小學(xué)奧數(shù)課本(下)

第一講速算與巧算（一）

一、湊十法：

同學(xué)們已經(jīng)知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于10：

1+9=10

2+8=10

3+7=10

4+6=10

5+5=10

巧用這些結(jié)果，可以使計(jì)算又快又準(zhǔn)。

例1計(jì)算

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

解：對于這道題，當(dāng)然可以從左往右逐步相加：

1+2=33+3=6

6+4=1010+5=15

15+6=2121+7=28

28+8=3636+9=45

45+10=55

這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點(diǎn)是麻煩、容易出

錯；而且一步出錯，以后步步都錯。假設(shè)是利用湊十法，就能克服這種缺點(diǎn)。

二、湊整法

同學(xué)們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如：

1+19=2023+9=30

2+18=2023+28=40

3+17=2023+37=50

4+16=2023+46=60

5+15=2023+55=70

6+14=2023+64=80

7+13=2023+73=90

8+12=2023+82=100

9+11=20

又如：

15+85=10014+86=100

25+75=10024+76=100

35+65=10034+66=100

45+55=10044+56=100等等

巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準(zhǔn)。像10、20、30、40、50、

60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標(biāo)。

例2計(jì)算

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

解：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做：

例3計(jì)算

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用湊整法做：

例4計(jì)算

2+13+25+44+18+37+56+75

解：用湊整法：

三、用求未知

利用己經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認(rèn)識事物的一

般過程，湊十法、湊整法的實(shí)質(zhì)就是這個道理，可見把這種認(rèn)識規(guī)律用于計(jì)算方面,

可使計(jì)算更快更準(zhǔn)。下面再舉兩個例子。

例5計(jì)算

1+2+3+4+5+6+74-8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

解：由例2和例3,已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2開始的前10個

雙數(shù)之和，巧用這些結(jié)果計(jì)算這道題就容易了。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

=(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)

=100+110(這步利用了例2和例3的結(jié)果)

=210

例6計(jì)算5+6+7+8+9+10

解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。

5+6+7+8+9+10

=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(1+2+3+4)

(熟練后，此步驟可省略)

=55-10=45

四、改變運(yùn)算順序

在只有加減運(yùn)算的算式中，有時改變加、減的運(yùn)算順序可使計(jì)算顯得十分巧妙!

例7計(jì)算

10-9+8-7+6-5+4-3+2T

解：這題如果從左到右按順序進(jìn)行加減運(yùn)算，是能夠得出正確結(jié)果的。但因?yàn)樗闶?/p>

較長，屢次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運(yùn)算順序，先減后加，就使運(yùn)

算顯得非常“漂亮〃。下式括號中的算式表示先算，

10-9+8-7+6-5+4-3+2T

=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)

=1+1+1+1+1=5

五、帶著“+〃、“-〃號搬家

例8計(jì)算

1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11

5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+174-18+19+20

=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20-(1+2+3+4)

=210-10(利用例5的結(jié)果)

=200

5.解：

22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0

=(22-20)+(18-16)+(14-12)+(10-8)+[6-4)+(2-0)

=2+2+2+2+2+2

=12

6.解：

10-20+30-40+50-60+70-80+90

=10+30-20+50-40+70-60+90-80

=10+(30-20)+(50-40)+(70-60)+(90-80)

=10+10+10+10+10

=50

7.解：

(2+4+6+8+10)-(1+3+5+7+91

=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)

=1+1+1+1+1

=5

8.解：

(2+4+6+…+20)-(1+3+5+…+19)

=10

9.解：

(2+4+6+--+100)-(1+3+5+―+99)

=50

第二講速算與巧算(二)

例1哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著

哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、

M塊、16塊。你說避拿得多，多幾塊？

解：方法1：先算哥哥共拿了多少塊？

再算妹妹共拿了多少塊？

72-64=8(塊)

方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。

(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)

=1+1+1+1+1+1+1+1

=8(塊)

可以看出方法2要比方法1巧妙！

平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運(yùn)算結(jié)果，非常有助于速算。比方，

請同學(xué)記住幾個自然數(shù)相加之和：

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

1+2+3+4+5+6+7=28

1+2+3+4+5+6+7+8=36

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

例2星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說：

“咱們一共10個人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會分？〃

結(jié)果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？

解：按小明提的要求確實(shí)無法分。

因?yàn)橐沟妹總€人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第

一人分到1塊，第二人分到2塊，…第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（塊）

而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少

得1塊糖，比方說，應(yīng)該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來，他就和

另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人分到的糖

塊數(shù)不能一樣多〃的要求。

（注意：“按小明提的要求無法分〃就是此題的答案。在數(shù)學(xué)上“無解〃也叫

問題的答案。）

例3時鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2點(diǎn)鐘敲2下，3點(diǎn)鐘敲3下，……照這樣敲下去，從1

點(diǎn)到12點(diǎn)，這12個小時時鐘共敲了幾下？

解：這是一道美國小學(xué)奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。

方法1：湊十法

方法2：如果能記住從1到10前十個自然數(shù)之和是55,計(jì)算會更快。

（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10〕+11+12

=55+11+12=78（下）

習(xí)題二

1.三個小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你

能分嗎？

2.①把16只小雞分別裝進(jìn)5個籠子里，每個籠子里都要有雞，而且每個籠子里的

雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？

②按同樣要求，把15只小雞裝進(jìn)5個籠子能辦得到嗎？

③按同樣要求，把14只小雞分裝到5個籠子能辦得到嗎？

3.①把100塊糖分給10個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊

數(shù)都不一樣，如何分？

②把99塊糖按同樣要求分給10個小朋友，你能分嗎?

