2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第20講、三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（學(xué)生版）

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第20講三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

知識梳理

1、基本性質(zhì)

設(shè)三次函數(shù)為：f(x)ax3bx2cxd(a、b、c、dR且a0)，其基本性質(zhì)有：

性質(zhì)1：①定義域為R．②值域為R，函數(shù)在整個定義域上沒有最大值、最小值．③單

調(diào)性和圖像：

a0a0

0000

圖像

性質(zhì)2：三次方程f(x)0的實根個數(shù)

由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來

解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)

其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):f(x)3ax22bxc(a0)，

判別式為：△22，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易

=4b12ac4(b3ac)f(x)0x1x2

得：

(1)若b23ac0，則f(x)0恰有一個實根；

2

(2)若b3ac0,且f(x1)f(x2)0，則f(x)0恰有一個實根；

2

(3)若b3ac0,且f(x1)f(x2)0，則f(x)0有兩個不相等的實根；

2

(4)若b3ac0,且f(x1)f(x2)0，則f(x)0有三個不相等的實根.

說明:(1)(2)f(x)0含有一個實根的充要條件是曲線yf(x)與x軸只相交一次，即

f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以b23ac0（或b23ac0，且

）

f(x1)f(x2)0;

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(5)f(x)0有兩個相異實根的充要條件是曲線yf(x)與x軸有兩個公共點且其中之

一為切點，所以2，且

b3ac0f(x1)f(x2)0;

(6)f(x)0有三個不相等的實根的充要條件是曲線yf(x)與x軸有三個公共點，即

有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號所以2且

f(x).b3ac0f(x1)f(x2)0.

性質(zhì)3：對稱性

bb

（1）三次函數(shù)是中心對稱曲線，且對稱中心是；(，f())；

3a3a

（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．

2、常用技巧

b

（1）其導(dǎo)函數(shù)為f(x)3ax22bxc0對稱軸為x，所以對稱中心的橫坐標(biāo)

3a

也就是導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，可見，yf(x)圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)yfx的對稱軸上，

且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導(dǎo)為零的點；

（2）yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，若yf(x)的圖象關(guān)于點(m,n)對稱，則yf(x)圖象關(guān)

于直線xm

對稱.

（3）若yf(x)圖象關(guān)于直線xm對稱，則yf(x)圖象關(guān)于點(m,0)對稱.

（）已知三次函數(shù)32的對稱中心橫坐標(biāo)為，若存在兩個

4fxaxbxcxdx0fx

fxfx

極值點，，則有12a22

x1x2x1x2fx0.

x1x223

必考題型全歸納

題型一：三次函數(shù)的零點問題

例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)fxx3ax2存在3個零點，則a的取值范圍是

（）

A．,2B．,3C．4,1D．3,0

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例2．（2024·江蘇揚州·高三校考階段練習(xí)）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)fxx33xa．

（1）求fx的極值；

（2）是否存在實數(shù)a，使得方程fx0恰好有兩個實數(shù)根?若存在，求出實數(shù)a的值；若

不存在，請說明理由．

例3．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)

f(x)ax3bx23x(a,bR)，且f(x)在x1和x3處取得極值.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)t，若g(x)f(x)t有且僅有一個零點，求實數(shù)t的取值范圍.

變式1．（2024·天津河西·高三天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知fxax3bx24a，

a,bR.

（1）當(dāng)ab1，求yfx的極值；

（2）當(dāng)a0，b2，設(shè)gxx2lnx1，求不等式fxgx的解集；

b

（3）當(dāng)a0時，若函數(shù)fx恰有兩個零點，求的值.

a

變式2．（2024·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x33x23x.

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（1）求函數(shù)fx的圖象在點x0處的切線方程；

（2）若f(x)1x3m在x0,2上有解，求m的取值范圍；

（3）設(shè)fx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，fx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)fx的零點為

x0，則點x0,fx0恰好就是該函數(shù)fx的對稱中心.試求

1220182019

ffff的值.

