2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第64講、橢圓及其性質(zhì)（教師版）

第64講橢圓及其性質(zhì)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)2a（2a|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c，定義用集合語言表

示為：P||PF1||PF2|2a(2a|F1F2|2c0)

注意：當(dāng)2a2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．

知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．

焦點(diǎn)的位

焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上

置

圖形

x2y2y2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程1ab01ab0

a2b2a2b2

統(tǒng)一方程mx2ny21(m0,n0,mn)

xacosxacos

參數(shù)方程,為參數(shù)（[0,2]）,為參數(shù)（[0,2]）

ybsinybsin

到兩定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，即（）

第一定義F1F22a|MF1||MF2|2a2a|F1F2|

范圍axa且bybbxb且aya

1a,0、2a,010,a、20,a

頂點(diǎn)

10,b、20,b1b,0、2b,0

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

焦點(diǎn)F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

222

焦距F1F22c(cab)

cc2a2b2b2

離心率e1(0e1)

aa2a2a2

a2

準(zhǔn)線方程x

c

點(diǎn)和橢圓1外1外

x2y2y2x2

00點(diǎn)在橢圓上00點(diǎn)在橢圓上

221(x0,y0)221(x0,y0)

abab

的關(guān)系1內(nèi)1內(nèi)

xxyyyyxx

001（(x,y)為切點(diǎn)）001（(x,y)為切點(diǎn)）

a2b200a2b200

切線方程對(duì)于過橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中2換為，2換為

(x0,y0)xx0xy

y0y可得

切點(diǎn)弦所

xxyyyyxx

在的直線001(點(diǎn)(x,y)在橢圓外）001(點(diǎn)(x,y)在橢圓外）

a2b200a2b200

方程

2b2

①cos1,maxF1BF2，（B為短軸的端點(diǎn)）

r1r2

焦點(diǎn)在軸上

12c|y0|,x

焦點(diǎn)三角②Srrsinbtan(FPF)

PF1F212焦點(diǎn)在軸上12

22c|x0|,y

形面積

當(dāng)點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),（）2

Pr1r2min=b

③

當(dāng)點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí),（）2

Pr1r2max=a

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

（）

|MF1||MF2|2a2a2c

1

S|PF||PF|sinFPF)

PF1F21212

2

222

|F1F2||PF1||PF2|2|PF1||PF2|cosF1PF2

上焦半徑：

左焦半徑：MF1aex0MF1aey0

下焦半徑：

焦半徑又焦半徑：MF1aex0MF1aey0

焦半徑最大值ac，最小值ac

b2

通徑過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=2（最短的過焦點(diǎn)的弦）

a

設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2)，kABk，

222

則弦長(zhǎng)AB1kx1x21k(x1x2)4x1x2

弦長(zhǎng)公式

1

1(yy)24yy1k2

k21212|a|

（其中a是消y后關(guān)于x的一元二次方程的x2的系數(shù)，是判別式）

【解題方法總結(jié)】

（1）過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其

2

長(zhǎng)為2b．

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端

點(diǎn)．

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．

距離的最大值為ac，距離的最小值為ac．

（2）橢圓的切線

x2y2xxyy

①橢圓1(ab0)上一點(diǎn)P(x，y)處的切線方程是001；

a2b200a2b2

x2y2

②過橢圓1(ab0)外一點(diǎn)P(x，y)，所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

a2b200

xxyy

001；

a2b2

x2y2

③橢圓1(ab0)與直線AxByC0相切的條件是A2a2B2b2c2．

a2b2

必考題型全歸納

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

例1．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C上任意一點(diǎn)Px,y都滿足關(guān)系式

22

x1y2x1y24，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

x2y2

【答案】1

43

【解析】由題可知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)分別為1,0,1,0，2a4，

x2y2

故a2,c1，b23，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.

43

x2y2

故答案為：1.

43

例2．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線

1

yx2的焦點(diǎn)重合，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

4

y2x2

【答案】1

43

【解析】拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x24y，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F0,1，

∵拋物線焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，∴橢圓焦點(diǎn)在y軸，

y2x2

設(shè)橢圓方程為1，（ab0），

a2b2

則由焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)知c1，2a4，∴a2，

∴b2a2c23，

y2x2

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.

43

y2x2

故答案為：1.

43

x2y2

例3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為

a2b2

3

F1(1,0),F2(1,0)，且過點(diǎn)P1,,則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．

2

x2y2

【答案】1

43

【解析】由題知：c1，①

3

又橢圓經(jīng)過點(diǎn)P1,，

2

9

所以1，②

41

a2b2

又a2b2c2，③

聯(lián)立解得：a24,b23，

x2y2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1.

43

x2y2

故答案為：1.

43

x2y2

變式1．（2024·浙江紹興·紹興一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓E：1（ab0），

a2b2

F是E的左焦點(diǎn)，過E的上頂點(diǎn)A作AF的垂線交E于點(diǎn)B.若直線AB的斜率為3，△ABF

3

的面積為，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

13

x2y2

1

【答案】11

416

【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)C，如圖所示：

由題意知：ABAF，直線AB的斜率為3，即kAB3，

所以ACF60，AFC30.

a3a

由橢圓的性質(zhì)知：OAb，OFc，則AFa，所以O(shè)A，OF，

22

aa

則A0,，故直線AB的方程為y3x.

22

x2y2

1

a2b243a

x0x

a13

聯(lián)立y3x，解得：a或，

2y11a

2y

a26

b

2

22

43a11a43aa11a83a

所以B,，故，

AB0

1183a321

則SAFABa，解得：a.

△ABF2213134

x2y2

1a11

又a0，所以a，即b，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為11.

224

416

x2y2

1

故答案為：11.

416

x2y2

變式2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓焦點(diǎn)在x軸，它與橢圓1有相同離心

43

率且經(jīng)過點(diǎn)2,3，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

x2y2

【答案】=1

86

x2y2ca2b2b231

【解析】橢圓1的離心率為e11，

43aaa242

x2y2

設(shè)所求橢圓方程為1mn0，

m2n2

22

n1n3n3

則1，從而，，

m4m4m2

43

又1，∴m28,n26，

m2n2

x2y2

∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

86

x2y2

故答案為：=1.

86

變式3．（2024·北京·高二北大附中?？计谀┡c雙曲線4y23x212有相同焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)

為6的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

x2y2

【答案】1

29

y2x2

【解析】4y23x212即1，焦點(diǎn)為0,7，

34

2x2y2

橢圓長(zhǎng)軸2a6，即a3，故短半軸b3272，故橢圓方程為1.

29

x2y2

故答案為：1.

29

變式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓E：

x2y2

1ab0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，

a2b2

12

且PF2F2Q，且Sa，PF2F2Q8，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

PF2Q2

x2y2

【答案】1

168

【解析】連接PF1,QF1，因?yàn)镺POQ,OF1OF2，

所以四邊形PF1QF2是平行四邊形，

所以PF1F2Q，PF2QF1，

又PF2F2Q，所以四邊形PF1QF2為矩形，

設(shè)PF1m,PF2n

mn2a8

a4

則由題意得m2n24c2，解得，

c22

11

mna2

22

x2y2

則b2a2c28，則標(biāo)準(zhǔn)方程為1，

168

x2y2

故答案為：1.

168

x2y2

變式5．（2024·山東青島·高二青島二中?？计谥校┻^點(diǎn)5,3，且與橢圓1有

259

相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是．

x2y2

【答案】1

204

x2y2

【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為1，09，

259

53

將點(diǎn)5,3代入，1，

259

整理可得：2261050，

解得5或21（舍)，

x2y2

所以橢圓的方程為：1，

204

x2y2

故答案為：1．

204

變式6．（2024·浙江麗水·高三?？计谥校┪覀儼呀裹c(diǎn)在同一條坐標(biāo)軸上，且離心率相同的橢

x2y2

圓叫做“相似橢圓”.若橢圓E:1，則以橢圓E的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的相似橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方

1612

程為.

x2y2

【答案】1

43

16121

【解析】∵橢圓E的離心率為e，

162

x2y2

且設(shè)橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為1ab0，則a=1612=2，

a2b2

x2y2

∴橢圓F的c1,b2a2c23，即橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.

