8.6.1直線與直線垂直 課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

8.6.1直線與直線垂直

第八章

8．6空間直線、平面的垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直．2.理解并掌握異面直線所成的角，掌握兩異面直線所成的角的求法，培養(yǎng)直觀想象及邏輯推理核心素養(yǎng)．問題導(dǎo)思問題1.我們知道兩條相交直線所成角的大小可以度量，那么兩條異面直線所成角的大小該如何定義呢？提示：可以利用等角定理，平移為兩相交直線所成的角．新知構(gòu)建異面直線所成的角1．定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線_______所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).2．空間兩條直線所成角α的取值范圍：_____________．a(chǎn)′與b′0°≤α≤90°微提醒(1)兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點(diǎn)O的位置選取無關(guān)．(2)兩條異面直線所成的角α∈.(3)找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．例1

如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．求：(1)BE與CG所成的角；解：如圖，因?yàn)镃G∥BF，所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.(2)FO與BD所成的角．解：連接FH，因?yàn)镠D∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角．連接HA，AF，易得O為AH的中點(diǎn)，且FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形，所以∠HFO＝30°，故FO與BD所成的角為30°.變式探究(變條件、變設(shè)問)在本例正方體中，若P是平面EFGH的中心，其他條件不變，求OP與CD所成的角．解：連接EG，HF，則P為HF的中點(diǎn)，連接AF，AH，則OP∥AF.又CD∥AB，所以∠BAF(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與CD所成的角．由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP與CD所成的角為45°.規(guī)律方法求兩異面直線所成角的一般步驟1．構(gòu)造角：根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角．2．計(jì)算角：求角度，常利用三角形．3．確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角．規(guī)律方法[提醒]找異面直線所成的角，可以從如下“口訣”入手：中點(diǎn)、端點(diǎn)定頂點(diǎn)，平移常用中位線；平行四邊形中見，指出成角很關(guān)鍵；求角構(gòu)造三角形，銳角、鈍角要明辨；平行直線若在外，補(bǔ)上原體在外邊．

對點(diǎn)練1．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，點(diǎn)D，E分別為AB，PC的中點(diǎn)，則異面直線PD，BE所成角的余弦值為√返回問題導(dǎo)思問題2.在平面上我們是如何來定義兩條直線垂直的？提示：這兩條直線所成的角為90°.新知構(gòu)建兩條異面直線垂直如果兩條異面直線所成的角是______，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b垂直，記作______．直角a⊥b微思考兩條直線垂直時(shí)，一定相交嗎？提示：不一定．例2

如圖，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，E為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.證明：如圖，取CC′的中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC′的中點(diǎn)，所以EF∥AC′，在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，所以BE⊥EF，即BE⊥AC′.規(guī)律方法證明空間中兩條直線垂直的方法1．定義法：利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直．2．平面幾何圖形性質(zhì)法：利用勾股定理、菱形的對角線相互垂直、等腰三角形(等邊三角形)底邊的中線和底邊垂直等．

對點(diǎn)練2．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點(diǎn)．求證：CD1⊥EF.證明：如圖，取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG.因?yàn)镋是BD1的中點(diǎn)，所以EG∥BC，EG＝

BC，因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，所以DF∥BC，DF＝

BC，所以EG∥DF，EG＝DF，所以四邊形EFDG是平行四邊形，所以EF∥DG，所以∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角．又因?yàn)锳1A＝AB，所以四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，又G為CD1的中點(diǎn)，所以DG⊥CD1，所以∠DGD1＝90°，所以異面直線CD1與EF所成的角為90°，所以CD1⊥EF.返回課堂小結(jié)知識(1)平面內(nèi)兩直線的夾角．(2)異面直線所成的角．(3)利用異面直線所成的角證明兩直線垂直．方法轉(zhuǎn)化與化歸易錯(cuò)誤區(qū)容易忽視異面直線所成角θ的范圍是0°<θ≤90°.隨堂演練1．垂直于同一條直線的兩條直線一定A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能√(1)當(dāng)這條直線和兩條垂線共面時(shí)，根據(jù)平面幾何性質(zhì)，這兩條垂線必然平行；(2)當(dāng)這三條直線不共面但都交于一點(diǎn)時(shí)，這兩條垂線相交；(3)當(dāng)這三條直線既不共面也不交于一點(diǎn)時(shí)，這兩條垂線異面．綜上，兩條垂線可能平行，可能相交，也可能異面．故選D.2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且異面的直線有A．1條 B．2條

C．3條 D．4條√和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1.故選B.3．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中．①DA1與BC1平行；②DD1與BC1垂直；③A1B1與BC1垂直．以上三個(gè)結(jié)論中，正確的是A．①② B．②③C．③ D．①②③√①在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由圖可知DA1與BC1異面，故①不正確；②因?yàn)镈D1∥CC1，BC1與CC1不垂直，所以DD1與BC1不垂直，故②不正確；③正確．故選C.4．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB