2025年高考數(shù)學必刷題分類：第86講、排列與組合（學生版）

第86講排列與組合

知識梳理

知識點1、排列與排列數(shù)

（1）定義：從n個不同元素中取出mmn個元素排成一列，叫做從n個不同元素中

取出m個元素的一個排列．從n個不同元素中取出mmn個元素的所有排列的個數(shù)，叫

m

做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號An表示．

n!

（2）排列數(shù)的公式：Amnn1n2nm1．

nnm!

特例：當時，m；規(guī)定：．

mnAnn!nn1n23210!1

（3）排列數(shù)的性質(zhì)：

mm1m1m1nmmm1m

①AnA；②AAA；③AmAA．

nn1nnmnnmn1nn1n1

（4）解排列應用題的基本思路：

通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無特殊限制條件（特殊位置，

特殊元素）．

注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，

m常用于具體數(shù)字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用

Annn1nm1

n!

Am．

n(nm)!

知識點2、組合與組合數(shù)

（1）定義：從n個不同元素中取出mmn個元素并成一組，叫做從n個不同元素中

取出m個元素的一個組合．從n個不同元素中取出mmn個元素的所有組合的個數(shù)，叫

m

做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cn表示．

（2）組合數(shù)公式及其推導

m

求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)An，可以按以下兩步來考慮：

m

第一步，先求出從這n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)Cn；

m

第二步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù)An；

mmm

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到AnCnAm；

Amnn1n2nm1

因此mn．

Cnm

Amm!

n!

這里n，mN，且mn，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為Am，所以組合

nnm!

n!

數(shù)公式還可表示為：Cm．特例：C0Cn1．

nm!nm!nn

注意：組合數(shù)公式的推導方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題

時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式

n(n1)(n2)(nm1)n!

Cm常用于具體數(shù)字計算，Cm常用于含字母算式的

nm!nm!(nm)!

化簡或證明．

mnmmm1m

（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①CnCn；②CnCnCn1．

（4）組合應用題的常見題型：

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型

知識點3、排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之

間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考

慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列

組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．

知識點4、解決排列組合綜合問題的一般過程

1、認真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清

楚分多少類及多少步；

3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少

及取出多少個元素；

4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．

【解題方法總結(jié)】

1、如圖，在圓中，將圓分n等份得到n個區(qū)域M1，M2，M3，，Mn(n2)，現(xiàn)取k(k2)

種顏色對這n個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有

(1)n(k1)(k1)n種．

ni

、錯位排列公式(1)

2Dn(1)n!

i1n!

3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項

（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題

的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列

問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安

排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應分類討論．

4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常

稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，

再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列

數(shù)．

5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k

個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成

一個整體，當作一個元素同其他元素一起排列，共有nk1種排法；然后再將“捆綁”在一

Ank1

起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有k種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排

Ak

法共有nk1k種．

Ank1Ak

6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k

個元素互不相鄰（knk1），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（nk）個元素排成一

nkk

排，共有Ank種排法；然后把k個元素插入nk1個空隙中，共有Ank1種排法．根據(jù)分

nkk

步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有Ank·Ank1種．

必考題型全歸納

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導、化簡和計算

2x1x2

例1．（2024·全國·高三專題練習）若C12C12，則實數(shù)x的值為（）

A．1B．3C．1或3D．0

2222

例2．（2024·全國·高三專題練習）C2C3C4C18（）

3333

A．C18B．C19C．C181D．C191

2

例3．（2024·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）An90，則n等于．

A2A1

510

變式1．（2024·全國·高三專題練習）31

A3A1

1087

變式2．（2024·全國·高三專題練習）A1089A88A7．

m2

變式3．（2024·高三課時練習）已知A3C30!4，則m.

3n64n2n

變式4．（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學期末）若C18C18，則C9

38n3n

變式5．（2024·全國·高三對口高考）計算C3nCn21的值為.

