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,DE).因?yàn)锳D＝6，CD＝2，所以eq\f(6,2)＝eq\f(2,DE)，所以DE＝eq\f(2,3)，所以CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq\f(2,3)eq\r(10).由(1)知∠BAC＝∠ECF，所以cos∠BAC＝cos∠ECF＝eq\f(\r(10),10).因?yàn)镋F⊥BC，所以∠CFE＝90°，所以在Rt△CEF中，cos∠ECF＝eq\f(CF,CE)＝eq\f(\r(10),10)，所以CF＝CE·cos∠ECF＝eq\f(2,3)eq\r(10)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(2,3).六、(本題滿分12分)21．綜合與探究小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上(即四點(diǎn)共圓)時(shí)，就可以通過(guò)添加輔助圓的方式，使得某些復(fù)雜的問(wèn)題變得相對(duì)簡(jiǎn)單，于是開(kāi)始和同學(xué)一起探究四點(diǎn)共圓的條件．小明同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．因此，他想探究它的逆命題是否成立，以下是小明同學(xué)的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整．(1)【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”的逆命題為：___________________________________________________________________，如果該逆命題成立，則可以作為判定四點(diǎn)共圓的一個(gè)依據(jù)；(2)【驗(yàn)證】如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，請(qǐng)?jiān)趫D1中作出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的⊙O，并直接判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系；(要求尺規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法)eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))(3)【證明】已知：如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°.求證：點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓．證明：過(guò)A，B，C三點(diǎn)作⊙O，假設(shè)點(diǎn)D不在⊙O上，則它有可能在圓內(nèi)(如圖2)，也有可能在圓外(如圖3).假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)時(shí)，如圖2，延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E，連接AE.因?yàn)椤螦DC是△DEA的外角，所以∠ADC＞∠AEC.因?yàn)樗倪呅蜛BCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠ABC＋∠AEC＝180°.又因?yàn)椤螦BC＋∠ADC＝180°，所以∠ADC＝∠AEC.圖3這與∠ADC＞∠AEC相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點(diǎn)D不可能在⊙O內(nèi)．請(qǐng)仿照以上證明，用反證法證明“假設(shè)點(diǎn)D在⊙O外”(如圖3)的情形．解：(1)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形(2)如圖，⊙O即為所求作．點(diǎn)D在⊙O上．(3)證明：假設(shè)點(diǎn)D在⊙O外，如圖，記CD交⊙O于點(diǎn)E，連接AE.因?yàn)椤螦EC是△DEA的外角，所以∠AEC＞∠ADC.因?yàn)樗倪呅蜛BCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠ABC＋∠AEC＝180°.又因?yàn)椤螦BC＋∠ADC＝180°，所以∠AEC＝∠ADC.這與∠AEC＞∠ADC相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點(diǎn)D不可能在⊙O外．七、(本題滿分12分)22．(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，矩形AEFG與矩形ABCD相似，且矩形AEFG的兩邊分別在矩形ABCD的邊AB和AD上，BC∶AB＝1∶eq\r(3)，連接CF.線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；(2)【拓展探究】如圖2，將矩形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，(1)中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖2說(shuō)明理由；eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))圖3(3)【解決問(wèn)題】如圖3，當(dāng)矩形ABCD的邊AD＝AB時(shí)，點(diǎn)E為直線CD上異于點(diǎn)D，C的一點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG，點(diǎn)H為正方形AEFG的中心，連接DH，若AD＝4，DE＝2，直接寫(xiě)出DH的長(zhǎng)．解：(1)如圖，延長(zhǎng)EF，交CD于點(diǎn)H，連接AF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形AEFG都是矩形，所以∠D＝∠AGF＝∠EFG＝90°，所以∠D＝∠FGD＝∠HFG＝90°，所以四邊形DGFH是矩形，所以FH＝GD，∠DHF＝90°.因?yàn)榫匦蜛EFG與矩形ABCD相似，BC∶AB＝1∶eq\r(3)，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(AE,EF)＝eq\f(\r(3),1)，所以eq\f(AB－AE,BC－EF)＝eq\f(AE,EF)＝eq\f(\r(3),1)，即eq\f(BE,FH)＝eq\f(CH,FH)＝eq\f(\r(3),1).在Rt△CFH中，由勾股定理，得CF＝eq\r(FH2＋（\r(3)FH）2)＝2FH，所以CF＝2GD.故答案為：CF＝2GD(2)(1)中的結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖，連接AF，AC.因?yàn)榫匦蜛EFG與矩形ABCD相似，所以eq\f(AG,AF)＝eq\f(AD,AC).由旋轉(zhuǎn)可得∠CAF＝∠DAG，所以△ACF∽△ADG，所以eq\f(CF,DG)＝eq\f(AC,AD).因?yàn)锽C∶AB＝1∶eq\r(3)，所以CD∶AD＝eq\r(3)∶1，所以eq\f(AC,AD)＝eq\f(\r(CD2＋AD2),AD)＝eq\f(2,1)，所以eq\f(CF,DG)＝eq\f(2,1)，所以CF＝2GD.(3)①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，連接AC，AH.因?yàn)樗倪呅蜛BCD，四邊形AEFG為正方形，所以∠CAD＝∠EAH＝45°，eq\f(AC,AD)＝eq\f(AE,AH)＝eq\r(2)，所以∠CAE＝∠DAH，所以△ACE∽△ADH，所以eq\f(CE,DH)＝eq\f(AC,AD)＝eq\r(2).因?yàn)锳D＝CD＝4，DE＝2，所以CE＝4－2＝2，所以DH＝eq\r(2)；②如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AC，AH.因?yàn)樗倪呅蜛BCD，四邊形AEFG為正方形，所以∠CAD＝∠EAH＝45°，eq\f(AC,AD)＝eq\f(AE,AH)＝eq\r(2)，所以∠CAE＝∠DAH，所以△ACE∽△ADH，所以eq\f(CE,DH)＝eq\f(AC,AD)＝eq\r(2).因?yàn)锳D＝CD＝4，DE＝2，所以CE＝4＋2＝6，所以DH＝3eq\r(2).綜上所述，DH的長(zhǎng)為eq\r(2)或3eq\r(2).八、(本題滿分14分)23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，連接BE.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)∠EBD＝90°時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)度；(3)在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠ACP＝45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)因?yàn)閽佄锞€y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和B(3，0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋b＋c＝0，,－9＋3b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝－3，))所以拋物線的解析式為y＝－x2＋4x－3.(2)令x＝0，得y＝－3，所以C(0，－3).設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋n，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋n＝0，,n＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,n＝－3，))所以直線BC的解析式為y＝x－3.因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，所以設(shè)D(m，m－3)，則點(diǎn)E(m，－m2＋4m－3)，所以DE＝(－m2＋4m－3)－(m－3)＝－m2＋3m.因?yàn)锽(3，0)，C(0，－3)，所以O(shè)B＝OC＝3，所以∠OBC＝∠OCB＝45°.因?yàn)镈E∥y軸，所以∠EDB＝∠OCB＝45°.記DE交x軸于點(diǎn)G(圖略).因?yàn)椤螧DE＝45°，∠EBD＝90°，所以∠DEB＝45°，所以△BED為等腰直角三角形，所以EG＝GD＝eq\f(1,2)DE.因?yàn)镚D＝3－m，所以3－m＝eq\f(1,2)(－m2＋3m)，解得m＝2或m＝3(不合題意，舍去)，所以m＝2，所以DE＝－22＋3×2＝－4＋6＝2.(3)在拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠ACP＝45°.因?yàn)锳(1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，所以O(shè)A＝1，OB＝3，OC＝3，所以AB＝OB－OA＝2，所以AC＝eq\r(OA2＋OC2)＝eq\r(10).如圖，延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)F.由(2)，知∠OBC＝∠OCB＝45°，所以∠AFC＋∠FCB＝45°.因?yàn)椤螦CP＝45°，所以∠ACB＋∠FCB＝∠ACP＝45°，所以∠AFC＝∠ACB.又因?yàn)椤螰AC＝∠CAB，所以△AFC∽△ACB，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(AC,AB)，所以eq\f(AF,\r(10))＝eq\f(\r(10),2)，所以AF＝5，所以O(shè)F＝OA＋AF＝6，所以F(6，0).設(shè)直線CF的解析式為y＝dx＋e，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6d＋e＝0，,e＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝\f(1,2)，,e＝－3，))所以直線FC的解析式為y＝eq\f(1,2)x－3.令eq\f(1,2)x－3＝－x2＋4x－3，解得x1＝0(舍去)，x2＝eq\f(7,2)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，－\f(5,4))).2025年中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷2考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．一、選擇題（每題4分，共24分）1．如果，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．2.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.