2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版同步經(jīng)典題精練之平均變化率與瞬時(shí)變化率

第23頁（共23頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）高二同步經(jīng)典題精練之平均變化率與瞬時(shí)變化率一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?海門區(qū)期末）已知函數(shù)f(x)=A．f（x）在x＝1+Δx處的導(dǎo)數(shù) B．f（x）在x＝1處的導(dǎo)數(shù) C．f（x）在[1，1+Δx]上的平均變化率 D．f（x）在[1﹣Δx，1]上的平均變化率2．（2025?榆林模擬）已知某物體在運(yùn)動(dòng)過程中，其位移S（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式S（t）＝sint-3cost+t+1A．3m/s B．2m/s C．3m/s D．13．（2024秋?瀏陽市期末）設(shè)函數(shù)f（x）滿足△x→0limf(x0A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．（2024秋?朝陽區(qū)期末）建設(shè)大型水庫可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益．已知一段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫的蓄水量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示．下列敘述中正確的是（）A．在[0，t3]這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫蓄水量的平均變化率均大于0 B．在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率大于乙水庫蓄水量的平均變化率 C．甲水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率 D．乙水庫在t1時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率5．（2024秋?江寧區(qū)校級(jí)期中）某廠因技術(shù)改革，今年上半年兩個(gè)季度生產(chǎn)總值持續(xù)增加．第一季度的增長(zhǎng)率為a，第二季度的增長(zhǎng)率為2a，則該廠這兩個(gè)季度生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為（）A．3a2 B．C．2a2 D二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024秋?連云港期末）蜥蜴的體溫與陽光照射的關(guān)系近似為T(t)=120t+5+15，其中TA．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫下降了12℃ B．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫的平均變化率為﹣2.4℃/min C．當(dāng)t＝5時(shí)，蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為﹣3℃/min時(shí)的時(shí)刻t（多選）7．（2024秋?淮安期末）已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移方程為S（t）＝3t2+2（1≤t≤6）（）A．該物體位移的最大值為100 B．該物體在[1，4]內(nèi)的平均速度為15 C．該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是32 D．該物體的速度v和時(shí)間t時(shí)的關(guān)系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）（多選）8．（2024春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系是s＝3t﹣t2．則下列正確的是（）A．此物體的初速度是3m/s B．此物體在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度大小為1m/s，方向與初速度相反 C．t＝0s到t＝2s時(shí)平均速度1m/s D．t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為0m/s（多選）9．（2024春?河南期中）已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s（t）＝8t2+4（0≤t≤5），則（）A．該物體在1≤t≤3時(shí)的平均速度是32 B．該物體在t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度是64 C．該物體位移的最大值為34 D．該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是80三．填空題（共3小題）10．（2024秋?新泰市校級(jí)期末）已知f(x)=x+1x11．（2024春?吉林期末）已知在一次降雨過程中，某地降雨量y（單位：mm）與時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=t，則在t＝4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為mm/12．（2024春?西城區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)y=x在區(qū)間[1，4]上的平均變化率k恰等于其在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，則k＝；x0＝四．解答題（共3小題）13．（2024春?遼源期末）已知函數(shù)f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．14．（2024春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知車輛啟動(dòng)后的一段時(shí)間內(nèi)，車輪旋轉(zhuǎn)的角度和時(shí)間（單位：秒）的平方成正比，且車輛啟動(dòng)后車輪轉(zhuǎn)動(dòng)第一圈需要1秒．（1）求車輪轉(zhuǎn)動(dòng)前2秒的平均角速度；（2）求車輪在轉(zhuǎn)動(dòng)開始后第3秒的瞬時(shí)角速度．15．（2024春?韓城市期中）一小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=20sin(3t-π2)，其中（Ⅰ）求小球在t=（Ⅱ）從t＝0s開始，最少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間該小球的瞬時(shí)速度達(dá)到最大？

