高考數(shù)學(xué) 數(shù)列（79題）難題專項訓(xùn)練 文

年高考數(shù)學(xué)（文）難題專項訓(xùn)練：數(shù)列

1.（年四川成都市高新區(qū)高三4月月考，10,5分）若數(shù)列E｝滿足

q=73.%「2心=2.-6'則當(dāng)可取最小值時〃的值為（)

A.8或9B.9C8D.7或8

2.（年湖北七市高三4月聯(lián)考，9,5分）如右圖，一單位正方體形積木，平放于桌面上，并且在其上方放置

若干個小正方體形積木擺成塔形，其中上面正方體中下底面的四個頂點是下面相鄰正方體中上底面各邊的

中點，如果所有正方體暴露在外面部分的面積之和超過8.8,則正方體的個數(shù)至少是（）

A.6B.7C.8D.10

3.（年北京海淀區(qū)高三第二次模擬，8,5分）若數(shù)列a:滿足：存在正整數(shù)r,對于任意正整數(shù)〃都有

"一=4成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列,周期為r.已知￥數(shù)列滿足qm（w>0）.

則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A,若外=%則例可以取3個不同的值

B.若加0則數(shù)列制二是周期為3的數(shù)列

c.vrw、?且rz2,存在m是周期為r的數(shù)列

D.正，EQ且附22,數(shù)列是周期數(shù)列

4.（湖北黃岡市高三三月質(zhì)量檢測.g,5分）等差數(shù)列,“，前〃項和為c,已知

+20I3(4,G-I)=I.(q*-1)'+2013(^-1)=-1/^

R

AS”=2013,0g>。皿B，S3ML201B.qQQg<

=

^3>u>a]00b°，5皿j=-2013.01001Vq加

v）

5.（浙江紹興一中高三十月月考,7,3分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）：R（x）滿足川」=“'，且

g（x）

/'□）#…八i）g'（l）,f'若有窮數(shù)列（（njv））的前n項和等于則n

g（l）K（-l）2g（n）32

等于（）

A.4B.5C.6D.7

6.（北京東城區(qū)高三模擬，8,5分）定義：F，x,y）=yX（x>o,y>O）,已知數(shù)列

｛%｝演足：凡（〃￡、?），若對任意正整數(shù)小都有4>a<（左W、,）成立，則出的值為（)

1r89

(A)-(B)2(C)-(D)-

298

7.（河南省畢業(yè)班模擬，11,5分）已知E.0分別是雙曲線？2（a>0.b>0）的左、右焦點,P為

雙曲線上的一點，若4FFFL90。，且aFF艮的三邊長成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是（）

A.2B.3C.4D.5

8.（江西,8,5分）數(shù)列｛aj的通項a,=n2?cos?竽sin?號）其前n項和為Sn,則S初為（）

A.470B.490C.495D.510

9.（年河南十所名校高三第二次聯(lián)考J6,5分）設(shè)數(shù)列,1是等差數(shù)列數(shù)列他）是等比數(shù)列，記數(shù)列｛.｝,

1卜｝的前n項和分別為§,1.若as=bs,a5=bs,且SLS5=4(Tg—Ti),則=

4+4

10.（年廣東省廣州市高三4月綜合測試，13,5分）數(shù)列;0；的項是由1或2構(gòu)成,且首項為1.在第《個

1和第］個1之間有21_|個2,即數(shù)列：“；為：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2.1,記數(shù)

列的刖〃項和為9

U.（北京海淀區(qū)高三11月月考，14,5分）數(shù)列中，如果存在q,使得“q一且q成立

（其中422.Aw、'），則稱q為13；的一個峰值.

（I）若&=-3/+11〃，則卜4的峰值為；

（II）若&=〃，且不存在峰值，則實數(shù)，的取值范圍是

12.（安徽合肥高三第二次檢測，14,5分）設(shè)函數(shù)）的最大值和最

X.t-Xr+/1.n//-2

V=~;----------（X€-------WN）

3

小值分別為4和“，且也-⑹S.=|q|+|j|+g?…+|q|=

13.(河南高三模擬，16,5分)某數(shù)表中的數(shù)按一定規(guī)律排列，如下表所示,從左至右以及從上到下都是無限的.

此表中，主對角線上數(shù)列1,2,5,10,17,…的通項公式&尸.

111111

123456

1357911

147101316

159131721

??????????????????

