高考數(shù)學二輪專題復(fù)習平面向量中的高頻小題歸類解析版

專題5-1平面向量中的高頻小題歸類

目錄

專題5-1平面向量中的高頻小題歸類.................................................

翻修發(fā)點敦型歸的

題型一：平面向量的線性運算........................................................I

題型二；向量數(shù)量積問題（含最值，范圍問題）........................................5

題型三：向量的夾角...............................................................17

題型四：向量模（含最值，范圍問題）...............................................22

題型五：平面向量的平行與垂直問題.................................................29

題型六：三點共線的等價關(guān)系.......................................................32

有徽新?？贾履锓Q

~...............................................................40

一、單選題.......................................................................40

二、多選題.......................................................................47

三、填空題.......................................................................49

四、雙空題.......................................................................50

題型一：平面向量的線性運算

【典例分析】

例題L（2022?河南開封?一模（文））已知448c中，D為BC邊上一點，且BD=&BC,

貝（）

A.-AC+^ABB.-AC+-AR13

C.AC+-ABD.-AC+-AR

33334444

【答案】A

【詳解】在ABC中,BC=AC-AB.

因為8Q=，8C,所以BO=18C=，（AC—AB）.

333

1IQ

所以AO=48+80=48+加°-叫=(4。+口8.

故選：A

例題2.（2022?河南新鄉(xiāng)?一模（理））在△A8C中，D,E分別為邊A8,AC的中點,

且CD與BE交于點G,記C7)=/〃，BE=n，則AG=()

22c1122n11

A.一二〃i一二nB?—加—nC.—m+—nD.-m+-n

3333333

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意可得點6為4A8C的重心,

.-.2?，■29

同〒以AG=G3+GC=——BE——CD=一一m一一n.

3333

故選：A.

例題3.（2022?四川資陽?一模（理））如圖，C,。為以A8的直徑的半圓的兩個三等

則AF=<

分點，E為線段C。的中點，尸為跖的中點，設(shè)AC=bf)

A.2與八51,D.』J

BUC.-a+—b

o2428444

【答案】A

【詳解】因為C,。為以48的直徑的半圓的兩個三等分點

則AA〃C。，且AB=2C/)

又E為線段C。的中點，尸為跖的中點

I11-1-1—

：.AF=-(AE-^AB\=-AE-^-ABAC+CE]+-AB=-AC+-CD+-AB

2222242

=-AC+-AB+-AB=-AC+-AB=-a+-b

2822882

故選：A.

【提分秘籍】

平面向量的線性運算主要工具是向量的加，減法：

向量加法法則：

①三角形法則（首尾相接，首尾連）：a+b=AB+BC=AC-

②平行四邊形法則（作平移，共起點，四邊形，對角線）：a+b=OA+OB=OC

向量減法法則：（共起點，連終點，指向被減向量）

a—b=0A—OB=BA

【變式演練】

1.（2022?河北容城中學模擬預(yù)測）在平行四邊形A8CD中，”,％分別是4。,。力的中點,

BM=a，BN=b，貝（）

c2r2[

B.—a+—b

33

【答案】B

_ULW11

【詳解】如圖所不，設(shè)人6=/九人￡)=〃，且8￡)=xa+)辦，

則BD=w+)%=x?(gn-in)+y?(〃-g/n)=(gx+y)n-(x-^y)m,

又因為BD=n—m?

-x4-y=1

所以2.,解得2所)以%>-=，2+丑-.

1.3333

X+5JE

故選：B.

2.（2022?吉林市教育學院模擬預(yù)測（理））如圖，YABCQ中，AB=d，A。=力，點E是

AC的三等分點（比二9。）,則￡>E=（）

【答案】B

【詳解】DE=AE-A—D=^2A—C-A—D"=2^（A—B+A—D?）-A一D=^2a-^1b-

故選：B.