關(guān)于x的一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根某果園隨機(jī)從甲、乙、丙、丁四個(gè)品種的蘋(píng)果樹(shù)中各采摘了15棵，產(chǎn)量的平均數(shù)（單位：千克）及方差如下表所示：甲乙丙丁262526231.71.21.61.6若準(zhǔn)備從四個(gè)品種中選出一種產(chǎn)量既高又穩(wěn)定的蘋(píng)果樹(shù)進(jìn)行種植，應(yīng)選的品種是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5.中，已知，，，以點(diǎn)、、為圓心的圓分別記作圓、圓、圓，這三個(gè)圓的半徑長(zhǎng)都是2，那么下列結(jié)論中，正確的是（）A．圓與圓相交B．圓與圓外切C．圓與圓外切D．圓與圓外離6.如圖，在矩形中，O為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的一條直線分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接交于點(diǎn)M，連接，若，，則下列結(jié)論：①，；②；③四邊形是菱形；④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每題4分，共48分）7.計(jì)算：．8.計(jì)算：．9.已知關(guān)于的方程，則10.今年春節(jié)黃金周上海共接待游客約16750000人，16750000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．11.若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則y隨x的增大而．12.如圖，點(diǎn)是菱形的邊上一點(diǎn)，且，則．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)根據(jù)古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏計(jì)時(shí)裝置”．該裝置由沙漏和精密電子秤組成，電子秤上放置盛沙容器．沙子緩慢勻速地從沙漏孔漏到精密電子稱上的容器內(nèi)，可以通過(guò)讀取電子秤的讀數(shù)計(jì)算時(shí)間（假設(shè)沙子足夠）．該小組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，每?jī)尚r(shí)記錄一次電子秤讀數(shù)，得到下表數(shù)據(jù)：沉沙時(shí)間（小時(shí)）02468電子秤讀數(shù)（克）618304254本次實(shí)驗(yàn)開(kāi)始記錄的時(shí)間是上午，由表中數(shù)據(jù)推測(cè)，當(dāng)精密電子秤的讀數(shù)為72克時(shí)的時(shí)間是．一個(gè)圍棋盒子里裝有若干顆黑、白圍棋子，其中黑色棋子15顆，從中摸出一顆棋子是黑色棋子的概率為，則盒子中的白色棋子共有顆．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AB＝3EB．設(shè)，，那么＝（結(jié)果用、表示）．某校有600名七年級(jí)學(xué)生共同參加每分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，并隨機(jī)抽取若干名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)成頻數(shù)分布直方圖（如圖）．若每分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到100次以上（包括100次）的學(xué)生成績(jī)?yōu)椤昂细瘛?，則參加測(cè)試的學(xué)生成績(jī)?yōu)椤昂细瘛钡娜藬?shù)約為．17.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝，CD＝，則cos∠CBD＝．定義：若x，y滿足，且（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．若是“和諧點(diǎn)”，則三、簡(jiǎn)答題（共78分，其中第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19.計(jì)算：．20.解方程組：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的邊垂直于軸，垂足為點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求的值．22.綜合與實(shí)踐問(wèn)題情景：在中，，，直角三角板中，，將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊，分別與邊，交于點(diǎn)，．猜想證明：如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：（2）如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．23.如圖，在矩形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，．

求證：．若，則______．如圖1，拋物線與x軸相交于，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)．求拋物線M的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，拋物線M的頂點(diǎn)為D，連接，，，，求證：；(3)記拋物線M位于x軸上方的部分為，將向下平移個(gè)單位，使平移后的與的三條邊有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出h的取值范圍．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊的點(diǎn)G處，點(diǎn)B落在點(diǎn)H處，AG與EF交于點(diǎn)O．（1）如圖①，求證：以A，F(xiàn)，G，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；（2）如圖②，當(dāng)△ABG的外接圓與CD相切于點(diǎn)P時(shí)，求證：點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)；（3）如圖②，在（2）的條件下，求的值．2025年中考數(shù)學(xué)壓軸模擬檢測(cè)試卷·教師版考試時(shí)間100分鐘，滿分150分．一、選擇題（每題4分，共24分）1．如果，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可得到答案．