14.(四川，16,4分)記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù).例如，[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=T.設(shè)a為正整數(shù),

數(shù)列｛xj滿足x.=a,X"「:抑nENl現(xiàn)有下列命題：

①當(dāng)a=5時，數(shù)列｛xj的前3項依次為5,3.2;

②對數(shù)列｛xj都存在正整數(shù)k,當(dāng)n>k時總有x產(chǎn)xj

③當(dāng)n》l吐xn>%5-l;

4對某個正整數(shù)k,若Xk.Gxk,則x卜=[、而].

其中的真命題有.(寫出所有真命題的編號)

15.(江蘇，10,5分)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:

1

23

456

78910

1112131415

根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n23)行的從左至右的第3個數(shù)是.

16.(湖南，15,5分)將正△ABC分割成n2(n22,nEM)個全等的小正三角形(圖1,圖2分別給出了n=2,

3的情形)，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于^ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)

數(shù)的個數(shù)不少于3時)都分別依次成等差數(shù)列.若頂點A、B、C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點

上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,f(3)=，…，f(n)=.

圖1圖2

17.(湖南，16,5分)對于nWN*將n表示為『團秋旺小乂2k%a2X2卜當(dāng)i=0時，a=1,

當(dāng)iWiWk時，ai為。或1.記I(n)為上述表示中&為0的個數(shù)(例如：1=1X2°,4=1X22+0X2l+0X20,故

127

1(1)=0,1(4)=2),貝IJ(1)1(12)=;(2)￡2"n)=.

n=l

18.(江蘇，13,5分)設(shè)l=aWazW…其中a1，a3,a5,a?成公比為q的等比數(shù)列，a2,a?,女成公差

為1的等差數(shù)列，則q的最小值是.

19.(上海，12,4分)已知函數(shù)f(x)=sinx+tanx.項數(shù)為27的等差數(shù)列｛即｝滿足a0￡傳,引，且公差dWO.

若f：aj+f(a2)+-+f(327)=0,則當(dāng)k=時，f(ak)=0.

20.(湖南，15,5分)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖所示的0T三角數(shù)表.從上在下

數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1

的是第行;第61行中1的個數(shù)是

第1行11

第2行101

第3行1111

第4行10001

第5行110011

21.(北京，14,5分)某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下:第k棵樹種植

Xk=Xk-i+L5[T管＞T償)],

在點PKxk,yj處，其中xE,y>=l,當(dāng)k22時,yk=yk.1+T(^j-T(^j.

T(a)表示非負(fù)實數(shù)a的整數(shù)部分，例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案，第6棵樹種植點的坐標(biāo)應(yīng)

為；第2008棵樹種植點的坐標(biāo)應(yīng)為.

22.(湖北，15,5分)已知數(shù)列瓜｝滿足:ai=m(m為正整數(shù))，an..=M為偶數(shù)若出勺，則m所有可

3an+l,當(dāng)°為奇婁

能的取值為.

23.(湖南，15,5分)若數(shù)列6,)涉足:對任意的n￡N*,只有有限個正整數(shù)m使得a￡n成立，記這樣的m

的個數(shù)為⑸)",則得到一個新數(shù)列｛(備)｝例如,若數(shù)列⑸｝是1,2,3,…，n,…，則數(shù)列｛⑸)，是

0,1,2,…，n-1,….已知對任意的nEN*,&=r,貝*=,((an)*)*=.

24.(安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)合考試21,14分)已知Sn為數(shù)歹上村的前n項和，ai=a(atN?).

=

Snkan*i01￡曠.上￡可且常數(shù)卜滿足0<|k|<1.

(I)求數(shù)列｛aJ的通項公式；

(II)對于每一個正整數(shù)m,若將數(shù)列中的三項a.“，aw,按從小到大的順序調(diào)整后，均可構(gòu)成等差數(shù)

列，且記公差為&,試求k的值及相應(yīng)d0的表達(dá)式(用含m的式子表示)；

(III)記數(shù)列｛&｝(這里&是⑵中的&的前m項和為％=&+&+…+&.問是否存在a,使得TK90對

SWN?恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由.

25.(年安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)考，20,13分)已知橢圓E：-^^^=Ha>b>

ab

為橢圓的兩個焦點，“為橢圓上任意一點，且|岬UKKLIMI構(gòu)成等差數(shù)列，點瑪(c.o)到直線

人工=《的距離為3。

(I)求橢圓￡的方程；

(II)是否存在以原點為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓，恒有兩個交點4A且而_L而？若

存在，寫出該圓的方程；若不存在，請說明理由

（ITI）在（II）的條件下，求證：工77土不。為定值.

