2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第16講、極值與最值（教師版）

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第16講極值與最值

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)都有f(x)f(x0)，則稱f(x0)是

函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱

y極大值f(x0)x0f(x)f(x0)

是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值

f(x0)y極小值f(x0)x0

點(diǎn)．

求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的一般步驟

（1）先確定函數(shù)f(x)的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)f(x)；

（3）求方程f(x)0的根；

（4）檢驗(yàn)f(x)在方程f(x)0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在

右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右

側(cè)附近為正，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)根處取得極小值．

注：①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即

f(x)x0x0

，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．

f(x0)0x0f(x)

②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如3，，但

f(x0)0x0f(x)xf(0)0x00

不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)f(x)x，在極小值點(diǎn)x00是不可

導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為

x0f(x)f(x0)0f(x0)0x0f(x)

的極值點(diǎn)．

2、函數(shù)的最值

函數(shù)yf(x)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)f(x)最小值為

極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．

2

導(dǎo)函數(shù)為f(x)axbxca(xx1)(xx2)(mx1x2n)

（）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小

1a0f(x1)f(n)f(x2)f(m)

者．

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（）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小

2a0f(x2)f(m)f(x1)f(n)

者．

一般地，設(shè)yf(x)是定義在[m，n]上的函數(shù)，yf(x)在(m，n)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)

yf(x)在[m，n]上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

（1）求yf(x)在(m，n)內(nèi)的極值（極大值或極小值）；

（2）將yf(x)的各極值與f(m)和f(n)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一

個(gè)為最小值．

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最

值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可

能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．

【解題方法總結(jié)】

（）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值和最大值，則

1fxDfxminfxmax

不等式在區(qū)間上恒成立；

fxaDfxmina

不等式在區(qū)間上恒成立；

fxaDfxmina

不等式在區(qū)間上恒成立；

fxbDfxmaxb

不等式在區(qū)間上恒成立；

fxbDfxmaxb

（2）若函數(shù)fx在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)閙,n，則

不等式fxa或fxa在區(qū)間D上恒成立ma．

不等式fxb或fxb在區(qū)間D上恒成立mb．

（）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，

3fxfxminfxmaxfxm,n

則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式在區(qū)間上有解；

afxDafxmax

不等式在區(qū)間上有解；

afxDafxmax

不等式在區(qū)間上有解；

afxDafxmin

不等式在區(qū)間上有解；

afxDafxmin

（4）若函數(shù)fx在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担缰涤?yàn)閙,n，則對(duì)不等式有

解問題有以下結(jié)論：

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不等式afx或afx在區(qū)間D上有解an

不等式bfx或bfx在區(qū)間D上有解bm

（5）對(duì)于任意的x1a,b，總存在x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1maxgx2max

（6）對(duì)于任意的x1a,b，總存在x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1mingx2min

（7）若存在x1a,b，對(duì)于任意的x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1mingx2min

（8）若存在x1a,b，對(duì)于任意的x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1maxgx2max

（）對(duì)于任意的，使得；

9x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2min

（）對(duì)于任意的，使得；

10x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2max

（）若存在，總存在，使得

11x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2max

（）若存在，總存在，使得．

12x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2min

必考題型全歸納

題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)

【例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx存在一個(gè)極大值fx1與一個(gè)極小值fx2

滿足fx2fx1，則fx至少有（）個(gè)單調(diào)區(qū)間.

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【解析】若函數(shù)fx存在一個(gè)極大值fx1與一個(gè)極小值fx2，則fx至少有3個(gè)單調(diào)

區(qū)間，

若fx有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，

不妨設(shè)fx的定義域?yàn)閍,b，若ax1x2b，其中a可以為，b可以為，

則fx在a,x1,x2,b上單調(diào)遞增，在x1,x2上單調(diào)遞減，（若fx定義域?yàn)閍,b內(nèi)不連

續(xù)不影響總體單調(diào)性），

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故fx2fx1，不合題意，

若ax2x1b，則fx在a,x2,x1,b上單調(diào)遞減，在x2,x1上單調(diào)遞增，有

fx2fx1，不合題意；

若fx有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，

1x21

例如fxx的定義域?yàn)閤|x0，則fx，

xx2

令f￠(x)>0，解得x1或x1，

則fx在,1,1,上單調(diào)遞增，在1,0,0,1上單調(diào)遞減，

故函數(shù)fx存在一個(gè)極大值f12與一個(gè)極小值f12，且f1f1，滿足題

意，此時(shí)fx有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，

綜上所述：fx至少有4個(gè)單調(diào)區(qū)間.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)fx

