2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第36講、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算（學(xué)生版）

第36講平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算

知識梳理

知識點(diǎn)一．平面向量的數(shù)量積a

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記

作ab，即ab=|a||b|cos，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時，它是正數(shù)；

當(dāng)為鈍角時，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時，它是0．

②ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a方向上射影|b|cos的乘積．

③設(shè)a，b是兩個非零向量，它們的夾角是,e與b是方向相同的單位向量，

，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，

ABa,CDbABABCDA1,B1

得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向

A1B1abA1B1ab

量．記為|a|cose．

知識點(diǎn)二．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)，則：

①abba；

②(a)b=(ab)a(b)；

③(ab)c=acbc．

知識點(diǎn)三．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a、b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角，則

①eaae|a|cos．②abab0．

③當(dāng)a與b同向時，ab|a||b|；當(dāng)a與b反向時，ab|a||b|．

特別地，aa|a|2或|a|aa．

ab

④cos(|a||b|0)．⑤|ab|≤|a||b|．

|a||b|

知識點(diǎn)四．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

，，

已知非零向量a(x1y1)，b(x2y2)，為向量a、b的夾角．

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模|a|aa|a|x2y2

數(shù)量積ab|a||b|cosabx1x2y1y2

abx1x2y1y2

cos

夾角cos2222

|a||b|x1y1x2y2

ab的充要

ab0x1x2y1y20

條件

a∥b的充要

a（bb0）x1y2x2y10

條件

|ab|與|a||b||ab||a||b|（當(dāng)且僅當(dāng)

≤2222

|x1x2y1y2|x1y1x2y2

的關(guān)系a∥b時等號成立）

知識點(diǎn)五、向量中的易錯點(diǎn)

（1）平面向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且|ab||a||b|．

（2）當(dāng)a0時，由ab0不能推出b一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零

向量b都有ab0．

當(dāng)a0時，且abac時，也不能推出一定有bc，當(dāng)b是與a垂直的非零向量，c

是另一與a垂直的非零向量時，有abac0，但bc．

（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(ab)c(bc)a，這是因?yàn)?ab)c是一個與c共線的向

量，而(bc)a是一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，所以(ab)c不一定等于(bc)a，

即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯誤選項(xiàng)．

（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)ab0且ab(0)（或ab0，

且ab(0))

【解題方法總結(jié)】

（1）b在a上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．

（2）數(shù)量積的運(yùn)算要注意a=0時，ab0，但ab0時不能得到a=0或b=0，

因?yàn)閍b時，也有ab0．

ab

（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：|a|aa，cos，abab0等，

|a||b|

所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題．

（4）若a、b、c是實(shí)數(shù)，則abacbc（a0）；但對于向量，就沒有這樣的性

質(zhì)，即若向量a、b、c滿足abac（a0），則不一定有b=c，即等式兩邊不能同時

約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．

（5）數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(ab)ca(bc)，這是由于(ab)c表示一個與

c共線的向量，a(bc)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(ab)c與

a(bc)不一定相等．

必考題型全歸納

題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？计谀┮阎蛄縜，b滿足

π

|a2，b|3，且a與b的夾角為，則ab2ab（）

6

A．6B．8C．10D．14

例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知a6，b3，向量a在b方向上投影向量是4e，

則ab為（）

A．12B．8C．-8D．2

1

例3．（2024·湖南長沙·周南中學(xué)?？级＃┮阎庑蜛BCD的邊長為1，ABAD，

2

G是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若GAGBGC0，則AGAB（）

13

A．B．1C．D．2

22

π

變式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，且a,b，

a,b3

若(ab)c，|c|2，則ac（）

A．1B．12C．2或2D．1或1

變式2．（2024·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將向量OP2,2繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)75

得到OP1，則OPOP1（）

62

A．B．62

2

62

C．62D．

2

變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點(diǎn)，則ECED

（）

A．5B．3C．25D．5

π

變式4．（2024·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，BAC，

3

1

AD2DB，P為CD上一點(diǎn)，且滿足APmACABmR，若AC3，AB4，則

2

APCD的值為（）.

13131

A．3B．C．D．

121212

變式5．（2024·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量a，b滿足同向

rr

共線，且b2，ab1，則aba（）

A．3B．15C．3或15D．3或15

變式6．（2024·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）在矩形ABCD中，AB1,AD2,AC

與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AEBD于E，則AEAO（）

1224124

A．B．C．D．

252555

【解題方法總結(jié)】

（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到

解題思路．

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，

因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．

（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點(diǎn)問題，應(yīng)熟練掌握其公式：向量a在

ab

向量b方向上的投影為．

|b|

（4）向量運(yùn)算與整式運(yùn)算的同與異（無坐標(biāo)的向量運(yùn)算）

同：(ab)2a22abb2；aba22abb2；a(bc)abac公式都可通用

異：整式：abab，a僅僅表示數(shù)；向量：ababcos（為a與b的夾

角）

22

manbm2a2mnabcosn2b，使用范圍廣泛，通常是求?；蛘邐A角．

manbmanbmanb，通常是求manb最值的時候用．

題型二：平面向量的夾角

例4．（2024·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）若單位向量a，b滿足2ab6，則向量a，b夾

角的余弦值為____________．

例5．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若e1,e2是夾角為60的兩個單位向量，則a2e1e2

與b3e12e2的夾角大小為________.