4.從1到20這20個數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？

5.小方家的鐘除了幾點(diǎn)鐘敲幾下外，每半點(diǎn)鐘也敲一下。比方說，0點(diǎn)半敲1下，

1點(diǎn)鐘敲1下，1點(diǎn)半敲1下，2點(diǎn)敲2下，2點(diǎn)半敲1下，……照這樣敲下去，從

夜里0點(diǎn)開始，計(jì)到白天中午12點(diǎn)鐘，在這12個小時之內(nèi)時鐘共敲了多少下？

習(xí)題二解答

1.答案是不能分。

所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第1個人分1塊，第2個人分2塊，第3個人

分3塊，這樣三個人共需要有1+2+3=6(塊)，但總的糖塊數(shù)只有5塊，不夠分。

如果第3個人也分得2塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有2個人分得糖塊數(shù)一樣

多了，又不符合分糖的要求了。

2.①5只籠子裝16只小雞的裝法是1,2,3,4,6O

1+2+3+4+6=16(只)

②5只籠子裝15只小雞的裝法是1,2,3,4,5o

1+2+3+4+5=15(只)

③5只籠子裝14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無法分裝。

3.①記住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個人的

分法是：各人所得糖塊數(shù)分別為1,3,5,7,9,11,13,15,17,19。

②99塊糖按要求分給10個小朋友無法分。

4.解：方法1：

單數(shù)之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

雙數(shù)之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110

差：110-100=10

方法2：改變運(yùn)算順序

(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)

=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)

=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

=10

5.解：先記錄時鐘敲的整點(diǎn)數(shù)和半點(diǎn)數(shù)如下：

列算式求和，并改變運(yùn)算順序：

1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12

=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+14-1+1+1+1+1+1)

=78+12

=90(下)

第三講數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)(一)

例1請你數(shù)一數(shù)，以下圖中共有多少個“X〃？

解：①分層數(shù)

②先按“實(shí)心〃三角形計(jì)算，再減去“空白〃三角形中“X〃的個數(shù)

(1+3+5+7+9+11+13+15+17)-(5+3+1)

例2以下圖所示的“塔〃由4層沒有縫隙的小立方塊壘成，求塔中共有多少小立方

塊？

從頂層開始數(shù)，各層小立方塊數(shù)是：

第一層：1塊；

第二層：3塊；

第三層：6塊；

第四層：10塊;

總塊數(shù)1+3+6+10=20(塊)°

從上往下數(shù)，第一層：1塊；

第二層：第一層的1塊加第二層“看得見〃的2塊等于第二層的塊數(shù)：

1+2=3塊；

第三層：第二層的3塊加第三層“看得見〃的3塊等于第三層的塊數(shù)：

3+3=6塊;

第四層：第三層的6塊加第四層“看得見〃的4塊等于第四層的塊數(shù)：

6+4=10塊。

總塊數(shù)1+3+6+10=201塊）

例3右圖是由小立方體碼放起來的，其中有一些小立方體被壓住看不見。請你數(shù)一

數(shù)共有多少小立方體？

解：從右往左數(shù)，并且編號

第一排：1塊；

第二排：7塊；

第三排：5塊；

第四排：9塊；

第五排：16塊；

總數(shù)：1+7+5+9+16=38（塊）o

例4數(shù)一數(shù)下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)各是多少？

面數(shù)：4

棱數(shù)：6

頂點(diǎn)數(shù)：4

面數(shù)：5

棱數(shù)：8

頂點(diǎn)數(shù)：5

習(xí)題三

1.請你數(shù)一數(shù)，以下圖中共有多少X?

2.如以下圖所示，一單層磚墻下雨時塌了一處，請你數(shù)一數(shù)，需要多少塊磚才能把

墻補(bǔ)好？

3.如右圖所示是一個由小立方體構(gòu)成的塔，請你數(shù)一數(shù)并計(jì)算出共有多少塊。

4.如右圖所示是由小立方體構(gòu)成的“寶塔〃，請你數(shù)一數(shù)共多少塊?

5.右圖所示是由小立方體堆起來的，請你數(shù)一數(shù)，共有多少小立方體？

6.數(shù)一數(shù)，下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)各是多少？

習(xí)題三解答

1.解:

方法1：從最上邊的一行往下數(shù)

方法2：假設(shè)“X〃填滿整個長方形的圖形，應(yīng)該共有“X〃：20X8=160（個）o

“空白〃三角形處應(yīng)有“X〃：

2+4+6+8=20（個）。

“空白〃長方形處應(yīng)有“X〃：

5X4=20（個）,,

實(shí)際上“X〃的總數(shù)是：

160-20-20=120（個）。

2.解：從下往上數(shù)，墻洞所缺少的磚塊數(shù)是：

1+2+2+1+2+2=10（塊）o

3.解：從上往下數(shù)，注意：不要漏掉那些看不見的小立方體。

第一層：1塊；第二層：4塊；

第三層：9塊；第四層：16塊；

總數(shù)：1+4+9+16=30（塊）。

4.解：從上往下數(shù)

第一層：1塊；第二層：9塊；

第三層：25塊；

總數(shù)：1+9+25=35（塊）。

5.解：由前往后數(shù)，并進(jìn)行編號

第一排：5塊;

第二排：6塊；

第三排：8塊;

總數(shù)：5+6+8=191塊）。

6.解：圖（1）是六棱柱；

面數(shù)8,棱數(shù)18,頂點(diǎn)數(shù)12。

圖（2）是由兩個四面體組成；

面數(shù)6,棱數(shù)9,頂點(diǎn)數(shù)5。

圖（3）是五棱柱；面數(shù)7,棱數(shù)15,頂點(diǎn)數(shù)10。

圖（4）是由兩個四棱錐和一個四棱柱組成；面數(shù)12,棱數(shù)20,頂點(diǎn)數(shù)10。

第四講數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（二）

數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)時，注意不應(yīng)漏掉，不應(yīng)重復(fù)。如果漏掉了，要加上；如果重復(fù)了,