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）高二同步經(jīng)典題精練之平均變化率與瞬時(shí)變化率參考答案與試題解析題號(hào)12345答案CAADD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?海門區(qū)期末）已知函數(shù)f(x)=A．f（x）在x＝1+Δx處的導(dǎo)數(shù) B．f（x）在x＝1處的導(dǎo)數(shù) C．f（x）在[1，1+Δx]上的平均變化率 D．f（x）在[1﹣Δx，1]上的平均變化率【考點(diǎn)】平均變化率．【答案】C【分析】由已知結(jié)合函數(shù)平均變化率的定義即可求解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x，則f（1）＝1，f（1+Δ則式子1+Δx-1Δx(Δx＞0)故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)平均變化率的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025?榆林模擬）已知某物體在運(yùn)動(dòng)過程中，其位移S（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式S（t）＝sint-3cost+t+1A．3m/s B．2m/s C．3m/s D．1【考點(diǎn)】瞬時(shí)變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)即可求解結(jié)論．【解答】解：因?yàn)镾（t）＝sint-3cost+t+1所以S'當(dāng)sin(t+π6)=1時(shí)，S'（t故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查瞬時(shí)變化率的概念及辨析、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、輔助角公式．從核心素養(yǎng)角度來看，本題主要考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?瀏陽市期末）設(shè)函數(shù)f（x）滿足△x→0limf(x0A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算；變化的快慢與變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的概念以及極限的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)閒′（x0）==-=-故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念以及極限的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024秋?朝陽區(qū)期末）建設(shè)大型水庫可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益．已知一段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫的蓄水量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示．下列敘述中正確的是（）A．在[0，t3]這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫蓄水量的平均變化率均大于0 B．在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率大于乙水庫蓄水量的平均變化率 C．甲水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率 D．乙水庫在t1時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率【考點(diǎn)】瞬時(shí)變化率；平均變化率．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由平均變化率的定義分析A、B，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及瞬時(shí)變化率的定義分析C、D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，在[0，t3]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫的蓄水量減少，其平均變化率均小于0，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率小于0，乙水庫蓄水量的平均變化率大于0，則在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率小于乙水庫蓄水量的平均變化率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于0，而乙水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于0，則甲水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于乙水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，乙水庫在t1時(shí)刻切線的斜率大于乙水庫在t2時(shí)刻切線的斜率，即乙水庫在t1時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均變化率、瞬時(shí)變化率的分析，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?江寧區(qū)校級(jí)期中）某廠因技術(shù)改革，今年上半年兩個(gè)季度生產(chǎn)總值持續(xù)增加．第一季度的增長(zhǎng)率為a，第二季度的增長(zhǎng)率為2a，則該廠這兩個(gè)季度生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為（）A．3a2 B．C．2a2 D【考點(diǎn)】平均變化率．【專題】函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】設(shè)該廠這兩個(gè)季度生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為y，由題意列方程（1+y）2＝（1+a）（1+2a）求解即可；【解答】解：設(shè)該廠這兩個(gè)季度生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為y，則（1+y）2＝（1+a）（1+2a），解得y=(1+a)(1+2a)所以該廠這兩個(gè)季度生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為(1+a)(1+2故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了增長(zhǎng)率函數(shù)模型應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024秋?連云港期末）蜥蜴的體溫與陽光照射的關(guān)系近似為T(t)=120t+5+15，其中T（A．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫下降了12℃ B．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫的平均變化率為﹣2.4℃/min C．當(dāng)t＝5時(shí)，蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為﹣3℃/min時(shí)的時(shí)刻t【考點(diǎn)】平均變化率；瞬時(shí)變化率．