1010101010101010

變式3．（2024·山西太原·高三太原市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)

f(x)x3bx2cxd(a,b,cR)過點(3,0)，且函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線恰好是直線

y0.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)9xm1，若函數(shù)yf(x)g(x)在區(qū)間[2,1]上有兩個零點，求實數(shù)m的

取值范圍.

1

變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x3ax，gxx2aaR．

3

(1)若函數(shù)F(x)f(x)g(x)在x[1,)上單調(diào)遞增，求a的最小值；

(2)若函數(shù)G(x)f(x)g(x)的圖象與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題

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11

例4．（2024·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)x3x22ax，g(x)x24.

32

（1）若函數(shù)f(x)在0,上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)G(x)f(x)g(x).若0a2，G(x)在1,3上的最小值為ha，求ha的零點.

11

例5．（2024·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x3x22ax，g(x)x24.

32

（1）若函數(shù)f(x)在0,上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；

1

（2）設(shè)G(x)f(x)g(x).若0a2，G(x)在1,3上的最小值為，求G(x)在1,3上取

3

得最大值時，對應(yīng)的x值.

例6．（2024·江蘇常州·高三常州市北郊高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)=x3ax2a2x1，

其中a>0.

(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

1

(2)若曲線y=f(x)在點a,fa處的切線與y軸的交點為（0，b），求b+的最小值.

a

1

變式5．（2024·廣東珠?！じ呷Ｂ?lián)考期中）已知函數(shù)fxx3ax2a21xb（a，

3

bR），其圖象在點1,f1處的切線方程為xy30．

(1)求a，b的值；

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(2)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)求函數(shù)fx在區(qū)間2,5上的最大值．

變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x3ax2x，aR，且f(1)0．

(1)求曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值．

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x33bx2cxd在(,0)上是增函數(shù)，

在(0,2)上是減函數(shù)，且f(x)0的一個根為b

（1）求c的值；

（2）求證：f(x)0還有不同于b的實根x1、x2，且x1、b、x2成等差數(shù)列；

（3）若函數(shù)f(x)的極大值小于16，求f(1)的取值范圍

1

變式8．（2024·浙江寧波·高三效實中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)x3ax2(a2)x1(其

3

中a0).

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f(x)有兩個不同的極值點x1，x2，求f(x1)f(x2)的取值范圍.

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題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題

例7．（2024·陜西商洛·高三?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)

1

fxx34m1x215m22m7x2在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()

3

A．m<2或m>4B．－4<m<－2C．2<m<4D．2≤m≤4

例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）三次函數(shù)f(x)mx3x在(,)上是減函數(shù)，則m的

取值范圍是（）

A．m0B．m1C．m0D．m￡1

1m11

例9．（2024·江西宜春·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x3-x2，g(x)mx，m

323

是實數(shù).

（1）若f(x)在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；

（2）在（1）的條件下,函數(shù)h(x)f(x)g(x)有三個零點，求m的取值范圍.

變式9．（2024·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)f(x)ax3bx3在

x1處取得極值，且在(0,3)點處的切線與直線3xy0平行.

（1）求f(x)的解析式；

（2）若函數(shù)g(x)f(x)mx在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，求m的取值范圍.

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1

變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx32ax4在1,2上單調(diào)遞增，則a

3

的取值范圍為______．

題型四：三次函數(shù)的切線問題

例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x3x．

(1)求曲線yf(x)在點M(t，f(t))處的切線方程；

(2)設(shè)常數(shù)a0，如果過點P(a,m)可作曲線yf(x)的三條切線，求m的取值范圍．

例11．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fxx33x2x1.

（1）求曲線yfx在點Pt,ft處的切線方程；

（2）設(shè)m1，若過點Qm,n可作曲線yfx的三條切線，證明:2mnfm.

11

例12．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx3ax2a1x2aR，f(x)滿

32

足f(x)f(x)4，已知點M是曲線yf(x)上任意一點，曲線在M處的切線為l.