的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）

A．fbfafc

B．函數(shù)fx在x＝c處取得最大值，在xe處取得最小值

C．函數(shù)fx在x＝c處取得極大值，在xe處取得極小值

D．函數(shù)fx的最小值為fd

【答案】C

【解析】由題圖可知，當(dāng)xc時(shí)，fx0，所以函數(shù)fx在(-￥,c]上單調(diào)遞增，

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又a<b<c，所以fafbfc，故A不正確．

因?yàn)閒c0，fe0，且當(dāng)xc時(shí)，f￠(x)>0；當(dāng)c<x<e時(shí)，fx0；

當(dāng)x>e時(shí)，f￠(x)>0．所以函數(shù)fx在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝

e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．

由題圖可知，當(dāng)dxe時(shí)，fx0，所以函數(shù)fx在[d，e]上單調(diào)遞減，從而fdfe，

所以D不正確．

故選：C．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為fx，則“yfx在

0,2上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“fx在0,2上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要

條件

【答案】D

【解析】只有當(dāng)fx在0,2上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，fx在0,2上才有兩個(gè)極值點(diǎn)，故充

分性不成立；若fx在0,2上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則fx在0,2上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則fx

在0,2上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，故必要性不成立.綜上，“fx在0,2上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“fx在

0,2上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的既不充分也不必要條件，

故選：D.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┰O(shè)函數(shù)fxxaxbxc，

a,b,cR，fx為fx的導(dǎo)函數(shù)．

(1)當(dāng)abc0時(shí)，過點(diǎn)P1,0作曲線yfx的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)；

2

(2)若a1b，bc，且fx和fx的零點(diǎn)均在集合2,2,中，求fx的極小值．

3

【解析】（1）當(dāng)abc0時(shí)，f(x)x3，求導(dǎo)得f(x)3x2，

32

設(shè)過點(diǎn)P1,0作曲線yfx的切線的切點(diǎn)為x0,x0，則f(x0)3x0，

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3223

于是切線方程為yx03x0xx0，即y3x0x2x0，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P1,0，

233327

即有03x02x0，解得x00或x0，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為0,0，,.

228

2322

（2）當(dāng)a1b，bc時(shí)，fxxa(xb)xa2bxb2abxab，

2ab2ab

求導(dǎo)得fx3xbx，令fx0，得xb或x，

33

2ab22abab

依題意a，b，都在集合2,2,中，且a1b，a，

3333

2abab2ab2ab2

當(dāng)ab時(shí)，a0，且aab，則a2，b2，，

33333

2abab2ab2ab2

當(dāng)ab時(shí)，a0，且aab，則a2,b2，，不

33333

符合題意，

因此a2，b2，fxx2(x2)2，fxx23x2，

22

當(dāng)x<2或x時(shí)，f(x)0，當(dāng)2x時(shí)，f(x)0，

33

22

于是函數(shù)fx在,2，,上單調(diào)遞增，在2,上單調(diào)遞減，

33

22256

所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)fx取得極小值為f.