要減掉。

例1小朋友排隊(duì)，小紅前面4個人，后面3個人，問這隊(duì)共有幾個人？

解：

這隊(duì)的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅，所以是4+3+1=8（人）。

例2排好隊(duì)，來報(bào)數(shù)，

正著報(bào)數(shù)我報(bào)七，

倒著報(bào)數(shù)我報(bào)九，

一共多少小朋友？

解：見以下圖

正著報(bào)數(shù)“我〃報(bào)了一次，倒著報(bào)數(shù)“我〃又報(bào)了一次，所以把兩次報(bào)數(shù)加起

來時，“我〃被加了兩次。因此算這隊(duì)的總?cè)藬?shù)時，應(yīng)從兩次報(bào)數(shù)之利減1。

7+9-1=15（人）o

也可以這樣想：正著報(bào)數(shù)報(bào)到我為止，倒著報(bào)數(shù)時，我就不報(bào)了，只報(bào)到我的

后面相鄰的那個人他應(yīng)該報(bào)8,所以全隊(duì)總?cè)藬?shù)是：

7+（9-1）=15（人）。

例3少先隊(duì)員排成隊(duì)去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個；從排尾數(shù)起，張英

是第23個。劉平的前一個是張英。問這隊(duì)少先隊(duì)員共有多少人？

解：畫示意圖，用點(diǎn)代表少先隊(duì)員。

由圖可見，從排頭數(shù)起時，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時，又把劉平

和張英數(shù)了一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點(diǎn)總?cè)藬?shù)時，應(yīng)減去多數(shù)的那一

次才對。

20+23-2=41（人）。

例445個小朋友排成一隊(duì)去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19個；從排尾往前數(shù),

小莉是第12個，問小剛和小莉中間有幾個人？

解：畫示意圖。用點(diǎn)“-〃代表人

由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是：

45-（19+12）=14（人）o

例5一班同學(xué)做花，做紅花的有38人，做黃花的有39人，沒有做花的有3人。如

果全班55人，那么既做紅花又做黃花的有多少人？

解：畫圖如下：

由圖可見，做花的人：55-3=52（人）。

圖中陰影局部表示兩色花都做的人：

38+39-52=25（人）。

習(xí)題四

1.學(xué)生排成一隊(duì)，在小進(jìn)的前面有6人，后面有8人，問這隊(duì)共有多少人？

2.12輛汽車組成一列車隊(duì)向前行進(jìn)。從前面數(shù)起，紅色的小轎車是第7輛。問從

后面數(shù)它是第幾輛？

3.游泳池里男生都戴藍(lán)帽，女生都戴紅帽。池中一個男生小強(qiáng)邊看邊數(shù)，他看見藍(lán)

帽4個，紅帽5個。問池中男女生共多少人？

4.說稀奇、道稀奇，鴨子隊(duì)里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請你幫助算

一算，小鴨一共有幾只？

5.一個小組的小學(xué)生共有5人，他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學(xué)作業(yè)。又知做完語文作

業(yè)的有3人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有4人。問語文和數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有兒人？

6.在100名學(xué)生中統(tǒng)計(jì)，有65人會騎自行車，有73人會游泳，有10人既不會騎

自行車又不會游泳。問既會騎自行車又會游泳的人有多少？

7.某班有學(xué)生45人，訂閱《中國少年報(bào)》的有29人，訂閱《小朋友》的有28人,

其中兩種都訂閱的有16人，問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少？

習(xí)題四解答

1.解

由圖可知：總?cè)藬?shù)是

6+8+1=15人。

2.解：方法1：數(shù)一數(shù)；先畫示意圖如下，用?代表紅色小轎車，用。代表其他車。

從后面往前數(shù)一數(shù)，紅色小轎車是第6輛。

方法2：算一算；這隊(duì)車共有12輛，從前面往后數(shù)，紅色小轎車是第7輛，所

以紅色小轎車前面有7-1二6輛車，因此從后血往前數(shù)，紅色小轎車是第12-6=6輛。

3.解：畫示意圖如下：

因?yàn)槟猩?qiáng)邊看邊數(shù)時，沒有看見自己的藍(lán)帽，他把自己漏數(shù)了。所以算總

人數(shù)時，要把他加上，即

4+5+1=10（人）o

4.解：詞示意圖，用。代表小鴨，用?代表小雞。

由圖可見，正數(shù)算上了小雞，倒數(shù)也算上了小雞。這樣兩數(shù)之和6+7=13中，把

小雞計(jì)算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時就要減去兩個小雞。

6+7-2=11（只）。

5.解：畫示意圖如下：

兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語文作業(yè)的3人中，又算在了做完數(shù)學(xué)作業(yè)

的4人中，因此這局部人被多算了一次，（如圖中陰影局部所示）所以兩種作業(yè)都

做完的人數(shù)是：

3+4-5=2（人）。

6.解:畫圖如下:

由圖可知：會騎車或是會游泳的總?cè)藬?shù)是

100-10=90（人）、

兩種都會的人數(shù)是65+73-90=48（人）。（圖中陰影局部所示）

7.解：畫示意圖如下：

因?yàn)橹辽儆?份刊物的人：

28+29-16=41（人）。

兩種刊物都沒有訂的人：

45-41=4（人）。

第五講數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（三）

例1

小朋友，張開手，

五個手指人人有。

手指之間幾個“空〃，

請你仔細(xì)瞅一瞅？

（注）“瞅一瞅”就是“看一看〃的意思。

解；見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知：5個手指間有4個“空〃?！笨铡ㄓ纸小伴g隔〃，

也就是，人的一只手有5個手指4個間隔。

例2小朋友在一段馬路的一邊種樹;每隔1米種一棵，共種了11棵，問這段馬路

有多長？

解：畫示意圖如下：

由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有10個“空〃，也就是10個間隔。每個間

隔長1米，10個間隔長10米。也就是說這段馬路長10米.像這類問題一般叫做“植

樹問題〃?？梢缘贸鲆粋€公式：當(dāng)兩頭都種樹時：

例3把一根粗細(xì)一樣的木頭鋸成5段，需要4分鐘。

①如果把這根木頭鋸成10段，需要幾分鐘？

②如果把這根木頭鋸成100段，需要幾分鐘？

解：畫出示意圖:

由圖可見，把木頭鋸成5段，只需鋸4次。

所以鋸一次需1分鐘。

①同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。

②同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。

例4鼓樓的鐘打點(diǎn)報(bào)時，5點(diǎn)鐘打5下需要4秒鐘。問中午12點(diǎn)時打12下需要幾

秒鐘？

解：畫示意圖。鐘打一下用一個點(diǎn)代表，打’5下畫5個點(diǎn)。

由圖可見，鐘打5下中間有4個時間間隔，4個間隔是4秒鐘，每個間隔就是1

秒鐘。由此推理鐘打12下時有12-1二11個時間間隔，故用11秒鐘。

習(xí)題五

1.一隊(duì)男生8人。老師要求在2名男生中間插進(jìn)1名女生，問可插進(jìn)多少女生？

2.小冬用12張紙訂成一個本子。從頭數(shù)起，每隔3紙夾進(jìn)一片樹葉，問這個本子

內(nèi)共放進(jìn)多少片樹葉？

3.在一條20米長的小路兩旁種小松樹，如果每隔5米種一棵，而且兩頭都種樹，

問這段小路上共種多少棵？

4.一根鋼管長6米，每分鐘鋸下1米，幾分鐘鋸?fù)辏?/p>

5.?根木頭鋸成4段，要付鋸工費(fèi)1元。如果要把這根木頭鋸成13段，要付鋸工

費(fèi)多少元？

6.小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2層，爸爸上1層。問

小明上到五樓時，爸爸上到幾樓？

7.沿著跑道插著11面旗，旗與旗離得一樣遠(yuǎn)，第一面旗插在起點(diǎn)。運(yùn)發(fā)動從起點(diǎn)

起跑經(jīng)過6秒鐘到達(dá)第6面旗，問運(yùn)發(fā)動到達(dá)第11面旗時，需要跑11秒鐘嗎？

8.三點(diǎn)鐘時，掛鐘打響三下，用了12秒.到六點(diǎn)鐘時，掛鐘打響六下，要用幾秒

鐘？

習(xí)題五解答

1.解：

方法1：按老師要求，在2名男生中間插進(jìn)1名女生后，寫出隊(duì)伍的排外情況

是:

男女男女男女男女男女男女男女男

數(shù)一數(shù)，可知插進(jìn)的女生共7人。

方法2：也可以這樣想：這道題中，把男生看成“樹〃，把女生看成“間隔〃，

就能按植樹問題的公式解這道題。因?yàn)閮深^都是男生，就像兩頭都有樹一樣，女生

數(shù)應(yīng)等于男生數(shù)減1,即8-1二7（人）。

2.解：畫示意圖如下：

可以這樣想：把每3張紙粘在一起成為一張“厚紙〃，12張紙共粘成4張厚紙。

按題目要求，相當(dāng)于每兩張厚紙之間放入一片樹葉，可知共放入3片樹葉。

3.解：畫示意圖如下：（只畫一旁種樹情況）

由圖可見，每5米為一段，20米長的路可分為4段，由于路兩端都要種樹，所

以種的棵樹等于段數(shù)加1,即一旁種樹4+1=51棵），兩旁共種5+5二10（棵）。

4.解：畫示意圖如下：

由圖可見，把6米長的鋼管鋸成1米長的6段，只需鋸6-1二5（次），題中說,

每分鐘鋸下1米，就是說鋸1次需要1分鐘，所以鋸5次需5分鐘即5分鐘把鋼管

鋸?fù)辍?/p>

5.解：把一根木頭鋸成4段只需鋸4-1=3次，按題意付鋸工費(fèi)1元。當(dāng)把這根木頭

鋸成13段時只需鋸13-1二12次，每鋸3次付費(fèi)1元，鋸12次應(yīng)付鋸工費(fèi)4元。

6.解：見右圖當(dāng)小明跑五樓時，實(shí)際上跑過了4層樓梯，所以爸爸此時只走過了2

層樓梯，即走到了三樓。

7.解：畫出示意圖：

在起點(diǎn)插著第一面旗，但在起點(diǎn)運(yùn)發(fā)動起跑時，時間是從0秒開始計(jì)時的。運(yùn)

發(fā)動跑到第六面旗時，實(shí)際上是跑了5段間隔，這時他用了6秒鐘的時間；當(dāng)他跑

到第11面旗時，實(shí)際上又跑了5段間隔，所以又用了6秒鐘，總起來共用了12秒

鐘，而不是11秒鐘。

8.解：“當(dāng)一當(dāng)一當(dāng)〃鐘打響了三下，三響之間的間隔是兩次，兩個時間間隔用

12秒，一個時間間隔就是12+2=6（秒）。如果鐘打六下，六響之間的間隔是5次,

因而鐘打六下要6X5=30（秒）o

第六講數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（四）

本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的問題。比方老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把

雞蛋從藍(lán)子里一個一個地往外拿，邊拿邊數(shù)?；@子里的雞蛋拿光了，有多少個雞蛋

也就數(shù)出來了。

這種最簡單的數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的方法就叫做枚舉法。

例1用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出多少個不同的二位數(shù)？

解：用回代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個二位數(shù)