26.（湖北黃岡市高三三月質(zhì)量檢測，22,14分）設(shè)/（r）=F_0（x+|）-

（I）若〃0對一切NeR恒成立，求”的最大值，

（,1）設(shè)—山）?巴’且g加.Mw/x,5）是曲線”?。┥先我鈨牲c'若對任意的

〃與“，直線AB的斜率恒大于常數(shù)用，求切的取值范圍；

（川）求證：r

r+3-4...^（2/1-ir<—（2wf（w€Af*）

e-l

27.（北京海淀區(qū)高三三月模擬題，20,13分）設(shè)小幻」為平面直角坐標(biāo)系上的兩點，其中

iON.wZ。令=?=3-卜/若加上固卜3，且|帖卜|的,0，則稱點8為點1的

“相關(guān)點”，記作：8x（村已知匕（""）（3°eZ）為平面上一個定點，平面上點列優(yōu);滿足：

尸="?1），且點’的坐標(biāo)為（xQ,j其中j=L2.3，.…〃?

（I）請問：點？的“相關(guān)點”有幾個？判斷這些“相關(guān)點”是否在同一個圓上，若在同一個圓上，寫

出圓的方程；若不在同一個圓上，說明理由；

（II）求證：若/，與戶重合，〃一定為偶數(shù)；

（川）若外（1.0〉且4100，記寸?求丁的最大值?

'一乙'

）

28.（重慶市高三九校一月聯(lián)合診斷考試，21,12分）設(shè)數(shù)列的前“項和為$,滿足

S.=a..「2?“+l.5wN,）且

（I）求，，的值；

（II）求數(shù)列jt的通項公式；

（川）設(shè)數(shù)列W1的前〃項和為了，且"證明：對一切正整數(shù)〃，都有：

**"二0二-2

29.:北京海淀區(qū)高三11月月考，20,14分）已知數(shù)集/…<…<4.〃22）具有

性質(zhì)P:對任意的人（2J4n）,~i.i（\<i<j<n）,使得生巴成立.

（I）分別判斷數(shù)集3,4｝與｛L2,3.6｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

（II）求證:凡42al....aK（n-2）;

（III）若4=72,求數(shù)集,4中所有元素的和的最小值.

30.（四川省米易中學(xué)高三第二次段考，21,10分）設(shè)為數(shù)列仙」的前〃項和，對任意的〃cN.,都有

$廣（洸+1）-?MQM/W為常數(shù)，且6>0）.

（1）求證：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列（%｝的公比4二/㈣，數(shù)列同滿足“-〃也-/（如）,（。）2tMM）,求數(shù)列卜」的通項公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前〃項和7；.

31.（浙江紹興一中高三十月月考,22,10分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列｛0.）和gJ滿足：

Qn+bn*._

a?i=A,

九+a片，

（I）設(shè)以1=1+”次.仁，求證：⑴妃=1+（藥；⑵數(shù)列｛（紅）.｝是等差數(shù)列，并求出其

azVanan

公差；

（II）設(shè)一、①3，nwN:巨M：是等比數(shù)列，求a和瓦的值.

“?

32.（廣東省海珠區(qū)綜合測試，19,14分）已知等差數(shù)列1；滿足卬=5必_2小=3又?jǐn)?shù)列區(qū)產(chǎn):3

日/

地-%=0（〃wV）

（D求數(shù)列1b｝的通項公式；

⑵若數(shù)列1b｝的前〃項和分別是§.丁，且5.（27；4-3）求數(shù)列上產(chǎn)前"項和“；

n

⑶若“劣對一切正整數(shù)"恒成立，求實數(shù)〃7的取值范圍.

?>9log（r-（m>0.1）

4

(2012北京東城區(qū)高三模楸，20,14分)對于數(shù)列｛4｝5=1,2,…：?M),令"為斗%.....%中

的最大值，稱數(shù)列｛2｝為｛aj的“創(chuàng)新數(shù)列”例如數(shù)列2,1,3,7.5的創(chuàng)新數(shù)列為2，2,3,7.

7,定義數(shù)列｛q｝：q,c,,C3,…,《是自然數(shù)1，2,3，…，陽(冽＞3)的一個排列〃

33.

(I)當(dāng)加=5時，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,4，4,5，5的斫有數(shù)列｛cj;"

(II)是否存在數(shù)列｛cj，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列,)，若不存在，請說

明理由*

34.(福建省畢業(yè)班質(zhì)量檢測，20,M分)設(shè)函數(shù)〃1)的圖象是由函數(shù)、「］的

八9^(x)=cos2x4-V3sinxcosx-

■

圖象經(jīng)下列兩個步驟變換得到：

(1)將函數(shù)0"的圖象向右平移T個單位，并將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)方.)

12

的圖象；

(2)將函數(shù)及力的圖象上各點的縱坐標(biāo)縮短為原來的1倍(橫坐標(biāo)不變)，并將圖象向上平移

1個單位，得到函數(shù)“X)的圖象.

(I)求八門的表達(dá)式；

(II)判斷方程”以的實根的個數(shù)，證明你的結(jié)論；

(III)設(shè)數(shù)列5：滿足外=0,°|=/(。)，試探究數(shù)列俗：的單調(diào)性，并加以證明.

35.(北京海淀區(qū)期末練習(xí)，20.1?分)將一個正整數(shù)〃表示為ai+a?+a/rwAO的形式，其中

"陣*，j=1,2,…。且勺4a,4???44記所有這樣的表示法的種數(shù)為/(〃)(如4=4,4=1+3,4=2+2,

4=1+1+2,4=1+1+1+1,故八4)=5

(I)寫出.3),“5)的值，并說明理由；

(II)對任意正整數(shù)〃，比較〃”4］、與1的大小，并給出證明；

八,三加).加.2)］

(川)當(dāng)正整數(shù)〃26時，求證：/(〃)24八13,

36.(安徽合肥高三第二次檢測，19,13分)已知數(shù)列心：滿足［=］4=5.〃22時，a=5。-6a,

(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

(?J

(2)試比較"與27.I的大小，并說明理由.

37.(江西省南昌市第二次模擬，21,14分)

(1)已知等差數(shù)列｛a』的前n項和為Sn,若m+n=s+t(m,n,s,tEN*,且mHn,sWt),證明:$一§§.

(2)注意到(1)中弓與n的函數(shù)關(guān)系,我們得到命題：設(shè)拋物線xJ2py(p>0)的圖像上有不同的四點A,B,C,

D,若X”XB,XC,XD分別是這四點的橫坐標(biāo),且不+x產(chǎn)XC+XD,則AB〃CD.判定這個命題的真假,并證明你的

結(jié)論.

(3)我們知道橢圓和拋物線都是圓錐曲線，根據(jù)(2)中的結(jié)論，對橢圓；:提出一個有深

-7?=l(o>b>G)

ab'

度的結(jié)論，并證明.

38.(天津十二區(qū)縣聯(lián)考.19,14分)已知數(shù)列忖1的首項勺■■3,前〃項和為s，且

2^+11設(shè)=bgj（a?+l）.”

■?I

(I)判斷數(shù)列5+R是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

(II)設(shè)J"，證明：.；

(III)對于(I)中數(shù)列｛〃J,若數(shù)列y[滿足/■](%、("M)(〃c、)在每兩個/，與/「之間都插

入2?(*.|,23???左6獷)個2,使得數(shù)列I/；變成了一個新的數(shù)列％丫(,￡、?)試問：是否存在正

整數(shù)〃八使得數(shù)列“1的前，〃項的和7匿=2011?如果存在，求出用的值；如果不存在，說明理由.

39.(湖南，19,12分)已知數(shù)歹IJ｛a｝的各項均為正數(shù),記

,

A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+***+an*i,C(n)=a3+a<i+**+a<l.2,n=l,2,

⑴若&=1,az=5,且對任意nEN：三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列求數(shù)列⑸｝的通項公式；

(2)證明:數(shù)歹U｛&｝是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意n￡N,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比

為q的等比數(shù)列.

40.(大綱全國，22,12分)函數(shù)f(x)=x'-2x-3.定義數(shù)列｛x“｝如下：Xi=2,x““是過兩點P(4,5)、Q,(xrl,f(x,J)

的直線PQ,與x軸交點的橫坐標(biāo).

⑴證明：2WXm“<3;

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

41.(浙江.21.15分)已知數(shù)列｛aJ中的相鄰兩項o.n-1,a%是關(guān)于x的方程x2-(3k+2k)x+3k-2k=0的兩個

根，且a2kWa2k(k=l,2,3…)

(I)求ai,a3,a3,a7;

(ID求數(shù)列陵｝的前2n項和SG；

(III)記f(n)=%1包叫3)T<i)@<i)丸(」)巴…q)_ln±2)_

""忙十刃,八

5’2[sinnaia2a3a4a5a6?

求證.

42.(四川,21,12分)已知函數(shù)f(x)=X2-4,設(shè)曲線y=f(x)在點(x0，f(x?))處的切線與x軸的交點為

(xm,0)(nEN),其中心為正實數(shù).

(I)用Xn表示Xml；

(II)求證:對一切正整數(shù)n,XzWxJ勺充要條件是

(III)若xi=4,記備=lg胃,證明數(shù)列｛aj成等比數(shù)列，并求數(shù)列兒的通項公式.

43.(安徽，21,14分)某國采用養(yǎng)老儲備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金.數(shù)目為由，以

后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0),因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目a,aZ,…是一個公差為d的

等差數(shù)列.與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利.這就是說，如果固

定年利率為r(r>0).那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍(1+r)二第二年所交納的儲備

金就變?yōu)閍Kl+r)『I….以L,表示到第n年末所累計的儲備金總額.

(I)寫出L與Tg(nN2)的遞推關(guān)系式；

(II)求證：Tn=X+B「，其中凡｝是一個等比數(shù)列，｛B6是一個等差數(shù)列.

44.(北京，20,13分)對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列A:ai,a?,…，①，定義變換「，L將數(shù)列A變換成數(shù)列

Ti(A；:n,ai-l,a2-l,,,,,a?-l.

對于每項均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B：b,必bn,定義變換Tz,T,將數(shù)列B各項從大到小排列，然后去掉所

有為零的項，得到數(shù)列TKB);又定義

5(B)=2(512bzl…?mb,)山0矽…ib.

設(shè)A是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令k產(chǎn)TzCG均))(k=0,1,2,-).

(I)如果數(shù)列A。為5,3,2,寫出數(shù)列由，由；

(II)對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A,證明:S(TF每)=S(A);

(III)證明:對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0,存在正整數(shù)K,當(dāng)k2K時，S(AkJ=S(Ak).

45.(湖南，18,12分)數(shù)列｛aj滿足a】=l,a2=2,a?Hl+cos?墨%+sin號n=l,2,3,—.

(I)求Mab并求數(shù)列(a4的通項公式；

(II)設(shè)b產(chǎn)學(xué)3S?=b,+b2+-+bn.證明：當(dāng)n26時，|Sn-2|d

46.(天津，22,14分)在數(shù)列｛a』與(b』中，a1=l,bi=4,數(shù)列｛aj的前n項和S。滿足nS”「(n+3)Sn=0,2an>i

為b0與臉］的等比中項，nGN*.

(I)求助,th的值；

(ID求數(shù)歹IJ｛等與｛bj的通項公式;

a

(III)設(shè)T.=(T)%!+(-1)a2b2+…+一)?bn,nGN*.

證明：|，|<2n：n23.

Hn+c,an<3,

47.(上海，21,18分)已知以④為首項的數(shù)列出｝滿足a.產(chǎn).

于*3.

(I)當(dāng)由=1,c=l,d=3時，求數(shù)列凡｝的通項公式；

(II)當(dāng)0<a3,c=l,d=3時,試用a1表示數(shù)列｛a｝前100項的和SM

(III)當(dāng)0<a4(m是正整數(shù))，c*,正整數(shù)d23nl時，求證:數(shù)列a$a3.2-^?a9n成等比

數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)d=3m.

48.(湖南，21,13分)對于數(shù)列｛uj,若存在常數(shù)M〉0,對任意的nEV,恒有

IUnH-Un|+|Un-Un-1|+…+|U2-UiWM,則稱數(shù)列｛llj為數(shù)列.

(I)首項為1,公比為q(|q?)的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列?請說明理由；

(II)設(shè)出是數(shù)列｛xj的前n項和.給出下列兩組論斷：

A組:①數(shù)列｛4是B-數(shù)列，②數(shù)列｛x,｝不是B-數(shù)列；

B組:③數(shù)列｛SJ是B-數(shù)列，④數(shù)列｛SJ不是B-數(shù)列.

請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并

證明你的結(jié)論；

(III)若數(shù)列5｝、｛bj都是B-數(shù)列.證明:數(shù)列｛&>｝也是B-數(shù)列.

4

49.(四川，22,14分)設(shè)數(shù)列⑸｝的前n項和為5”對任意的正整數(shù)「，都有源=5541成立，記b產(chǎn)黃(n

(I)求數(shù)列化』的通項公式：

(II)記c產(chǎn)b—nEM),設(shè)數(shù)列&｝的前n項和為T“，求證:對任意正整數(shù)n,都有1號

(III)設(shè)數(shù)列化力的前n項和為&.已知正實數(shù)X滿足:對任意正整數(shù)n,RnWNn恒成立，求X的最小值.

50.(陜西，22,12分)已知數(shù)列｛x』滿足XL；,尸蓊*,nEN*.

(I)猜想數(shù)列｛X2n｝的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(II)證明：L「Xn|W據(jù)產(chǎn)

51.(上海，23,18分)已知瓜｝是公差為d的等差數(shù)列，｛bj是公比為q的等比數(shù)列.

