2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第37講、三角形四心及奔馳定理（教師版）

第37講三角形四心及奔馳定理

知識梳理

技巧一．四心的概念介紹：

（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1．

（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相

等．

（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．

（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直．

技巧二．奔馳定理---解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn)．

已知的頂點(diǎn)，，，，，，則△的重心坐標(biāo)為

△ABCA(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)ABC

xxxyyy

G(123，123)．

33

注意：（1）在△ABC中，若O為重心，則OAOBOC0．

（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1，且分的三個(gè)三角形面積相等．

11

重心的向量表示：AGABAC．

33

奔馳定理：，則△、△、△的面積

SAOASBOBSCOC0AOBAOCBOC

之比等于

3:2:1

奔馳定理證明：如圖，令，，，即滿足

1OAOA12OBOB13OCOC1

OA1OB1OC10

S△AOB1S△AOC1S△BOC1

，，，故S△:S△:S△::．

SSSAOBAOCBOC321

△A1OB112△A1OC113△B1OC123

技巧三．三角形四心與推論：

（）是的重心：．

1O△ABCS△BOC:S△COA:S△A0B1:1:1OAOBOC0

（）是的內(nèi)心：．

2O△ABCS△B0C:S△COA:S△AOBa:b:caOAbOBcOC0

（3）O是△ABC的外心：

．

S△B0C:S△COA:S△AOBsin2A:sin2B:sin2Csin2AOAsin2BOBsin2COC0

（4）O是△ABC的垂心：

．

S△B0C:S△COA:S△AOBtanA:tanB:tanCtanAOAtanBOBtanCOC0

技巧四．常見結(jié)論

ABAC

（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．

ABAC

ABPCBCPCCAPB0P為△ABC的內(nèi)心．

（2）外心：PAPBPCP為△ABC的外心．

（3）垂心：PAPBPBPCPCPAP為△ABC的垂心．

（4）重心：PAPBPC0P為△ABC的重心．

必考題型全歸納

題型一：奔馳定理

例1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知O是ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，A，B，C所對的邊

分別為a3，b2，c4，若sinAOAsinBOBsinCOC0，則AOB與ABC的面積

之比為（）

4125

A．B．C．D．

9399

【答案】A

abc

【解析】由正弦定理K,又a3，b2，c4，所以得

sinAsinBsinC

11

3OA2OB4OC0,因?yàn)?,所以3OA2OB4OC0.

KK

設(shè)OA13OA,OB12OB,OC14OC,可得OA1OB1OC10,則O是△A1B1C1的重心，

1

SOABSOBCSOACS，利用SOAOBsinAOB,sinAOBsinAOB,所以

1111112111111

1

OAOBsinAOB

SOAOB11

OAB2,所以SS,同理可得

1OAB

SOAOBsinAOB3OA2OB66

21111

111111

SOBCS,SAOCS.所以AOB與ABC的面積之比為S:SSS4:9即為

81266812

4

.

9

故選：A.

例2．（2024·安徽六安·高一六安一中?？计谀┮阎狾是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

OA2OBOC0，則AOB的面積與ABC的面積之比為（）

1111

A．B．C．D．

2345

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)OAOCOD，∵OA2OBOC0，∴OD2OB，設(shè)AC與OD交

于點(diǎn)M，則M平分AC,BD，∴OMOB，O是BM中點(diǎn)，

111

∴SSS．比值為．

AOB2AMB4ABC4

故選：C．

例3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)D是邊AC靠近A

的三等分點(diǎn)，且滿足5AMABAC，則ABM與△ABD的面積比為（）

1239

A．B．C．D．

55525

【答案】C

【解析】M是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AM，BM，延長AM至E使AE5AM，

∵5AMABACAE，∴ABAEACCE，

連接BE，則四邊形ABED是平行四邊形，向量AB和向量CE平行且模相等，

11

由于AC3AD，所以S△ABDS△ABC，又AE5AM，所以S△ABMS△ABE，

35

1

S△

5ABE3

在平行四邊形中，S△ABDS△ABE，則ABM與△ABD的面積比為，

15

S△

3ABD

故選：C.