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】對(duì)于A，分別求出t＝0和t＝5時(shí)的蜥蜴體溫，即可得到從t＝0到t＝5的蜥蜴體溫下降量；對(duì)于B，根據(jù)平均變化率計(jì)算公式即可得出結(jié)果；對(duì)于C，求出T′（t），令t＝5，即可求出蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率；對(duì)于D，令T′（t）＝﹣3，求出t的值，即是蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為﹣3℃/min時(shí)的時(shí)刻．【解答】解：根據(jù)題意，T(t)=依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，當(dāng)t＝0時(shí)，T(0)=1205+15=39，當(dāng)t＝所以從t＝0到t＝5，蜥蜴的體溫下降了39﹣27＝12，故A正確；對(duì)于B，從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫的平均變化率為T(5)-T(0)對(duì)于C，T'(t)=-120(t+5)2，當(dāng)t＝5時(shí)，T'(5)=對(duì)于D，令T'(t)=-故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均變化率、瞬時(shí)變化率的計(jì)算，涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?淮安期末）已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移方程為S（t）＝3t2+2（1≤t≤6）（）A．該物體位移的最大值為100 B．該物體在[1，4]內(nèi)的平均速度為15 C．該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是32 D．該物體的速度v和時(shí)間t時(shí)的關(guān)系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）【考點(diǎn)】瞬時(shí)變化率．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析位移的最大值，可得A錯(cuò)誤，由平均變化率公式可得B正確，由瞬時(shí)變化率的計(jì)算公式可得C錯(cuò)誤，由導(dǎo)數(shù)的定義可得D正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），其導(dǎo)數(shù)S′（t）＝6t（1≤t≤6），依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），t＝6時(shí)，位移取得最大值，其最大值為S（6）＝110，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，該物體在[1，4]內(nèi)的平均速度ΔSΔt=該物體在[1，4]內(nèi)的平均速度為15，B正確；對(duì)于C，S′（t）＝6t（1≤t≤6），則S′（5）＝30，即該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是30，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于S′（t）＝6t（1≤t≤6），即該物體的速度v和時(shí)間t時(shí)的關(guān)系式是v（t）＝6t（1≤t≤6），D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均變化率和瞬時(shí)變化率的計(jì)算，涉及函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系是s＝3t﹣t2．則下列正確的是（）A．此物體的初速度是3m/s B．此物體在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度大小為1m/s，方向與初速度相反 C．t＝0s到t＝2s時(shí)平均速度1m/s D．t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為0m/s【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】ABC【分析】ABD選項(xiàng)，對(duì)s＝3t﹣t2求導(dǎo)后，代入相應(yīng)t值，判斷正誤；C選項(xiàng)，根據(jù)平均速度計(jì)算公式進(jìn)行求解．【解答】解：A選項(xiàng)，s′＝3﹣2t，故當(dāng)t＝0s時(shí)，s′＝3，即此物體的初速度是3m/s，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)t＝2s時(shí)，s′＝3﹣4＝﹣1，此物體在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度大小為1m/s，方向與初速度相反，B正確；C選項(xiàng)，s（t）＝3t﹣t2，t＝0s到t＝2s時(shí)平均速度s(2)-s(0)2-0=6-4-02=1，故t＝0s到t＝2s時(shí)平均D選項(xiàng)，t＝3s時(shí)，s′＝3﹣2t＝3﹣6＝﹣3，故t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為﹣3m/s，D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）9．（2024春?河南期中）已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s（t）＝8t2+4（0≤t≤5），則（）A．該物體在1≤t≤3時(shí)的平均速度是32 B．該物體在t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度是64 C．該物體位移的最大值為34 D．該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是80【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】由平均速度的定義v=ΔsΔt代數(shù)計(jì)算可得A正確；由導(dǎo)數(shù)的意義計(jì)算可得BD正確；求導(dǎo)后判斷【解答】解：A：該物體在1≤t≤3時(shí)的平均速度是s(3)-s(1)B：s′（t）＝16t，所以該物體在t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度是16×4＝64，故B正確；C：因?yàn)閟′（t）＝16t，0≤t≤5，所以s′（t）≥0恒成立，故s（t）在[0，5]上為增函數(shù)，所以s(t)D：s′（t）＝16t，所以該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是s′（5）＝16×5＝80，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共3小題）10．（2024秋?