43

x2y2

故答案為：1.

43

x2y2

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為

a2b2

△

F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)（異于M、N），AF1B

2

的周長(zhǎng)為43，且直線AM與AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

3

為.

x2y2

【答案】1

32

△

【解析】由AF1B的周長(zhǎng)為43,可知AF1AF2BF1BF24a43,解得a3,

2b22

由直線AM與AN的斜率之積為,可得b22，

3a23

x2y2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，

32

x2y2

故答案為：1

32

變式8．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(3，2)和B(23，1)

兩點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

x2y2

【答案】1

155

【解析】設(shè)所求橢圓方程為：mx2ny21(m0，n0，mn)將A和B的坐標(biāo)代入方程

得：

1

m

3m4n115

，解得，

12mn11

n

5

x2y2

所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1.

155

x2y2

故答案為：1.

155

【解題方法總結(jié)】

（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2,b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然

后根據(jù)條件列出a,b,c的方程組，解出a2,b2，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2By21(A0,B0,AB).

x2y2x2y2

②與橢圓1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為1(km,kn,mn).

mnmknk

x2y2x2y2

③與橢圓1(ab0)有相同離心率的橢圓，可設(shè)為k（k0，焦點(diǎn)

a2b2a2b211

x2y2

在x軸上）或k（k0，焦點(diǎn)在y軸上）.

a2b222

題型二：橢圓方程的充要條件

例4．（2024·全國·高三對(duì)口高考）若是任意實(shí)數(shù)，方程x2siny2cos5表示的曲線不

可能是（）

A．圓B．拋物線C．橢圓D．雙曲線

【答案】B

222

【解析】對(duì)于A，當(dāng)cossin時(shí)，由xsinycos5得x2y252，方程表

2

示圓，故A正確；

對(duì)于B，當(dāng)是第一象限角時(shí)，cos0,sin0，x2siny2cos5不會(huì)是拋物線方程；

當(dāng)是第二象限角時(shí)，cos0,sin0，x2siny2cos5不會(huì)是拋物線方程；

當(dāng)是第三象限角時(shí)，cos0,sin0，x2siny2cos5不成立，不會(huì)是拋物線方程；

當(dāng)是第四象限角時(shí)，cos0,sin0，x2siny2cos5不會(huì)是拋物線方程；

當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在x軸正半軸上時(shí)，cos1，sin0，得y25，不是拋物線方程；

當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在y軸正半軸上時(shí)，cos0，sin1，得x25，不是拋物線方程；

當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在x軸負(fù)半軸上時(shí)，cos1，sin0，得y25不成立；

當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在y軸負(fù)半軸上時(shí)，cos0，sin1，得x25不成立；故B錯(cuò)誤；

x2y2

π221

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由xsinycos5，得232，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的

3

3

橢圓，故C正確；

x2y2

2π221

對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由xsinycos5，得232，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的

3

3

雙曲線，故D正確；

故選：B.

例5．（2024·上海徐匯·位育中學(xué)?？既＃┮阎猰R，則方程2mx2m1y21所表

示的曲線為C，則以下命題中正確的是（）

1

A．當(dāng)m,2時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

2

B．當(dāng)曲線C表示雙曲線時(shí)，m的取值范圍是2,

C．當(dāng)m2時(shí)，曲線C表示一條直線

D．存在mR，使得曲線C為等軸雙曲線

【答案】A

13311

【解析】對(duì)于A，當(dāng)m,2時(shí)，02m，m13，0，

222m12m

x2y2

1

11表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，即曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，A正確；

2mm1

對(duì)于B，若曲線C表示雙曲線，則2mm10，解得：m1或m>2，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為,12,，B錯(cuò)誤；

23

對(duì)于C，當(dāng)m2時(shí)，曲線C:3y1，即y，

3

即曲線C表示兩條直線，C錯(cuò)誤；

2mm10

對(duì)于D，若曲線C為等軸雙曲線，則，解集為，

2mm1

不存在mR，使得曲線C為等軸雙曲線，D錯(cuò)誤.