變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）平面上有ABC及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若

將OAB，△OBC，OCA的面積分別記作Sc，Sa，Sb，則有關(guān)系式

uuruuuruuurr

．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為奔馳定

SaOASbOBScOC0logo“

理”．已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足aOAbOBcOC0，

則O為ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

【答案】B

uuruuuruuurrSS

【解析】由得OAbOBcOC，

SaOASbOBScOC0

SaSa

bc

由aOAbOBcOC0得OAOBOC，

aa

SbSc

根據(jù)平面向量基本定理可得b，c，

SaaSaa

SbSc

所以b，c，

SaaSaa

延長CO交AB于E，延長BO交AC于F，

S|AE|Sb|AE|b|AC|

則b，又b，所以，

Sa|BE|Saa|BE|a|BC|

所以CE為ACB的平分線，

同理可得BF是ABC的平分線，

所以O(shè)為ABC的內(nèi)心.

故選：B

變式2．（2024·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)校考階段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)

非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其

為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分

別為SA、SB、SC，則有SAOASBOBSCOC0，設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，

∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題錯(cuò)誤的是（）

A．若OAOBOC0，則O為△ABC的重心

B．若OA2OB3OC0，則SA:SB:SC1:2:3

C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則

tanBACOAtanABCOBtanACBOC0

5π9

D．若OAOB2，AOB，2OA3OB4OC0，則SABC

62

【答案】D

【解析】對于A：如下圖所示，

假設(shè)D為AB的中點(diǎn)，連接OD，則OAOB=2ODCO，故C,O,D共線，即O在中線CD上，

同理可得O在另外兩邊BC,AC的中線上，故O為ABC的重心，即A正確；

對于B：由奔馳定理O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,AOC,AOB的面積分別為SA,SB,SC，

則有SAOASBOBSCOC0可知，

若OA2OB3OC0，可得SA:SB:SC1:2:3，即B正確；

對于C：由四邊形內(nèi)角和可知，BOCBACπ，則

OBOCOBOCcosBOCOBOCcosBAC，

同理，OBOAOBOAcosBOAOBOAcosBCA，

因?yàn)镺為ABC的垂心，則OBACOB(OCOA)OBOCOBOA0，

所以O(shè)CcosBACOAcosBCA，同理得OCcosABCOBcosBCA，

OAcosABCOBcosBAC，

則OA:OB:OCcosBAC:cosABC:cosBCA，

令OAmcosBAC,OBmcosABC,OCmcosBCA，

11m2

由SAOBOCsinBOC，則SOBOCsinBACcosABCcosBCAsinBAC，

2A22

1m2

同理：SOAOCsinABCcosBACcosBCAsinABC，

B22

1m2

SOAOBsinBCAcosBACcosABCsinBCA，

C22

sinBACsinABCsinBCA

綜上，S:S:S::tanBAC:tanABC:tanBCA，

ABCcosBACcosABCcosBCA

根據(jù)奔馳定理得tanBACOAtanABCOBtanACBOC0，即C正確.

5π15π

對于D：由|OA||OB|2,AOB可知，S22sin1，

6C26

又2OA3OB4OC0，所以SA:SB:SC2:3:4

13

由S1可得，S,S；

CA2B4

139

所以SSSS1，即D錯(cuò)誤；

ABCABC244

故選：D.

變式3．（多選題）（2024·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面

向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo

很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，BOC，AOC，

AOB的面積分別為SA,SB,SC，則SAOASBOBSCOC0，O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠

BAC，∠ABC，∠ACB分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正．確．的有（）

A．若2OA3OB4OC0，則SA:SB:SC4:3:2

2

93

B．若OAOB2，AOB，且2OA3OB4OC0，則S△

3ABC4

C．若OAOBOBOCOCOA，則O為ABC的垂心

π

D．若O為ABC的內(nèi)心，且5OA12OB13OC0，則ACB

2

【答案】BCD

【解析】對選項(xiàng)A：2OA3OB4OC0，則SA:SB:SC2:3:4，錯(cuò)誤；

1

對選項(xiàng)B：S△AOB22sin1203，2OA3OB4OC0，

2

993

故SA:SB:SC2:3:4，S△S，正確；

ABC4A4

對選項(xiàng)C：OAOBOBOC，即OAOCOBCAOB0，故CAOB，

同理可得CBOA，ABOC，故O為ABC的垂心，正確；

對選項(xiàng)D：5OA12OB13OC0，故SA:SB:SC5:12:13，設(shè)內(nèi)接圓半徑為r，

111

SrBC，SrAC，SrAB，即BC:AC:AB5:12:13，

A2B2C2

π

即AB2AC2BC2，ACB，正確.