【詳解】∵∴，，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∴，，即選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)題意，無(wú)法推導(dǎo)得，故選項(xiàng)D不正確；故選：A．2.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分母不為0，可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：，，故選：A．3.關(guān)于x的一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】B【分析】求出一元二次方程的判別式，根據(jù)判別式即可得到答案，此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與一元二次方程根的個(gè)數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：對(duì)于x的一元二次方程來(lái)說(shuō)，∵，∴一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故選：B．某果園隨機(jī)從甲、乙、丙、丁四個(gè)品種的蘋(píng)果樹(shù)中各采摘了15棵，產(chǎn)量的平均數(shù)（單位：千克）及方差如下表所示：甲乙丙丁262526231.71.21.61.6若準(zhǔn)備從四個(gè)品種中選出一種產(chǎn)量既高又穩(wěn)定的蘋(píng)果樹(shù)進(jìn)行種植，應(yīng)選的品種是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】先比較平均數(shù)得到丙和甲的產(chǎn)量較好，然后比較方差得到丙品種既高產(chǎn)又穩(wěn)定．【詳解】解：在四個(gè)品種中甲、丙的平均數(shù)大于乙、丁，且丙的方差小于甲的方差，∴丙品種的蘋(píng)果樹(shù)的產(chǎn)量高又穩(wěn)定．故選：C．5.中，已知，，，以點(diǎn)、、為圓心的圓分別記作圓、圓、圓，這三個(gè)圓的半徑長(zhǎng)都是2，那么下列結(jié)論中，正確的是（）A．圓與圓相交B．圓與圓外切C．圓與圓外切D．圓與圓外離【答案】D【分析】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件畫(huà)出圖形即可得出三個(gè)圓的位置關(guān)系．【詳解】解：根據(jù)題意作圖如下：圓與圓外切，圓與圓外離，圓與圓相交，故選：．6.如圖，在矩形中，O為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的一條直線分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接交于點(diǎn)M，連接，若，，則下列結(jié)論：①，；②；③四邊形是菱形；④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和，證明為等邊三角形，再證明，得到是的角平分線，故可證明①；根據(jù)，可得，即可證明四邊形是平行四邊形，再證明即可得到，故可證明③；根據(jù)，故無(wú)法證明，故②錯(cuò)誤；根據(jù)含有角的直角三角形的三邊關(guān)系和勾股定理可得，故可證明④．【詳解】解：四邊形是矩形，O為的中點(diǎn)，，為等腰三角形，，為等邊三角形，，，，，，故①正確；,，，，，，，即，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，平行四邊形是菱形，故③正確；，無(wú)法證明，故②錯(cuò)誤；，，在中，，，，在中，，．故正確的為①③④，為3個(gè)，故選：C．二、填空題（每題4分，共48分）7.計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方及冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故答案為：．8.計(jì)算：．【答案】【分析】直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：；故答案為：．9.已知關(guān)于的方程，則【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，等式兩邊平方，解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，即，，等式兩邊分別平方，移項(xiàng)，，符合題意，故答案為：．10.今年春節(jié)黃金周上海共接待游客約16750000人，16750000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【分析】此題考查了正整數(shù)指數(shù)科學(xué)記數(shù)法，對(duì)于一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1的正整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．【詳解】解：．故答案為：．11.若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則y隨x的增大而．【答案】減小【分析】首先能夠根據(jù)待定系數(shù)法正確求出直線的解析式．首先用待定系數(shù)法確定直線的解析式，再根據(jù)的符號(hào)即知道隨的增大而減小．【詳解】解：根據(jù)題意，把代入得：，解得．，隨的增大而減小．故答案為：減?。?2.如圖，點(diǎn)是菱形的邊上一點(diǎn)，且，則．【答案】/15度【分析】根據(jù)題意可得：，在中，得到，又因?yàn)椋?，，代入即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，在中，，，∴，又∵，∴，∴．故答案為：某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)根據(jù)古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏計(jì)時(shí)裝置”．該裝置由沙漏和精密電子秤組成，電子秤上放置盛沙容器．沙子緩慢勻速地從沙漏孔漏到精密電子稱上的容器內(nèi)，可以通過(guò)讀取電子秤的讀數(shù)計(jì)算時(shí)間（假設(shè)沙子足夠）．該小組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，每?jī)尚r(shí)記錄一次電子秤讀數(shù)，得到下表數(shù)據(jù)：沉沙時(shí)間（小時(shí)）02468電子秤讀數(shù)（克）618304254本次實(shí)驗(yàn)開(kāi)始記錄的時(shí)間是上午，由表中數(shù)據(jù)推測(cè)，當(dāng)精密電子秤的讀數(shù)為72克時(shí)的時(shí)間是．