3.（2022?寧夏?石嘴山市第三中學模擬預(yù)測（理））在等邊.A8C中，。為重心，。是。8的

中點，貝IJAO=（）

A.AB+ACB.-AB+-ACC.-AB^-ACD.-AB+-AC

322436

【答案】D

【詳解】。為.48。的重心，延長AO交BC于￡,如圖,

-2—21——I一一-

E為8C中點,則有AO=-AE=--(AB+AC)=-(AA+AC),而。是。8的中點,

3323

所以村。=,人8+!40=_1人8+,(43+人0=2八3+,同。.

222636

故選：D

4.(2022.全國.模擬預(yù)測(理))在58。中，。為AC的中點，cK=2EB，則虎=()

1]1]I221

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB——ACD.-AB——AC

23326336

【答案】D

._.2—1

【詳解】因為CE=2即，所以AK-AC=2(AB-AE),所以4公^相+父。，

DE=AE-AD=\^^\AC-\AC=,AB-JAC.

3323o

故選：D

題型二：向量數(shù)量積問題（含最值，范圍問題）

【典例分析】

例題1.（2022?湖南?模擬預(yù)測）已知直線/與圓。：/+/=9相交于不同兩點Q,

點M為線段/'Q的中點，若平面上一動點C滿足b=/tCQ（4>0）,則0coM的取值范圍

是（）

A.[0,3)B.(0.3&]

C.[0,9)D.(0,65/2]

【答案】C

【詳解】因為CP=/ICQ（2＞。），所以P,Q,C三點共線,

且點C在線段PQ外，因為點M為線段PQ的中點，

所以。M_LPQ,即VCOM是直角三角形，

所以cos/COM=^l，由數(shù)量積的定義可得：

IIIIOM

OCOM=\OC\\OM\-cosZCOMM-M-pa力小

因為。引0閘＜3,所以0引0例『＜9,即OKOC-OM＜9，

故選:C.

例題2.（2022?全國?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABC。中，AB=2BC=4fE為邊AB上

的任意一點（包含端點），。為AC的中點，則08。￡的取值范圍是（）

A.[2,10]B.[-2,8]C.[2,8]D.[4,20]

【答案】A

【詳解】法—：設(shè)AE=/M8(/Le[05)，

因為0為AC的中點，所以BO=5(84+8C)=:hAB+AO),

乙乙

所以。8=；(A8-A。).又OE=AE-AD=/IAB—A。，

所以O(shè)BOE=g(AB_4Q)(/lAB-AO)=g(2A/+A￡>>=8/l+2,

因為義所以82+2目2,可，

所以08?。石?2/0]；

法二：以A為坐標原點，人8，A。的方向分別為x,y軸的正方向，建立如圖所示的平面直

角坐標系，

則0(2,1),0(0,2),3(4,0),設(shè)雙孫0)(04/nM4),

所以08=(2,-1),DE=(m,-2),所以O(shè)8OE=2〃2+2.

因為0W〃底4,所以2m+2w[2,10],

即O8OEe[2,10].

例題3.(2022?江西?模擬預(yù)測(理))己知圓。的半徑為2,點A滿足|AC|=4,E,

戶分別是C上兩個動點，且團=26,則AEAF的取值范圍是()

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【答案】c

【詳解】取E尸的中點M，連接CM,則CM=商一（可=1，

AE?Ar=（AM+ME）-（AM+/WF）=（AM+MK）?（人M—ME）=八"，一ME?=人用？一3

=\AC+CM|2-3,

又||AC|-|CM||別|AC+CM||/1C|+|CM|,所以3w|AC+CM卜5,

所以6KAEA/422，

當且僅當向量AC與CM共線同向時:4E.4尸取得最大值22；向量AC與CM共線反向時,

AEM尸取得最小值6,

故選：C.

