2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第38講、向量中的隱圓（學(xué)生版）

第38講向量中的隱圓

知識梳理

技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓

乘積型：PAPB

1

定理：平面內(nèi)，若A,B為定點，且PAPB,則P的軌跡是以M為圓心AB2為

4

半徑的圓

11

證明：由PAPB，根據(jù)極化恒等式可知，PM2AB2，所以PMAB2，

44

1

P的軌跡是以M為圓心AB2為半徑的圓．

4

技巧二．極化恒等式和型：PA2PB2

定理：若A，B為定點，P滿足PA2PB2,則P的軌跡是以AB中點M為圓心，

1

AB2

1

2為半徑的圓。(AB20)

22

1

AB2

1

證明：PA2PB22[PM2(AB)2]，所以PM2，即P的軌跡是以AB

22

1

AB2

中點M為圓心，2為半徑的圓．

2

技巧三．定冪方和型

mPA2PB2n

若A，B為定點，PA2mPB2n，則P的軌跡為圓．

22

mPAnPB

證明：mPA2PB2nm[xc2y2][xc2y2]n

(m1)(x2y2)2c(m1)x(m1)c2n0

2(m1)cc2(m1)n

x2y2x0．

m1m1

技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓

坐標法妙解

必考題型全歸納

題型一：數(shù)量積隱圓

例1．（2024·上海松江·?？寄M預(yù)測）在ABC中，AC3,BC4,C90.P為ABC所

在平面內(nèi)的動點，且PC=2，若CPCACB，則給出下面四個結(jié)論：

4

①的最小值為；②PAPB的最小值為6；

5

3

③的最大值為；④PAPB的最大值為8.

4

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

例2．（2024·全國·高三專題練習）若正ABC的邊長為4，P為ABC所在平面內(nèi)的動點，

且PA1，則PBPC的取值范圍是（）

A．3,15B．[923,923]

C．[933,933]D．[943,943]

例3．（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在ABC中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為ABC

所在平面內(nèi)的動點，且PC＝2，則PAPB的取值范圍是（）

A．22,26B．26,22C．30,22D．22,30

變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知ABC是邊長為43的等邊三角形，其中心為O，

P為平面內(nèi)一點，若OP1，則PAPB的最小值是

A．11B．6C．3D．15

變式2．（2024·北京·高三專題練習）ABC為等邊三角形，且邊長為2，則AB與BC的夾角

大小為120，若BD1，CEEA，則ADBE的最小值為___________.

變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知圓Q:x2y216，點P1,2，M、N為圓O上兩個

不同的點，且PMPN0若PQPMPN，則PQ的最小值為______.

題型二：平方和隱圓

例4．（2024·全國·高三專題練習）已知a,b,c,d是單位向量，滿足

ab,ma2b,|mc|2|md|220，則|cd|的最大值為________．

uuuv

222

例5．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知平面向量PA、PB滿足PA|PB|4，|AB|2，

uuuvuuvuuv

設(shè)PC2PAPB，則PC________.

例6．（2024·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知點A2,0，B0,2，圓

222

C:xay21，若圓C上存在點M，使得MAMB12，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A．1,122B．122,122

C．1,122D．12,12

變式4．（2024·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l:xya0與點

22

A(0，2)，若直線l上存在點M滿足MAMO10（O為坐標原點），則實數(shù)a的取值范

圍是（）

A．51,51B．[51,51]

C．221,221D．[221,221]

變式5．（2024·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？茧A段練習）設(shè)A2，0，B2，0，O為坐標原點，

點P滿足PA|2PB|216，若直線kxy60上存在點Q使得PQO，則實數(shù)k的取

6

值范圍為（）

，，，

A．4242B．4242

，55，5，5

C．D．

2222

變式6．（2024·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：

2

x1y22，點A2,0，若圓C上存在點M，滿足MA2MO210，則點M的縱坐標

的取值范圍是___________.

題型三：定冪方和隱圓

例7．（2024·湖南長沙·高一長沙一中校考期末）已知點A1,0，B2,0，直線l：kxy5k0

上存在點P，使得PA22PB29成立，則實數(shù)k的取值范圍是______.

例8．（2024·浙江·高三期末）已如平面向量a、b、c，滿足a33，b2，c2，bc2，

222

則的最大值為（）

abacabac

A．1923B．192C．48D．43

例9．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄縠1，e2的夾角為60°，

3

向量滿足2，若對任意的，記的最小值為，則的最

cc2e1e2c0tR|cte1|MM

2

大值為

131333

A．B．C．1D．13

2424

變式7．（2024·江蘇·高三專題練習）已知a，b是兩個單位向量，與a，b共面的向量c滿

2

足c(ab)cab0，則c的最大值為（）

A．22B．2C．2D．1

變式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習）已知a、b、e是平面向量，e是單

222222

位向量．若a4ae2e0，b3be2e0，則a2ab2b的最大值為_______．

變式9．（2024·四川達州·高二四川省大竹中學(xué)?？计谥校┮阎猘，b，e是平面向量，e是

2

單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則ab的最小值是

ae3bb5eb40

_______．

變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知平面向量a、b、c、e，滿足ab，a2b，cab，

212

e1，若a6ae80，則cec的最大值是_________.

3

rrr

變式11．（2024·河南南陽·南陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a、b、e是平面向量，e1，若非

π2

零向量a與e的夾角為，向量b滿足b4be30，則ab的最小值是__________.

3

題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓

例10．（2024·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測）已知a,b,c是平面內(nèi)的三個單位向量，

若ab，則a2c3a2b2c的最小值是__________．

例11．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知a、b、c、d都是平面向量，且|a||2ab||5ac|1，

若a,d，則|bd||cd|的最小值為____________．

4

例12．（2024·上海金山·統(tǒng)考二模）已知a、b、c、d都是平面向量，且a2ab5ac1，

若a,d，則bdcd的最小值為__________.

4

變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知線段MN是圓C:(x1)2y28的一條動弦，且

MN23，若點P為直線2xy80上的任意一點，則PMPN的最小值為

__________.

變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知O為坐標原點，A，B在直線xy40上，

AB22，動點M滿足MA2MB，則OM的最小值為__________.

變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知a,b是單位向量，ab0.若向量c滿足|cab|1，

則|c|的最大值是________.

變式15．（2024·新疆·高三新疆兵團第二師華山中學(xué)校考階段練習）已知是a、b是單位向

量，ab0，若向量c滿足|ca