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式等知識(shí)，正確求得函數(shù)解析式，求出函數(shù)自變量或函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．先求出一次函數(shù)，然后令時(shí)，解得的值，然后結(jié)合起始時(shí)間是上午即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)沉沙時(shí)間每增加2小時(shí)，電子秤讀數(shù)增加12，∴電子秤讀數(shù)為沉沙時(shí)間的一次函數(shù)，設(shè)電子秤讀數(shù)為y（克），沉沙時(shí)間為x（小時(shí)），一次函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)代入解析式中，可得，解得，∴函數(shù)表達(dá)式為：；把代入得：，解得：，∵起始時(shí)間是上午，∴經(jīng)過(guò)11小時(shí)的漏沙時(shí)間為．故答案為：．一個(gè)圍棋盒子里裝有若干顆黑、白圍棋子，其中黑色棋子15顆，從中摸出一顆棋子是黑色棋子的概率為，則盒子中的白色棋子共有顆．【答案】45【分析】可設(shè)盒子有白色棋子x顆，根據(jù)圍棋盒中有15顆黑色棋子和若干顆白色棋子，故棋子的總顆數(shù)為顆，再根據(jù)黑色棋子的概率，結(jié)合概率公式列式解答即可．【詳解】解：設(shè)盒子有白色棋子x顆，依題意有：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解．故答案為：45．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AB＝3EB．設(shè)，，那么＝（結(jié)果用、表示）．【答案】【分析】由題意，可求得，又在平行四邊形ABCD中，，求得，再利用三角形法則求解即可求得答案．【詳解】解：∵AB＝3EB，，∴，∵平行四邊形ABCD中，，∴，∴，故答案為：．某校有600名七年級(jí)學(xué)生共同參加每分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，并隨機(jī)抽取若干名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)成頻數(shù)分布直方圖（如圖）．若每分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到100次以上（包括100次）的學(xué)生成績(jī)?yōu)椤昂细瘛?，則參加測(cè)試的學(xué)生成績(jī)?yōu)椤昂细瘛钡娜藬?shù)約為．【答案】400【分析】根據(jù)跳繩次數(shù)分組的中間值，確定分組的臨界值，進(jìn)而得出每分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到100次以上人數(shù)即可．【詳解】解：根據(jù)頻數(shù)分布直方圖中每分鐘跳繩次數(shù)的中間值，可得各組的臨界值及其頻數(shù)分布如下：每分鐘跳繩次數(shù)50≤x<7575≤x<100100≤x<125125≤x<150150≤x<175頻數(shù)281262所以樣本中，每分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到100次以上（包括100次）的學(xué)生占調(diào)查人數(shù)的＝，因此全校600名七年級(jí)學(xué)生中每分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到100次以上（包括100次）的學(xué)生有600×＝400（人），故答案為：400．17.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝，CD＝，則cos∠CBD＝．【答案】【分析】延長(zhǎng)BD至M，使DM＝DC，連接CM，作AP⊥BD于點(diǎn)P，作CQ⊥BD于點(diǎn)Q，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)證明△ABP≌△CDQ，得到BP=DQ，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BD至M，使DM＝DC，連接CM，作AP⊥BD于點(diǎn)P，作CQ⊥BD于點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝2∠CBD，∴∠CDB＝2∠CBD，∵DM＝DC，∴∠DCM＝∠M，∴∠CDB＝2∠M，∴∠CBD＝∠M，∴CB＝CM，∵CQ⊥BD，∴BQ＝MQ＝QD+DM＝QD+CD，在△ABP和△CDQ中，，∴△ABP≌△CDQ（AAS），∴BP＝DQ，∴PQ＝CD＝，設(shè)BP＝DQ＝x，∵BC2﹣BQ2＝CQ2＝CD2﹣DQ2，∴﹣（x+）2＝（）2﹣x2，解得x＝，，，∴cos∠CBD＝＝．故答案為：．定義：若x，y滿足，且（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．若是“和諧點(diǎn)”，則【答案】【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義得到，，整理得到，解得，（不合題意，舍去），即可得到答案【詳解】若是“和諧點(diǎn)”，則，則，，∴，即，解得，（不合題意，舍去），∴，故答案為：．三、簡(jiǎn)答題（共78分，其中第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19.計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，先化簡(jiǎn)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零次冪、余弦值，分母有理化，再運(yùn)算乘法正，最后運(yùn)算加減，即可作答．【詳解】解：20.解方程組：【答案】或【分析】本題考查了二元二次方程組解法，由①可得，，將③代入②得，求出，，然后代入求解即可．【詳解】由①可得，將③代入②得，整理得，或解得，將代入③得，；將代入③得，．∴方程組的解為或．