例6．（2024·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知向量a和b滿足：a1，b2，

2ab2ab0，則a與b的夾角為__________．

變式7．（2024·上海楊浦·復(fù)旦附中校考模擬預(yù)測）若向量a與b不共線也不垂直，且

aa

cab，則向量夾角a,c________.

ab

變式8．（2024·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎猘?b?c是同一個平面上的向量，

若acb，且ab0,ca2,cb1，則c,a__________.

變式9．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量a，b滿足a1,1，

b1，ab1，則向量a與b的夾角大小為___________.

變式10．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量ax1,3，b1,0，ab2，

則向量ab與b的夾角為______．

變式11．（2024·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量a1,2，b4,2，若非

零向量c與a，b的夾角均相等，則c的坐標(biāo)為___（寫出一個符合要求的答案即可）

【解題方法總結(jié)】

求夾角，用數(shù)量積，由a×b=|a|×|b|cosq得

+

a×bx1x2y1y2

cosq==，進(jìn)而求得向量a,b的夾角．

×2+22+2

|a||b|x1y1x2y2

題型三：平面向量的模長

例7．（2024·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知平面向量a，b，c滿足a(2,1)，

b(1,2)，且ac.若bc32，則|c|（）

A．10B．25C．52D．35

例8．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a，b是非零向量，a1，

rr

2

a2ba，向量a在向量b方向上的投影為，則ab________.

4

例9．（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知向量a，b滿足a1,1，b4，aab2，

則3ab__________．

變式12．（2024·四川南充·閬中中學(xué)?？级＃┮阎猘,b為單位向量，且滿足a5b6，

則2ab______.

變式13．（2024·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）已知平面向量a,b滿足a10,b2,且

2abab14，則ab=_________________．

變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量a,b滿足ab3，ab2ab，則

b______．

變式15．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA1,1，OB3,4，

點(diǎn)P在線段AB上，且AP1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．

變式16．（2024·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a2,1，b4,t，若ab2，則

2ab______．

【解題方法總結(jié)】

2

求模長，用平方，|a|=a．

題型四：平面向量的投影、投影向量

例10．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎蛄縜3,6，b3,4，

則a在b方向上的數(shù)量投影為______.

例11．（2024·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┮阎猘(2,1),b(4,m),

若向量b在向量a方向上的數(shù)量投影為5，則實(shí)數(shù)m_______．

例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量a6，e為單位向量，當(dāng)向量a、e的夾角

等于45時，則向量a在向量e上的投影向量是________．

變式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知向量a(1,2)，向量b(1,1)，

則向量a在向量b方向上的投影為_________.

變式18．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量a，b滿足ab3，a2，b0,1，

則向量a在向量b方向上的投影為______.

變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知非零向量a,b滿足(a2b)(a2b)，且向量

1

b在向量a方向的投影向量是a，則向量a與b的夾角是________.

4

變式20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量a1,0,b0,1,acbc1，則向量a在向

量c上的投影向量為__________.

【解題方法總結(jié)】

設(shè)a，b是兩個非零向量，它們的夾角是,e與b是方向相同的單位向量，

，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，

ABa,CDbABABCDA1,B1

得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向

A1B1abA1B1ab

量．記為|a|cose．

題型五：平面向量的垂直問題

例13．（2024·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量a1,2,b2,3，若

kabab，則k___________.

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量a，b，c，其中a，b為單位向量，且ab，

若c______，則acb2c.

注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.

例15．（2024·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）設(shè)非零向量a，b的夾角為．若b2a，且

a2b3ab，則____________．

π

變式21．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知兩單位向量e,e的夾角為，若

123

ae12e2,be1me2，且ab，則實(shí)數(shù)m_________．

變式22．（2024·海南·校考模擬預(yù)測）已知a為單位向量，向量b在向量a上的投影向量

是2a，且3aba，則實(shí)數(shù)的值為______．

變式23．（2024·全國·模擬預(yù)測）向量m1,x,n2,1，且nmn，則實(shí)數(shù)

x_________．

變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）非零向量a(cos(),sin)，b(1,sin)，若ab，

則tantan______.

變式25．（2024·河南開封·?？寄M預(yù)測）已知向量a2,3,b4,5，若abb，

則________．

r

變式26．（2024·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量a，b不共線，a2,1，

aba，寫出一個符合條件的向量b的坐標(biāo)：______.

變式27．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知向量a(m,1)，b(1,3)，若(ab)b，則

m______.

【解題方法總結(jié)】

abab0x1x2y1y20

題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問題

1

例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知|a||b||c|1,ab，cxayb(x,yR)，

2

則xy的最小值為（）

23

A．2B．C．3D．1

3

例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個

頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知

π

P為弧AC上的一點(diǎn)，且PBC，則BPCP的值為（）

6

A．42B．42

C．423D．423

例18．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測）下圖是北京2022年冬奧會會徽

的圖案，奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，

兩排圓圓心垂直距離為11．設(shè)五個圓的圓心分別為O1、O2、O3、O4、O5，則

O4O1O4O5O4O2的值為（）

A．507B．386C．338D．242

變式28．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD

中，BAD120,ABAD1,AC2.若E為CD的中點(diǎn)，則EAEB的值為（）

13