例題4.（2022?上海松江?二模）已知正方形ABCO的邊長為4,點M、N分別在邊A。、

8C上，且/U/=l,BN=2,若點P在正方形A8CD的邊上，則PMPN的取值范圍是

（）

A.[-6,6]B.f-6,21C.[-2,6]D.[-2,21

【答案】C

【詳解】如圖，建立平面直角坐標系,

則M（O,1）,N（4,2）,

當?在A。上時，設(shè)P（0,y）（0Ky44）,癡=（o/一）,）,前=（4,2-y），

f31

:.PMPN=/-3y+2=（y--）2--,

當），=白時，（前?麗）當丁=4時，（前?俞）心=6，

即-、WPMPNW6,

4

當尸在8c上時，設(shè)尸（4,））（0"'?4）,則痛=（_41_），）,加=（0,2-），），

TT3211

PM-PN=/-3y+2=（y--）——,知——<PMPN<（）t

244

當尸在A8上時，設(shè)P（x,0）（0vxK4）,前=（_%,1）,鬲=（4一%2），

PM-PN=X2-4X+2=（.r-2）2-2，

當x=2時，（前?麗）疝°=_2，當x=4時，（前?麗）皿、=2，

即-2WPM/NW2，

當/，在CQ上時，設(shè)P（x,4）（0<xK4）,p立=（_蒼_3）,而=（4-乂_2），

—>f

：.PM-PN=x2-4x+6=（x-2）2+2，

當x=2時，（前.麗焉=2，當工=4時，（俞.而）皿=6，

即2KPMPNK6.

綜上可得，-2&PMPN&6,

故選：C

例題5.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測（理））已知拋物線C：x2=4y,點M為

直線y=-1上一動點，過點M作直線M4，MB與拋物線。分別切于點A,則M4M8=

（）

A.0B.1C.-1D.0或1

【答案】A

【詳解】由爐=4）,，得y=?/,則/=

42

設(shè)A（N，“0a［，M*。，—I）,所以與川=3，

22

得切線M4的方程為），-今=50-%）,即丁=爭得，

22

切線超的方程為），-今吟（x-Q即），吟x-今，

又兩條切線過切點有T=-1=±%-二，

2424

所以心々是方程即呆2-多工-1=。的兩實根，

2442

得內(nèi)+x2=2/，xtx2=-4,

乂MA=(X)—+1),MB=(x2—工0,~+1),

uuuuuirx22

所以MA,MB=(2一?％)(工2—/)+(寸-+D(q-+D

.、1%1z,>2、1

=xx-x(x+X2)+A0-+；-+—(x~+x-)+l

t2012

22]

=再乂-Xo(N+X,)+$2+%/++X,)2_2MX,]+1

164

將X1+x2=2x0,X1X2=-4代入上式，得用.MB=0.

故選：A

【提分秘籍】

求兩個向量的數(shù)量枳有三種方法：

（1）利用定義（包括向量數(shù)量積幾何意義）

（2）利用向量的坐標運算（自主建系，只要題目有可以建系的條件，可通過建系法求解）；

（3）利用向量三角不等式

\\a\-\b||<|a-b\<\a\+\b\（同號同向取等號:異號反向取等號）

例如：||￡|一四四￡|中間的連接號都是“一”，記憶口訣：同號則〃，/,同向不等式

II〃1-16止|￡-加取到等號;