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的邊垂直于軸，垂足為點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，m）（m＞0），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3+m），由C為OA的中點(diǎn)可表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)C、D點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上可得出關(guān)于k、m的二元一次方程租，解方程組即可得出結(jié)論；（2）由m的值，可找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此即可得出線段OB、AB的長(zhǎng)度，從而得出△OAB為等腰直角三角形，最后得出結(jié)果．【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，，解得，反比例函數(shù)的解析式為；（2），點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴△OAB是等腰直角三角形，．22.綜合與實(shí)踐問(wèn)題情景：在中，，，直角三角板中，，將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊，分別與邊，交于點(diǎn)，．猜想證明：如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：（2）如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】（1）四邊形是矩形；（2）；（3）【分析】（1）由三角形中位線定理可得，可證，即可求解；（2）由勾股定理可求的長(zhǎng)，由中點(diǎn)的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解；（3）由，推導(dǎo)出，用（2）的方法解答即可．【詳解】解：（1）四邊形是矩形，理由如下：點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，四邊形是矩形；如圖，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，又，，，，；如圖，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，又，，，，．23.如圖，在矩形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，．

求證：．若，則______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及，可得，即可求證；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得，從而得到，再根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：在矩形中，，∴，∵，即，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案為：如圖1，拋物線與x軸相交于，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)．求拋物線M的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，拋物線M的頂點(diǎn)為D，連接，，，，求證：；(3)記拋物線M位于x軸上方的部分為，將向下平移個(gè)單位，使平移后的與的三條邊有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出h的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解拋物線解析式，求解拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線的平移，相似三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．（1）采用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別計(jì)算出，，，的長(zhǎng)，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似即可判定；（3）先求出直線的解析式，根據(jù)題意可知，求出平移后的解析式，將交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，解方程后根據(jù)解的情況求解即可．【詳解】（1）解：把、分別代入，得：，解得：，拋物線M的函數(shù)表達(dá)式為；（2）證明，點(diǎn)，令，解得：，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，、，，，，，，，，，，，；（3）解：設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)、分別代入中，得：，解得：，直線的解析式為，將向下平移個(gè)單位，則平移后的解析式為，如圖，，當(dāng)與沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即沒(méi)有實(shí)數(shù)根，，解得：，當(dāng)與線段只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖，即方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，，解得：，h的取值范圍為．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊的點(diǎn)G處，點(diǎn)B落在點(diǎn)H處，AG與EF交于點(diǎn)O．（1）如圖①，求證：以A，F(xiàn)，G，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；（2）如圖②，當(dāng)△ABG的外接圓與CD相切于點(diǎn)P時(shí)，求證：點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)；（3）如圖②，在（2）的條件下，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）連接AF，利用AAS證明△AEO≌△GFO，得到EA=FG，即可得到結(jié)論；（2）如解圖，連接OP，證明，得到，根據(jù)OE=OF推出PD=PC，即可得到點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)；（3）如解圖（2），延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)Q，得到AQ=QB=AB=2，∠AQO=90°，設(shè)⊙O的半徑為x，則OG=OA=OP=x，OQ=8-x，利用，求出，得到，證明△AQO∽△FOG，得到，求出EF=，即可得到答案.【詳解】（1）證明：如解圖（1），連接AF，