來。它們是：

例2用分別寫有數(shù)字0,1,2的三張紙片回能排出多少個不同的二位數(shù)？

解：因?yàn)椤?〃不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個二位數(shù)，它們是：

1作十位數(shù)字，0或2作個位數(shù)字：

2作十位數(shù)字，0或1作個位數(shù)字：

例3用分別寫有數(shù)字1,2,3的三張紙片回能排出多少不同的三位數(shù)？

解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個。

共6個不同的三位數(shù)。

例4小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片回右邊抽屜里也放有三張卡片回1如果

他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，生成一個二位數(shù)，在紙上記下來之后,

再把卡片放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回……這樣一直

做下去，問他一共可能組成多少個不同的二位數(shù)？

解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿,

把拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11,12,13,21,

22,23,31,32,330共9個不同的二位數(shù)。

例5有一群人，假設(shè)規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次

手？假設(shè)這群人是：

①兩個人，②三個人，③四個人

解：畫圖。用點(diǎn)"代表人。如果兩人握一次手就在兩個點(diǎn)之間連一條線。那么,

點(diǎn)和點(diǎn)之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。

①兩個人：

兩點(diǎn)之間只能連一條線，表示兩個人共握1次手。

②三個人：

三點(diǎn)之間有三條連線，表示三個人共握3次手。

③四個人：

四點(diǎn)之間有六條連線，表示四個人共握6次手。

例6鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠(yuǎn)近而定的，距離愈遠(yuǎn)，票價愈高。如果

一段鐵路上共有五個車站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價共

有多少種？

解：

如下圖，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點(diǎn)代表五個車站，各點(diǎn)間

距離不同表示各車站間距離不同，因而票價不同。

由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。

數(shù)一數(shù)，票價種數(shù)是：4+3+2+1=10種。

例7小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a,b,c三條路（如以下圖所

示）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問有多少種不

同的走法？

解：共有6種不同的走法，見以下圖。

習(xí)題六

1.用三張數(shù)字卡片叵I,可以排出多少個不同的三位數(shù)？其中最大的比最小的大多

少？

2.有四張數(shù)字卡片回從中抽出三張組成三位數(shù)，問這些卡片可能組成多少個不同

的三位數(shù)？

3.用兩套數(shù)字卡片叵I可組成多少個不同的二位數(shù)？

4.在一次小學(xué)數(shù)學(xué)競賽的領(lǐng)獎臺上有五名同學(xué)上臺領(lǐng)獎，他們每兩個人都互相握了

一次手。問他們共握了多少次手？

5.全區(qū)六所小學(xué)舉行小足球賽，每個學(xué)校派出一個代表隊(duì)，要求規(guī)定每兩個校隊(duì)之

間都要賽一場，問一共要賽多少場？

6.右圖是小英家和學(xué)校之間的街道圖。問小英去上學(xué)時，共有多少種不同的走法？

（不準(zhǔn)成心繞遠(yuǎn)走）

7.如右圖所示，一只螞蟻從一個正方體的A點(diǎn)沿著棱爬向B點(diǎn)，如不成心繞遠(yuǎn)，

共有幾種不同的走法？

習(xí)題六解答

1.解：注意，0不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共有4個。它們是：407,

470,704,740o

最大的數(shù)是740,最小的數(shù)是407。

最大的數(shù)比最小的數(shù)大740-407=333o

2.解：注意0不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共18個。

102,104,120,124,140,142；

201,204,210,214,240,241；

401,402,410,412,420,42k

3.解：共組成25個不同的二位數(shù)。

11,12,13,14,15；

21,22,23,24,25；

31,32,33,34,35；

41,42,43,44,45；

51,52,53,54,55o

4.解：畫圖。用點(diǎn)代表人，用兩點(diǎn)之間的連線代表兩個人的一次握手。按這種規(guī)定

連線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù)，共有10條連線，所以共握手10次。

5.解：共賽15場。見以下圖。

①方法1：如右圖所示這樣數(shù)：

一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽5場;

二小再和三小、四小、五小、六小共賽4場;

（二小不能再和一小賽，因?yàn)樗鼈兗航?jīng)比賽過了，下同）

三小再和四小、五小、六小共賽3場；

四小再和五小、六小共賽2場；

五小再和六小共賽1場。

比賽場次總數(shù):5+4+3+2+1=15（場）。

②方法2：每個學(xué)校都要和其他的五個學(xué)校各賽一場，共5場。因而六個學(xué)校所賽

的場次是5X6=30場。但是這樣計(jì)算還有個問題，比方說一小和二小賽了一場，這

一場比賽被兩個學(xué)校都計(jì)算在了自己所賽的場次里，因而被計(jì)了兩次。所以總場數(shù)

也就多計(jì)了一倍。也就是說，六個學(xué)校實(shí)際賽的總場次數(shù)是30+2=15（場）。

6.解：小英由家到學(xué)校共有6種走法，見以下圖粗黑線所示。

7.解：螞蟻沿著棱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)有6種不同的走法，見以下圖粗黑線所示。

第七講填圖與拆數(shù)（一）

例1如右圖，把3、4、6、7四個數(shù)填在四個空格里，使橫行、豎行三個數(shù)相加都

得14o怎樣填？

解：先看豎行，最上格中己有個5。要使5+（）=14,括號里的數(shù)就要填9。把9拆

成兩個數(shù)：9=3+6,（因?yàn)?和6是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個空格里。但

進(jìn)一步想，應(yīng)該把哪一個填在中間空格里呢？這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應(yīng)

填剩下的兩個數(shù)4和7,因?yàn)?和7相加和為11,而11+3=14,可見中間空格應(yīng)填3。

例2如下圖。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于12。

解：見以下圖（1）、（2）、（3）o把12分拆成三個不同的數(shù)相加之和，得七種

分拆方式：

12=9+2+112=8+3+1

12=7+4+112=7+3+2

12=6+5+112=6+4+2

12=5+4+3

從各式中選擇有一個相同加數(shù)的兩個式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將相

同的加數(shù)1填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案

有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學(xué)們還可以自己選擇另外的填法。

例3如右圖所示。把1、2、3、4、5五個數(shù)填入五個圓圈里，要求分別滿足以下條

件：

（1）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8；

（2）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9；

（3）使橫行、.夢行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。

解，見以下圖(1)、(2)、(3)

(1)將8分拆成三個數(shù)之和(注意，這三個數(shù)要從1、2、3、4、5中選取)