2

故選：BCD

變式4．（多選題）（2024·全國·高一專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為

“奔馳定理”.奔馳定理：已知O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，BOC、AOC、AOB的面積分別為SA、

SB、SC，則SAOASBOBSCOC0.設(shè)O是銳角ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BAC、ABC、

ACB分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A．若OA2OB3OC0，則SA:SB:SC1:2:3

5π9

B．OAOB2，AOB，2OA3OB4OC0，則SABC

62

π

C．若O為ABC的內(nèi)心，3OA4OB5OC0，則C

2

D．若O為ABC的重心，則OAOBOC0

【答案】ACD

【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)镺A2OB3OC0，由“奔馳定理”可知SA:SB:SC1:2:3，A

對；

5π15π

對于B選項(xiàng)，由OAOB2，AOB，可知S22sin1，

6C26

又2OA3OB4OC0，所以SA:SB:SC2:3:4，

13

由S1可得，S，S，

CA2B4

139

所以SSSS1，B錯(cuò)；

ABCABC244

對于C選項(xiàng)，若O為ABC的內(nèi)心，3OA4OB5OC0，則SA:SB:SC3:4:5，

111

又S:S:Sar:br:cra:b:c（r為ABC內(nèi)切圓半徑），

ABC222

π

所以，a2b2c2，故C，C對；

2

對于D選項(xiàng)，如下圖所示，

因?yàn)镺為ABC的重心，延長CO交AB于點(diǎn)D，則D為AB的中點(diǎn)，

111

所以，OC2OD，S△S△S，且S△S，S△S，

AODBOD2CAOD2BBOD2A

所以，SASBSC，由“奔馳定理”可得OAOBOC0，D對.

故選：ACD.

題型二：重心定理

例4．（2024·福建泉州·高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重

心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱

為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知ABC的外心為O，重心為G，垂心為

H，M為BC中點(diǎn)，且AB5，AC4，則下列各式正確的有______．

①AGBC3②AOBC6

③OHOAOBOC④ABAC4OM2HM

【答案】①③④

21

【解析】對于①，ABC重心為G，有AGAM(ABAC)，

33

11221

故AGBC(ABAC)(ACAB)(ACAB)(1625)3，故①正確；

333

對于②，ABC外心為O，過三角形ABC的外心O分別作AB、AC的垂線，垂足為D、E，

122512

易知D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，有AOABAB，AOACAC8

222

259

∴AOBCAO(ACAB)8，故②錯(cuò)誤；

22

對于③，由歐拉線定理得2OGGH，即OH3OG，又有GAGBGC0，

故OAOBOC(OGGA)(OGGB)(OGGC)3OGGAGBGC3OG，即

OHOAOBOC，故③正確；

21

對于④，由OH3OG得MHMO3(MGMO)，故MGMOMH，

33

所以ABAC2AM6MG4OM2HM，故④正確.

故答案為：①③④.

例5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上ABC的三個(gè)

頂點(diǎn)，B、C分別是邊AC、AB的對角，以下命題正確的是_______（把你認(rèn)為正確的

序號全部寫上）．

①動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOAPBPC，則ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；

ABAC

②動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOA()(0)，則ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；

