2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第36講、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算（教師版）

第36講平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算

知識梳理

知識點(diǎn)一．平面向量的數(shù)量積a

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記

作ab，即ab=|a||b|cos，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；

當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．

②ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a方向上射影|b|cos的乘積．

③設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是,e與b是方向相同的單位向量，

，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，

ABa,CDbABABCDA1,B1

得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向

A1B1abA1B1ab

量．記為|a|cose．

知識點(diǎn)二．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)，則：

①abba；

②(a)b=(ab)a(b)；

③(ab)c=acbc．

知識點(diǎn)三．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a、b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角，則

①eaae|a|cos．②abab0．

③當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a||b|．

特別地，aa|a|2或|a|aa．

ab

④cos(|a||b|0)．⑤|ab|≤|a||b|．

|a||b|

知識點(diǎn)四．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

，，

已知非零向量a(x1y1)，b(x2y2)，為向量a、b的夾角．

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模|a|aa|a|x2y2

數(shù)量積ab|a||b|cosabx1x2y1y2

abx1x2y1y2

cos

夾角cos2222

|a||b|x1y1x2y2

ab的充要

ab0x1x2y1y20

條件

a∥b的充要

a（bb0）x1y2x2y10

條件

|ab|與|a||b||ab||a||b|（當(dāng)且僅當(dāng)

≤2222

|x1x2y1y2|x1y1x2y2

的關(guān)系a∥b時(shí)等號成立）

知識點(diǎn)五、向量中的易錯點(diǎn)

（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且|ab||a||b|．

（2）當(dāng)a0時(shí)，由ab0不能推出b一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零

向量b都有ab0．

當(dāng)a0時(shí)，且abac時(shí)，也不能推出一定有bc，當(dāng)b是與a垂直的非零向量，c

是另一與a垂直的非零向量時(shí)，有abac0，但bc．

（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(ab)c(bc)a，這是因?yàn)?ab)c是一個(gè)與c共線的向

量，而(bc)a是一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，所以(ab)c不一定等于(bc)a，

即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯誤選項(xiàng)．

（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)ab0且ab(0)（或ab0，

且ab(0))

【解題方法總結(jié)】

（1）b在a上的投影是一個(gè)數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．

（2）數(shù)量積的運(yùn)算要注意a=0時(shí)，ab0，但ab0時(shí)不能得到a=0或b=0，

因?yàn)閍b時(shí)，也有ab0．

ab

（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：|a|aa，cos，abab0等，

|a||b|

所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題．

（4）若a、b、c是實(shí)數(shù)，則abacbc（a0）；但對于向量，就沒有這樣的性

質(zhì)，即若向量a、b、c滿足abac（a0），則不一定有b=c，即等式兩邊不能同時(shí)

約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．

（5）數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(ab)ca(bc)，這是由于(ab)c表示一個(gè)與c

共線的向量，a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(ab)c與

a(bc)不一定相等．

必考題型全歸納

題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？计谀┮阎蛄縜，b滿足

π

|a2，b|3，且a與b的夾角為，則ab2ab（）

6

A．6B．8C．10D．14

【答案】B

【解析】`

π

由|a2，b|3，且a與b的夾角為，

6

rrrrr2rrr2

所以ab2ab2aabb

r2rrπr2

2aabcosb

6

32

2222338.

2

故選：B.

例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知a6，b3，向量a在b方向上投影向量是4e，

則ab為（）

A．12B．8C．-8D．2

【答案】A

【解析】a在b方向上投影向量為acose4e，

acos4，ababcos4312.

故選：A

1

例3．（2024·湖南長沙·周南中學(xué)?？级＃┮阎庑蜛BCD的邊長為1，ABAD，

2

G是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若GAGBGC0，則AGAB（）

13

A．B．1C．D．2

22

【答案】A

1

【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的邊長為1，ABAD，

2

1

所以ABADABADcosBADcosBAD，

2

所以BAD120，則ABC為等邊三角形，因?yàn)镚AGBGC0，

所以GAGBGC，設(shè)點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，則GA2GD，所以GA∥GD，

所以G，A，M三點(diǎn)共線，所以AM為BC的中線，

2

13

所以AM1，

22

同理可得點(diǎn)AB，AC的中線過點(diǎn)G，

23

所以點(diǎn)G為ABC的重心，故AGAM，

33

在等邊ABC中，M為BC的中點(diǎn)，則BAM30，

331

所以AGABAGABcosBAM1.

322

故選：A

π

變式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知單位向量，且a,b，

a,b3

若(ab)c，|c|2，則ac（）

A．1B．12C．2或2D．1或1

【答案】D

ππ

【解析】由題意單位向量，且a,b，可知與的夾角為，

a,b3aba6

π2π

因?yàn)閍bc，所以a,c或，

33

πrrrrrr1

故當(dāng)a,c時(shí)，acaccosac121；

32

2πrrrrrr1

當(dāng)a,c時(shí)，acaccosac12()1，

32

故選：D.

變式2．（2024·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將向量OP2,2繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75

得到OP1，則OPOP1（）

62

A．B．62

2

62

C．62D．

2

【答案】B

22

【解析】因?yàn)镺P2,2，所以O(shè)P222，

因?yàn)橄蛄縊P繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75得到OP1，

所以向量OP與向量OP1的夾角為75，且OP12，

所以O(shè)POP1OPOP1cos7522cos(3045)

3212

4()62.

2222

故選：B

變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點(diǎn)，則ECED

（）

A．5B．3C．25D．5

【答案】B

uuuruuuruuuruuur

【解析】方法一：以AB,AD為基底向量，可知ABAD2,ABAD0，

uuuruuruuur1uuuruuuruuuruuruuur1uuuruuur

則ECEBBCABAD,EDEAADABAD，

22

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

11122

所以ECEDABADABADABAD143；

224

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

uuuruuur

則E1,0,C2,2,D0,2，可得EC1,2,ED1,2，

uuuruuur

所以ECED143；

方法三：由題意可得：EDEC5,CD2，

DE2CE2DC25543

在CDE中，由余弦定理可得cosDEC，

2DECE2555

uuuruuuruuuruuur3

所以ECEDECEDcosDEC553.

5

故選：B.

π

變式4．（2024·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，BAC，

3

1

AD2DB，P為CD上一點(diǎn)，且滿足APmACABmR，若AC3，AB4，則

2

APCD的值為（）.

13131

A．3B．C．D．

121212

【答案】C

1

【解析】∵APmACABmR，AD2DB，

2

221

即ADAB且CDCBCA，

333

3

∴APmACADmR，

4

31

又C、P、D共線，有m1，即m，

44

11

即APACAB，而CBCAAB，

42

2122

∴CD(CAAB)CACAABABAC

3333

1121211216913

∴APCD=(ACAB)(ABAC)ABABACAC2.

4233343412

故選：C

變式5．（2024·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量a，b滿足同向

rr

共線，且b2，ab1，則aba（）

A．3B．15C．3或15D．3或15

【答案】D

【解析】因?yàn)橄蛄縜，b滿足同向共線，所以設(shè)ab(0)，

rrrr2r2r2

又因?yàn)閍b1，b2，所以bb(1)b(1)2b4(1)21，

1313

所以或，即a=b或ab.

2222

13132

①當(dāng)a=b時(shí)，ababbb3；

2224

353152

②當(dāng)ab時(shí)，ababbb15；

2224

所以aba的值為3或15.

故選：D.

變式6．（2024·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）在矩形ABCD中，AB1,AD2,AC

與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AEBD于E，則AEAO（）

1224124

A．B．C．D．

252555

【答案】D

【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系：

則A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1)，

設(shè)E(x,y)，則AE(x,y1),BE(x,y),BD2,1

AEBDAEBD且BE//BD，

2

x

2xy105

，解得，

x2y01

y

5

212481

E(,),AE(,),EC,，

555555

在矩形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，

1

所以O(shè)1,，由A(0,1)，

2

1

所以AO1.，

2

2414

AEAO1+，

5525

故選：D.

【解題方法總結(jié)】

（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到

解題思路．

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，

因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．

（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點(diǎn)問題，應(yīng)熟練掌握其公式：向量a在

ab

向量b方向上的投影為．

|b|

（4）向量運(yùn)算與整式運(yùn)算的同與異（無坐標(biāo)的向量運(yùn)算）

同：(ab)2a22abb2；aba22abb2；a(bc)abac公式都可通用

異：整式：abab，a僅僅表示數(shù)；向量：ababcos（為a與b的夾

角）

22

manbm2a2mnabcosn2b，使用范圍廣泛，通常是求模或者夾角．

manbmanbmanb，通常是求manb最值的時(shí)候用．

題型二：平面向量的夾角

例4．（2024·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）若單位向量a，b滿足2ab6，則向量a，b夾

角的余弦值為____________．

1

【答案】/0.25

4

22

【解析】設(shè)向量a，b的夾角為，因?yàn)?ab6，所以4a4abb6．

1

又ab1，所以44cos16，所以cos．

4

1

故答案為：

4

例5．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若e1,e2是夾角為60的兩個(gè)單位向量，則a2e1e2

與b3e12e2的夾角大小為________.

2

【答案】120/

3

1

【解析】e,e是夾角為60的兩個(gè)單位向量，則e1e2e1e2cos60，

122

2217

，

ab2e1e23e12e26e1e1e22e262

22

222

1，

|a|2e1e24e14e1e2e24417

2

2221ab1

，cosa,b，

|b|3e12e29e112e1e24e291247

2|a||b|2

0a,b180，a,b120.

故答案為：120

例6．（2024·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知向量a和b滿足：a1，b2，

2ab2ab0，則a與b的夾角為__________．

【答案】/60

3

【解析】記向量a和b的夾角為，將2ab2a·b平方得到：

1

4|a|2|b|24|a||b|cos4|a|2|b|2cos22cos2cos10cos或1，

2

1π

又因?yàn)?ab2a·b0cos1，即cos．

23

π

故答案為：.

3

變式7．（2024·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）若向量a與b不共線也不垂直，且

aa

cab，則向量夾角a,c________.

ab

【答案】

2

aa2aa22

【解析】由題意可得：acaabaabaa0，

abab

π

故：ac，即向量a與c的夾角為.

2

π

故答案為：

2

變式8．（2024·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎猘?b?c是同一個(gè)平面上的向量，

若acb，且ab0,ca2,cb1，則c,a__________.

5

【答案】arcsin

5

22

【解析】設(shè)acbm，則camcosc,a2，cbmcosc,b1，

故cosc,a2cosc,b，

ab0,a,b0,π，

ππ

則a,b，ca20，cb10，故c,ac,b，

22

ππ

設(shè)c,a，0,，則cos2cos2sin，

22

2255

又sincos1，解得sin，故c,aarcsin.

55

5

故答案為：arcsin.

5

變式9．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量a，b滿足a1,1，

b1，ab1，則向量a與b的夾角大小為___________.

π

【答案】

4

【解析】由于a1,1，所以a2，

ab12

所以cosa,b0，

ab22

π

所以a,b為銳角，所以a,b.

4

π

故答案為：

4

變式10．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量ax1,3，b1,0，ab2，

則向量ab與b的夾角為______．

2π

【答案】

3

【解析】ab2x12x3，則ab1,3，則

abb12π

cosab,b，又ab,b0,π，則ab,b

abb23

2π

故答案為：.

3

變式11．（2024·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量a1,2，b4,2，若非

零向量c與a，b的夾角均相等，則c的坐標(biāo)為___（寫出一個(gè)符合要求的答案即可）

【答案】（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標(biāo)相等即可.

【解析】設(shè)cx,y，因?yàn)閍1,2，b4,2，

acx2y

所以cosa,c，

ac5x2y2

bc4x2y

cosb,c，

bc25x2y2

因?yàn)閏與a，b的夾角均相等，所以cosa,c=cosb,c，

x2y4x2y

所以，

5x2y225x2y2

化簡得xy，所以c(x,x)，

因?yàn)閏為非零向量，可取x1，此時(shí)c(1,1).

故答案為：（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標(biāo)相等即可.

【解題方法總結(jié)】

求夾角，用數(shù)量積，由a×b=|a|×|b|cosq得

+

a×bx1x2y1y2

cosq==，進(jìn)而求得向量a,b的夾角．

×2+22+2

|a||b|x1y1x2y2

題型三：平面向量的模長

例7．（2024·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知平面向量a，b，c滿足a(2,1)，

b(1,2)，且ac.若bc32，則|c|（）

A．10B．25C．52D．35

【答案】A

ac2xy0x2

【解析】令c(x,y)，則，可得，

bcx2y32y22

所以|c|2810.

故選：A

例8．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a，b是非零向量，a1，

rr

2

a2ba，向量a在向量b方向上的投影為，則ab________.

4

【答案】2

2121

【解析】∵a2ba，∴a2baa2ba0，∴baa，

22

2ab2

∵向量a在向量b方向上的投影為，∴，

4b4

4

∴bab2，

2

222

21

∴aba2abb1224，

2

∴ab2.

故答案為：2

例9．（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知向量a，b滿足a1,1，b4，aab2，

則3ab__________．

【答案】10

【解析】因?yàn)閍1,1，b4，aab2，則a2，

2

所以aabaab2，所以aab2ab2，解得：ab4，

2

22

3ab3ab9ab6ab

92162410.

故答案為：10.

變式12．（2024·四川南充·閬中中學(xué)校考二模）已知a,b為單位向量，且滿足a5b6，

則2ab______.

【答案】5

22

【解析】a,b為單位向量，且滿足a5b6，所以a25ab5b6，

即125ab56，解得ab0，

22

所以2ab4a4abb5.

故答案為：5.

變式13．（2024·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）已知平面向量a,b滿足a10,b2,且

2abab14，則ab=_________________．

【答案】32

22

【解析】由2abab2aabb20ab414,得ab2,

2

22

所以ababa2abb104432.

故答案為：32

變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量a,b滿足ab3，ab2ab，則

b______．

【答案】3

rr

2222

【解析】由ab3，得a2abb3，即2abab3①．

r2rrr2r2rrr2

又由ab2ab，得a2abb4a4abb，

222

2

即3a6ab0，代入①，得3a3ab30，

2

整理，得b3，所以b3．

故答案為：3

變式15．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA1,1，OB3,4，

點(diǎn)P在線段AB上，且AP1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．

18

【答案】(,)

55

【解析】由題知，O0,0，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，

OA1,1，OB3,4，x10,y101,1，x20,y203,4，

x1x3

1，2，

y11y24

337

A1,1,B3,4，k，則直線AB方程為yx，

AB444

37

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x0,x0，3x01，

44

332

APx1,x，233，

00APx01x01

4444

1818

求解可得，x，y，即P點(diǎn)坐標(biāo)為(,).

050555

18

故答案為：(,)

55

變式16．（2024·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a2,1，b4,t，若ab2，則

2ab______．

【答案】82

【解析】因?yàn)閍2,1，b4,t且ab2，

所以ab241t2，解得t10，所以b4,10，

所以2ab22,14,108,8，

22

所以2ab8882.

故答案為：82

【解題方法總結(jié)】

2

求模長，用平方，|a|=a．

題型四：平面向量的投影、投影向量

例10．（2024·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）已知向量a3,6，b3,4，

則a在b方向上的數(shù)量投影為______.

【答案】3

【解析】因?yàn)橄蛄縜3,6，b3,4，

ab336415

所以a在b方向上的數(shù)量投影為acosa,b3.

b9165

故答案為：3.

例11．（2024·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┮阎猘(2,1),b(4,m),

若向量b在向量a方向上的數(shù)量投影為5，則實(shí)數(shù)m_______．

【答案】3

ab8m

【解析】由條件可知，向量在向量方向上的數(shù)量投影為5，

bab5

解得：m3.

故答案為：3

例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量a6，e為單位向量，當(dāng)向量a、e的夾角

等于45時(shí)，則向量a在向量e上的投影向量是________．

【答案】32e

【解析】因?yàn)橄蛄縜、e的夾角等于45，

所以向量a在向量e上的投影向量是a鬃cos45e=32e，

故答案為：32e.

變式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知向量a(1,2)，向量b(1,1)，

則向量a在向量b方向上的投影為_________.

【答案】2

2

ab12

acosa,b

【解析】2.

b2

故答案為：2

2

變式18．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量a，b滿足ab3，a2，b0,1，

則向量a在向量b方向上的投影為______.

【答案】2

【解析】因?yàn)閎0,1，所以b1，又ab3，a2，

22222

所以aba2abba2abb9，所以ab2，

ab

所以向量在向量方向上的投影為2.

abb

故答案為：2

變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知非零向量a,b滿足(a2b)(a2b)，且向量

1

b在向量a方向的投影向量是a，則向量a與b的夾角是________.

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