2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第84講、成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（教師版）

第84講成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、變量間的相關(guān)關(guān)系

1、變量之間的相關(guān)關(guān)系

當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相

關(guān)關(guān)系．由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重

要的作用．我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)

律，對(duì)它們的關(guān)系作出判斷．

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種

確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨

關(guān)系．

2、散點(diǎn)圖

將樣本中的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i1,2,,n)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)

圖．根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系．

（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)

關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；

（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)

關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示．

3、相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量x的取值xi，變量y的觀測(cè)值為yi(1in)，則變量x與y的相關(guān)系數(shù)

nn

(xix)(yiy)xiyinxy

ri1i1，通常用r來衡量x與y之間的線性

nnnn

222222

(xix)(yiy)xinxyiny

i1i1i1i1

關(guān)系的強(qiáng)弱，r的范圍為1r1．

（1）當(dāng)r0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．

（2）r越接近1，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r越接近0，表示兩個(gè)變量間幾

乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．當(dāng)|r|1時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上．

（3）通常當(dāng)r0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．

知識(shí)點(diǎn)二、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．

對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程ybxa

的求法為

nn

(xix)(yiy)xiyinxy

i1i1

bnn

222

(xix)xinx

i1i1

aybx

nn

其中，1，1，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．

xxiyyixy

ni1ni1

2、殘差分析

對(duì)于預(yù)報(bào)變量y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值yi，通過回歸方程得到的y稱為預(yù)

測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值等于殘差，e?i稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi,yi)的殘差，即有e?iyiy?i．殘差

是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)

中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．

（1）殘差圖

通過殘差分析，殘差點(diǎn)xi,e?i比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較

合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．

n

（）通過殘差平方和2分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型

2Q(yiy?i)

i1

的擬合效果越好；反之，不合適．

（3）相關(guān)指數(shù)

n

2

(yiy?i)

用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：2i1．

R1n

2

(yiy)

i1

R2越接近于1，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．

知識(shí)點(diǎn)三、非線性回歸

解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元

將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程．

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方

程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)，注意計(jì)算要細(xì)心，

避免計(jì)算錯(cuò)誤．

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非

線性關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用

反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型

是否合適等．

知識(shí)點(diǎn)四、獨(dú)立性檢驗(yàn)

1、分類變量和列聯(lián)表

（1）分類變量：

變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．

（2）列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．

②2×2列聯(lián)表．

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣

本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為

y1y2總計(jì)

x1abab

x2cdcd

nabcd

總計(jì)acbd

ac

從22列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．

abcd

2、等高條形圖

（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等

高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．

ac

（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．

abcd

3、獨(dú)立性檢驗(yàn)

n(adbc)2

計(jì)算隨機(jī)變量2利用2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)

(ab)(cd)(ac)(bd)

立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．

0．100．050．0100．0050．001

x2．7063．8416．6357．87910．828

【解題方法總結(jié)】

常見的非線性回歸模型

（1）指數(shù)函數(shù)型ycax（a0且a1，c0）

兩邊取自然對(duì)數(shù)，lnylncax，即lnylncxlna，

ylny

令，原方程變?yōu)閥lncxlna，然后按線性回歸模型求出lna，lnc．

xx

（2）對(duì)數(shù)函數(shù)型yblnxa

yy

令，原方程變?yōu)閥bxa，然后按線性回歸模型求出b，a．

xlnx

（3）冪函數(shù)型yaxn

兩邊取常用對(duì)數(shù)，lgylgaxn，即lgynlgxlga，

ylgy

令，原方程變?yōu)閥nxlga，然后按線性回歸模型求出n，lga．

xlgx

（4）二次函數(shù)型ybx2a

yy

令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．

2ybxaba

xx

b

（5）反比例函數(shù)型ya型

x

yy

令1，原方程變?yōu)閥bxa，然后按線性回歸模型求出b，a．

x

x

必考題型全歸納

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

例1．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度

最高的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這

樣的模型比較合適，

帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高，顯然D選項(xiàng)的擬合精度最高.

故選：D.