題型二：直接法

例4．（2024·江蘇·高三校聯(lián)考開學考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封

神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法

種數(shù)為（）

A．360B．480C．600D．720

例5．（2024·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）雅禮女籃一直是雅禮中學的一張靚麗的名片，在

剛剛結(jié)束的2022到2024賽季中國高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學女籃隊員們敢打

敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎儀式上，女籃隊員12人（其中1人為隊長），教練組3人，

站成一排照相，要求隊長必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法

（）

311311347347

A．A3A11B．2A3A11C．A3A4A7D．2A3A4A7

例6．（2024·全國·高三專題練習）有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天

兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為（）

A．120B．60C．40D．30

變式6．（2024·全國·高三對口高考）要排出某班一天中語文，數(shù)學，政治，英語，體育，

藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法

種數(shù)為（）

A．24B．72C．144D．288

變式7．（2024·全國·高三對口高考）運輸公司從5名男司機，4名女司機中選派出3名男

司機，2名女司機，到A，B，C，D，E這五個不同地區(qū)執(zhí)行任務，要求A地只能派男司

機，E地只能派女司機，則不同的方案種數(shù)是（）

A．360B．720C．1080D．2160

變式8．（2024·全國·高三對口高考）從編號為1，2，3，4，5的5個球中任取4個，放

在編號為A，B，C，D的4個盒子里，每盒一球，且2號球不能放在B盒中的不同的方法

數(shù)是（）

A．24B．48C．54D．96

變式9．（2024·陜西·高三校聯(lián)考階段練習）甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中

甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一

排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的

種數(shù)為（）

A．144B．864C．1728D．2880

題型三：間接法

例7．（2024·全國·高三專題練習）8個點將半圓分成9段弧，以10個點（包括2個端點）

為頂點的三角形中鈍角三角形有（）個

A．55B．112C．156D．120

例8．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）甲?乙?丙?丁四位同學決定去黃鶴樓?東湖?漢口

江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（）

A．65B．73C．70D．60.

例9．（2024·湖南長沙·雅禮中學校聯(lián)考二模）從正360邊形的頂點中取若干個，依次連

接，構(gòu)成的正多邊形的個數(shù)為（）

A．360B．630C．1170D．840

變式10．（2024·全國·高三專題練習）將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中

至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（）．

A．1860種B．3696種C．3600種D．3648種

題型四：捆綁法

例10．（2024·四川內(nèi)江·高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，

若甲和乙相鄰，丙不站在兩端，則不同的排列方式共有（）

A．12種B．24種C．36種D．48種

例11．（2024·江西宜春·高三統(tǒng)考開學考試）“基礎學科拔尖學生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰

計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推出的一項人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學術(shù)

大師.浙江大學?復旦大學?武漢大學?中山大學均有開設數(shù)學學科拔尖學生培養(yǎng)基地.已知某

班級有A,B,C,D,E共5位同學從中任選一所學校作為奮斗目標，每所學校至少有一位同學

選擇，則A同學選擇浙江大學的不同方法共有（）

A．24種B．60種C．96種D．240種

例12．（2024·全國·高三專題練習）某個單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值

班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排

在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（）

A．504種B．960種C．1008種D．1200種

變式11．（2024·全國·高三專題練習）2024年春節(jié)在北京工作的五個家庭，開車搭伴一起

回老家過年，若五輛車分別為A,B,C,D,E，五輛車隨機排成一排，則A車與B車相鄰，A車

與C車不相鄰的排法有（）

A．36種B．42種C．48種D．60種

變式12．（2024·全國·高三專題練習）為慶祝廣益中學建校130周年，高二年級派出甲?

乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學成果展”活動，活動結(jié)束后5名老師排成一排合影

留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（）種.

A．40B．24C．20D．12

題型五：插空法

例13．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）已知來自甲、乙、丙三個學校的5名

學生參加演講比賽，其中三個學校的學生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學校的學生的演講

順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（）

A．40B．36C．56D．48

例14．（2024·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學考試）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲

和乙不相鄰，排法種數(shù)為（）

A．12B．36C．48D．72

例15．（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二十中?？奸_學考試）五聲音階是中國古樂基本音階，

故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音

階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，則可

排成不同的音序種數(shù)為（）

A．72B．28C．24D．32

變式13．（2024·全國·高三對口高考）2位男生和3位女生共5位同學站成一排．若男生

甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為（）

A．36B．42C．48D．60

變式14．（2024·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學?？寄M預測）某校舉行文藝匯演，甲、