故選：A.

例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知方程Ax2By2CxyDxEyF0，其中

ABCDEF．現(xiàn)有四位同學(xué)對(duì)該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個(gè)命題：

甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；

丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；?。嚎梢允请p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

其中，真命題有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

【解析】因?yàn)榉匠藺x2By2CxyDxEyF0，其中ABCDEF，

所以當(dāng)AB1CDE0F1時(shí)，方程為x2y210，即x2y21是圓的方

程，故方程可以是圓的方程；

當(dāng)A1BCD0E1F2時(shí)，方程為x2y20，即yx22是拋物線的

方程，故方程可以是拋物線的方程；

x2

y21

當(dāng)A2B1CDE0F1時(shí)，方程為2x2y210，即1是橢圓的標(biāo)

2

準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有AB0,CDE0,F0，這與ABCDEF矛

盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

所以真命題有3個(gè).

故選：C.

變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）“0a1，0b1”是“方程ax21by2表示的曲線為

橢圓”的（）

A．充要條件B．必要不充分條件

C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】[解法一]

方程ax21by2即方程ax2by21，表示橢圓的充分必要條件是a0,b0,ab,

顯然“0a1，0b1”是“a0,b0,ab”既不充分也不必要條件，

故“0a1，0b1”是“方程ax21by2表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，

[解法二]

1

當(dāng)ab時(shí)，滿足“0a1，0b1”，此時(shí)題中方程可化為：x2y24,表示的曲線是

4

圓而不是橢圓，當(dāng)a1,b4時(shí)，不滿足“0a1，0b1”，只是題中方程可化為：

x2y2

2211

11,表示中心在原點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為1，半短軸為的橢圓，

2

2

故：“0a1，0b1”是“方程ax21by2表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，

故選：D

x2y2

變式10．（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知曲線C:1，則“a0”是“曲線C

4a3a2

是橢圓”的（）

A．充要條件B．充分不必要條件

C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

4a0

【解析】若曲線C是橢圓，則有：3a20

4a3a2

解得：a0，且a2

故“a0”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件

故選：C

y2

變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a為實(shí)數(shù)，則曲線C：x21不可能是（）

1a2

A．拋物線B．雙曲線C．圓D．橢圓

【答案】A

【解析】對(duì)A：因?yàn)榍€C的方程中x,y都是二次項(xiàng)，所以根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征曲線

C不可能是拋物線，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)B：當(dāng)1a20時(shí)，曲線C為雙曲線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)C：當(dāng)1a21時(shí)，曲線C為圓，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)D：當(dāng)1a20且1a21時(shí)，曲線C為橢圓，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

x2y2

變式12．（2024·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）“1k5”是方程“1表示橢圓”

k15k

的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分又不必要條

【答案】B

k10,

【解析】若方程表示橢圓，則有5k0,

k15k,

因此1k5且k3，

x2y2

故“1k5”是“方程1表示橢圓”的必要不充分條件．

k15k

故選：B

【解題方法總結(jié)】

x2y2

1表示橢圓的充要條件為：m0,n0,mn；

mn

x2y2

1表示雙曲線方程的充要條件為：mn0；

mn

x2y2

1表示圓方程的充要條件為：mn0.

mn

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題

x2y2

例7．（2024·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B是橢圓C:1上關(guān)于原點(diǎn)

94

對(duì)稱的兩點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若AF12，則BF1（）

A．1B．2C．4D．5

【答案】C

【解析】因?yàn)閨OA||OB|,|OF1||OF2|,

所以四邊形AF1BF2是平行四邊形.

所以|BF1||AF2|.

由橢圓的定義得|AF2|23|AF1|624.

所以BF14.