在不等式||〃-6工|。|+仍|中，中間的連接號“一”和“+”，記憶口訣：異號則b反

向不等式I"I-1b||<|。-b|取到等號：

【變式演練】

1.（2022?四川?射洪中學模擬預(yù)測（理））在A8C中，4c=3,BC=5,。為線段BC的

中點，=E為線段3c垂直平分線/上任一異于O的點，則24E-C8=（）

A.-B.4C.7D.-6

3

【答案】C

【詳解】解：因為在ABC中，。為線段BC的中點，

所以4Q=g（AB+AC）,即2AO=A8+AC，

因為4。=3,BC=5,AD=-BC,

2

所以4k力（=|4?|2+|AC|2+2|AC||/\/?|COSA,即16=卜B？+6卜8卜0$A,

因為8C=AC-AB，

所以卜=|AC|2+|AB|2-2|AC||AB|COSA,即16=網(wǎng)?//孫A,

所以，16=h81+6卜8卜0$4=,5『一6,8卜03/1,即12,qcosA=0,

所以8sA=0,

因為Aw（Oz）,所以4=5,即48c為宜角三角形，

所以|A4「=|8C|2TAe「=16

因為E為線段8c垂直平分線/上任一異于D的點，

所以AE=AO+￡>￡，CB=AB-ACDE上CB，

所以2AECB=（2AD+2DEYCB=2ADCB=240?（A8-AC）

=（A8+4C）（A8-AC）=?=16-9=7

故選：C

2.（2022?全國?模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形A8C。中，48=4,AO=3,點E是/仍的

中點，點/滿足"=2FC，且。/=屈，則EF?DF=（）

A.9B.-C.2^1D.

22

【答案】A

【詳解】因為?！?OC+b=A4—‘40,

3

：2.1.,―2>.■-1一?.2

所以=AH一一AD=AB一一ABAD+-AD

I3)39

2——一■

即13=16—§A3-AD+1,解得A8AO=6,

y,EF=EB+BF=-AB+-AD,

23

1W|212122

所以石/。尸=AB--AD--AB+-AD=-AB+-ABAD--AD

I3JU3)229

II2

=-x42+—x6——x32=9.

229

故選：A.

3.（2022?北京?人大附中模擬預(yù)測）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳

統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙囪花.圖2中正六邊形

A4a陀產(chǎn)的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的中心，圓。的半徑為2,圓。的宜徑

MN〃C。，點P在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（）

圖1圖2

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【詳解】如下圖所不，由止六邊形的兒何性質(zhì)可知，,048、4OBC、&OCD、.ODE、&OEF、

OFA均為邊長為4的等邊三角形，

當點P位于正六邊形ABCDEF的頂點時，忸。|取最大值4,

當點P為正六邊形各邊的中點時，|PO|取最小值，即|P01nto=4sin?=2g,

所以，卜0卜[26,4].

所以，PM./W=(PO+QM)(PO+ON)=(PO+OMMPO-OM)=PO14w[8,12].

PM.PN的最小值為8.

故選：D.

4.(2022,全國?模擬預(yù)測)在XBC中，已知八4=2,AC=3,A=60。，AM=，AN=2NC，

點。在邊8c上，則DWON的最大值為()

A.3B.2C.-D.一

24

【答案】C

【詳解】以A為坐標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示,

連接MN,設(shè)線段MN的中點為E,連接。E,

則q喘J,DM.DN=(DE+EM)：+EN)=(DE+EM)(DE-EM)

=連接EC,EB,因為點。在線段/3C上，

所以|D￡L=max{|明，|幽},

又阻=(河+]瞑打=+《

|EB|2=(2-I)2+0—間=1+(=(,

所以⑷半，所以QM-QN的最大值為日.

故選：C

5.(2022?四川?成都七中一模(文))已知42,0),0(0,0),且|。@=|oc|=2,則灑.髏

的最小值是.

【答案】-2

【詳解】解；由題知，A&C三點共圓，圓心為坐標原點，半徑為2,

所以，八&40=卜@?卜4cos(4A,4C)，

設(shè)|AB|=2x,xe[0,2],

數(shù)形結(jié)合可得AC在AB上的投影,小￡mAC)e[.v-2,x+2],

2z

所以，2Mx-2)"8AC?2x(%+2),^2(x-\)-2<AR-AC<2(x+\)-2t

故當x=l,|4卻=2時2(工-1『-2有最小值-2,W-2<ABAC<6.

當x=2時，|AB|=4時2(K+1『-2有最大值16,

所以，-2"AACW16

ULUlUUU1

綜上，43乂。的取值范圍是[-2,16],

uunutuu

所以，AC的最小值是-2

故答案為：-2

6.（2022?上海崇明?一模）在邊長為2的正六邊形A8CDEF中，點戶為其內(nèi)部或邊界上一

點，則HP的取值范圍為.

【答案】[T12]

【詳解】正六邊形ABCOE尸中，過點8作89JLAO于V,則%4=4,忖。卜3,阿卜1

AD?8尸=聞?網(wǎng)cos〈AD,BPj

又一'?！?'A卜卜。,34cos(AD3P)qA。1.|B'lJ^

即-4平。|?網(wǎng)cos（A。,BP32,故Ab.bP的取值范圍為[T12]

故答案為:112]

7.（2022?安徽?全椒縣第八中學模擬預(yù)測（理））崎自行車是一種環(huán)保又健康的運動，如圖

是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓。（后輪）的半徑均為相，

..ABE,一BEC,AECD均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點尸為后輪上的一點，則在騎行該自

行車的過程中，4cA。的最大值為.

【答案】60

【詳解】方法一：以點。為坐標原點，OA為x軸負半軸建立如圖所示的平面直角坐標系,

貝IJ4（-8,0）,C（-2,2x/3）,

點尸在以。為圓心，力為半徑的圓上，可設(shè)P（石cos。,6sin。），

.?.AC=（6,2?AP=（V5cose+8,Gsine）,

ACA尸=6Gcose+6sine+48=12sin（0+q'+48,

則當sin［。+?）=I時,ACAP取得最大值12+48=60.

方法二：ACAP=AC（AD+DP）=ACAD+ACDP

=|AC|2+|AC|-|MCOS<AC,DP>=（4⑹2+46XGeosvAC,OP>=48+12cosvAC,DP>,

則當AC與OP同向，即cos<AC,OP>=1時，AC/W取得最大值為12+48=60.

題型三：向量的夾角

【典例分析】

例題1.（2022?廣西北海?一模（文））已知向量；是單位向量，向量/；=（后,夜），且

二-6,貝二與，的夾角為（

【答案】C

【詳解】由題意可知

=a+a眇-2b=1+。的-8二—6a臥=abcos

I

故cos(a,b=—，

因為@工”0,利,《叫4,即方嗎的夾角為全

故選：C

例題2.（2022?云南大理?模擬預(yù)測）已知向量。力滿足同=3,同=4,（a+〃）”""）=8,

則向量〃與。所成的夾角為（）

兀c兀八兀c2兀

A.-B.—?C."D.—■

6323

【答案】B

【詳解】由題意得I。|=3,g|=4,,+力乂24-》）=2/+作〃一從=18+由〃—16=8,

解得〃/=6,所以煙缶傷二片「三月，

\a\\b\122

因為〈〃,》〉€[0,可，所以向量。與人所成的夾角為1，

故選:B.

例題3.（2022?浙江?模擬預(yù)測）已知平面向量。力"滿足：\a\=\,ba=-\f若對滿足

條件的任意向量/八|c-/，以C—I恒成立，則cos〈e+aa)的最小值是.

【答案】g

2

【詳解】由題意設(shè)〃=(1,0),〃==(x,y),c-b=(x+ty-m),c-a=(x-ty),

由|c一力以c一。|,J(x+1/>\](x-\)2+y2，

化簡得〃/一2〃少+4x2。恒成立，所以0,)3K4x,x>0,

c+a=(x+l,y),

/\x+\x+1I、近

cos(c+a,a)=/>/=,>—

yj(x+\)2+y2J(X+1)2+4XJJ4422，

當且僅當V=4%且x=l時取到等號；

故答案為：旦.