乙、丙等6名同學站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列方式共

有（）

A．72種B．144種C．288種D．432種

變式15．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預測）北京地處中國北部?華北平原北部，東與天津毗

連，其余方向均與河北相鄰，是世界著名古都，也是國務院批復確定的中國政治中心?文化

中心?國際交往中心?科技創(chuàng)新中心.為了感受這座古今中外聞名的城市，某學生決定在高考

后游覽北京，計劃6天游覽故宮?八達嶺長城?頤和園?“水立方”?“鳥巢”?798藝術(shù)區(qū)?首都博

物館7個景點，如果每天至少游覽一個景點，且“水立方”和“鳥巢”在同一天游覽，故宮和八

達嶺長城不在相鄰兩天游覽，那么不同的游覽順序共有（）

A．120種B．240種C．480種D．960種

變式16．（2024·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）一排有8個座位，有3人各不相鄰而

坐，則不同的坐法共有（）

A．120種B．60種C．40種D．20種

題型六：定序問題（先選后排）

*

例16．（2024·全國·高三專題練習）滿足xiN(i1,2,3,4)，且x1x2x3x410的有

序數(shù)組x1,x2,x3,x4共有（）個.

4444

A．C9B．A9C．C10D．A10

例17．（2024·高二課時練習）已知xi1,0,1,i1,2,,n,nN，則滿足x1x2x3xn2的

有序數(shù)組x1,x2,x3,,xn共有（）個

n2n

A．2n22nB．2n22nC．D．n2n

2

例18．（2024·山西朔州·高二懷仁市第一中學校?？计谥校┪迦瞬⑴耪驹谝慌?，如果A，

B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（）

A．60種B．48種C．36種D．24種

變式17．（2024·全國·高三專題練習）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線

分子，由稱為堿基的化學成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿

基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA

中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會

出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了

另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學想在堿基T和

堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（）

A．20B．40C．60D．120

變式18．（2024·江蘇揚州·高三?？计谀┗?，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時

代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，

每次取1盞，則不同取法總數(shù)為_________

變式19．（2024·全國·高三專題練習）某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事

先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最

下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被

選中的所有不同順序方法數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）

變式20．（2024·高二課時練習）7人排隊，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有__不同的

排法.

題型七：列舉法

例19．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)論領域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格

朗日等數(shù)學家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的

平方和，例如正整數(shù)123212121222222202．設25a2b2c2d2，其中a，

b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組a,b,c,d的個數(shù)是（）

A．28B．24C．20D．16

例20．（2024·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）已知字母x，y，z各有兩個，現(xiàn)將這6個字

母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如xxyzyz），則不同的排法共有（）種

A．36B．30C．24D．16

例21．（2024·全國·高三專題練習）某人設計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在

如圖所示正方形ABCD（邊長為2個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正

方形的邊按逆時針方向行走了幾個單位，如果擲出的點數(shù)為ii1,2,,6，則棋子就按逆時

針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點A處的所有

不同走法共有（）

A．21種B．22種C．25種D．27種

變式21．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考一模）形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)

字，千位上的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1，2，3，4，5可組成數(shù)字不重復的

五位“波浪數(shù)”的個數(shù)為

A．20B．18C．16D．11

變式22．（2024·全國·高三專題練習）工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所

示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不．能．連．續(xù)．固定相鄰的2個螺栓.則

不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．

題型八：多面手問題

例22．（2024·全國·高三專題練習）我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交

流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6

人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）種不同的選法．

A．675B．575C．512D．545

例23．（2024·全國·高三專題練習）某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人

只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當英語翻譯，4

人當法語翻譯，則共有（）種不同的選法

A．225B．185C．145D．110

例24．（2024·全國·高三專題練習）“賽龍舟”是端午節(jié)的習俗之一，也是端午節(jié)最重要的

節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節(jié)龍舟

賽，參加訓練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右

槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（）

A．26種B．30種C．37種D．42種

變式23．（2024·全國·高三專題練習）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人

只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參

加比賽，則不同的選派方法共有（）

A．56種B．68種

C．74種D．92種

題型九：錯位排列

例25．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀皵?shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀

的瑞士數(shù)學家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格

的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，

且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小

排列的，則不同的填法種數(shù)為（）

A．72B．108C．144D．196

例26．（2024·全國·高三專題練習）編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為

1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（）

A．10種B．20種C．30種D．60種

例27．（2024·全國·高三專題練習）將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號

為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的

小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A．90B．135C．270D．360

變式24．（2024·廣東廣州·高二廣州奧林匹克中學?？茧A段練習）將編號為1?2?3?4

?5?6的六個小球放入編號為1?2?3?4?5?6的六個盒子里，每個盒子放一個小球，若有且只

有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數(shù)是（）

A．20B．40C．120D．240

題型十：涂色問題

例28．（2024·全國·高三專題練習）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5

個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方

法共有種.

例29．（2024·全國·高三專題練習）對正方體ABCDA1B1C1D的6個面進行涂色，有5

種不同的顏色可供選擇.要求每個面只涂一種顏色，且有公共棱的兩個面不同色，則總的涂

色方法個數(shù)為（填寫數(shù)字）

例30．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）某城市休閑公園管理人員擬對一塊圓環(huán)區(qū)域進行改造

封閉式種植鮮花，該圓環(huán)區(qū)域被等分為5個部分，每個部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中

選取一種進行栽植．要求相鄰區(qū)域不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有種．

變式25．（2024·安徽·校聯(lián)考模擬預測）數(shù)學課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，

平面直角坐標系中有一個3乘3方格圖（小正方形邊長為1），一共有十六個紅色的格點，

游戲規(guī)則是每一步可以改變其中一個點的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一

個點由紅色改成綠色，則這個點周圍與之相鄰的點也要從原來的顏色變成另外一種顏色，比

如選擇1,1變成綠色，則與之相鄰的0,1，1,0，1,2，2,1四個點也要變成綠色，那

么最少需要步，才能使得位于直線yx3上的四個點變成綠色，而其他點都是紅

色.

變式26．（2024·全國·高三專題練習）如圖，現(xiàn)要對某公園的4個區(qū)域進行綠化，有5種

不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有

種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.

變式27．（2024·全國·高三專題練習）七巧板是古代勞動人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學用

木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形?一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏

色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊

不同色，則不同的涂色方案有種.

變式28．（2024·全國·高三專題練習）用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊區(qū)

域涂色，要求有公共邊的區(qū)域涂不同顏色，一共有種不同的涂色方法．

變式29．（2024·全國·高三專題練習）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個區(qū)域涂色，

每種顏色至少使用一次，每個區(qū)域僅涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色互不相同，則區(qū)域A，

B，C，D和A1，B1，C1，D1分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有種；區(qū)域A，

B，C，D和A1，B1，C1，D1分別各涂4種不同顏色的涂色方法共有種.

題型十一：分組問題

例31．（2024·全國·高三專題練習）貴陽一中體育節(jié)中，乒乓球球單打12強中有4個種

子選手，將這12人平均分成3個組（每組4個人）、則4個種子選手恰好被分在同一組的分

法有（）

A．21B．42C．35D．70

例32．（2024·高二課時練習）把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少1個，至多5個，則

不同的分法共有（）

A．4種B．5種C．6種D．7種

例33．（2024·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長給6

位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務．已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace

年紀尚小，所以要么不參與該項任務，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近

處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處，

那么不同的搜尋方案有（）

A．25種B．30種C．40種D．50種

變式30．（2024·全國·高二專題練習）將12個不同的物體分成3組，每組4個，則不同

的分法種數(shù)為（）.

A．34650B．5940C．495D．5775

變式31．（2024·全國·高二專題練習）某中學要給三個班級補發(fā)8套教具，先將其分成3

堆，其中一堆4套，另兩堆每堆2套，則不同的分堆方法種數(shù)為（）

422422

42212C8C4C2C8C4C2

A．C8C4C2B．C3C8C．2D．3

A2A3

變式32．（2024·福建廈門·高三廈門雙十中學?？茧A段練習）將6名同學分成兩個學習小

組，每組至少兩人，則不同的分組方法共有___________種.