故選：C

x2y2

例8．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過橢圓1的右焦點(diǎn)F2作一條直線，交橢圓

43

于A，B兩點(diǎn)，則F1AB的內(nèi)切圓面積可能是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】記F1AB的周長(zhǎng)為l，面積為S，內(nèi)切圓半徑為r．易知l8,0S3．

13

由于lrS，故0r．

24

9

設(shè)F1AB的內(nèi)切圓面積為S，則0S1.7，

16

于是選項(xiàng)A符合題意．

故選：A.

x2

例9．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C:y21(a1),F,F為兩個(gè)焦點(diǎn)，P為

a212

△

橢圓C上一點(diǎn)，若PF1F2的周長(zhǎng)為4，則a（）

35

A．2B．3C．D．

24

【答案】D

【解析】設(shè)橢圓C的焦距為2c，則c21a2，

35

△PFF的周長(zhǎng)為2a2c4，解得c,a，

1244

故選：D

x2y2

變式13．（2024·河南·高三階段練習(xí)）已知F1,F2分別為橢圓C:1(a23)的兩個(gè)

a212

1△

焦點(diǎn)，且C的離心率為,P為橢圓C上的一點(diǎn)，則PF1F2的周長(zhǎng)為（）

2

A．6B．9C．12D．15

【答案】C

2

1a121

【解析】因?yàn)镃的離心率為，且a23，所以e2，解得a4，則

2a24

2△

ca122，所以PF1F2的周長(zhǎng)為2a2c12.

故選：C

x2y2

變式14．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E:1(ab0)的左頂點(diǎn)為A，上

a2b2

頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，延長(zhǎng)BF2交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線BF2的距離

162△

為，PF1F2的周長(zhǎng)為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

3

x2y2x2y2

A．1B．1

25163632

x2y2x2y2

C．1D．1

494810064

【答案】B

【解析】由題意，得A(a,0)，B(0,b)，F(xiàn)2(c,0)，則直線BF2的方程為bxcybc0，

|abbc|b162

所以點(diǎn)A到直線BF2的距離d(ac)①．

b2c2a3

△

由PF1F2的周長(zhǎng)為16，得PF1PF2F1F22a2c16，即a+c=8②，

22

聯(lián)立①②，解得ba③．

3

1

因?yàn)閎2a2c2，所以ca④．

3

聯(lián)立②④，解得a=6，c=2，所以b42，

x2y2

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為是1.

3632

故選：B．

x2y2

變式15．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓C:1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，

95

△

過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A，若AF24，則AF1F2的面積為（）

A．23B．13C．4D．15

【答案】D

x2y2

【解析】橢圓C:1中，|FF|2954，由AF24及橢圓定義得AF12，

9512

△21222

因此AF1F2為等腰三角形，底邊上的高h(yuǎn)|AF|(|AF|)4115，

221

△1

所以AF1F2的面積為S|AF|h15.

AF1F221

故選：D

x2y2

變式16．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_學(xué)考試）橢圓E:1(ab0)的

43

，

兩焦點(diǎn)分別為F1F2，A是橢圓E上一點(diǎn)，當(dāng)F1AF2的面積取得最大值時(shí)，F(xiàn)1AF2（）

2

A．B．C．D．

6233

【答案】C

【解析】c431，所以F1F22c2，

1

所以FAF2yy，則當(dāng)y最大時(shí)，F(xiàn)AF面積最大，

122AAA12

此時(shí)點(diǎn)A位于橢圓的上下端點(diǎn)，

則13，因?yàn)?，所以?/p>

F1AOF1AO0,F1AO

3326

所以FAF.

123

故選：C.

x2y2

變式17．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)P是橢圓1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦

259

1

點(diǎn)分別為F、F，且cosFPF，則△PFF的面積為（）

1212312

92

A．6B．12C．D．22

2

【答案】C

x2y2

【解析】由橢圓1，得a5，b3，c4.

259

設(shè)PF1m，PF2n，

△

∴mn10，在PF1F2中，由余弦定理可得：

1

(2c)2m2n22mncosFPF(mn)22mn2mn，

123

827

可得64100mn，得mn，

32

2

故1127192

S△FPFmnsinF1PF21.

1222232

故選：C.

2

x2

變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)F1,F2為橢圓C:y1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，