3327

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)xaln(xb)．

(1)證明：當(dāng)a0,b0時(shí)，fx有唯一的極值點(diǎn)為x0，并求f(x0)取最大值時(shí)x0的值；

(2)當(dāng)b0時(shí)，討論fx極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

【解析】（1）證明：當(dāng)a0，b0時(shí)，f(x)xalnx，可得fx的定義域?yàn)?0,)，

1ax2a

且fx，令fx0，解得x4a2，

2xx2x

當(dāng)0x4a2時(shí)，f(x)0，fx單調(diào)遞減；

當(dāng)x4a2時(shí)，f(x)0，fx單調(diào)遞增，

22

所以當(dāng)x4a時(shí)，fx有唯一的極小值，即fx有唯一的極值點(diǎn)為x04a，

由222，

f(x0)f(4a)4aaln(4a)2a2aln(2a),a0

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令t2a，設(shè)g(t)ttlnt,t0，可得g(t)lnt，

由g'(t)0，解得t1，

當(dāng)0t1時(shí)，gt0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t1時(shí)，gt0，g(t)單調(diào)遞減，

1

所以當(dāng)t1，即a時(shí)，g(t)有唯一的極大值，即g(t)取得最大值1，

2

所以當(dāng)?shù)淖畲笾禃r(shí)，2

f(x0)1x04a1.

1ax2axb

（2）當(dāng)b0時(shí)，fx的定義域?yàn)閇0,)，且f(x)，

2xxb2x(xb)

①當(dāng)a0時(shí)，f(x)0時(shí)x(0,)恒成立，此時(shí)fx單調(diào)遞增，

所以fx極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；

②當(dāng)a0時(shí)，設(shè)h(x)x2axb，即h(x)x22axb(x0)

（i）當(dāng)4a24b0，即0ab時(shí)，可得hx0，即f(x)0對(duì)x(0,)恒成立，

即f(x)在(0,)上無變號(hào)零點(diǎn)，所以此時(shí)fx極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；

（ii）當(dāng)4a24b0，即ab時(shí)，

設(shè)h(x)的兩零點(diǎn)為x1,x2，且x1x2，x1x22a>0，x1x2b0，可得x10,x20

即f(x)在(0,)上有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以此時(shí)fx極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；

綜上所述，當(dāng)ab時(shí)，fx的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)ab時(shí)，fx的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

π

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)fxtanxln1x,x,1.

2

求fx的極值；

π

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fxtanxln1x,x,1，所以

2

1111x1cos2x

fx，

cos2x1xcos2xx1x1cos2x

設(shè)hxx1cos2x，hx12cosxsinx1sin2x0，

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π

所以hx在,1上單調(diào)遞增.

2

π

又h00，所以當(dāng)x,0時(shí)，hx0；當(dāng)x0,1時(shí)，hx0.

2

2π

又因?yàn)閤1cosx0對(duì)x,1恒成立，

2

π￠

所以當(dāng)x,0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x0,1時(shí)，fx0.

2

π

即fx在區(qū)間,0上單調(diào)遞增，在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，

2

故fx極大值f00，fx沒有極小值.

【解題方法總結(jié)】

1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗(yàn)方程f(x)0根左右的符號(hào)，更要注意變

號(hào)后極大值與極小值是否與已知有矛盾．

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零．這個(gè)零點(diǎn)必

須穿越x軸，否則不是極值點(diǎn)．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)）；上坡

低頭找極小，下坡抬頭找極大．

題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)

【例2】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxax3bx在x1處取得極大值4，

則ab（）

A．8B．8C．2D．2

【答案】B

【解析】因?yàn)閒xax3bx，所以fx3ax2b，

所以f13ab0,f1ab4，解得a2,b6，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以ab8.

故選：B

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x無極值，則a

的取值范圍為（）

A．[3,6]B．(3,6)

C．(,3][6,)D．(,3)(6,)

【答案】A

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【解析】因?yàn)閒(x)x3ax2(a6)x，所以f(x)3x22axa6，因?yàn)閒(x)無極值，所

以(2a)243(a6)0，解得3a6，所以a的取值范圍為[3,6]．

故選：A.

lnx

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)gx在區(qū)間

x1

t,tN*上存在極值，則t的最大值為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

lnx

【解析】函數(shù)gx的定義域?yàn)?,，

x1

1

(x1)lnx

xx1xlnx，

gx22

x1xx1

令f(x)x1xlnx，f(x)1lnx1lnx，

所以當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)0，當(dāng)x1,時(shí)，f(x)0，