例2．（2024·天津薊州·高三?？奸_學(xué)考試）對(duì)兩個(gè)變量x，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相

關(guān)系數(shù)r10.8995，對(duì)兩個(gè)變量u，v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r20.9568，則

下列判斷正確的是（）

A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)

【答案】C

【解析】因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)r10.89950，所以x，y正相關(guān)，

因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)r20.95680，所以u(píng)，v負(fù)相關(guān)，

又因?yàn)閞1r2，所以變量u，v的線性相關(guān)性比x，y的線性相關(guān)性強(qiáng)，

故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

例3．（2024·寧夏吳忠·高三鹽池高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的散點(diǎn)圖中，若去掉點(diǎn)

P，則下列說法正確的是（）

A．樣本相關(guān)系數(shù)r變大

B．變量x與變量y的相關(guān)程度變?nèi)?/p>

C．變量x與變量y呈正相關(guān)

D．變量x與變量y的相關(guān)程度變強(qiáng)

【答案】D

【解析】由散點(diǎn)圖知，自變量x與因變量y呈負(fù)相關(guān)，即r0，故C錯(cuò)誤；

去掉點(diǎn)P后，r進(jìn)一步接近1，所以r變小，故A錯(cuò)誤；

去掉點(diǎn)P后，y與x的線性相關(guān)加強(qiáng)，即相關(guān)程度變強(qiáng)，故B錯(cuò)誤，D正確．

故選：D．

變式1．（2024·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知建筑地基沉降預(yù)測(cè)對(duì)于保證施工安全，實(shí)

現(xiàn)信息化監(jiān)控有著重要意義．某工程師建立了四個(gè)函數(shù)模型來模擬建筑地基沉降隨時(shí)間的變

化趨勢(shì)，并用相關(guān)指數(shù)、誤差平方和、均方根值三個(gè)指標(biāo)來衡量擬合效果．相關(guān)指數(shù)越接近

1表明模型的擬合效果越好，誤差平方和越小表明誤差越小，均方根值越小越好．依此判斷

下面指標(biāo)對(duì)應(yīng)的模型擬合效果最好的是（）

A．

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9498.4910.499

B．

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9334.1790.436

C．

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9971.7010.141

D．

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9972.8990.326

【答案】C

【解析】相關(guān)指數(shù)越接近于1，擬合效果越好，比較相關(guān)指數(shù)知，可選C，D，

誤差平方和及均方根值都越小，擬合效果越好，觀察誤差平方和和均方根值，知C的擬合

效果最好．

故選：C.

變式2．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)，A，B兩變量的線性相關(guān)

性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表:

甲乙丙丁

r0.820.780.690.85

m106115124103

則能體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】D

【解析】在驗(yàn)證兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系中，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)性越

強(qiáng)，

在四個(gè)選項(xiàng)中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大，

殘差平方和越小，相關(guān)性越強(qiáng)，只有丁的殘差平方和最小，

綜上可知丁的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性，

故選：D．

變式3．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考三模）觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨

機(jī)誤差的假定的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差e的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為2的隨

機(jī)變量的觀測(cè)值.

對(duì)于A選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，故A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)；故B

正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，故C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測(cè)時(shí)間變大而變大，故D錯(cuò).

故選：B.

變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別對(duì)一組變量進(jìn)行線性相關(guān)

試驗(yàn)，并分別計(jì)算出相關(guān)系數(shù)r，則線性相關(guān)程度最高的是（）

甲乙丙丁

r0.870.910.580.83

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】B

【解析】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，

所以線性相關(guān)程度最高的是乙.

故選：B

變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）給出下列有關(guān)線性回歸分析的四個(gè)命題：

①線性回歸直線未必過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心(x,y)；

②回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；

③當(dāng)相關(guān)系數(shù)r0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；

④如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r就越接近于1.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】對(duì)于①，線性回歸直線一定過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心(x,y)，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，回歸直線在散點(diǎn)圖中可能不經(jīng)過任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)相關(guān)系數(shù)r0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，故③正確；

對(duì)于④，如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)性系數(shù)r就越接近于1或1，故④錯(cuò)誤.