|AB||AC|

ABAC

③動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOA()(0)，則ABC的重心一定在滿足條件的P

|AB|sinB|AC|sinC

點(diǎn)集合中；

ABAC

④動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOA()(0)，則ABC的垂心一定在滿足條件的P

|AB|cosB|AC|cosC

點(diǎn)集合中；

OBOCABAC

⑤動(dòng)點(diǎn)P滿足OP()(0)，則ABC的外心一定在滿足條件

2|AB|cosB|AC|cosC

的P點(diǎn)集合中．

【答案】①②③④⑤

【解析】對于①，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿足OPOAPBPC，

APPBPC，

則點(diǎn)P是ABC的重心，故①正確；

ABAC

對于②，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿足OPOA()(0)，

|AB||AC|

ABAC

AP()(0)，

|AB||AC|

ABAC

又在BAC的平分線上，

|AB||AC|

AP與BAC的平分線所在向量共線，

所以ABC的內(nèi)心在滿足條件的P點(diǎn)集合中，②正確；

ABAC

對于③，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOA()(0)，

|AB|sinB|AC|sinC

ABAC

AP()，(0)，

|AB|sinB|AC|sinC

過點(diǎn)A作ADBC，垂足為D，則|AB|sinB|AC|sinCAD，

AP(ABAC)，向量與BC邊的中線共線，

ADABAC

因此ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，③正確；

ABAC

對于④，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOA()(0)，

|AB|cosB|AC|cosC

ABAC

AP()(0)，

|AB|cosB|AC|cosC

uuuruuur

uuuruuurABACuuuruuuruuur

APBC(uuuruuur)BC(|BC||BC|)0，

|AB|cosB|AC|cosC

APBC，

所以ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，④正確；

OBOCABAC

對于⑤，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP()(0)，

2|AB|cosB|AC|cosC

OBOC

設(shè)OE，

2

ABAC

則EP()，

|AB|cosB|AC|cosC

uuuruuur

ABACuuur

由④知(uuuruuur)BC0，

|AB|cosB|AC|cosC

EPBC0，

EPBC，

P點(diǎn)的軌跡為過E的BC的垂線，即BC的中垂線；

所以ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合，⑤正確．

故正確的命題是①②③④⑤．

故答案為：①②③④⑤．

例6．（2024·河南·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鬙為ABC的重心（重心為三條中線交

點(diǎn)），且OAOBOC0，則___．

【答案】1

【解析】在ABC中，取BC中點(diǎn)D，連接AD，

由重心的性質(zhì)可得O為AD的三等分點(diǎn)，且OA2OD，

又D為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)BOC2OD，

所以O(shè)AOBOC2ODOD0，所以1.

故答案為：1

變式5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知△ABC的外心為O，且AB=5，AC3，則

AOBC______．

（2）已知△ABC的重心為O，且AB=5，AC3，則AOBC______．

（3）已知△ABC的重心為O，且AB=5，AC3，A，D為BC中點(diǎn)，則AOOD____．

3

1649

【答案】8

318

【解析】（1）由題意得：如圖

過O作ODBC，垂足為D，則D是BC的中點(diǎn)

uuuruuuruuur1

QBCACAB，AOADDO，AD(ABAC)

2

uuur

又AC3，AB5

1122

AOBCADDOBCADBC(ABAC)ACAB(ACAB)8

22

（2）根據(jù)重心的性質(zhì)，知重心將相應(yīng)的中線分成2:1兩部分

21

AOAD(ABAC)，BCACAB

33

112216

AOBC(ABAC)ACAB(ACAB)

333

（3）根據(jù)重心的性質(zhì)，知重心將相應(yīng)的中線分成2:1兩部分

121

ODAO，AOAD(ABAC)

233

221

(ABAC)2ABAC2ABACcosA2593049

2

122212149

AOODAOADABAC49

29181818

1649

故答案為：（1）8（2）（3）

318

變式6．（2024·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在ABC中，AB2，

ABC60，ACAB1，若O是ABC的重心，則BOAC______.

【答案】7

【解析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)Ca,0，

∵AB2，ABC60，∴A1,3，AC=(a-1,-3),AB=(-1,-3)

∵ACAB1a31，解得a5，∴C5,0

驏

琪3

∵O是ABC的重心，延長BO交AC于點(diǎn)D，則D為AC中點(diǎn)，所以D琪3,,

桫2

2233=-

∴BOBD3,2,，AC(4,3),

3323

3

∴BOAC2437.

3

故答案為：7

變式7．（2024·江西南昌·高三校聯(lián)考期中）銳角ABC中，a，b，c為角A，B，C所對

的邊，點(diǎn)G為ABC的重心，若AGBG，則cosC的取值范圍為______．

46

【答案】,，

53

211211

【解析】由題意AG(ACAB)(ACAB)，BG(BABC)(BABC)，

323323

又AGBG，則

11

AGBG(ACAB)(BABC)(ACBAACBCABBAABBC)0，

99

2

所以CACBACABBABCAB，即abcosCbccosAaccosBc2，

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

由cosA，cosB，cosC，

2bc2ac2ab

2ab

所以a2b25c2,cosC()，

5ba

a2b25c2

3a22b2

由為銳角三角形及上式，則222，即，可得6b6，

ABCacb22

2223b2a2a3

bca

b6646

所以cosC在(,1)上遞減，在(1,)上遞增，則cosC.

a3253

46

故答案為：[,)

53

變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過△ABC重心O的直線PQ交AC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)

3

Q，PCAC，QCnBC，則n的值為________.

4

3

【答案】

5

【解析】如圖，因?yàn)镺是重心，所以O(shè)AOBOC0，即OAOBOC，

33

因?yàn)镻CAC，所以O(shè)COPOCOA，

44

313131

所以O(shè)POAOCOBOCOCOBOC，

444442

又QCnBC，則OCOQnOCOB，所以O(shè)QnOB1nOC

因?yàn)镻，O，Q三點(diǎn)共線，所以O(shè)P//OQ，

313

所以(1n)n，解得n.

