小學(xué)數(shù)學(xué)5年級(jí)培優(yōu)奧數(shù)講義 第01講-平均數(shù)（含解析）

第一講平均數(shù)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

進(jìn)一步理解和掌握平均數(shù)應(yīng)用題的意義和數(shù)量關(guān)系

進(jìn)一步學(xué)會(huì)以多補(bǔ)少的方法解決平均數(shù)問(wèn)題，并進(jìn)一步學(xué)習(xí)解答稍為復(fù)雜的求平均數(shù)應(yīng)用題

二、知識(shí)梳理

（一）基本公式

平均數(shù)x總份數(shù)=總數(shù)量總數(shù)量+總份數(shù)=平均數(shù)總數(shù)量+平均數(shù)=總份數(shù)

（二）平均數(shù)問(wèn)題

H常生活中我們會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：幾個(gè)杯子中的水有多有少，為了使每個(gè)杯子中的水一樣多，就將

水多的杯子里的水倒進(jìn)水少的杯子里，反復(fù)幾次，直到幾個(gè)杯子里的水一樣多。這就是我們所講的“移

多補(bǔ)少”，通常稱(chēng)之為平均數(shù)問(wèn)題。

求平均數(shù)問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：總數(shù)量?總份數(shù)二平均數(shù),解答平均數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是要求出總數(shù)量

和總份數(shù)的，然后根據(jù)基本總量關(guān)系式來(lái)解答。也可采用假設(shè)平均數(shù)的方法，即找一人基數(shù)，用“基

數(shù)十各數(shù)與基數(shù)的差之和+份數(shù)=平均數(shù)”公式求平均數(shù)。

三、典例分析

考點(diǎn)一：用基本關(guān)系式求平均數(shù)

例1、用4個(gè)同樣的杯子裝水，水面的高度分別是8厘米、5厘米、4座米、3厘米。這4個(gè)杯子里水

面的平均高度是多少厘米？

例2、數(shù)學(xué)測(cè)試中，一組學(xué)生中的最高分為98分，最低分為86分，其余5名學(xué)生的平均分為92分。

這一組學(xué)生的平均分是多少分？

例3、明明期中考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、科學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是91分，英語(yǔ)成績(jī)公布后，他的平均分提高了2

分。明明英語(yǔ)考了多少分？

考點(diǎn)二：利用基數(shù)法求平均數(shù)

例1、求下列20個(gè)數(shù)的平均數(shù)：401,398,400,403,399,396,402,402,404,403,399,396，

398,398,405,401,400,402,403,4000

例2、王老師為四年級(jí)羽毛球隊(duì)的同學(xué)測(cè)量身高。其中兩個(gè)同學(xué)身高153厘米，一個(gè)同學(xué)身高152厘

米，有兩個(gè)同學(xué)身高149厘米，還有兩個(gè)同學(xué)身高147厘米。求四年級(jí)羽毛球隊(duì)同學(xué)的平均身高。

考點(diǎn)三：航行中的平均數(shù)問(wèn)題

例1、兩地相距36()千米，一艘汽艇順?biāo)旭偼耆绦枰?()小時(shí)，已知這條河的水流速度為每小時(shí)6

千米。往返兩地的平均速度是每小時(shí)多少千米？

例2、張師傅開(kāi)汽車(chē)從A到B為平地(見(jiàn)下圖)，車(chē)速是36千米/時(shí)；從B到C為上山路，車(chē)速是28

千米/時(shí)；從C到D為下山路，車(chē)速是42千米/時(shí).己知下山路是J_.山路的2倍，從A到D全程為

72千米，張師傅開(kāi)車(chē)從A到D共需要多少時(shí)間？

考點(diǎn)四：改動(dòng)中的平均數(shù)

例1、有五個(gè)數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中一個(gè)數(shù)改為1,那么這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8,這個(gè)改動(dòng)的數(shù)

原來(lái)是多少？

4、A、B、C、D四個(gè)數(shù)，每次去掉一個(gè)數(shù),將其余下的三個(gè)數(shù)求平均數(shù)，這樣計(jì)算了4次得到下面4個(gè)

數(shù)23,26,30,33。A、B、C、D4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？

5、五個(gè)數(shù)排一排，平均數(shù)是9。如果前四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是七，后四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是10,那么第一個(gè)