題型十二：分配問題

例34．（2024·全國·高三專題練習）按下列要求分配6本不同的書.

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有種不同的分配方式；

（2）甲?乙?丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有種不同的分

配方式；

（3）平均分成三份，每份2本，有種不同的分配方式；

（4）平均分配給甲?乙?丙三人，每人2本，有種不同的分配方式；

（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有種不同的分配方式；

（6）甲?乙?丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有種不同的分配方

式；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有種不同的分配方式.

例35．（2024·全國·高三專題練習）將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六及星期日

3天參加社區(qū)公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有

種．（用數(shù)字作答）

例36．（2024·全國·高三專題練習）現(xiàn)計劃安排A，B，C，D，E五名教師教這六門課程，

每名教師至少教一門課程，每門課程只配一名教師，且教師A不教“圍棋”，教師B只能教

一門課程，則滿足條件的課程安排的種數(shù)為．

變式33．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學?？奸_學考試）綿陽中學食堂，以其

花樣繁多的飯菜種類和令人難忘的色香味使大批學子醉倒在它的餐盤之下，學子們不約而同

地將其命名為“遠航大酒樓”．“遠航大酒樓”共三層樓，5名高一新同學相約到食堂就餐，為

看盡食堂所有美食種類，他們打算分為三組去往不同的樓層．其中甲同學不去二樓，則一共

有種不同的分配方式．

變式34．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中學?？奸_學考試）為了貫徹落實中央新

疆工作座談會和全國對口支援新疆工作會議精神，促進邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，

某市派出了包括甲、乙在內(nèi)的5名專家型教師援疆，現(xiàn)將這5名教師分配到新疆的A、B、

C、D四所學校，要求每所學校至少安排一位教師，則在甲志愿者被安排到A學校有種

安排方法．

變式35．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）8個完全相同的球放入編號1，

2，3的三個空盒中，要求放入后3個盒子不空且數(shù)量均不同，則有種放法.

變式36．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）為了落實立德樹人的根本

任務，踐行五育并舉，某校開設A,B,C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四位同學參加

校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法

有.

題型十三：隔板法

例37．（2024·云南紅河·統(tǒng)考三模）某校將6個三好學生名額分配到高三年級的3個班，

每班至少1個名額，則共有多少種不同的分配方案（）

A．15B．20C．10D．30

例38．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）學校決定把12個參觀航天博物館的名額給三（1）?

三（2）?三（3）?三（4）四個班級.要求每個班分別的名額不比班級序號少，即三（1）班

至少1個名額，三（2）班至少2個名額，……，則分配方案有（）

A．8種B．10種C．165種D．495種

例39．（2024·高二課時練習）現(xiàn)有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少

一個球，各盒子中球的個數(shù)互不相同，則不同放法的種數(shù)是（）

A．28B．24C．18D．16

變式37．（2024·江蘇蘇州·高二吳縣中學?？计谥校W校有6個優(yōu)秀學生名額，要求分配

到高一、高二、高三，每個年級至少1個名額，則有（）種分配方案．

A．135B．10C．75D．120

變式38．（2024·全國·高二期末）方程x1x2x3x412的正整數(shù)解共有（）組

A．165B．120C．38D．35

題型十四：數(shù)字排列

例40．（2024·全國·高三專題練習）用0，1，2，3，4可以組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)

的個數(shù)為（）

A．36B．48C．60D．72

例41．（2024·全國·高二專題練習）用數(shù)字1、2、3組成五位數(shù)，且數(shù)字1、2、3至少

都出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)共有（）個

A．120B．150C．210D．240

例42．（2024·北京·高二北京八中?？计谀┯?,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，要求每個

數(shù)字至少出現(xiàn)一次，共可組成個不同的四位數(shù)__________（用數(shù)字作答）.

變式39．（2024·全國·高三專題練習）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的四

位數(shù)，其中個位?十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有___________.個（用數(shù)字作

答）.