8=1+2+58=1+3+4

因?yàn)橹虚g圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應(yīng)把“1〃填在中間圓圈里其他四個數(shù)填

在邊上；

(2)解法思路與(1)相同，分拆方式如下：

9=1+3+59=2+3+4

(3)解法思路與⑴相同

10=1+4+510=2+3+5。

習(xí)題七

1.如右圖所示。在正方形的空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個

數(shù)相加得數(shù)都是18o

2.如右圖所示。在正方形空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個數(shù)

相加都得34o

3.如右圖所示。把適當(dāng)?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個圈中的數(shù)相加

都是10o

4.如下圖。從2、3、4、5、6中選取適當(dāng)?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同?個大圓上的小圓

圈中的四個數(shù)的和①都等于15,②都等于16。

5.如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都等于10。

6.如下圖。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都是15。

7.如下頁圖所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組，填到三個小三角形的

各個角上的圓圈里，使每個小三角形的三個角的圓圈里的數(shù)之和都是15。同時使大

三角形三個角的圓圈里的數(shù)之和也是15.

習(xí)題七解答

1.在圖中，

用較大的黑體字表示方格中原有的數(shù)，如10、6、7三個數(shù)。仔細(xì)觀察可知，可

以先在第二橫行右邊空格里填2,因?yàn)橐箼M行三個空格里的數(shù)之和是18,(已有

的兩個數(shù)之和是10+6=16)就需要在這個空格中填上18-16:2。當(dāng)然，也可以先填左

下角空格的那個數(shù)，因?yàn)樗诘男毙兄幸延袃蓚€數(shù)7和6,而7+6=13,所以應(yīng)在

這個空格里填18-13=5o接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。

2.見圖。

解法思路與第1題相同。因?yàn)橐竺啃械乃膫€數(shù)之和是34,而第三橫行已有的

三個數(shù)之和為9+7+12=28,所以此行空格中可填6。也可先填圖中另一斜行，因這斜

行中已有的三個數(shù)之和是13+10+7=30,所以，這斜行的空格，也就是圖的左下角的

空格中應(yīng)填4。接著，用同樣的思考方法填出其余所有空格。

3.見圖。

解法與第1題相同。因?yàn)槿切蔚囊贿呉延袃蓚€數(shù)3和2,其和為3+2=5,要使

這邊的三數(shù)之和是10,可知這邊的右下角圓圈中應(yīng)填10-5=5o其余兩圓圈中的數(shù)可

按同樣方法填出。

4.見圖。

①和是15：因?yàn)榇髨A上有兩個小圓圈中已有了1和7,它們的和是1+7=8,所以同

一個大圓上另外的兩個小圓圈中應(yīng)填的兩個數(shù)之和應(yīng)是15-8=7,將7分拆成兩個數(shù)

有兩種分拆方式：

將2和5填入一個大圓上的兩個空圈中，將3和4填入另一個大圓上的兩個空

圈中。②見右圖。和是16,解法思路和①相同。因?yàn)?/p>

1+7=8,

16-8=8

將8分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式：

將2和6、3和5分別填入大圓上的空圈中。

5.解：見以下圖(11?(4)把10分拆成三個不同的數(shù)的和，共有4種分拆方式:

10=1+2+7=1+3+6=1+4+5

10=2+3+5

選擇有一個共同加數(shù)的兩個式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個

加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構(gòu)成一種填法。此題有6種符合題目要求的填法，這

里只舉其中4種填法，還有2種填法你能找出來嗎？

6.解見以下圖。把15分拆成三個不同的數(shù)相加之和，共有12種分拆方式：

15=1+2+1215=1+3+11

15=1+4+1015=1+5+9

15=1+6+815=2+3+10

15=2+4+915=2+5+8

15=2+6+715=3+4+8

15=3+5+715=4+5+6

因?yàn)轭}目中己有2、3、8三個數(shù)填在3個圓圈里，觀察上面各式，既用到2、3、

8這三個數(shù)，又要有另一個數(shù)是共同的，這樣的式子有如下三個：15=1+2+12,

15=1+3+11,15=1+6+8,將三式中共用的加數(shù)”1〃寫在中間圓圈里，再在其他三個

圓圈里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

7.解：見下面兩圖，將15分拆，采取兩步分拆法如下：

適中選取四組數(shù)，填入四個三角形中(3個小三角形與1個大三角形)，可以

得到一些不同的填法。選法的竅門是：先任選一組數(shù)如3、5、7,將它們分別填在

大三角形的三個角頂圓圈中，再找分別包含3、5、7的三組數(shù)填在小三角形中，它

們是3,8,4；5,9,1；7,6,2。如上圖所示。

第八講填圖與拆數(shù)(二)

本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。

例1如右圖所示。把三個1、三個2、三個3分別填在九個格內(nèi)，使橫行、豎行、

斜行三個數(shù)加起來的和都等于6o

解：找關(guān)鍵數(shù)先填。因?yàn)橹虚g格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān)，所以它是關(guān)鍵數(shù),

確定了它，其他各格就容易填了。

(1)嘗試法：假設(shè)中間填“1〃，再填其他格，如右圖。結(jié)果有一條斜線上的

數(shù)都是1,其和為3,不合題目要求。

假設(shè)中間格填“3〃，再填其他格，如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是3,其和

為9,不合題目要求。

假設(shè)中間格填“2〃，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。

(2)分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個“1〃或一個“3〃。因

為假設(shè)填兩個1后，即使再填一個最大的3,這一行的這三個數(shù)之和才是5,小于6,

不符合題目要求；同樣，假設(shè)填兩個3后，即便再填一個最小的數(shù)1,這一行的三

個數(shù)之和就是7,大于6,也不符合題目要求。

如果在一行里填入兩個“2〃，即使在此行里再填一個2,這一行的三個數(shù)之和

也可等于6,符合題要求。

由此得出，中間方格必須填“2〃。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易

填出了。

例2如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個數(shù)相加之和

都是8。

解：中間圓圈里的數(shù)是個關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該首先確定它。如何確定它呢？這樣想：假設(shè)