所以f(x)x1xlnx在0,1單調(diào)遞增，1,單調(diào)遞減，

所以f(x)maxf(1)20，

又因?yàn)楫?dāng)x0,1時(shí)，lnx0,xlnx0,則f(x)x1xlnx0，

f(3)43ln3lne4ln270,

f(4)54ln4lne5ln256ln243ln2560，

所以存在唯一x03,4，使得f(x0)0，

所以函數(shù)在x(0,x0)時(shí)f(x)0，x(x0,)時(shí)f(x)0，

所以函數(shù)g(x)在(0,x0)單調(diào)遞增，(x0,)單調(diào)遞減，

lnx

所以要使函數(shù)gx在區(qū)間t,tN*上存在極值，

x1

所以t的最大值為3，

故選:B.

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx21axalnx在xa

2

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處取得極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A．1,B．1,C．0,1D．0,1

【答案】B

1

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fxx21axalnx，

2

axax1

則fxx1a，

xx

要使函數(shù)fx在xa處取得極小值，則a1，

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)

1

fxexx2axaR有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）

2

A．,1B．0,1

C．0,1D．1,

【答案】D

【解析】fx的定義域是R，fxexxa，

令hxexxa,hxex1，

所以hx在區(qū)間,0,hx0,hx遞減；在區(qū)間0,,hx0,hx遞增.

要使fx有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f0h01a0,a1，

此時(shí)faeaaaea0，

1x1

構(gòu)造函數(shù)gxxln2xx1,gx1，

xx

所以gx在1,上遞增，所以gx1ln20，

所以fln2aeln2aln2aaaln2a0，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍1,.

故選：D

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州市新華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若x＝a是函數(shù)

f(x)(xa)2(x1)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是（）

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A．a(chǎn)1B．a(chǎn)1C．a(chǎn)1D．a(chǎn)1

【答案】A

【解析】f(x)(xa)2(x1)，xR

f(x)(xa)(3xa2)

a2

令f(x)(xa)(3xa2)0，得：xa,x

3

a2

當(dāng)a，即a1

3

a2a2

此時(shí)f(x)在區(qū)間(,a)單調(diào)遞增，(a,)上單調(diào)遞減，(,)上單調(diào)遞增，符合x＝a

33

是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，

a2a2a2

反之，當(dāng)a，即a1，此時(shí)f(x)在區(qū)間(,)單調(diào)遞增，(,a)上單調(diào)遞減，

333

(a,)上單調(diào)遞增，x＝a是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，不符合題意；

a2

當(dāng)a，即a1，f(x)0恒成立，函數(shù)f(x)在xR上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).

3

綜上得：a1.

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)

（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；

（2）驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．

題型三：求函數(shù)的最值（不含參）

【例3】（2024·山東淄博·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知函數(shù)fxexsinx2x.

(1)求曲線yfx在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)求fx在區(qū)間[1,1]上的最大值；

【解析】（1）因?yàn)閒xexsinx2x，

所以fxexsinxcosx2，則f(0)1，又f(0)0，

所以曲線yfx在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為yx.

（2）令gxfxexsinxcosx2，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

則gx2excosx，當(dāng)x[1,1]時(shí)，g(x)0，gx在[1,1]上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(0)10，g1esin1cos120，

所以x0(0,1)，使得g(x0)0.

所以當(dāng)x(1,x0)時(shí)，f(x)0，fx單調(diào)遞減；

當(dāng)x(x0,1)時(shí)，f(x)0，fx單調(diào)遞增，

sin1

又f1esin12e21，f121，

e

sin1

所以fxf12.

maxe

x1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fxlnx

x

在區(qū)間[1,e]上最大值為M，最小值為m，則Mm的值是_______.

1

【答案】

e

x1x1

【解析】由題意，x0，fx，在[1,e]上fx0，

x2x2

11

故函數(shù)fx單調(diào)遞增，所以Mfe，mf10，Mm，

ee

1

故Mm的值是.

e

1

故答案為：

e

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)f(x)2sinx(1cosx)，則f(x)的

最大值是________．

【答案】33

2

【解析】因?yàn)閒(x)2sinx(1cosx)，

所以f(x)2cosx(1cosx)2sin2x2cosx2cos2x2sin2x

4cos2x2cosx222cos2xcosx122cosx1cosx1.