變式40．（2024·全國·高三專題練習）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復

數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個．（用數(shù)字作

答）

題型十五：幾何問題

例43．（2024·全國·高三專題練習）從正方體的8個頂點中選取4個作為頂點，可得到四

面體的個數(shù)為（）

4444

A．C812B．C88C．C86D．C84

例44．（2024·高二課時練習）一只螞蟻從正四面體ABCD的頂點A出發(fā)，沿著正四面體

ABCD的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機的，則螞蟻第1秒后到點B，第

4秒后又回到A點的不同爬行路線有（）

A．6條B．7條C．8條D．9條

例45．（2024·全國·高三專題練習）如圖，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著水平面的線條爬行到

點C，再由點C沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點B，則它可以爬行的不同的最短路

徑有（）條

A．40B．60C．80D．120

變式41．（2024·全國·高二專題練習）凸八邊形的對角線有（）條

A．20B．28C．48D．56

變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知C60分子是一種由60個碳原子構(gòu)成的分子，

它形似足球，因此又名足球烯，C60是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子，它具有60個頂

點和若干個面，.各個面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖.已知其中正六邊形的面為

20個，則正五邊形的面為（）個.

A．10B．12

C．16D．20

變式43．（2024·高二課時練習）設凸n(n≥3)棱錐中任意兩個頂點的連線段的條數(shù)為f(n)，

則f(n＋1)－f(n)＝()

A．n－1B．n

C．n＋1D．n＋2

題型十六：分解法模型與最短路徑問題

例46．（2024·全國·高三專題練習）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎

直走動一個方格，走過的方格不能重復，只要有一個方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方

格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？

A．6B．8C．10D．12

例47．（2024·全國·高三專題練習）夏老師從家到學校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張

楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導致第一天上班就遲到了，所以

夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設夏老師家在M處，學校在N處，AB段

正在修路要繞開，則夏老師從家到學校的最短路徑有（）條．

A．23B．24C．25D．26

例48．（2024·廣東惠州·高三?？计谀┤鐖D，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實

線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（）

A．23條B．24條C．25條D．26條

變式44．（2024·全國·高三專題練習）方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的

是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規(guī)則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制

品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個大正方體（由8個大小相同的小正方

體構(gòu)成），若一只螞蟻從A點出發(fā)，沿著竹棍到達B點，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有

（）

A．48種B．60種

C．72種D．90種

變式45．（2024·高二課時練習）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不

重復，則不同的參觀路線共有（）

A．6種B．8種

C．36種D．48種

變式46．（2024·廣東惠州·高二?？计谥校┫聢D是某項工程的網(wǎng)絡圖(單位:天)，則從開始

節(jié)點①到終止節(jié)點⑧的路徑共有（）

A．14條B．12條C．9條D．7條

變式47．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有

整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A1,A2,A3,A4,A5是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的5個交匯處，今

在道路網(wǎng)M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路

徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達N，M處為止，則（）

A．甲從M到達N處的走法有70種

B．甲從M必須經(jīng)過A3到達N處的走法有12種

C．若甲、乙兩人途中在A3處相遇，則共有144種走法

D．若甲、乙兩人在行走途中會相遇，則共有1810種走法

甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A1,A2,A3,A4,A5處相遇，他們在Ai(i1,2,3,4,5)處相

i14

遇的走法有C4種，

0414243444

則C4C4C4C4C41810，故D正確．

故選：AD．

變式48．（2024·高二課時練習）5400的正約數(shù)有______個

變式49．（2024·上海嘉定·高二?？计谥校┱麛?shù)2022有______個不同的正約數(shù)．

題型十七：排隊問題

例49．（2024·全國·高三專題練習）街頭籃球比賽后，紅、黃兩隊共6名隊員（紅隊3人，

黃隊3人）合照，要求6人站成一排，紅隊3人中有且只有2名隊員相鄰，則不同排隊的方

法共有（）

A．432種B．216種C．144種D．72種

例50．（2024·全國·高三專題練習）七輛汽車排成一縱隊，要求甲車、乙車、丙車均不排

隊頭或隊尾且各不相鄰，則排法有（）

A．48種B．72種C．90種D．144