(I)若a“=3n+l,是否存在叭kEN1有4,+a*4?請說明理由；

(II)找出所有數(shù)列｛4,｝和瓜｝,使對一切nEN*,智王”并說明理由；

(III)若a尸5,d=4,b尸q=3,試確定所有的p,使數(shù)列｛斯｝中存在某個連續(xù)p項的和是數(shù)列｛b“｝中的一項，請

證明.

52.值慶,21,重分)在數(shù)列｛a｝中,&=1,產(chǎn)can+d”?(2n+l)(nGN*),其中實數(shù)cWO.

(I)求｛a“｝的通項公式；

(II)若對一切kWN?有aGa2k-1，求c的取值范圍.

53.(天津,22,14分)在數(shù)列｛4｝由a尸0,且對任意kEN*,,3a*成等差數(shù)列，其公差為d,.

(I)若dk=2k,證明a?”aa”,a-；：成等比數(shù)列(k￡N");

(II)若對任意k千M,aa,a—a—成等比數(shù)列,其公比為明

(i)設(shè)SW1,證明｛3｝是等差數(shù)列；

(ii)若az=2,證明系2n-￡￥w2(n22).

Nk=2ak

54.(四川,21,12分)已知數(shù)列｛時｝滿足a=0,鈾=2,且對任意m,nWN"都有a*i+a2nT=2%E+2(m-n)

(I)求a.%as：

(ID?bn=a2n,I-a2n-1(neir),證明：依｝是等差數(shù)列；

(III)設(shè)a=(a#「a“)qFqWO,n€N*',求數(shù)列｛cj的前n項和S“.

-

55.(湖北，19,13分)已知數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,且滿足:ai=a(aK0),an.i=rSn(n^N,rGR,r#T).

(I)求數(shù)列｛肅的通項公式;

(ID若存在k￡W,使得Sk”Sk,Sx成等差數(shù)列，試判斷:對于任意的mEN*,且m22,a,“，a”即是否

成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

56.(廣東，20,14分)設(shè)b>0,數(shù)列iaj滿足a1=b,a"罵為(n22).

(I)求數(shù)列L｝的通項公式；

(II)證明：對于一切正整數(shù)n,備忘￡+1.

57.(江蘇，20,16分)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列｛a｝的首項ai=l,前n項的和為Sn,已知對任

意的整數(shù)k￡M,當(dāng)整數(shù)n>k時，Sn.k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.

(I)設(shè)乂=｛1｝,a2=2,求痣的值;

(II)設(shè)舊｛3,4｝,求數(shù)列｛%｝的通項公式.

58.(北京，20,13分)若數(shù)列A“:a1，a2,…，a0(n22)滿足|ak「aj=l(k=l,2,???,n-1),則稱A0為E

數(shù)列記S(An)=ai+a2+—+a?.

(I)寫出一個滿足a產(chǎn)好0,且S(AJ〉0的E數(shù)列A5;

(ID若a產(chǎn)12,n=2000,證明:E數(shù)列A0是遞增數(shù)列的充要條件是an=2Oil;

(III)對任意給定的整數(shù)n(n22),是否存在首項為0的E數(shù)列A”使得S(A.)=0?如果存在，寫出一個滿

足條件的E數(shù)列如果不存在，說明理由.

59.(_t海22,18分)已知數(shù)列｛a“｝和｛b,j的通項公式分別是a<、=3n+6,bn=2n+7(nGN').將集合海|x=a,n

WM)U｛x|x=bn,nEN?｝中的元索從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列5c2,…，g，….

(I)寫出Cl,C2,C3,C?；

(II)求證:在數(shù)列kJ中、但不在數(shù)列(EJ中的項恰為十，而…，…；

(III)求數(shù)列｛cJ的通項公式.

60.(全國I,22,12分)已知數(shù)歹ij｛&｝中a=2,a.尸(&-1)⑸+2),n=i,2,3,….

(I)求｛an｝的通項公式；11

(II)若數(shù)列｛喝中瓦=2,beg：：：n=l,2,3,—,證明:&<匕±由川n=l,2,3,….

61.(江蘇,20,16分)已知｛%｝是等差數(shù)列，偽｝是公比為q的等比數(shù)列,a,=bba2=b2^a..記S.為數(shù)列瓜｝

的前n項和.