故真命題的個(gè)數(shù)為1，

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法

（1）畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到

右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．

（2）樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)性越

強(qiáng)．

（3）經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)b?>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)b?<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．

題型二：一元線性回歸模型

例4．（2024·天津薊州·高三校考開學(xué)考試）為研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時(shí)間變化的繁

殖情況，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：

天數(shù)x(天)3456

繁殖個(gè)數(shù)y(千個(gè))2.5344.5

由最小二乘法得y與x的線性回歸方程為y0.7xa，則當(dāng)x7時(shí)，繁殖個(gè)數(shù)y的預(yù)測(cè)值

為（）

A．4.9B．5.25C．5.95D．6.15

【答案】B

11

【解析】由題中數(shù)據(jù)可得：x34564.5，y2.5344.53.5，

44

因?yàn)榛貧w直線必過樣本中心，

所以ay0.7x3.50.74.50.35，

所以y0.7x0.35，

所以當(dāng)x7時(shí)，y0.770.355.25，

故選：B

例5．（2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某社區(qū)為了豐富退休人員的業(yè)余文化

生活，自2018年以來，始終堅(jiān)持開展“悅讀小屋讀書活動(dòng)”.下表是對(duì)2018年以來近5年該

社區(qū)退休人員的年人均借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：

年份20182019202020212022

年份代碼x12345

年人均借閱量y（冊(cè)）y1y2162228

5

（參考數(shù)據(jù)：yi90）通過分析散點(diǎn)圖的特征后，年人均借閱量y關(guān)于年份代碼x的回

i1

歸分析模型為y5xm，則2024年的年人均借閱量約為（）

A．31B．32C．33D．34

【答案】C

5

12345y

【解析】因?yàn)閤3，i90，所以1853m，即m3.

5yi118

55

所以回歸方程為y5x3，當(dāng)x6時(shí)，y56333.

故選：C.

例6．（2024·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知x，y的對(duì)應(yīng)值如下表所示：

x02468

y1m12m13m311

若y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為y1.6x0.6，則m（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

024681m12m13m311

【解析】x4,y1.2m3.4，

55

又回歸直線方程為y1.6x0.6，

所以1.2m3.41.640.6，解得m3.

故選：B.

變式6．（2024·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某單位在當(dāng)?shù)囟c(diǎn)幫扶某村種植一種草

莓，并把這種原本露天種植的草莓搬到了大棚里，獲得了很好的經(jīng)濟(jì)效益．根據(jù)資料顯示，

產(chǎn)出的草莓的箱數(shù)x（單位：箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：

x102030406080

yy1y2y3y4y5y6

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可以認(rèn)為x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用最小二乘法求出線性回歸方程

y?b?xa?（a?，b?用分?jǐn)?shù)表示）

(2)某農(nóng)戶種植的草莓主要以300元/箱的價(jià)格給當(dāng)?shù)卮笮蜕坛┴?，多余的草莓全部?00

元/箱的價(jià)格銷售給當(dāng)?shù)匦∩特湥畵?jù)統(tǒng)計(jì)，往年1月份當(dāng)?shù)卮笮蜕坛葺男枨罅繛?0箱、

1111

100箱、150箱、200箱的概率分別為，，，，根據(jù)回歸方程以及往年商超草莓的

10525

需求情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，求今年1月份農(nóng)戶草莓的種植量為200箱時(shí)所獲得的利潤情況．（最后

結(jié)果精確到個(gè)位）

66

?

附：xixyiy790，yi54，在線性回歸直線方程y?bxa?中

i1i1

n

xixyiy

?i1?

bn，a?ybx．

2

xix

i1

10203040608054

【解析】（1）因?yàn)閤40，y9，

66

6

2

所以xix900400100040016003400，

i1

6

由題意可知xixyiy790，

i1

n

xixyiy

?i179079

所以bn，

23400340

xix

i1

795

又因?yàn)閍?940，

34017

795

所以回歸方程為y?x．

34017

795785

（2）由回歸方程知，若農(nóng)戶草莓的種植量為200箱，則成本為y?200（千

3401717

元）．

設(shè)農(nóng)戶草莓的種植量為200箱時(shí)的收入為Y元，200箱草莓供給大型商超和小商販分別x箱

和y，顯然xy200，

由題意Y300x200y，因此x,y以及Y的可能取值如下表：

x50100150200

y150100500

Y300x200y45000500005500060000

所以Y的分布列為：

Y45000500005500060000

1111

P

10525

1111

所以EY4500050000550006000054000，

10525

785

所以預(yù)測(cè)所獲利潤約為5400010007824元．

17

變式7．（2024·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某新能源汽車銷售部對(duì)今年1月至7月的銷售量進(jìn)

行統(tǒng)計(jì)與分析，因不慎丟失一些數(shù)據(jù)，現(xiàn)整理出如下統(tǒng)計(jì)表與一些分析數(shù)據(jù)：

月份1月2月3月4月5月6月7月

月份代號(hào)x1234567

銷售量y（單位：萬輛）15.6mns37.739.644.5

其中y31.2.