數(shù)和第五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？

6、王華的期末考試成績(jī)單被弄污了，有兩個(gè)字看不清楚，請(qǐng)你想辦法把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)算出來(lái)

科目語(yǔ)文數(shù)學(xué)外語(yǔ)自然音樂(lè)體育平均

分?jǐn)?shù)■hU8590758083

【課后作業(yè)】

I、小明前幾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是84分.這次要考到100分.才能把平均成績(jī)提高到86分.間

這是他第幾次測(cè)驗(yàn)？

2、一艘輪船往返于甲乙兩個(gè)碼頭距離為75千米，順?biāo)啃r(shí)航行25千米，逆水每小時(shí)航行20千米。

這艘輪船往、返的平均速度是每小時(shí)多少千米？

【解析】求總時(shí)間，然后求出平均速度

3、甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分?jǐn)?shù)時(shí)，把自己的

分錯(cuò)抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在這次考試中得了多少分？

4、第三小隊(duì)11位少先隊(duì)員參加跳繩比賽，他們每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)分別是

92,86,92,87,90,94,91,88,89,92,89,求每個(gè)人平均每分鐘跳繩多少個(gè)？

【思考題】

1、趙伯伯為了鍛煉身體，每天步行3小時(shí)，他先走平路，然后上山，最

后又沿原路返回.假設(shè)趙伯伯在平路上每小時(shí)行4千米,上山每小時(shí)行3千米，下山每小時(shí)行6千米,

在每天鍛煉中，他共行走多少千米？

【總結(jié)】

重點(diǎn)回顧

1、用基本關(guān)系式求平均數(shù)

2、利用基數(shù)法求平均數(shù)

3、航行中的平均數(shù)問(wèn)題

4、改動(dòng)中的平均數(shù)

名師點(diǎn)撥

1、求平均數(shù)問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：總數(shù)量+總份數(shù)=平均數(shù)。解答平均數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是要求出總數(shù)

量和總份數(shù)的，然后根據(jù)基本總量關(guān)系式來(lái)解答。

本節(jié)課我學(xué)到

我需要努力的地方是

第01講平均數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

2進(jìn)一步理解和掌握平均數(shù)應(yīng)月題的意義和數(shù)量關(guān)系

?進(jìn)一步學(xué)會(huì)以多補(bǔ)少的方法解決平均數(shù)問(wèn)題，并進(jìn)一步學(xué)習(xí)解答稍為復(fù)雜的求平均數(shù)應(yīng)用題

覆知識(shí)掘里L(fēng)

一、基本公式

平均數(shù)X總份數(shù)=總數(shù)量總數(shù)量+總份數(shù)=平均數(shù)總數(shù)量+平均數(shù)=總份數(shù)

二、平均數(shù)問(wèn)題

日常生活中我們會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：幾個(gè)杯子中的水有多有少，為了使每個(gè)杯子中的水一樣多，就將

水多的杯子里的水倒進(jìn)水少的杯子里，反復(fù)幾次，直到幾個(gè)杯子里的水一樣多。這就是我們所講的“移

多補(bǔ)少”，通常稱(chēng)之為平均數(shù)問(wèn)題。

求平均數(shù)問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：總數(shù)量+總份數(shù)=平均數(shù)，解答平均數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是要求出總數(shù)量

和總份數(shù)的，然后根據(jù)基本總量關(guān)系式來(lái)解答。也可采用假設(shè)平均數(shù)的方法，即找一人基數(shù)，用“基

數(shù)+各數(shù)與基數(shù)的差之和+份數(shù)二平均數(shù)”公式求平均數(shù)。

覆典例分析工

考點(diǎn)一：用基本關(guān)系式求平均數(shù)

例1、用4個(gè)同樣的杯子裝水，水面的高度分別是8厘米、5厘米、4厘米、3座米。這4個(gè)杯子里水

面的平均高度是多少厘米？

【解析】利用平均數(shù)問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：總數(shù)量+總份數(shù);平均數(shù)。根據(jù)已知條件，求出4個(gè)杯