(I)若bk=a?(m,k是大于2的正整數(shù))，求證:Sk】=(mT)a1;

(ID若b尸aMi是某個正整數(shù))，求證:q是整數(shù)，且數(shù)列｛b.｝中的每一項都是數(shù)列｛a“｝中的項；

(III)是否存在這樣的正數(shù)q,使等比數(shù)列(b/中有三項成等差數(shù)列?若存在，寫出一個q的值，并加以說明;

若不存在，請說明理由.

62.(重氏21,12分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列3｝的前n項和S.滿足SOI,且6s產(chǎn)(a#)3+2),n

(I)求｛an｝的通項公式；

(II)設(shè)數(shù)列｛bj滿足①(2匕1)=1,并記I為｛bj的前n項和，求證:31\+1>1。82(%+3),nGN;

63.(山東，19,12分)將數(shù)列｛a.｝中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表:

31

a2a3

a.ia.sa?

a?a8aHa1。

??????

記表中的第一列數(shù)句,a2,aba：,…構(gòu)成的數(shù)列為｛bj,b,=a,=l.S0為數(shù)列依｝的前n項和，且滿足

小茗l(n》2).

(I)證明數(shù)列｛士｝成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛況｝的通項公式；

(II)上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù).

當(dāng)a后-自時，求上表中第k(k23)行所有項的和.

64.(天津，22,14分)已知等差數(shù)列⑸｝的公差為d(dWO),等比數(shù)列｛b』的公比為q(q>l).設(shè)

S產(chǎn)ab+a2b2+???+anb”T產(chǎn)a】b「a2b2+???+(T)"Abn,nWN：

(I)若a尸bi=l,d=2,q=3,求S?的值；

(ID若E=l,證明：(l-q)S2n-(Hq)”產(chǎn)典上◎，nEM;

1-q

(III)若正整數(shù)n滿足2WnWq,設(shè)k1，k2,…，k0和L,k,…，In是1,2,????n的兩個不同的排列,

aaaaaa

c1=k1bi+k2b2+—+knbn,c2=l1bi+l2b2+—+lnb,?證明:C1KC2.

65.(重慶，21,12分)設(shè)m個不全相等的正數(shù)a2,a,(m^7)依次圍成一個圓圈.

(I)若m=2009,且ai,a2,???,ai儂是公差為d的等差數(shù)列，而ai,a?叫a?蝮，…，aioo?是公比為q=d

的等比數(shù)列;數(shù)列aba2,…，如的前n項和Sn(nWm)滿足:S：j=15,S2(09=82007+12a),求通項aJnWm);

(II)若每個數(shù)a0(nWm)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項，求證:a什…+ati+a齊…+a?maia2…a..

66.(北京，20,13分)已知數(shù)集人=⑼，如…，aj(1—…Q2)具有性質(zhì)P:對任意的i,

j(l.WjWn),a冏與茶數(shù)中至少有一個屬于A.

(I)分別判斷數(shù)集｛1,3,4｝與｛1,2,3,6｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由;

a1+a?+…+a(,

(II)證明：a=l,且LJf

aa、a

l'2''n

(HI)證明：當(dāng)n=5時,a,?a2,a3,ab成等比數(shù)列.

67.(全國I,22,12分)已知數(shù)列｛九｝中，a)=l,a”尸eg.

(I)設(shè)c=[,d=+，求數(shù)列(b.J的通項公式；

(ID求使不等式a“<an水3成立的c的取值范圍.

68.(天津，20,14分)已知數(shù)歹lj｛aj與｛bj滿足04+%+La.2=0,壯=5±^11_",nEN*,且a尸2,a2=4.

(I)求as,a<,(的值;

(II)設(shè)cn=a2n-i+a2nH,nGN*,證明｛c」是等比數(shù)列；

(III)設(shè)Sk=az+a,+…+a2k,kEN*,證明.

2n

69.(四川，20,12分)設(shè)d為非零實數(shù)，a?=^[C；d+2C2d+...+(n-l)O"'+nC；；d](n￡N*).

(I)寫出a”a2,a)并判斷｛aj是否為等比數(shù)列.若是，給出證明;若不是，說明理由；

(II)設(shè)bn=ndan(nGN*),求數(shù)列依｝的前n項和Sn.

70.(上海，20,18分)若有窮數(shù)列a1，a2,…，a/n是正整數(shù))，滿足a尸①，a2=an-i,—,an=a)BPai=an-i-i(i

是正整數(shù)，且IWiWn),就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”.