我們已經(jīng)按題目要求把1、2、3、4、5填入了五個圓圈中，這樣每條斜線上的三個

數(shù)相加都得8。那么當(dāng)我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應(yīng)為8+8=16,

但是五個圓圈中所填數(shù)之和應(yīng)為

1+2+3+4+5=15,

兩個和數(shù)之差是L即：16T5=1。

這個差是如何產(chǎn)生的呢？這是因?yàn)榘褍蓷l斜線上的和數(shù)相加時，中間圓圈中的

數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了1,可見此數(shù)是1。

然后，再求每條斜線兩端的數(shù)?？汕蟪鰞蓴?shù)之和應(yīng)為8-1二7把7分拆成兩個數(shù),

有兩種分拆方式：

把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。

把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。

例3如下圖。把1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)填在右圖中的七個圓圈里，每個數(shù)只

能用一次，使每條線上的三個數(shù)相加之和都等于120

解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該如何確定它呢？

與例2的想法類似。假設(shè)已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條線上

的三個圓圈中的數(shù)相加應(yīng)該都得12o我們?nèi)绻M(jìn)一步把三條直線上的數(shù)都加起來，

得數(shù)應(yīng)為：12+12+12=36。

不難看出，這樣就把中間圓圈里那個數(shù)加了三次。因而它比七個圓圈中的數(shù)相

加之和：1+2+3+4+5+6+7=28

多了36-28二8

也就是8應(yīng)是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應(yīng)是8的一半，

即84-2=4

下面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù)，方法如下：12-4二8

例4如下圖。把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入右圖的圓

圈里，使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于9。

解：見圖。

三個角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因?yàn)樗鼈冎械拿總€都是兩條邊上共有的數(shù)。先

確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想：六個數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個數(shù)之和是9,

9+9+9=27這樣算每個角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個圓圈中的數(shù)之和

是

27-21=6

把6分拆成三個數(shù)之和：6=1+2+3；

把1、2、3分別填入三個角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。

習(xí)題八

1.見圖。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白

圓圈內(nèi)，使每個大圓上四個小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是29。你能填嗎？

2.見圖。把2、3、4、6、7、10、11分別填入大圓上的小圓圈內(nèi)，使每個圓上四個

小圓圈中的數(shù)字和都是24。你能填嗎？

3.見圖。把2、3、4、5、6填入右圖的五個方格里，使橫行、醛行的三個數(shù)之和等

于：①11、②12、③13。

4.見圖。把5、6、7、8、9、10六個數(shù)分別填入右圖中的六個圓圈里，使三角形每

條邊上的三個數(shù)之和都等于2k

5.見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)分別填入圓圈里，使每個正

方形的四個數(shù)相加之和都等于24o

6.見圖。把1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個圓圈

中的數(shù)相加之和都等于12。

7.見圖。把11、12、13、14、15、16、17七個數(shù)填入右圖的圓圈中，使橫行、豎

行的圓圈中的每三個數(shù)之和都是420

8.見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11這^一個數(shù)，分別填入圖中空格

內(nèi)，使相鄰的兩個或三個空格內(nèi)的和等于①14、②15。

9.把1、2、3、4、5、6、7、8、9各數(shù)分別填入“七一〃圖形中的九個空格內(nèi)，使

每一橫行、豎行的四個、三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都等于13。（見以下圖）

10.見以下圖。把1、2、3、4、5、6、7各數(shù)填入“十一〃圖形中的七個空格里，

使每一橫行、豎行的三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都是Wo

習(xí)題八解答

1.解：見圖。找美鍵數(shù)先填。三個大圓相交處的小圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。仔細(xì)觀察。

圖中一個大圓上已有9和7兩個數(shù)，所以

這個大圓上A,B兩個小圓圈（如圖示）所填的兩數(shù)之和應(yīng)為29-（9+7）=13.

把13分拆成兩數(shù)之和（注意要選用題中已給的數(shù)）

只有11+2和8+5兩種分拆方式可供選用；經(jīng)試驗(yàn)可知8和5這組數(shù)不合用，只

能選用11和2這組數(shù)。最后可確定將11填入三個大圓相交處的A圈中。接著可較

容易地填上其他數(shù)了。

2.解：見圖。由中間的大圓圈上的三個數(shù)1,5,8,可求出這個大圓上的最后一個

數(shù)：24-（1+5+8）=10,這樣還剩下2、3、4、6、7、11六個數(shù)未被選用。應(yīng)把它們

分別填入六個小圓圈°仔細(xì)觀察可知：

另外的兩個大圓相交處的小圓圈（B圈）中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。而且有一個大圓上

已經(jīng)給出了數(shù)9,所以該大圓上其余三個小圓圈所填數(shù)之和應(yīng)為24-9=15。因而將

15分拆成三個數(shù)之和（注意必須選用題中所給的數(shù)）

15=7+6+2

經(jīng)嘗試B圈中只能填6。然后再確定左邊大圓上三個小圓圈應(yīng)填的數(shù)是11、4

和3o

3.解：見以下圖，解題思路與例3相同，略寫如下：

2+3+4+5+6-20o

①11+11-20=2即中間格填2。

②12+12-20=4即中間格填4O

③13+13-20=6即中間格填6。

4.解：見圖解題思路與例4相同，略寫如下：

21+21+21=63

5+6+7+8+9+10=45

63-45=18［三個角上的三個數(shù)之和）

分拆18=5+6+7即三個角上的三個圓圈里應(yīng)填5、6、70

5.解：見圖，

找關(guān)鍵數(shù)先填，不難看出，標(biāo)有字母A和B的兩圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因?yàn)樗?/p>