由折疊性質(zhì)可知，OA=OG，EA=EG，F(xiàn)A=FG，∠AOE=∠GOF=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴∠AEO=∠GFO，

在△AEO和△GFO中，，

∴△AEO≌△GFO（AAS），∴EA=FG，∴EA=EG=FA=FG，∴四邊形AFGE是菱形；（2）如解圖，連接OP，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，∵OA=OG，∴點(diǎn)O是Rt△ABG的外接圓圓心，∵⊙O與CD相切于點(diǎn)P，∴OP⊥CD，∴，∴，∵△AEO≌△GFO，∴OE=OF，∴PD=PC，即點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)；（3）如解圖（2），延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)Q，則AQ=QB=AB=2，∠AQO=90°，設(shè)⊙O的半徑為x，則OG=OA=OP=x，OQ=8-x，在Rt△AQO中，∵，∴，解得，∴，∵OP//FC，∴∠AOQ=∠FGO，又∠AQO=∠FOG=90°，∴△AQO∽△FOG，∴，∴，解得OF=，∴EF=，∴.2025年中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷3滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1.如圖為某地連續(xù)4天的天氣預(yù)報(bào)圖，其中日最低氣溫中最高的為（

）

A． B． C． D．2．如圖是常見(jiàn)的化學(xué)儀器，其中主視圖與左視圖不相同的是（

）A． B． C． D．3．目前世界上最長(zhǎng)的大橋，是我國(guó)的丹昆特大橋，全橋總長(zhǎng)約165000米，是之前吉尼斯世界錄所記載的世界第一長(zhǎng)橋美國(guó)龐恰特雷恩湖橋的四倍長(zhǎng)．?dāng)?shù)字165000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．4．實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．5．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．B． C． D．6．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．7．若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．8．從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加圖書(shū)節(jié)志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲同學(xué)是女生，乙、丙、丁同學(xué)都是男生，被抽到的2名同學(xué)都是男生的概率為（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)，再分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，連接．以下結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．10．關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是﹣1，若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分．直接填寫(xiě)答案．11．如圖，把一塊含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上．如果，那么為_(kāi)_______12．若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為．如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為，以為圓心，以為半徑作弧，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．

一條筆直的公路上順次有A、B、C三地，甲、乙兩車同時(shí)從B地出發(fā)，向A地均速行駛．甲車到達(dá)A地后停止，乙車到達(dá)A地后停留1小時(shí)，然后再調(diào)頭按原速向C地行駛．若A、B兩地相距400千米，在兩車行駛過(guò)程中，甲、乙兩車之間的距離（千米）與乙車行駛時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示，則他們出發(fā)后經(jīng)過(guò)小時(shí)相遇.如圖，將菱形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)等于．

三、解答題：本題共10小題，共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．計(jì)算：17．解不等式組：，并寫(xiě)出它的所有整數(shù)解．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊CD、AB上的點(diǎn)，BF=DE，連接EF；M、N為線段EF上兩點(diǎn)，EN=FM，連接AN、CM．求證：AN=CM．嘉嘉使用桌上書(shū)架如圖所示．嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當(dāng)書(shū)架與桌面的夾角時(shí)，頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)為，此時(shí)舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書(shū)架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(shí)（點(diǎn)是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），舒適度較為理想．書(shū)架在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求頂部邊緣點(diǎn)到走過(guò)的路徑長(zhǎng)(2)如圖這個(gè)平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在處．當(dāng)她看書(shū)上距離桌面高度為的點(diǎn)時(shí)，她向下看的俯角為，眼睛到桌面高度，求此時(shí)眼睛到點(diǎn)的距離，即的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：）為紀(jì)念五四運(yùn)動(dòng)周年，我縣某中學(xué)舉行“我的青春我?jiàn)^斗”演講比賽，賽后整理參賽學(xué)生的成績(jī)，將學(xué)生的成績(jī)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，但均不完整，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題．