子里水的總高度，然后除以杯子的個(gè)數(shù)，即可求出平均數(shù)。

（8+5+4+3）+4=5（厘米）

答：這4個(gè)杯子里水面的平均高度是5厘米。

解：（800+150）+19=50（秒）

答：全車(chē)通過(guò)長(zhǎng)800米的大橋，需要50秒。

例2、數(shù)學(xué)測(cè)試中，一組學(xué)生中的最高分為98分，最低分為86分，其余5名學(xué)生的平均分為92分。

這一組學(xué)生的平均分是多少分？

【解析】利用平均數(shù)問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：總數(shù)量小總份數(shù)二平均數(shù)。總數(shù)量=98+86+92X5=644（分）,

總份數(shù)=1+5+1=7（人），平均數(shù)=644-7=92（分），故這一組學(xué)生的平均分是92分。

例3、明明期中考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、科學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是91分，英語(yǔ)成績(jī)公布后，他的平均分提高了2

分。明明英語(yǔ)考了多少分？

【解析】利用基本式：三門(mén)課總分?jǐn)?shù)=91X3=273,四門(mén)課總分?jǐn)?shù)=（91+2）X4=372。英語(yǔ)分?jǐn)?shù)

=372-273=99（分）。

另一種思維方式：平均分提高了2分，也就是說(shuō)，英語(yǔ)成績(jī)比其他三門(mén)功課的平均成績(jī)多了4個(gè)2

分，即2X4=8分，那么英語(yǔ)成績(jī)=91+8=99（分）

考點(diǎn)二：利用基數(shù)法求平均數(shù)

例1、求下列20個(gè)數(shù)的平均數(shù)：401,398,400,403,399,396,402,402,404,403,399,396,

398,398,405,401,400,402,403,400。

【解析】解法一：先求出這20個(gè)數(shù)的和，即總數(shù)量，再用20個(gè)數(shù)的和除以總份數(shù)20,求出平均數(shù)。

因?yàn)檫@20個(gè)數(shù)據(jù)比較大，這種解法計(jì)算量很大，容易出錯(cuò)。

解法二：仔細(xì)觀察這20個(gè)數(shù)據(jù)都接近400,有的比400大，有的比400小，我們可以借鑒移多補(bǔ)少

的思想，以400作為基準(zhǔn)，把這20個(gè)數(shù)都看作400,求出它們比400多出或不足的部分，多出1記

作“+1”，不足2記作“-2”，計(jì)算時(shí)多出和不足的部分讓它們互相抵消，可得這20個(gè)數(shù)據(jù)共多出：

+1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1-4-2-2+5+1+0+2+3+0=10,再把多出10平均分給這20個(gè)數(shù)據(jù)，所以這20個(gè)

數(shù)的平均數(shù)是：400+10+20=4065。對(duì)于求多個(gè)比較接近的大數(shù)的平均數(shù)，直接計(jì)算很麻煩，我們

可以選擇這些數(shù)最接近的整數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，運(yùn)用上面的方法解答，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。

例2、王老師為四年級(jí)羽毛球隊(duì)的同學(xué)測(cè)量身高。其中兩個(gè)同學(xué)身高153厘米，一個(gè)同學(xué)身高152厘

米，有兩個(gè)同學(xué)身高149厘米，還有兩個(gè)同學(xué)身高147厘米。求四年級(jí)羽毛球隊(duì)同學(xué)的平均身高。

【解析】這道題可以按照一般思路解，即用身高總數(shù)除以總?cè)藬?shù)。還可以采用假設(shè)平均數(shù)的方法，容

易發(fā)現(xiàn)身高都在150厘米左右，可以假設(shè)平均身高為150厘米，把它當(dāng)做基數(shù)，用“基數(shù)+各數(shù)與基

數(shù)的差之和?份數(shù)二平均數(shù)”公式求解。即有150+（3X2+2-1X2-3X2）+（2+l+2+2）=150（厘米）

考點(diǎn)二：航行中的平均數(shù)問(wèn)題

例1、兩地相距360千米，一艘汽艇順?biāo)旭偼耆绦枰?0小時(shí)，已知這條河的水流速度為每小時(shí)6

千米。往返兩地的平均速度是每小時(shí)多少千米？

【解析】航行中的速度關(guān)系：順?biāo)俣榷撵o水速度+水流速度逆水速度二船的靜水速度-水流速度,

速度二路程+時(shí)間用往返的路程除以往返所用的時(shí)間就等于往返兩地的平均速度。顯然，要求往返的

平均速度必須先求出逆水行完全程所用的時(shí)間。由題意可知順?biāo)俣?360+10=36千米/小時(shí)，船的

靜水速度=36-6=30千米〃J、時(shí)。所以船的逆水速度=30-6=24千米/小時(shí)。逆水行全程時(shí)所用的時(shí)間二360

■24=15（小時(shí)）

解:逆水速度3604-10-6-6=24（千米/小時(shí)）

逆水走完全程的時(shí)間360+24=15（小時(shí)）

平均速度=總路程+總時(shí)間=（360+360）+（10+15）=28.8千米/小時(shí)