(1)若m，n，s成遞增的等差數(shù)列，求從7個(gè)月的銷售量中任取1個(gè)，月銷售量不高于27

萬輛的概率；

7

2

(2)若yiy670.48，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r0.99，求y關(guān)于x的線性回歸方程

i1

y?b?xa?，并預(yù)測(cè)今年8月份的銷售量（b?精確到0.1）.

n

xixyiy

i1

附：相關(guān)系數(shù)r，線性回歸方程y?b?xa?中斜率和截距的最小二

n2n2

xixyiy

i1i1

n

xixyiy

乘估計(jì)公式分別為b?i1，a?yb?x.

n2

xix

i1

參考數(shù)據(jù)：72.65，670.4825.89.

15.6mns37.739.644.5

【解析】（1）因?yàn)閥31.2.所以31.2，

7

所以mns81，

又m，n，s成遞增的等差數(shù)列，所以ms2n且mns，

所以n27，且m27s，

所以月銷售量不高于27萬輛的有15.6，m，n共3個(gè)，又基本事件總數(shù)為7，

3

故所求概率為.

7

1772

（2）由表中數(shù)據(jù)可知，xxi4,xix28

7i1i1

77

xxyy

iixixyiy

ri10.99?i1

由和b7，

72722

xixyiyxix

i1i1i1

72

yiy

b670.4825.89

得i14.88，

r722822.65

xix

i1

所以b?4.88r4.880.994.8，

由x4，y31.2，得a?yb?x31.24.8412.0，

故y關(guān)于x的線性回歸方程為y?4.8x12.0.

當(dāng)x8時(shí)，y?4.881250.4，

所以預(yù)測(cè)今年8月份的銷售量大約為50.4萬輛.

變式8．（2024·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在

6℃~22℃之間，一農(nóng)學(xué)實(shí)驗(yàn)室研究人員為研究溫度x（℃）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)y（顆）之

間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對(duì)應(yīng)的8℃~14℃的溫度環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得

到如下散點(diǎn)圖：

77

2

其中y24，(xix)(yiy)70，(yiy)=176．

i1i1

(1)運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？

$$$

(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程ybxa，并預(yù)測(cè)在19℃的溫度下，種子的發(fā)芽的顆數(shù)．

n

(xix)(yiy)

參考公式：相關(guān)系數(shù)ri1，回歸直線方程$$$，其中

nnybxa

22

(xix)(yiy)

i1i1

n

(xix)(yiy)

i1$$

bn，aybx．參考數(shù)據(jù)：778.77．

2

(xix)

i1

1

【解析】（1）根據(jù)題意，得x89101112131411．

7

7

22222222

xix811+911+1011+1111+1211+1311+141128，

i1

77

22．

xixyiy2817687770.16

i1i1

7

xixyiy

70

因而相關(guān)系數(shù)ri10.998．

7770.16

22

xixyiy

i1i1

由于r0.998很接近1，∴可以用線性回歸方程模型擬合y與x的關(guān)系．

7

xixyiy

705

（2）b?i1，

7282

2

xix

i1

57

a?2411，

22

57

∴y關(guān)于的回歸方程為y?x．

x22

57

若x19，則y?1944顆．

22

∴在19℃的溫度下，預(yù)測(cè)種子的發(fā)芽顆數(shù)為44．

變式9．（2024·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單

位：公頃）和野生動(dòng)物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積花分為400個(gè)區(qū)塊，從中

隨機(jī)抽取40個(gè)區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)xi,yi（i1,2,,40），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

x…2.73.63.23.9…

y…50.663.752.154.3…

40404040

2

經(jīng)計(jì)算得：xi160，yi2400，xix160，xixyiy1280.

i1i1i1i1

(1)利用最小二乘估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐

標(biāo)系xOy下，橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動(dòng)物數(shù)量y一致.設(shè)前者與

后者的斜率分別為k1，k2，比較k1，k2的大小關(guān)系，并證明.