新泰市校級(jí)期末）已知f(x)=x+1x【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】-1【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：f(則f'（x）=-f'（2）=-所以limh→0f(2+h)-f(2)故答案為：-1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024春?吉林期末）已知在一次降雨過程中，某地降雨量y（單位：mm）與時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=t，則在t＝4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為14mm【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】將函數(shù)y=t關(guān)于t求導(dǎo)，再將t＝【解答】解：因?yàn)閥=所以f'∴f'故在t＝4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為14mm/min故答案為：14【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024春?西城區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)y=x在區(qū)間[1，4]上的平均變化率k恰等于其在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，則k＝13；x0＝【考點(diǎn)】平均變化率．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】13；9【分析】由已知結(jié)合函數(shù)平均變化率及瞬時(shí)變化率的定義即可分別求解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=y=x在區(qū)間[1，4]上的平均變化率k恰等于其在x＝又函數(shù)平均變化率為k=f(4)-f(1)4-1=2-1則函數(shù)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為12所以x0=9故答案為：13；9【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的平均變化率及瞬時(shí)變化率定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024春?遼源期末）已知函數(shù)f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出，（Ⅱ）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x﹣1+aex，得f′（x由函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，得f′（1）＝1-ae=0，解得（Ⅱ）f′（x）＝1-①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R上為增函數(shù)，f（x）無極值②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＝0，解得x＝lna，∴x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．∴f（x）在x＝lna處取得極小值，且極小值為f（lna）＝lna，無極大值綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x＝lna處取得極小值lna，無極大值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．14．（2024春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知車輛啟動(dòng)后的一段時(shí)間內(nèi)，車輪旋轉(zhuǎn)的角度和時(shí)間（單位：秒）的平方成正比，且車輛啟動(dòng)后車輪轉(zhuǎn)動(dòng)第一圈需要1秒．（1）求車輪轉(zhuǎn)動(dòng)前2秒的平均角速度；（2）求車輪在轉(zhuǎn)動(dòng)開始后第3秒的瞬時(shí)角速度．【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率；導(dǎo)數(shù)及其幾何意義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）4π；（2）12π．【分析】（1）設(shè)出未知數(shù)，得到y(tǒng)＝kt2，待定系數(shù)法求出解析式，從而計(jì)算出車輪轉(zhuǎn)動(dòng)前2秒的平均角速度；（2）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的意義得到答案．【解答】解：（1）設(shè)車輪旋轉(zhuǎn)的角度為y，車輛啟動(dòng)后車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則y＝kt2，由題意得t＝1時(shí)，y＝2π，即2π＝12k，解得k＝2π，故y＝2πt2，車輪轉(zhuǎn)動(dòng)前2秒的平均角速度為2π（2）y＝2πt2，y′＝4πt，由導(dǎo)函數(shù)的意義可得車輪在轉(zhuǎn)動(dòng)開始后第3秒的瞬時(shí)角速度為4π×3＝12π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024春?韓城市期中）一小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=20sin(3t-π2)，其中（Ⅰ）求小球在t=（Ⅱ）從t＝0s開始，最少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間該小球的瞬時(shí)速度達(dá)到最大？【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）302cm（Ⅱ）π6【分析】（Ⅰ）由題意可知，瞬時(shí)速度為x'＝20sin（3t）?（3t）'＝60sin（3t），再令t=π（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（Ⅰ）∵x=20∴瞬時(shí)速度為x'＝20sin（3t）?（3t）'＝60sin（3t），∴小球在t=π4s時(shí)刻的速度為（Ⅱ）由（Ⅰ）知小球的瞬時(shí)速度為x'＝60sin（3t），∴小球的瞬時(shí)速度最大時(shí)sin（3t）＝1，解得3t=π2+2kπ，即∴最少經(jīng)過π6【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．變化的快慢與變化率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平均變化率：我們常說的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來說，當(dāng)自變量x由x1變化到x2時(shí)，其函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數(shù)值的變化2、瞬時(shí)變化率：變化率的概念是變化快慢的特例，我們記△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），則函數(shù)的平均變化率為：△y△x=f(x13、導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)f（x）在x＝x0處時(shí)的瞬時(shí)變化率是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解題方法點(diǎn)撥】瞬時(shí)速度特別提醒：①瞬時(shí)速度實(shí)質(zhì)是平均速度當(dāng)△t→0時(shí)的極限值．