答：往返兩地的平均速度是每小時(shí)28.8千米。

例2、張師傅開(kāi)汽車(chē)從A到B為平地（見(jiàn)下圖），車(chē)速是36千米/時(shí)；從B到C為上山路，車(chē)速是28

千米/時(shí)：從C到D為下山路，車(chē)速是42千米/時(shí).已知下山路是卜.山路的2倍，從A到D全程為

72千大，張師傅開(kāi)車(chē)從A到D共需要多少時(shí)間？

【解析】本題給出BC段與CD段的路程關(guān)系，因此可以先求出BD段的平均速度，設(shè)BC段的路程

為84份,CD段則為168份，則BD段的平均速度=（84+速8）+（燙+磨）=36（千米/時(shí)）,與平路的平

2842

均速度恰好相同，所以共需時(shí)間72?36=2（小時(shí)）

考點(diǎn)四：改動(dòng)中的平均數(shù)

例1、有五個(gè)數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中一個(gè)數(shù)改為1,那么這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8,這個(gè)改動(dòng)的數(shù)

原來(lái)是多少？

【解析】改動(dòng)前五個(gè)數(shù)的和為:9X5=45；

改動(dòng)后五個(gè)數(shù)的和為：8X5-40；

改動(dòng)后總和比改動(dòng)前減少了：45-40=5；

所以被改動(dòng)的數(shù)減少了5,這個(gè)數(shù)原來(lái)是：1+5=6

例2、五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績(jī)91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計(jì)算成績(jī)時(shí)將一位同學(xué)的98分誤作89

分計(jì)算了。經(jīng)重新計(jì)算，全班的平均成績(jī)是91.7分，五一班有多少名同學(xué)？

【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績(jī)上升91.7—91.5=0.2（分）。9里面

包含有45個(gè)0.2、五一班就有45名同學(xué)。

例3、有4個(gè)數(shù)，這4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是21,其中前2個(gè)數(shù)的平均數(shù)是15,后3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是26.

那么第二個(gè)數(shù)是多少？

【解析】根據(jù)“4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是21”，可以得出4個(gè)數(shù)的總和就是21X4=84,又根據(jù)“前2個(gè)數(shù)

的平均數(shù)是15,后3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是26”，可以得出他們的總和為15X2+26X3=108,其中第二個(gè)

數(shù)被重復(fù)算了一次，所以總和多出來(lái)的了108-84=24,就是第二個(gè)數(shù)。

耍實(shí)戰(zhàn)演練&

課堂狙擊'

1、有4箱水果，已知蘋(píng)果、梨、橘子平均每箱42個(gè)，梨、橘子、桃平均每箱36個(gè)，蘋(píng)果和桃平均

每箱37個(gè)。一箱蘋(píng)果多少個(gè)？

【解析】（1）1箱蘋(píng)果+1箱梨+1箱橘子=42X3=126（個(gè)）；

（2）1箱桃+1箱梨+1箱橘子桃6X3=108（個(gè)）

（3）1箱蘋(píng)果+1箱桃=37X2=72（個(gè)）

由⑴⑵兩個(gè)等式可知：1箱蘋(píng)果比1箱桃多126—108=18（個(gè)），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1箱桃

有（74—18）。2=28（個(gè)），1箱蘋(píng)果有28+18=46（個(gè)）。

解：1箱蘋(píng)果和1箱桃共有多少個(gè)：37X2=74（個(gè)）

1箱蘋(píng)果比1箱桃多多少個(gè):42X3-36=18（個(gè)）

1箱蘋(píng)果有多少個(gè)：28+18=46（個(gè)）

2、小英4次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是92分，5次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)比4次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)提高