2

【提分秘籍】

.9

八abx.x?+y.y7

求向量夾角公式：COS"K■前二八，，「，

【變式演練】

1.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))已知平面向量〃+〃與互相垂直，模長之比為2：1,

若|〃|=后，則a與a+〃的夾角的余弦值為()

A.空B.延C.正D.；

5552

【答案】A

【詳解】平面向量a+〃與ai互相垂直，模長之比為2：1,則(。+外(。->)二。且

\a+b\=2\a-b\^得《，=//，又|。|=6,則|〃|=|。|=有，將|〃+〃|=2|。一/”平,方得

a+2ab+b=4〃-8〃?0+4〃，解得a?力=3,\a+b\2=a+2ab+b=16,則|。+4=4,設(shè)〃

a\a+b\J+。?力—5+326

與a+人的夾角為0，則cos6=#_r=|-r

\a\\a+h\H卜+0\/5X45

故選：A.

2.（2022.山東德州.模擬預(yù)測）已知|a|二l,網(wǎng)=2,ab=~,則COS(/?M-/?)=()

A.1B1r3x/6n376

4488

【答案】c

/\19

【詳解】解：因為悶=1,W=2,二/=一g所以2?k_/?)=〃4_/>2=_5_22=_j,

22

\a-b\=y]a-2a-b+b2d+2?=瓜,

z、9

因此'cos（/?,fl-/?）=j—X----7=——^==--3限

、/硝…2乂瓜

故選：C.

3.（2022?湖南?模擬預(yù)測）已知向知萬滿足同=1,"〃)_1_胸一8)，則a與力的夾角的

最大值為（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【答案】A

【詳解】設(shè)〃與〃夾角為〃，。句0,引

（a-0）.（3〃-〃）=0

整理可得：3(4『一44七+僅『=0,即3,(一4a6+1(=0

?"《=1,代入3忖-4ab+1/?|=0

可得3-4〃6+上『二0

日「得：3-4同4cose+l同2=0,即3-4,卜05夕+,『二0

整理可得：cose=4i+"2k用="

4M4忡142

當且僅當即M=6取等號

4忖411

故cos。之*，結(jié)合夕日。句，

根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知。最大值：￡

6

故選：A.

4.(2022.廣西北海?一模(理))己知向量a是單位向量，向量〃=(J5,J5),且

(a+2/“?(〃-〃)=一6,則“與人的夾角為.

【答案】y##60

【詳解】解：由題意可知,卜1,忖=2,

所以，（a+2b^'[a-b^=a+ab-2b'=\+ab-S=-6,a-b=\

所以a/=W?W?cos（a，）=2cos（a,/“=1,解得cos（〃6

2

因為&?e[0,180]

所以，@斗=60,即a和力的夾角為60.

故答案為：60

題型四：向量模（含最值，范圍問題）

【典例分析】

例題1.（2022?浙江紹興?一模）已知向量〃滿足卜卜1,卜-四=⑺，（。&=150,

則?。ǎ?/p>

A.2B.GC.1D.B

2

【答案】D

【詳解】解：因為卜-24=/，

所以,一叫=p|+4忖-4a4=++乖|-4K.Mcos卜力）=7,

因為忖=1,??=150,

所以1+4忙+2網(wǎng)*7,即哂+碼力卜3=0,解得慟=乎或忖=—G（舍）

所以，

故選：D

例題2.（2022?山東?德州市教育科學研究院三模）已知平面向量。=（2,0）,U（0,l）,

且非零向量c滿足（a-2c）_LS-c）,則R的最大值是（）

A.1B.72C.73D.2

【答案】B

設(shè)c=(x,y),則"2c=(2-2x,-2y\b-c=(-x,1-y)?

(a-2c)-(/?-c)=(2-2x)-(-x)+(-2j)-(1-y)=2x2-2x+2y2-2y=0,

整理得卜』+"[=；，則點(x，y)在以屋)為圓心，自為半徑的圓上，則

耳=&+)，2表示(0,0)和圓上點(x,y)之間的距離，

又(0,0)在圓上，故H的最大值是2：<等=夜.

故選:B.

例題3.(2022?四川資陽?一模(理))已知平面向量”，入c滿足忖=忖=卜+力|=2,

且卜-2〃-4二近，則上的最大值為.

