2025年高考數(shù)學必刷題分類：第16講、極值與最值（學生版）

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第16講極值與最值

知識梳理

知識點一：極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有點都有f(x)f(x0)，則稱f(x0)是

函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱

y極大值f(x0)x0f(x)f(x0)

是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值

f(x0)y極小值f(x0)x0

點．

求可導函數(shù)f(x)極值的一般步驟

（1）先確定函數(shù)f(x)的定義域；

（2）求導數(shù)f(x)；

（3）求方程f(x)0的根；

（4）檢驗f(x)在方程f(x)0的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在

右側附近為負，那么函數(shù)yf(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右

側附近為正，那么函數(shù)yf(x)在這個根處取得極小值．

注：①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即

f(x)x0x0

，且在左側與右側，的符號導號．

f(x0)0x0f(x)

②是為極值點的既不充分也不必要條件，如3，，但

f(x0)0x0f(x)xf(0)0x00

不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)f(x)x，在極小值點x00是不可

導的，于是有如下結論：為可導函數(shù)的極值點；但為

x0f(x)f(x0)0f(x0)0x0f(x)

的極值點．

2、函數(shù)的最值

函數(shù)yf(x)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)f(x)最小值為

極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．

2

導函數(shù)為f(x)axbxca(xx1)(xx2)(mx1x2n)

（）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小

1a0f(x1)f(n)f(x2)f(m)

者．

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（）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小

2a0f(x2)f(m)f(x1)f(n)

者．

一般地，設yf(x)是定義在[m，n]上的函數(shù)，yf(x)在(m，n)內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)

yf(x)在[m，n]上的最大值與最小值可分為兩步進行：

（1）求yf(x)在(m，n)內(nèi)的極值（極大值或極小值）；

（2）將yf(x)的各極值與f(m)和f(n)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一

個為最小值．

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最

值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可

能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；

③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．

【解題方法總結】

（）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值和最大值，則

1fxDfxminfxmax

不等式在區(qū)間上恒成立；

fxaDfxmina

不等式在區(qū)間上恒成立；

fxaDfxmina

不等式在區(qū)間上恒成立；

fxbDfxmaxb

不等式在區(qū)間上恒成立；

fxbDfxmaxb

（2）若函數(shù)fx在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為m,n，則

不等式fxa或fxa在區(qū)間D上恒成立ma．

不等式fxb或fxb在區(qū)間D上恒成立mb．

（）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，

3fxfxminfxmaxfxm,n

則對不等式有解問題有以下結論：

不等式在區(qū)間上有解；

afxDafxmax

不等式在區(qū)間上有解；

afxDafxmax

不等式在區(qū)間上有解；

afxDafxmin

不等式在區(qū)間上有解；

afxDafxmin

（4）若函數(shù)fx在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為m,n，則對不等式有

解問題有以下結論：

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不等式afx或afx在區(qū)間D上有解an

不等式bfx或bfx在區(qū)間D上有解bm

（5）對于任意的x1a,b，總存在x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1maxgx2max

（6）對于任意的x1a,b，總存在x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1mingx2min

（7）若存在x1a,b，對于任意的x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1mingx2min

（8）若存在x1a,b，對于任意的x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1maxgx2max

（）對于任意的，使得；

9x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2min

（）對于任意的，使得；

10x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2max

（）若存在，總存在，使得

11x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2max

（）若存在，總存在，使得．

12x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2min

必考題型全歸納

題型一：求函數(shù)的極值與極值點

【例1】（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)fx存在一個極大值fx1與一個極小值fx2

滿足fx2fx1，則fx至少有（）個單調(diào)區(qū)間.

A．3B．4C．5D．6

【對點訓練1】（2024·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)fx

的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）

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A．fbfafc

B．函數(shù)fx在x＝c處取得最大值，在xe處取得最小值

C．函數(shù)fx在x＝c處取得極大值，在xe處取得極小值

D．函數(shù)fx的最小值為fd

【對點訓練2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx的導函數(shù)為fx，則“yfx在

0,2上有兩個零點”是“fx在0,2上有兩個極值點”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要

條件

【對點訓練3】（2024·廣西南寧·南寧三中校考一模）設函數(shù)fxxaxbxc，

a,b,cR，fx為fx的導函數(shù)．

(1)當abc0時，過點P1,0作曲線yfx的切線，求切點坐標；

2

(2)若a1b，bc，且fx和fx的零點均在集合2,2,中，求fx的極小值．

3

【對點訓練4】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)f(x)xaln(xb)．

(1)證明：當a0,b0時，fx有唯一的極值點為x0，并求f(x0)取最大值時x0的值；

(2)當b0時，討論fx極值點的個數(shù)．

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π

【對點訓練5】（2024·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)fxtanxln1x,x,1.