425

3

故答案為：

5

變式9．（2024·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級中學(xué)?？计谥校┰贏BC中，過重心G的直線

交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，設(shè)△APQ的面積為S1，ABC的面積為S2，且

S1

APAB,AQAC，則的取值范圍為_________．

S2

41

【答案】,

92

【解析】根據(jù)題意，連接AG，作圖如下：

1

sinAAPAQ

S

12，

S1

2sinAABAC

2

1

在三角形ABC中，因?yàn)镚為其重心，故可得AGABAC

3

111

結(jié)合已知條件可得：AGAPAQ，

3

1111

因?yàn)镻,G,Q三點(diǎn)共線，故可得1，即3，

33

由題設(shè)可知0,1，0,1，

1

又0,1，得,1，

312

2

S111

故，令31t，可得t,2，t1，

S23123

S111111

則t2,t,2，又yt在,1單調(diào)遞減，1,2單調(diào)遞增，

S29t2t2

S41S1S1

當(dāng)t1時(shí)，1，當(dāng)t時(shí)，1，當(dāng)t2時(shí)，1，

S292S22S22

S141

故,.

S292

41

故答案為：,.

92

題型三：內(nèi)心定理

例7．（2024·湖北·模擬預(yù)測）在ABC中，ABAC16，SABC6，BC3，且ABAC，

若O為ABC的內(nèi)心，則AOBC_________．

【答案】3

【解析】因?yàn)锳BAC16，所以ABACcosA16，

1

因?yàn)镾6，所以ABACsinA6，

ABC2

sinA3

所以，又sin2Acos2A1，cosA0,sinA0，

cosA4

34

所以sinA,cosA，所以ABAC20，

55

由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosA，又BC3，

所以AB2AC241，又ABAC，所以AB5,AC4，

所以ABC為以AB為斜邊的直角三角形，

設(shè)ABC的內(nèi)切圓與邊AC相切于點(diǎn)D，內(nèi)切圓的半徑為r，

ACBCAB

由直角三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得r1，故OD1，

2

因?yàn)锳DBC，所以ADBC0，

因?yàn)镺DAC,BCAC，所以O(shè)D//BC，所以DOBC3

所以AOBCADDOBCADBCDOBC3.

故答案為：3.

例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知RtABC中，AB3，AC4，BC5，I是ABC的

內(nèi)心，P是IBC內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn).若APABAC（，R），則的取

值范圍是______.

7

【答案】(,1)

12

【解析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則

A0,0,B3,0,C0,4，

因?yàn)镮是三角形ABC的內(nèi)心，設(shè)三角形ABC內(nèi)切圓半徑為r，

11

則|AC||AB||BC|r|AB||AC|，解得r1.

22

所以I1,1，AB3,0,AC0,4.

依題意點(diǎn)Px,y在三角形IBC的內(nèi)部（不含邊界）.

因?yàn)锳PABAC(,R)，

所以x,y3,00,43,4，

1

x

x33

所以，

y41

y

4

11

令zxy，

34

4

則yx4z，

3

4117

由圖可知，當(dāng)yx4z過I1,1時(shí)，z11.

33412

411

當(dāng)yx4z，過C0,4，即為直線BC時(shí)，z041.

334

7

所以的取值范圍時(shí)(,1).

12

7

故答案為：(,1)

12

例9．（2024·黑龍江黑河·高三嫩江市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，

ABAC5，BC6，AImABnBC，則mn為________．

15

【答案】

16

【解析】因?yàn)锳BAC5，所以取BC中點(diǎn)為O，連接AO，

則AOBC，且ABC的內(nèi)心I在AO上，IO即為ABC的內(nèi)切圓半徑r，

又BC6，所以AOAB2BO24，

11

因?yàn)镾BCAOABBCACr，即64556IO，

ABC22

35

所以IO，AI，

22

以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，則A(0,4)，B(3,0)，C(3,0)，

5

則AB(3,4)，BC(6,0)，AI0,，

2

5

因?yàn)锳ImABnBC，即0,m(3,4)n(6,0)，

2

5

4m555515

所以2解得m,n，所以mn，

81681616

3m6n0

5

故答案為：.

16

變式10．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)O是ABC的內(nèi)

31

心，若AOABAC，則cosBAC____