②瞬時(shí)速度的計(jì)算必須先求出平均速度，再對(duì)平均速度取極限，函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)特別提醒：①當(dāng)△x→0時(shí)，比值△y△x的極限存在，則f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)；若△y△x的極限不存在，則f②自變量的增量△x＝x﹣x0可以為正，也可以為負(fù)，還可以時(shí)正時(shí)負(fù)，但△x≠0．而函數(shù)的增量△y可正可負(fù)，也可以為0．③在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：f′（x0）=△x→0limf(x導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)：①導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：f′（x）=△②可導(dǎo)的偶函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，而可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；③可導(dǎo)的周期函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)仍為周期函數(shù)；④并不是所有函數(shù)都有導(dǎo)函數(shù)．⑤導(dǎo)函數(shù)f′（x）與原來的函數(shù)f（x）有相同的定義域（a，b），且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在x0處的函數(shù)值即為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值．⑥區(qū)間一般指開區(qū)間，因?yàn)樵谄涠它c(diǎn)處不一定有增量（右端點(diǎn)無增量，左端點(diǎn)無減量）．【命題方向】典例1：一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝5﹣3t2，則在一段時(shí)間[1，1+△t]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為（）A．3△t+6B．﹣3△t+6C．3△t﹣6D．﹣3△t﹣6分析：分別求出經(jīng)過1秒種的位移與經(jīng)過1+△t秒種的位移，根據(jù)平均速度的求解公式平均速度＝位移÷時(shí)間，建立等式關(guān)系即可．解：V=故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的平均變化率公式：f(典例2：一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s＝8﹣3t2．（1）求質(zhì)點(diǎn)在[1，1+△t]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（2）求質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度（用定義及求導(dǎo)兩種方法）．分析：本題考查的是變化率及變化快慢問題．在解答時(shí)：（1）首先結(jié)合條件求的△s，然后利用平均速度為△s（2）定義法：即對(duì)平均速度為△s△t當(dāng)△t趨向于0時(shí)求極限即可獲得解答；求導(dǎo)法：t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度即s＝8﹣3t2在t＝1處的導(dǎo)數(shù)值，故只需求t＝1時(shí)函數(shù)s＝8﹣3解答：由題意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴質(zhì)點(diǎn)在[1，1+△t]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為：v=（2）定義法：質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為v=求導(dǎo)法：質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴當(dāng)t＝1時(shí)，v＝﹣6×1＝﹣6．點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的物理意義建立了導(dǎo)數(shù)與物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度之間的關(guān)系．對(duì)位移s與時(shí)間t的關(guān)系式求導(dǎo)可得瞬時(shí)速度與時(shí)間t的關(guān)系．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，誚按照“一差、二比、三極限”的求導(dǎo)步驟來求．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．2．平均變化率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平均變化率：我們常說的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來說，當(dāng)自變量x由x1變化到x2時(shí)，其函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數(shù)值的變化【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算：將區(qū)間端點(diǎn)a和b代入函數(shù)f，計(jì)算f(﹣解釋：平均變化率描述了函數(shù)在區(qū)間上的平均斜率，反映函數(shù)值的總體變化趨勢(shì)．【命題方向】常見題型包括計(jì)算函數(shù)在給定區(qū)間上的平均變化率，解決實(shí)際問題中的平均變化率計(jì)算．函數(shù)f（x）＝log2x在區(qū)間[2，4]上的平均變化率是_____．解：函數(shù)的平均變化率是f(4)-故答案為：123．瞬時(shí)變化率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平均變化率：我們常說的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來說，當(dāng)自變量x由x1變化到x2時(shí)，其函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數(shù)值的變化2、瞬時(shí)變化率：變化率的概念是變化快慢的特例，我們記△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），則函數(shù)的平均變化率為：△y△x=f(x1【解題方法點(diǎn)撥】函數(shù)f（x）在x＝x0處時(shí)的瞬時(shí)變化率是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處附近平均變化率的極限：x→【命題方向】常見題型包括計(jì)算函數(shù)在特定點(diǎn)上的瞬時(shí)變化率，分析實(shí)際問題中的瞬時(shí)變化率．