【答案】3幣

【詳解】由題意，3+/?)2=〃2+246+6=4，又，=6=2，

故a?/?=-2，

故卜-叫=：(a-2Z?)2=力+4/；="+8+16=2"，

由向量模長的三角不等式，卜-助卜同同〃一力一,卜卜-可+同，

即即-卜|卜12員印

解得：V7<|^<3>/7,則卜的最大值為3萬.

故答案為：3汨

例題4.（2022?浙江紹興?一模）已知圓C：（x-2>+），2=4,線段EF在直線/：y=x+\

上運動，點P為線段石廠上任意一點，若圓。上存在兩點A,B,使得則線段E尸

長度的最大值是.

【答案】V14

【詳解】解：由題意知,圓心C（2,0）,半徑r=2

所以，圓心到直線的距離d=一=主旦>一即直線和圓相離.

1近I"2

從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線為切線時/APB最大，

不妨設(shè)切線為PM,PN,由尸A/BWO知NAP8N90。，即44相290。.

所以$由/加夕。=二-20訪45。=也，解得PC42尬.

PC2

所以在直線上，當放最大時，點￡尸到圓心的距離為2百.

所以，此時所長度最大值為2,2&丫,乎'=714.

故答案為：而

例題5.（2022?江西南昌?模擬預(yù)測（文））已知OAOC為正交基底，且

OB=WA,OD=JLIOC.2>//>1,只。分別為4C，W）的中點，若卜胤。|=1,貝?。﹟PQ|的最

小值為

【答案】—

22

【詳解】因為。A,OC為正交基底，所以0400=0，

因為O8=/IOAOO=〃OC,/1>〃>1,

所以AB=(2-1)OA,C。=(//-1)OC,

所以A4co=(4—1)(〃-1)OA0C=(),

因為p,Q分別為AC/。的中點，|PQ|=|OQ—閉，

所以0Q|=；(O8+OO)TOA+OC)|

=^\AB+CD\

=；J(A8+C”

=-y]AB2+2ABCD+C[f

2

=2何+時嗎/網(wǎng)同|邛,

當且僅當|ilLAU8卜?時ULU?取等號，

所以IPQI的最小值為正，

2

故答案為：旦

2

【提分秘籍】

求兩個向量的模方法：

(1)|a|==荷十八可通過基底法表示向量求模,也可通過建系法用坐標表示向量

求模

(2)利用向量三角不等式

\\a\-\b||<|a-b\<\a\+\b\(同號同向取等號；異號反向取等號)

例如：||〃|-⑻國中間的連接號都是“一”，記憶口訣：同號則〃，人同向不等式

||a|—|b四。一切取到等號；

在不等式區(qū)|。|十|。|中，中間的連接號“一”和“十”，記憶口訣：異號則〃，b反

向不等式||a|-1〃||<|a-b\取到等號;

【變式演練】

1.(2022?全國?大化瑤族自治縣高級中學模擬預(yù)測(文))已知點A、8在單位圓上，乙408=%,

4

若OC=2Q4+xO3(xeR),則|OC『的最小值是()

A.2B.3C.5-2&D.4

【答案】A

【詳解】|OC『=(2OA+xOB)2=4OA2++4^|OA||cosm=V-2&x

+4=(x-近尸+2之2,因此|0。汽2.

故選：A.

2.(2022?河南?平頂山市第一高級中學模擬預(yù)測(文))已知A,B為圓O:f+y2=4上的

兩動點，|4例=2k，點P是圓C:(x+3)2+(y—4尸=1上的一點，則|E4+PB|的最小值是

()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【詳解】設(shè)M是43的中點，因為|人或=26，所以|0/0|=45=1,

即M在以0為圓心，I為半徑的圓上，

PA+PB=PM+MA+PM+MB=2PM，所以IPA+PB\=\2PM\.

又|PO|"OC|T=W=-1=4,所以1PM.=1POL-1=4-1=3,

所以|弘+明.=2x3=6.

故選：C.