(1)求切線l的傾斜角的取值范圍；

4

(2)若過點P(1,m)m可作曲線yf(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.

3

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1

變式11．（2024·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)fxx3x2mx3，在x0處取得

6

極值．

（1）求m的值；

（2）若過2,t可作曲線yfx的三條切線，求t的取值范圍．

變式12．（2024·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fxax3bx2在點1,f1處的切

線方程為3xy10．

（1）求實數(shù)a，b的值；

（2）若過點1,mm4可作曲線yfx的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

1

變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fxx3ax2bxca0在x0處取得極值

3

1．

(1)設(shè)點Aa,fa，求證：過點A的切線有且只有一條，并求出該切線方程；

(2)若過點0,0可作曲線yfx的三條切線，求a的取值范圍；

(3)設(shè)曲線yfx在點x1,fx1、x2,fx2x1x2處的切線都過點0,0，證明：

fx1fx2．

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題型五：三次函數(shù)的對稱問題

例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)f(x)是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)是

函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù).若方程f(x)0有實數(shù)解xx0，則稱x0,fx0為函數(shù)yf(x)的

“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)都有“拐點”，且該“拐點”

也是函數(shù)yf(x)的圖象的對稱中心.若函數(shù)f(x)x33x2，則

12340444045

fffff（）

20232023202320232023

A．8088B．8090C．8092D．8096

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)yx33x2x的圖象C上存在一定點P滿足：

,

若過點P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點Mx1,y1Nx2,y2，就恒有y1y2的定值

為y0，則y0的值為______.

例15．（2024·新疆·統(tǒng)考二模）對于三次函數(shù)fxax3bx2cxda0，給出定義：設(shè)

fx是yfx的導(dǎo)數(shù)，x是yfx的導(dǎo)數(shù)，若方程x0有實數(shù)解x0，則稱點

x0,fx0為曲線yfx的“拐點”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個三次函數(shù)都有“拐點”.設(shè)函數(shù)

32122022

gx2x3x4x3，則ggg_____________.

202320232023

變式14．（多選題）（2024·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）對于三次函數(shù)

fxax3bx2cxda0，給出定義：fx是函數(shù)yfx的導(dǎo)數(shù)，fx是函數(shù)

fx的導(dǎo)數(shù)，若方程fx0有實數(shù)解x0，則稱x0,fx0為函數(shù)yfx的“拐點”.某同

學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”

249

就是對稱中心.若函數(shù)fxx3x212x，則下列說法正確的是（）

36

137

A．fx的極大值為

6

B．fx有且僅有2個零點

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1

C．點,2是fx的對稱中心

2

1232023

D．ffff4046

2024202420242024

變式15．（多選題）（2024·廣東佛山·高三南海中學(xué)?？计谥校┒x：設(shè)fx是fx的導(dǎo)

函數(shù)，fx是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù).若方程fx0有實數(shù)解x0，則稱點x0,fx0為函數(shù)

yfx的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像

5

的對稱中心，已知函數(shù)fxax3bx2ab0的對稱中心為1,1，則下列說法中正確

3

的有（）

1

A．a(chǎn)，b=-1

3

B．函數(shù)fx有三個零點

5

C．過3,可以作兩條直線與yfx圖像相切

3

D．若函數(shù)fx在區(qū)間t6,t上有最大值，則0t3

變式16．（多選題）（2024·安徽阜陽·高三安徽省太和中學(xué)?？几傎悾┒x：設(shè)fx是fx

的導(dǎo)函數(shù)，fx是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，若方程fx0有實數(shù)解x0，則稱點x0,fx0為

函數(shù)yfx的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)

5

圖像的對稱中心.已知函數(shù)f(x)ax3bx2(ab0)的對稱中心為1,1，則下列說法中正

3

確的有（）

1

A．a(chǎn)，b=-1

3

12198199

B．ffff的值是199.