函數(shù)f(x)=-6x在解：函數(shù)f（x）在x＝1處的瞬時(shí)變化率為limΔx故答案為：6．4．導(dǎo)數(shù)及其幾何意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)的定義如果函數(shù)f（x）在（a，b）中每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，則可建立f（x）的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，記為f′（x）；如果f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)a處的右導(dǎo)數(shù)和端點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，f′（x）為區(qū)間[a，b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)．2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率k．例如：函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：k切線＝f′（x0）=x【解題方法點(diǎn)撥】（1）利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．求出y＝f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x）；利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程為y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函數(shù)在x＝x0處可導(dǎo)，則圖象在（x0，f（x0））處一定有切線，但若函數(shù)在x＝x0處不可導(dǎo)，則圖象在（x0，f（x0））處也可能有切線，即若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．（3）注意區(qū)分曲線在P點(diǎn)處的切線和曲線過P點(diǎn)的切線，前者P點(diǎn)為切點(diǎn)；后者P點(diǎn)不一定為切點(diǎn)，P點(diǎn)可以是切點(diǎn)也可以不是，一般曲線的切線與曲線可以有兩個(gè)以上的公共點(diǎn)，（4）顯然f′（x0）＞0，切線與x軸正向的夾角為銳角；f′（x0）＜0，切線與x軸正向的夾角為鈍角；f（x0）＝0，切線與x軸平行；f′（x0）不存在，切線與y軸平行．【命題方向】題型一：根據(jù)切線方程求斜率典例1：已知曲線y=x2A．3B．2C．1D．1解：設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（x0，y0）∵曲線y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故選A．題型二：求切線方程典例2：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即為（﹣3，3）∴在點(diǎn)（﹣3，f（﹣3））處的切線過（﹣3，3）將（﹣3，3）代入選項(xiàng)通過排除法得到點(diǎn)（﹣3，3）只滿足A故選A．5．極限及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．?dāng)?shù)列極限（1）數(shù)列極限的表示方法：（2）幾個(gè)常用極限：③對(duì)于任意實(shí)常數(shù)，當(dāng)|a|＜1時(shí)，n→∞liman＝當(dāng)|a|＝1時(shí)，若a＝1，則n→∞liman＝1；若a＝﹣1，則n→∞liman＝（﹣當(dāng)|a|＞1時(shí)，n→∞lima（3）數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：如果，那么特別地，如果C是常數(shù)，那么．（4）數(shù)列極限的應(yīng)用：求無窮數(shù)列的各項(xiàng)和，特別地，當(dāng)|q|＜1時(shí)，無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為S=a11-q（|q（化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法同上式）注：并不是每一個(gè)無窮數(shù)列都有極限．x→2．函數(shù)極限；（1）當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)x0（但不等于x0）時(shí)，如果函數(shù)f（x）無限趨進(jìn)于一個(gè)常數(shù)a，就是說當(dāng)x趨近于x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限為a．記作x→x0limf(x)=a或當(dāng)x→x注：當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）是否存在極限與f（x）在x0處是否定義無關(guān)，因?yàn)閤→x0并不要求x＝x0．（當(dāng)然，f（x）在x0是否有定義也與f（x）在x0處是否存在極限無關(guān)．函數(shù)f（x）在x0有定義是x→x0如P（x）=x-1;x＞1-x+1;（2）函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：如果，那么特別地，如果C是常數(shù)，那么．注：①各個(gè)函數(shù)的極限都應(yīng)存在．②四則運(yùn)算法則可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，但不能推廣到無限個(gè)情況．（3）幾個(gè)常用極限：3．函數(shù)的連續(xù)性：（1）如果函數(shù)f（x），g（x）在某一點(diǎn)x＝x0連續(xù)，那么函數(shù)f（x）±g（x），f（x），g（x），f(x)g(x)（g（x）≠0（2）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x0處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：①函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x0處有定義；②x→x0limf(x)存在；③函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x（3）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x0處不連續(xù)（間斷）的判定：如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x0處有下列三種情況之一時(shí)，則稱x0為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點(diǎn)．①f（x）在點(diǎn)x＝x0處沒有定義，即f（x0）不存在；②x→x0limf(x)不存在；③6．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′