(I)已知數(shù)列匕｝是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，且)b2,b3,b,成等差數(shù)列，b,=2,(=11,試寫出｛bj的

每一項；

(II)已知｛cj是項數(shù)為2kT(正整數(shù)k'l)的“對稱數(shù)列”，且Ck,cm,…，C2kT構(gòu)成首項為50,公差為

-4的等差數(shù)列，記數(shù)列9.｝的前2k-l項和為Sa-.,則當(dāng)k為何值時，Sa取到最大值?最大值為多少？

(III)對于給定的正整數(shù)m>l,試寫出所有項數(shù)不超過2m的“對稱數(shù)列”，使得1,2,2；…，不，成為數(shù)

列中的連續(xù)項；當(dāng)m〉l500時，試求其中一個數(shù)列的前2008項和Sz*

71.(江蘇，】9,16分)(I)設(shè)防聞…，a”是各項均不為零的n(n24)項等差數(shù)列，且公差dWO.若

將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列.

(D當(dāng)n=4時，求m的數(shù)值；

(ii)求n的所有可能值.

(II)求證:對于給定的正整數(shù)n(n24),存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列b,b”…，b“，其中任

意三項(按原來順序)都不能組成等比數(shù)列.

72.(湖北，19,13分)已知數(shù)列｛&｝的前n項和5產(chǎn)-超6產(chǎn)25為正整數(shù)).

(I)令b"=2"a”求證數(shù)列(b/是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛aj的通項公式；

(II)令c產(chǎn)叫“Wcf.+a,試比較1；與熊的大小,并予以證明.

73.(江蘇，19,16分)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛aj的前n項和為S”.已知2a2=a+a3,數(shù)歹心游；｝是公差為d

的等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛8｝的通項公式(用n,d表示)；

(II)設(shè)c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且:nWn的任意正整數(shù)叫n,k,不等式S.+S)c&都成立，求證:c的最大

值為與

74.(江西，22,14分)證明以下命題：

(I)對任一正整數(shù)a,都存在正整數(shù)b,c(b<c),使得a；b：,2成等差數(shù)列；

(II)存在無窮多個互不相似的三角形△“，其邊長a“，b“，c,為正整數(shù)且afb：,，成等差數(shù)列.

75.(湖南，21,13分)已知An(a“，b?)(n-M)是曲線產(chǎn)e,上的點，a產(chǎn)a,S0是數(shù)列｛aj的前n項和,且

滿足:S%3n23n+S：i，aJO,n=2,3,4,???.

(I)證明：數(shù)歹“窖卜>2)是常數(shù)數(shù)列；

(II)確定a的取值集合M,使aEM時，數(shù)列｛aj是單調(diào)遞增數(shù)列；

(III)證明：當(dāng)a￡M時，弦A“Ae(n￡N)的斜率隨n單調(diào)遞增.

76.(陜西，22,12分)已知各項全不為零的數(shù)列｛aj的前k項和為Sk,且&=%海卜心￡心，其中a=L

(I)求數(shù)列｛&｝的通項公式;

(II)對任意給定的正整數(shù)n(n去2),數(shù)列｛人｝滿足駟=磐&=1,2,…，n-1),b.=l.求E+兒+…+b”.

2

77.(廣東，21,12分)設(shè)p,q為實數(shù),a,B是方程--px+q=O的兩個實根.數(shù)列｛xj滿足“p,x2=p-q,

Xn=pXn-i-cix?-4n=3,4.???).

(I)證明：Q+B=p,aB=q；

(ID求數(shù)列｛xj的通項公式；

(HI)若p=l,q=；,求｛x“｝的前n項和Sn.

78.(陜西，22,14分)已知數(shù)歹lj｛aj的首項由4，a2廣嘉n=l,2,….

(I)求E.｝的通項公式；

(II)證明:對任意的x>0,工2仁*)n=l,2,???;

(III)證明:a〕+a2+…+a。-5

n+71T

79.(江西,22,14分)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛?。?a產(chǎn)a,a2=bf且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)叫n,p,q都

右_ap+aq

(l+an)(l+ap)(l+aq)*

(I)當(dāng)a=2,b=g時，求通項a,;

(II)證明:對任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù)，，使得對于每個正整數(shù)n,都有:WanW人.

答案

1.A2,A3.D4.B5.B6.C7.D8.A

9.工

13

10.36；3981

!”?

11.(I)io；(II)或M+、且〃22}

In2I1M—)

n

iQ

,s10w-2w\(w<3)

*12/-10川+24(”24)

13.n-2n+2

14.①?③

15.日里

16.￥；^(n+l)(n+2)

17.(1)2(2)1093

18.逃

19.14

20.2-1;32

21.(1,2);(3,402)

22.4,5,32

23.2;n2

24.(1)二S.u=Z.tM).

此兩式相減，得S.—$7=--以，化簡得—=詈%(jiZZacAfy

又.