們是正方形公用的數(shù)，解法：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

24+24+24=72

72-55=17

17=10+7=9+8（這就是兩組關(guān)鍵數(shù)10和7,以及9和8）。

6.解：見圖，找關(guān)鍵數(shù)先填。不難看出，中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。求美鍵數(shù):

1+2+3+4+5+6+7

=28

12+12+12=36

36-28=8（相當(dāng)兩個中間圓圈里的數(shù)之和）

84-2=4（就是一個中間圓圈里的數(shù)）

12-4=8

行三個數(shù)之和他是120

7.解：先求關(guān)鍵數(shù)：橫行和豎行公用的兩個圓圈的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。

11+12+13+14+15+16+17=98

42+42+42=126

126-98-28（28是橫行和豎行公用的兩個圓圈里的數(shù)的和）將28分拆：

（見下面三個圖）。

8.解：先求關(guān)鍵數(shù)。六字的“點(diǎn)〃和”橫〃公用的方格中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。

方法1：

14X5=70

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66

公用的方格中的數(shù)是70-66=4再適中選擇其他的數(shù)填入其他空格。

方法2：見以下圖

15X5=7575-66=9

公用的方格中填9,再適中選擇其他各數(shù)填入方格。

9.解：見以下圖，求關(guān)鍵數(shù)即共用方格中的數(shù)

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

13X4=5252-45=7

10.解：見以下圖，先確定“十〃字中間方格中的數(shù)

1+2+3+4+5+6+7=28

10X3=30

30-28=2（中間方格中的數(shù)〕。

第九講分組與組式

課本上的算題，多數(shù)是已經(jīng)列好算式要求i-算出結(jié)果。但在這一講里，往往是

知道結(jié)果或要到達(dá)的目標(biāo)，請你答復(fù)如何才能得出這種結(jié)果或到達(dá)目標(biāo)值。為此就

要求同學(xué)們在掌握好以前所學(xué)數(shù)學(xué)知識的根底上，還要進(jìn)一步做到：仔細(xì)地觀察，

發(fā)現(xiàn)題中給出的一些數(shù)中存在的規(guī)律，并且大膽地進(jìn)行嘗試，培養(yǎng)思維的靈活性和

敏捷性。

例1如以下圖所示把1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字分成兩局部，再組成兩

個數(shù)，填入下面的兩個方框里，使兩個數(shù)的和等于99999

解：把九個數(shù)字分成兩局部，組成兩個數(shù)，要求相加之和由五個9組成，可見一個

數(shù)應(yīng)是五位數(shù)，且9應(yīng)在最高位，另一個是四位數(shù)。把除9之外的其余八個數(shù)字分

成四對，每對的和是9,它們應(yīng)是1和8,2和7,3和6,4和5。它們可以組成以

下算式，如:

可見分組方法是多種多樣的。

例2給你1、2、3、4、16、17、18、19這八個數(shù)，要求：

①把它們分成四組，使每組的兩個數(shù)相加之和相等。

②再用這八個數(shù)組成如F的兩個算式。

□+□-□=口

①解：仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)：在這八個數(shù)中，前四個都是一位數(shù)，且后一個數(shù)比前一個

數(shù)大1；后四個都是兩位數(shù)，也是后一個數(shù)比前一個數(shù)大lo因此把它們互相搭配后,

可使每組的兩數(shù)之和相等。分組如下：

[1,19)；(2,18)；[3,17):(4,16).

可以看出，每組的兩數(shù)之和都等于20。

②解：如以下圖所示，由于

1+19=2+18,3+17=4+16

因此可以組成符合題目要求的算式如下：

注意：符合題目要求的算式不只這些，同學(xué)們自己還可以再寫出一些。

例3在1、2、3、4、5、6、7之間放幾個“+〃號，使它們的和等于100,試試看。

1234567=100

解：對這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！二是可以先考慮

與目標(biāo)值1此題是100)較接近的大數(shù)，再考慮用較小的數(shù)進(jìn)行調(diào)整、修正，使式

子的得數(shù)逐漸接近目標(biāo)值，也就是使之轉(zhuǎn)化為較簡單的情況。

(1)對此題可考慮先在67前面放一個“+〃號，這樣比100還小33,也就是

說，轉(zhuǎn)化成了較簡單的情況：

12345=33

再考慮在23前放個“+〃號，它比33還小10,這樣問題又轉(zhuǎn)化為：

145=10

這就很容易看出來了：1+4+5=10

所以最后可以確定組成的算式是：

1+23+4+5+67=100

(2)此題還可以有另外的解法，邊看邊想可得出：34+56二90

剩下的三個數(shù)：

1+2+7=10

所以最后可以組成如下的算式：

1+2+34+56+7=100。

例4某公園里有三棵樹，它們的樹齡分別由1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中的不

同的兩個數(shù)字組成，而且其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這

三棵樹各是多少歲嗎？

解：這道題的實(shí)質(zhì)就是：把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分成三組，每組兩個數(shù)，組成

二位數(shù)，使其中的兩個二位數(shù)之和等于第三個二位數(shù)的2倍。順便說一下，把生活

中的趣味問題轉(zhuǎn)化成為純數(shù)學(xué)型的題目是一種重要的本領(lǐng)，同學(xué)們要從小就注意增

強(qiáng)這種能力，以便將來能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際工作中遇到的難題。

仔細(xì)觀察、大膽嘗試，將這六個數(shù)分組、組合，可得出的三個數(shù)是：12,34,

56,因?yàn)?/p>

12+56=34X2

即這三棵樹的樹齡是12歲、34歲、56歲。這道題有幾種不同的答案，請你動

動腦筋找出另外的答案。

習(xí)題九

1.用10、11、12、13這四個數(shù)編兩道加減順序不同的混合算式，要求算式符合下

面的形式。

2.用2、3、4、5、6、7、8、9這八個數(shù)，每個數(shù)只準(zhǔn)用一次，編兩道加減混合算

式，要求算式符合下面的形式。