2

求fx的極值；

【解題方法總結】

1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程f(x)0根左右的符號，更要注意變

號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必

須穿越x軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數(shù)與x軸的交點）；上坡

低頭找極小，下坡抬頭找極大．

題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)

【例2】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fxax3bx在x1處取得極大值4，

則ab（）

A．8B．8C．2D．2

【對點訓練6】（2024·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x無極值，則a

的取值范圍為（）

A．[3,6]B．(3,6)

C．(,3][6,)D．(,3)(6,)

lnx

【對點訓練7】（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）函數(shù)gx在區(qū)間

x1

t,tN*上存在極值，則t的最大值為（）

A．2B．3C．4D．5

1

【對點訓練8】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fxx21axalnx在xa

2

處取得極小值，則實數(shù)a的取值范圍為（）

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A．1,B．1,C．0,1D．0,1

【對點訓練9】（2024·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學?？寄M預測）已知函數(shù)

1

fxexx2axaR有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍（）

2

A．,1B．0,1

C．0,1D．1,

【對點訓練10】（2024·江蘇揚州·高三揚州市新華中學校考開學考試）若x＝a是函數(shù)

f(x)(xa)2(x1)的極大值點，則a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)1B．a(chǎn)1C．a(chǎn)1D．a(chǎn)1

【解題方法總結】

根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)的兩個要領

（1）列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；

（2）驗證：求解后驗證根的合理性．

題型三：求函數(shù)的最值（不含參）

【例3】（2024·山東淄博·山東省淄博實驗中學?？既＃┮阎瘮?shù)fxexsinx2x.

(1)求曲線yfx在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)求fx在區(qū)間[1,1]上的最大值；

x1

【對點訓練11】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知函數(shù)fxlnx

x

在區(qū)間[1,e]上最大值為M，最小值為m，則Mm的值是_______.

【對點訓練12】（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)f(x)2sinx(1cosx)，則f(x)的

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最大值是________．

1sinxπ

【對點訓練13】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)fx，x0,，

2cosxsinx2

則函數(shù)fx的最小值為______.

【對點訓練14】（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知x0,y0，且ln(xy)yex，則

x2ylnxx的最小值為__________.

【對點訓練15】（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預測）已知正實數(shù)m，n滿足：nlnnemnlnm，

n

則的最小值為______.

m

【解題方法總結】

求函數(shù)fx在閉區(qū)間[a,b]上的最值時，在得到極值的基礎上，結合區(qū)間端點的函數(shù)值

fa，fb與fx的各極值進行比較得到函數(shù)的最值．

題型四：求函數(shù)的最值（含參）

【例4】（2024·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fxxalnx，gxcosx1ex，其

中aR.

π

(1)若曲線yfx在x1處的切線l與曲線ygx在x處的切線l平行，求a的值；

122

(2)若x0,π時，求函數(shù)gx的最小值；

(3)若fx的最小值為ha，證明：當a0,時，ha1.

1

【對點訓練16】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fxalnxxa，aR．討論函

2

數(shù)fx的最值；

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【對點訓練17】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知函數(shù)

11

fxx36ax286ax8alnx4a，其中aR．

32

(1)若a=2，求fx的單調(diào)區(qū)間；

1

(2)已知f2f4，求fx的最小值．（參考數(shù)據(jù)：12）

334ln2

【對點訓練18】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fxln1xaxex．

(1)當a1時，討論函數(shù)fx在0,上的單調(diào)性；

(2)當a0時，求fx在1,0內(nèi)的最大值；

【對點訓練19】（2024·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預測）已知函數(shù)

1lnx

f(x)1klnx(k0)．

x

(1)若f(x)存在最大值M，證明：Mk1；

M1

x

(2)在（1）的條件下，設函數(shù)g(x)xekx，求g(x)的最小值（用含M，k的代數(shù)式表

示）．

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【解題方法總結】

若所給的閉區(qū)間[a,b]含參數(shù)，則需對函數(shù)fx求導，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)

的單調(diào)性，從而得到函數(shù)fx的最值．

題型五：根據(jù)最值求參數(shù)

【例5】（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)mxexxlnx(mR).

(1)討論函數(shù)fx的極值點個數(shù)；

(2)若m0，fx的最小值是1lnm，求實數(shù)m的所有可能值.

1

【對點訓練20】（2024·山東·山東省實驗中學?？家荒＃┤艉瘮?shù)fxx3x22在區(qū)

3

間a4,a上存在最小值，則整數(shù)a的取值可以是______．

【對點訓練21】（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)f(x)12xx3在區(qū)間(m5,2m1)上

有最小值，則實數(shù)m的取值范圍為________.

【對點訓練22】（2024·福建泉州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)f(x)|x1|alnx的最

小值為0，則a的取值范圍為______________．

【對點訓練23】（2024·江蘇南通·高三校考開學考試）若函數(shù)f(x)|exa|x的最小值

為1，則a______．

【對點訓練24】（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)fxexx22xa在區(qū)間a,a1

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上存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍為_______

11

【對點訓練25】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fxx3x22x1，若函數(shù)

32

fx在2a2,2a3上存在最小值.則實數(shù)a的取值范圍是________.

題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應用

2

【例6】（2024·天津河北·統(tǒng)考二模）已知a0，函數(shù)fxxlnaalnxxe，其中

e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a1時，求曲線yfx在點1,f1處的切線方程；

(2)當ae時，求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；

(3)求證：函數(shù)fx存在極值點，并求極值點x0的最小值.

【對點訓練26】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)2x33(a1)x26ax1，其

中aR．

(1)當a3時，求函數(shù)fx在0,3內(nèi)的極值；

(2)若函數(shù)fx在1,2上的最小值為5，求實數(shù)a的取值范圍．

【對點訓練27】（2024·全國·高三專題練習）已知f(x)exsinx．

(1)求函數(shù)f(x)在0,2π內(nèi)的極值點；

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ππ

(2)求函數(shù)g(x)