當(dāng)f(x)0時(shí)，x2k,2k，

33

所以f(x)在2k,2k單調(diào)遞增；

33

5

當(dāng)f(x)0時(shí)，x2k,2k，

33

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

5

所以f(x)在2k,2k單調(diào)遞減；

33

33

所以f(x)f(2k).

max32

33

故答案為：.

2

1sinxπ

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx，x0,，

2cosxsinx2

則函數(shù)fx的最小值為______.

1

【答案】/0.5

2

1sinx

【解析】因?yàn)閒x，

2cosxsinx

cosx(2cosxsinx)(1sinx)(2sinxcosx)22sinxcosx

所以fx，

(2cosxsinx)2(2cosxsinx)2

π

記g(x)22sinxcosx，x0,，

2

π

則g(x)2cosxsinx，因?yàn)閤0,，所以g(x)2cosxsinx0，

2

π

所以g(x)22sinxcosx在0,上單調(diào)遞增，所以g(x)g(0)2110，

2

￠π1sinxπ

所以f(x)>0在0,上恒成立，所以fx在0,上單調(diào)遞增，

22cosxsinx2

101

故當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)fx有最小值為f0，

2102

故答案為：1

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x0,y0，且ln(xy)yex，則

x2ylnxx的最小值為__________.

【答案】1

【解析】因?yàn)閤0,y0，ln(xy)yex，所以yln(xy)ex，所以xyln(xy)xex，且ln(xy)0，

所以ln(xy)eln(xy)xex，

設(shè)f(x)xex，x0，

則f(x)exxex(1x)ex，因?yàn)閤0，所以f(x)0，f(x)在(0,)上為增函數(shù)，

ex

因?yàn)閘n(xy)(xy)ln(xy)xex，所以ln(xy)x，則xyex，所以y，

x

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

ex

所以x2ylnxxx2lnxxxexlnxx，

x

11

令g(x)xexlnxx，則g(x)exxex1(1x)(ex)，

xx

11

令(x)ex，則(x)ex0，則(x)在(0,)上為增函數(shù)，

xx2

1

令(x)0得ex0，即xex1，

x

x0

則存在唯一實(shí)數(shù)x00，使得x0e1，即(x0)0，

所以當(dāng)x(0,x0)時(shí)，(x)0，g(x)0，當(dāng)x(x0,)時(shí)，(x)0，g(x)0，

所以g(x)在(0,x0)上為減函數(shù)，在(x0,)上為增函數(shù)，

x0x0x0

所以g(x)ming(xo)x0elnx0x0x0eln(x0e)101.

所以x2ylnxx的最小值為1.

故答案為：1.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足：nlnnemnlnm，

n

則的最小值為______.

m

2

【答案】e

4

em

【解析】由nlnnemnlnm可得：lnmlnn,

n

所以emlnnlnnlnm，emlnnmlnnmlnmelnmlnm，

設(shè)fxexx，fxex10，

所以fx在R上單調(diào)遞增，所以fmlnnflnm，

em

則mlnnlnm，所以lnnln，

m

emnemexexx2ex2xexx2

所以n，所以，令gx,gx，

mmm2x2x4x3

令gx0，解得：x2；令gx0，解得：0x2；

所以gx在0,2上單調(diào)遞減，在2,上單調(diào)遞增，

e2

所以gxg2.

min4

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

ne2

故的最小值為.

m4

e2

故答案為：.

4

【解題方法總結(jié)】

求函數(shù)fx在閉區(qū)間[a,b]上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值

fa，fb與fx的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．

題型四：求函數(shù)的最值（含參）

【例4】（2024·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fxxalnx，gxcosx1ex，其

中aR.

π

(1)若曲線yfx在x1處的切線l與曲線ygx在x處的切線l平行，求a的值；

122

(2)若x0,π時(shí)，求函數(shù)gx的最小值；

(3)若fx的最小值為ha，證明：當(dāng)a0,時(shí)，ha1.