3.（2022.浙江?樂清市知市中學模擬預(yù)測）平面向量a力滿足|〃-力|=3,匕|=2|切，則j與

a夾角最大值時|可為（）

A.V2B.&C,2&D.2石

【答案】D

【詳解】因為平面向量a』滿足|。一切=3,|a|=2|R,所以

（a-b）2=a2-2ab+b2=4b2-2ab+b2=9,

所以a/=g〃2_2,所以（4_力）.々=。2_〃力=4戶_』力2+2=3〃2+2

222222

3913

由夾角公式，8$<._〃,〃>=絲二如1=亡2=，|以+工之正（當且僅當?"土南,

\a-h\a\6|〃|44|〃|211

即|切=6時等號成立）.

因為04<白一。,4>〈乃，所以0W<o-b,a>4二，即時<。-。,。>=二最大.

66

此時|〃|=2仍|=26.

故選：D

4.（2022?海南華僑中學模擬預(yù)測）已知不共線的平面向量a,/，,c兩兩所成的角相等，且

|t/|=1.|Z?|=4.|￡7+/?+C|=\Fl,則|c|=（）

A.V2B.2C.3D.2或3

【答案】D

【詳解】由不共線的平面向量a,〃，c兩兩所成的角相等，可設(shè)為仇則。=券.設(shè)lcl=〃?.

因為悶二1,,小4,,+〃+4=>/7,所以,+/?+c[=7,

^a2+2ab+b2+2bc+2a-c-hc2=7

所以F+2xlx4cos-^+42+2x4xmcos—+2x1xmcos—+m2=7

333

即m2-5m+6=0,解得：加=2或3.

所以g=2或3

故選：D

5.(2022.浙江?三門縣觀瀾中學模擬預(yù)測)已知c為單位向量，“滿足

(a-c>c=0,20230=a+2022c,當〃與》的夾角最大時，1卜.

【答案】叵Z

2023

【詳解】不妨取c=(l,0),設(shè)°=。方),故(a-c)V=a—l，9j(注卻-=,故耳=1：

設(shè)〃=(工,%),貝1)2023。=a+2022c,

即(202342023必)=。2)+(2022,0)=(2023,%),故±=1,y=2023%,

設(shè)〃與人的夾角為。，則e=ZAOC—NAO8,不妨取為%>0，

M

IX

一…—2022%.2022,20221011^2023

則1+），跖1+2。23）『1,，「1-乂2023

+2023>2—.2023y2

\y2

當’=2023為，即=叵3時等號成立，

此時夾角最大，

?22023

\b-c\=狂上+人引出2^.

故答案為：黯

題型五：平面向量的平行與垂直問題

【典例分析】

例題1.(2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測)已知向量〃=(，〃，2),〃=(2,1),若(。+6)16,

則〃?=()

A.-8B.-7C.1D.4

2

【答案】C

【詳解】因為向量a=(皿2),〃=(2,1),

所以a+b=(〃?+2,3),又(。+〃)_!,力，所以(〃+/?),》=2(〃?+2)+3=0,

解得：m=--1,

故選：C.

例題2.(2022?江蘇?揚州中學模擬預(yù)測)已知向量。=(2,4),b=(\,n)t若〃〃〃，則上卜

()

A.x/5B.2C.8D.4x/5

【答案】A

【詳解】由a=(2,4),〃二(1,〃)，aHb?得2x〃-4x1=0,解得“=2.

所以〃=(1,2),所以忖=、4+22=6.

故選：A.

例題3.(2022?四川省綿陽八一中學模擬預(yù)測(理))己知向量”=(-1,3),〃=。,,〃)，旦

aA.(a-2b)f則6=.

【答案】2

【詳解】因為4_!_(4_2/?),由a=(-1,3),a-2b=(-3,3-2m)t

則a(4—2/0=0,所以(T)X(-3)+3X(3-2m)=0,解得〃?=2.

故答案為：2

例題4.(2022?陜西渭南?一模(文))已知點夕(一