了1分。小英第5次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)得了多少分？

【解析】5次比4次測(cè)驗(yàn)的平均分提高了1,那么第五次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)比4次測(cè)驗(yàn)的平均數(shù)多出了5個(gè)

1分，所以第五次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)-92+1X5=97(分)

3、一輛小轎車(chē)，裝有4個(gè)輪胎，還有2只備用輪胎，司機(jī)適當(dāng)?shù)剌啌Q這6只輪胎，使每只輪胎行程

相同。小車(chē)共行駛了360千米，每只輪胎平均行駛了多少千米？

【解析】小轎車(chē)在任何時(shí)候都是4個(gè)輪胎同時(shí)行駛，小車(chē)行駛360千米，即所有6只輪胎共行駛4

個(gè)360千米：360X4=1440(千米)。平均每只輪胎的行駛路程為：1440+6=240(千米)。

4、A、B、C、D四個(gè)數(shù)，每次去掉一個(gè)數(shù),將其余下的三個(gè)數(shù)求平均數(shù)，這樣計(jì)算了4次，得到下面4個(gè)

數(shù)23,26,30,33。A、B、C、D4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？

［解析］A+B+C+A+B+D+A+C+D+B+C+D=3X(23+26+30+33)

3(A+B+C+D)=3(23+26+30+33)

A+B+C+D=112

A、B、C、D4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是28

5、五個(gè)數(shù)排一排，平均數(shù)是9。如果前四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是七，后四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是10,那么第一個(gè)

數(shù)和第五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？

【解析】前四個(gè)數(shù)平均數(shù)是7,前四個(gè)數(shù)的和是7X4=28,第五個(gè)數(shù)是45-28=17；后四個(gè)數(shù)平均數(shù)是

10,后四個(gè)數(shù)的和是10X4=40,第一個(gè)數(shù)是45-405；第一個(gè)數(shù)和第五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是(17+5)+2=11

6、王華的期末考試成績(jī)單被弄污了，有兩個(gè)字看不清楚，請(qǐng)你想辦法把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)算出來(lái)

科目語(yǔ)文數(shù)學(xué)外語(yǔ)自然音樂(lè)體育平均

分?jǐn)?shù)Lia■hU8590758083

【解析】根據(jù)六門(mén)成績(jī)的平均成績(jī)?yōu)?3分，則能求出總成績(jī)?yōu)?3X6=498分，減去另外四門(mén)的成績(jī)

就是數(shù)學(xué)語(yǔ)文的總成績(jī)，然后根據(jù)數(shù)學(xué)成績(jī)的個(gè)位數(shù)字，推出語(yǔ)文成績(jī)，即可得出結(jié)論。

解：語(yǔ)文與數(shù)學(xué)成績(jī)之和83X6-180+75+90+85)=168(分)

因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)的個(gè)位數(shù)為5,則語(yǔ)文成績(jī)的個(gè)位數(shù)一定是8-5=3,故語(yǔ)文成績(jī)是83,數(shù)學(xué)成績(jī)是85

分

答：王華的語(yǔ)文數(shù)學(xué)成績(jī)分別是83分，85分。

＞課堂反擊

1、小明前幾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是84分，這次要考到100分，才能把平均成績(jī)提高到86分。問(wèn)

這是他第幾次測(cè)驗(yàn)？

【解析】100分比86分多14分，這14分必須填補(bǔ)到前幾次的平均分84分中去，使其平均分成為86

分。每次填補(bǔ)86-84=2(分)，14分里面有7個(gè)2,所以前面已經(jīng)測(cè)驗(yàn)了7次，這是第8次測(cè)驗(yàn)。

2、一艘輪船往返于甲乙兩個(gè)碼頭距離為75千米，順?biāo)啃r(shí)航行25千米，逆水每小時(shí)航行2()千米。

這艘輪船往、返的平均速度是每小時(shí)多少千米？

【解析】求總時(shí)間，然后求出平均速度

解:逆水走完全程的時(shí)間754-20=3.75小時(shí)

順?biāo)咄耆痰臅r(shí)間二75彳25二3小時(shí)

平均速度二總路程+總時(shí)間=(75+75)?(3.75+3)比22.22千米/小時(shí)

答：往返兩地的平均速度是每小時(shí)22.22千米。

3、甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是9