【解析】（1）因?yàn)閒xxalnx，gxcosx1ex，

1

1ax2axxx

所以fxx2，gxsinxecosx1esinxcosx1e，

2x2x

12aπ

所以f1，g0，

22

12a1

因?yàn)閮蓷l切線平行，所以0，解得a

22

（2）由（1）可知gxsinxcosx1ex，令gx0，即sinxcosx1，

ππ2π

即2sinx1，即sinx，又x0,π，解得xπ，

4422

πππ

令gx0，解得0x，所以gx在0,上單調(diào)遞減，在,π上單調(diào)遞增，

222

π

π

所以x0,π時(shí)，函數(shù)gx的最小值為ge2.

2

x2a

（3）證明：因?yàn)閒xxalnx，x0,，fx，

2x

￠

令f(x)>0，則x2a0，即x2a，

2

所以當(dāng)a0時(shí)解得x4a2，所以fx在4a,上單調(diào)遞增，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

2

令fx0，解得0x4a2，所以fx在0,4a上單調(diào)遞減，

所以fx在x4a2處取得極小值即最小值，

22

所以haf4a2aaln4a2a1ln2a，

即fx的最小值為ha的解析式為ha2a1ln2a，a0,，

1

則ha2ln2a，令ha0，解得0a，

2

11

所以當(dāng)0a時(shí)ha0，即ha在0,上單調(diào)遞增，

22

11

當(dāng)a時(shí)ha0，即ha在,上單調(diào)遞增，

22

11

所以ha在a處取得極大值即最大值，即hah1，

2max2

1

所以hah1，即當(dāng)a0,時(shí)，總有ha1.

2

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxalnxxa，aR．討論函

2

數(shù)fx的最值；

a12ax

【解析】函數(shù)fx的定義域?yàn)?,，fx，

x22x

當(dāng)a0時(shí)，f￠(x)>0，fx在0,上單調(diào)遞增，無最值；

當(dāng)a<0時(shí)，令fx0，得0x2a，所以fx在0,2a上單調(diào)遞減；

令f￠(x)>0，得x2a，所以fx在2a,單調(diào)遞增，

所以fx的最小值為f2aaln2a2a，無最大值．

綜上，當(dāng)a0時(shí)，fx無最值；當(dāng)a<0時(shí)，fx的最小值為aln2a2a，無最大值．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)

11

fxx36ax286ax8alnx4a，其中aR．

32

(1)若a=2，求fx的單調(diào)區(qū)間；

1

(2)已知f2f4，求fx的最小值．（參考數(shù)據(jù)：12）

334ln2

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

116

【解析】（1）由題設(shè)f(x)x34x220x16lnx8，則f(x)x28x20，且x0，

3x

x(x4)24(x4)(x4)(x2)2

所以f(x)，

xxx

當(dāng)x(0,4)時(shí)fx0，當(dāng)x(4,)時(shí)f(x)0，

所以fx的減區(qū)間為(0,4)，增區(qū)間為(4,).

864

（2）由題意26a286a8aln24a86a486a8aln44a，

33

22

所以3a4aln20，即a(2,4)，

33(34ln2)

8a(x2)(xa)(x4)

又f(x)x2(6a)x(86a)，且x0，

xx

當(dāng)x(0,2)或x(a,4)時(shí)f(x)0，x(2,a)或x(4,)時(shí)f(x)0，

所以(0,2)、(a,4)上fx遞減，(2,a)、(4,)上fx遞增，

20

又極小值f2f4，故fx最小值為f(2)2a(34ln2)8.

3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxln1xaxex．

(1)當(dāng)a1時(shí)，討論函數(shù)fx在0,上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a0時(shí)，求fx在1,0內(nèi)的最大值；

xexx21

【解析】（1）當(dāng)a1時(shí)，fxln1x，fx，且1xex0．

ex1xex

當(dāng)x0時(shí)，ex1，x20，則exx210，

即f￠(x)>0，故函數(shù)fx在0,上單調(diào)遞增．

x2

1a1xea1