100100100100

C．函數(shù)fx有三個零點

1

D．過1,可以作三條直線與yfx圖像相切

3

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題型六：三次函數(shù)的綜合問題

例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx3bx2cxd在,0上是增函數(shù)，

在0,2上是減函數(shù)，且方程fx0有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，則22的

最小值是（）

A．5B．6C．1D．8

例17．（2024·陜西西安·高三西安中學(xué)校考期中）已知函數(shù)fxax3bx2cxda0，

fxgx，給出下列四個結(jié)論，分別是：①a0；②fx在R上單調(diào)；③fx有唯一

零點；④存在x0，使得gx00．其中有且只有一個是錯誤的，則錯誤的一定不可能是（）

A．①B．②C．③D．④

例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x)x36x29xabc，abc，且

fafbfc0，現(xiàn)給出如下結(jié)論：

①f(x)1；②f(x)3；③f0f10；

④f0f30；⑤abc4．

其中正確結(jié)論的序號是__．

變式17．（2024·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學(xué)?？计谀┮阎?/p>

9

f(x)x3x26xabc,a＜b＜c,且f(a)f(b)f(c)0，現(xiàn)給出如下結(jié)論：

2

①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(2)＞0；④f(0)f(2)＜0.

其中正確結(jié)論的序號為（）

A．②③B．①④C．②④D．①③

變式18．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)yfx的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱

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圖形的充要條件是函數(shù)yfx為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)yfx的

圖象關(guān)于點Pa,b成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)yfxab為奇函數(shù).已知函數(shù)

fxx3ax2bx1.

(1)若函數(shù)yfx的對稱中心為(-1,2)，求函數(shù)yfx的解析式.

(2)由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元n(nN*)次復(fù)系數(shù)多項式fx在復(fù)數(shù)集中可以分解

為n個一次因式的乘積.進而，一元n次多項式方程有n個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）.如設(shè)實

2

系數(shù)一元二次方程a2xa1xa00a20，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為x1，x2，則方程

22

a2xa1xa00可變形為a2xx1xx20，展開得：a2xa2x1x2xa2x1x20則有

a

1

x1x2

aaxxa2

1212，即，

aaxxa

0212xx0

12

a2

類比上述推理方法可得實系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，

333

①若a0，方程fxk在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為x1、x2、x3，當(dāng)k0,1時，求x1x2x3的最

大值；

111

②若a3，b2，函數(shù)yfx的零點分別為x1、x2、x3，求222的值.

x1x2x3

變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd在(,0]上為增函數(shù)，

在0,6上為減函數(shù)，且方程fx0的三個根分別為1,x1,x2．

（1）求實數(shù)b的取值范圍；

22

（2）求x14x1x2x2的取值范圍．

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變式20．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）給出定義：設(shè)f(x)是函數(shù)yf(x)

的導(dǎo)函數(shù)，f(x)是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f(x)0有實數(shù)解x0，則稱x0,fx0為

函數(shù)yf(x)的.“固點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)都有“固

點”，且該“固點”也是函數(shù)yf(x)的圖象的對稱中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識回答下列問

題：已知函數(shù)f(x)x3(3a3)x2(6a9a2)x5a(aR).

(1)當(dāng)a1時，試求yf(x)的對稱中心.

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a2時，f(x)m有三個不相等的實數(shù)根x1x2x3，當(dāng)x1x3取得最大值時，求m的

值.

題型七：三次函數(shù)恒成立問題

例19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)3x23且f(0)1，

a

g(x)xlnx(a1)．

x

（1）求f(x)的極值；

（2）求證：對任意x1,x2(0,)，都有f(x1)g(x2)．

例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)fxx33x2a，gxxlnx.

(1)求fx的極值；

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1

(2)對于x1,3，x,e，都有fx1gx2，試求實數(shù)a的取值范圍.

12e

例21．（2024·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)

fxax3bx23xa,b,cR．

（1）若函數(shù)fx在點1,f1處的切線方程是y20，求函數(shù)fx的解析式；

（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間2,3上任意兩個自變量的值x1，x2，都有

fx1fx2m，求出實數(shù)m的取值范圍．