參加比賽的學(xué)生人數(shù)共有______名，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“D等級(jí)”的扇形的圓心角為_(kāi)_____度，圖中m的值為_(kāi)_____；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)組委會(huì)決定從本次比賽中獲得A等級(jí)的學(xué)生中，選出2名去參加市中學(xué)生演講比賽，已知A等級(jí)中男生有1名，請(qǐng)用“列表或畫(huà)樹(shù)狀圖”的方法求出所選2名學(xué)生中兩個(gè)都是女生的概率．21．如圖，已知的邊所在的直線是的切線，切點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)圓心并與圓相交點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)若，，求的半徑．22．隨著時(shí)代的發(fā)展，“直播帶貨”已經(jīng)成為當(dāng)前最為強(qiáng)勁的購(gòu)物新潮流，因此“直播帶貨”將成為企業(yè)營(yíng)銷變革的新起點(diǎn)．某企業(yè)為開(kāi)啟網(wǎng)絡(luò)直播帶貨的新篇章，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)，兩種型號(hào)直播設(shè)備．已知型設(shè)備價(jià)格是型設(shè)備價(jià)格的1.2倍，用4800元購(gòu)買(mǎi)型設(shè)備的數(shù)量比用3000元購(gòu)買(mǎi)型設(shè)備的數(shù)量多5臺(tái)．求、型設(shè)備單價(jià)分別是多少元；(2)該校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)兩種設(shè)備共60臺(tái)，要求型設(shè)備數(shù)量不少于型設(shè)備數(shù)量的一半，設(shè)購(gòu)買(mǎi)型設(shè)備臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用為元，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出最少購(gòu)買(mǎi)使用．23．綜合與實(shí)踐如圖1，某興趣小組計(jì)劃開(kāi)墾一個(gè)面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長(zhǎng)為．【問(wèn)題提出】小組同學(xué)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：若，能否圍出矩形地塊？【問(wèn)題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個(gè)問(wèn)題：設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長(zhǎng)為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的就可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為和_________，因此，木欄總長(zhǎng)為時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：，；或_____m，______m．（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請(qǐng)仿照小穎的方法，在圖2中畫(huà)出一次函數(shù)圖象并說(shuō)明理由．【問(wèn)題延伸】當(dāng)木欄總長(zhǎng)為時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過(guò)平移得到的，在平移過(guò)程中，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)．（3）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出直線過(guò)點(diǎn)時(shí)的圖象，并求出的值．【拓展應(yīng)用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問(wèn)題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在問(wèn)題”．若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長(zhǎng)均不小于，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)，在軸上，，．拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)如圖1，若拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若拋物線與正方形恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以線段，為鄰邊作矩形．

(1)如圖1，連接，求的度數(shù)和的值；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接，，求的最小值．2025年中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷·解析版滿分150分．考試時(shí)間為120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1.如圖為某地連續(xù)4天的天氣預(yù)報(bào)圖，其中日最低氣溫中最高的為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴日最低氣溫中最高的為，故選：C．2．如圖是常見(jiàn)的化學(xué)儀器，其中主視圖與左視圖不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了幾何體的三視圖．熟練掌握從前面看到的是主視圖，從左