附：y關(guān)于x的回歸方程yabx中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

nn

xynxy

xiyinxyii

?i1，$$，ri1

bnaybxnn

222

222

xinxxinxyiny

i1i1i1

16024001280

【解析】（1）x4，y60，b8，a603228，

4040160

故回歸方程為y8x28；

n

xixyiy

?i1

（2）x關(guān)于y的線性回歸方程為xa1b1y，b1n

2

yiy

i1

40402

xixyiyyiy

1

kbi1，ki1，

1402240

b1

xixxixyiy

i1i1

2

40

xixyiy

ki12

則1r，r為y與x的相關(guān)系數(shù)，

4022

k2

xixyiy

i1

k

1

又r1，k1，k20，故1，即k1k2，

k2

下證：k1k2，

若k1k2，則r1，即yi8xi28i1,2,,40恒成立，

代入表格中的一組數(shù)據(jù)得：50.682.728，矛盾，

故k1k2.

綜上，y關(guān)于x的回歸方程為y8x28.

【解題方法總結(jié)】

求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟

題型三：非線性回歸

例7．（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若需要刻畫預(yù)報(bào)變量w和解釋變量x的相關(guān)關(guān)系，且從

已知數(shù)據(jù)中知道預(yù)報(bào)變量w隨著解釋變量x的增大而減小，并且隨著解釋變量x的增大，預(yù)

報(bào)變量w大致趨于一個(gè)確定的值，為擬合w和x之間的關(guān)系，應(yīng)使用以下回歸方程中的

（b0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）

A．wbxaB．wblnxaC．wbxaD．wbexa

【答案】D

【解析】對(duì)于A：因?yàn)閥x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且b0，所以w隨著x的增大而增大，不

合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)閥lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且b0，所以w隨著x的增大而減小，當(dāng)解釋變

量x，w，不合題意，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)閥x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且b0，所以w隨著x的增大而減小，當(dāng)解釋變

量x，w，不合題意，故C錯(cuò)誤；

1

對(duì)于D：因?yàn)閥ex()x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減且b0，所以w隨著x的增大而減小，當(dāng)解

e

釋變量x，wa，故D錯(cuò)誤；

故選：D．

例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算

市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長.已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場(chǎng)規(guī)模y

c2x

與年份代碼x的關(guān)系可以用模型yc1e（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)zlny，

得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代碼x12345

云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y/千萬元7.4112036.666.7

zlny22.433.64

由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程z0.52xa，則2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為

（）

A．e5.08B．e5.6C．e6.12D．e6.5

【答案】B

【解析】因?yàn)閤3,z3，

所以az0.52x330.521.44，

即經(jīng)驗(yàn)回歸方程z0.52x1.44，

當(dāng)x8時(shí)，z0.5281.445.6，

所以yeze5.6，

即2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為e5.6，

故選：B

例9．（多選題）（2024·福建廈門·廈門一中校考三模）在對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行回

歸分析時(shí)，若兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，可以建立含兩個(gè)待定參數(shù)的非線性模型，并引入

中間變量將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，再利用最小二乘法進(jìn)行線性回歸分析.下列選項(xiàng)為四個(gè)同學(xué)

根據(jù)自己所得數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖建立的非線性模型，且散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)均位于第一象限，則其中

可以根據(jù)上述方法進(jìn)行回歸分析的模型有（）

xc

21

A．yc1xc2xB．y

xc2

xc2

C．yc1lnxc2D．yc1e

【答案】ABC

yy

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：ycx2cxcxc，令u則ucxc；

12x12x12

對(duì)于選項(xiàng)B：

xccccc1xc1c

y1112y1122x2

xc2xc2xc2y1c1c2c1c2c1c2

11c

令uux2；

y1c1c2c1c2

yc1

對(duì)于選項(xiàng)C：yc1lnxc2yc1lnxc2exc2

yc1yc1c1c1

即ee(xc2)令ue則ue(xc2)exc2e；

xc2

對(duì)于選項(xiàng)D：yc1elnylnc1xc2令ulny則uxlnc1c2

此時(shí)斜率為1，與最小二乘法不符．

故選：ABC

變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知變量的關(guān)系可以用模型ykemx擬合，設(shè)zlny，

其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下．由上表可得線性回歸方程z3xa，則k（）

x12345

z2451014

A．e3B．e2C．e2D．e3

【答案】B

【解析】由表格數(shù)據(jù)知x3，z7．即樣本中心點(diǎn)為3,7，

由z3xa，得a7332，

即z3x2，

所以zlnylnkmx3x2，即lnk2，可得ke2，

故選：B．

變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某校課外學(xué)習(xí)小組研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x

（單位：C）的關(guān)系，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖判斷，最適宜作為發(fā)

芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）

A．yabxB．yabx2b0

C．yabexD．yablnx

【答案】D

【解析】由散點(diǎn)圖可見，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢(shì)，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加緩慢.

A中，yabx是直線型，均勻增長，不符合要求；

B中，yabx2b0是二次函數(shù)型，圖象呈現(xiàn)下凸，增長也較快，不符合要求；

C中，yabex是指數(shù)型，爆炸式增長，增長快，不符合要求；

D中，yablnx是對(duì)數(shù)型，增長緩慢，符合要求.

故對(duì)數(shù)型最適宜該回歸模型.

故選：D.

變式12．（2024·全國·高二專題練習(xí)）蘭溪楊梅從5月15日起開始陸續(xù)上市，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，

得到楊梅銷售價(jià)格（單位：Q元/千克）與上市時(shí)間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間t/（單位：天）102070

銷售價(jià)格Q（單位：元/千克）10050100

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)模型中選取一個(gè)描述楊梅銷售價(jià)格Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：

2t

Qatb,Qatbtc,Qab,Qalogbt.利用你選取的函數(shù)模型，在以下四個(gè)日期中，

楊梅銷售價(jià)格最低的日期為（）

A．6月5日B．6月15日C．6月25日D．7月5日

【答案】C

【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，描述楊梅銷售價(jià)格Q與上市時(shí)間Q的變化關(guān)系不可能是常數(shù)函數(shù)、

也不可能是單調(diào)函數(shù)，

t

函數(shù)Qatb,Qab,Qalogbt在a0時(shí)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格中的數(shù)據(jù)不吻合，

所以應(yīng)選取Qat2btc進(jìn)行描述，

將表中數(shù)據(jù)10，100，20，50，70，100代入Qat2btc可得

100100a10bca0.1

50400a20bc，解得b8，所以Q0.1t28t170，

1004900a70bcc170

2

Q0.1t40154，所以當(dāng)t40時(shí)楊梅銷售價(jià)格最低，

而6月5日時(shí)t22，6月15日時(shí)t32，6月25日時(shí)t42，7月5日時(shí)t52，

所以t42時(shí)楊梅銷售價(jià)格最低.

故選：C.

變式13．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)校考開學(xué)考試）抗體藥物的研發(fā)是生物

技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體

藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并

對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為

x（單位：mg），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：AU/mL）.

10101010

2

tizitiziti

i1i1i1i1

29.2121634.4

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇ycxd作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將

ycxd兩邊取對(duì)數(shù)，得lnylncdlnx，可以看出lnx與lny具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)

參考數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)抗體藥物攝入量為25mg時(shí)，體內(nèi)抗體數(shù)量y的

值；

(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布

N:0.48,0.032，那這種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

L

附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)ui,vii1,2,,10，其回歸直線vua的斜率和截距的最小二乘

n

uivinuv

μi1

估計(jì)分別為n，avu；

22

uinu

i1

②若隨機(jī)變量Z~N,2，則有P(Z)0.6826，

P(2Z2)0.9544，P(3Z3)0.9974；

③取e2.7.

【解析】（1）將ycxd兩邊取對(duì)數(shù)，得lnylncdlnx，

設(shè)zlny，tlnx，則回歸方程變?yōu)閦lncdt，

110110

由表中數(shù)據(jù)可知，zzi1.6，tti1.2，

10i110i1

10

tz10t·z

ii29.2101.21.6

所以?i1，$$，

d1020.5lnczdt1.60.51.21

34.4101.2

22

ti10t

i1

$0.50.5

所以z10.5t，即lny?10.5lnxlnelnxlnex，

故y關(guān)于x的回歸方程為yex0.5，

當(dāng)x25mg時(shí)，y?e250.52.7513.5AU/mL.

（2）因?yàn)閦服從正態(tài)分布N0.48,0.032，其中0.48，0.03，

所以P2z2P0.42z0.