高考數(shù)學總復習知識點精心歸納附高考數(shù)學真題及答案解析

高考數(shù)學總復習知識點精心歸納附高考數(shù)學真題

及答案解析

模塊一

考點：一集合

1、重要的等價關系：==

2、集合元素的特征：確定性互異性無序性

3、常用數(shù)集及其記法：①自然數(shù)集(曲E負整數(shù)集)記為N正整數(shù)集記為N'或N+

②整數(shù)集記為Z

③實數(shù)集記為R

④有理數(shù)集記為。

4、一個由n個元素組成的集合有2"個不同的子集，其中有2"-1個非空子集，也有T-\

個真子集

考點二：函數(shù)

1、函數(shù)單調性

(1)常用結論：

①若/(x)為增(減)函數(shù)，則-/(幻為減(增)函數(shù)

②增+增二增，減+減=減

③復合函數(shù)的單調性是"同增異減"

④奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反

(2)證明：取值---作差----變形--定號----結論

2、函數(shù)奇偶性

(1)定義：①/(-X)=f(x),f(x)就叫做偶函數(shù)

=/(尤)就叫做奇函數(shù)

注意：①函數(shù)為奇偶函數(shù)的前提是定義域在數(shù)軸上關于原點對稱

②奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱

③若奇函數(shù)/(x)在X=。處有意義，則/(0)=0

(2)函數(shù)奇偶性的常用結論：

奇+奇-奇，偶+偶=偶，奇*奇-偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇

考點三：基本初等函數(shù)

1、(1)一般地，如果/=〃，那么X叫做〃的〃次方根。其中〃>l,〃wN+

①負數(shù)沒有偶次方根

②0的任何次方根都是0,記作血=0

③當〃是奇數(shù)時，叱=。，當〃是偶數(shù)時，叱①之①

[-a(。<0)

④我們規(guī)定：QW"=Ncf'(a>0,m,nGN",m>1)(2)〃一"=—(//>0)

(2)對數(shù)的定義：若/'=N,那么，其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，8稱為以。為底的N的對數(shù)，

N叫做真數(shù)。

注：(1)負數(shù)和零沒有對數(shù)(因為N=d>0b=log〃N)(2)

log”1=0,log,。=1

(a>0且"1)

(3)將A=log.N代回/二N得到一個常用公式4%=N

(4)(4)/=N=log,N=x

2、(1)9arax=rt'(t7>0,r,5GQ)②=a"(a>0",swQ)③

[ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ)

(2)①logfl(M/V)=logrtM+\ogaN②log(—=logaM-logflA/③

n

logaM=nlogaM

④換底公式：log“〃=粵上(々>0,aw1,。>0,c關1,A>0),利用換底公式推導下面

log,。

的結論：

(1)logbn=-logZ?(2)

mma

]

log'/=

log/,a

3.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù).鬲函數(shù)的圖像和性質

指數(shù)函數(shù)。對數(shù)函數(shù)

表1y=>0,W1)V=logrtx{a>0,aw1)

定義或xeRXG(0,+C0)

值域yw(0,+oo)yeR

圖象

工7一1

過定點(0,1)過定點(1,0)

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

xw(-co,0)時，ye(l,+co)xw(-00,0耐，ye(0,1)xw(0』)時，ye(0,+a>)xe(0,l)時，ye(-oc,0)

xc(0,+a))時，yG(0,1)工€(0,+cc)H寸，yG(I,+CO)xw(l,*o)時，ye(Yo,0)AG(1,-K?)lhf,ye(0,4-oo)

性質

IL

軍—111■

表2幕函數(shù)y=x“(aeR)

(1)過定點(1,1)

性質(2)a為奇數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)；a圖象

為偶數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)

4、幾種常見函數(shù)的導數(shù)：C=0(。為常數(shù))(〃wQ)

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx(lnx),(bg“x)'=-log,"(")'="

4x

(/)'=a'Ina

模塊二立體幾何初步

考點一：柱體.錐體.臺體的表面積與體積

(1)幾何體表面積公式(C為底面周長，〃為高，/為母線)：

S覬柱伸=S圓錐側面積=初S圓柱表=2;zr(r+/)

22

設圓G:(x-%『+(y-A)2=〃，C2：(x-a2)+(y-/)2=*

當。>R+〃時，兩圓外離

當d=R+r時，兩圓外切

當R-〃<dvR+廠時，兩圓相交

當d=|R-d時，兩圓內切

當4<w一耳時，兩圓內含當d=0時，為同心圓

考點四：三角函數(shù)

1、與角a終邊相同的角的集合為加伊=&360+crJeZ)

2、設a是一個任意大小的角，。的終邊上任意一點P的坐標是(X,)，)，它與原點的距離是

22

yjx+y>()),則sina—,cosa=—,tancr=-0)

3、三角函數(shù)在各象限的符號：一全正，二正弦，三余弦，四正切

4、同角三角函數(shù)的基本關系：(l)sin2a+ccFa=1|2)^^-=tan^

'cosa

5、三角函數(shù)的誘導公式：推導口訣：奇變偶不變，符號看象限

(l)sin(2^+a)=sin6Z,cos(+a)=cosa,tan(2Z"+a)=tana(&wZ)

(2)sin(〃+a)=-sina,cos(T+a)=-cosa,Ian("+a)=tana

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cos。，tan(-a)=-tancr

(4)sin(〃-a)=sina,cos("-a)=-8sa,tan(萬一a)=-tana

乃7t

(5)sin--a=cosaCOSg-absina(6)sin—+a|=cosa

1212

cos—71+a=-sina

(2

值域[-1,1]R

當x=2k?r+弓，＞3=1；

當x=2k〃時，ymax=1；

最值既無最大值也無最小值

TT

當X=2Z萬一萬，Znin二一1當x=2公r+4，ymin=-i.

2%2乃n

周期性

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

cf71Ax乃

2k兀---,2k兀4—上增；

22_［2攵乃-乃,2攵句（％EZ）上增;在

一（.71.71\」小

單調性在k/u——，4乃十一上增

122）

2%乃+工,2%)+也［2女乃,2人"+乃］上減

上減

_22

對稱中心（Qr,O）（丘Z）（不、，、

對稱中心左乃十一，（）（kGZ）對稱中心景（）任EZ）

12,

對稱性對稱軸X=k4+］（A€Z）

對稱軸“二二eZ）無對稱軸

7、正弦定理：在AA3C中，方、c分別為角A、B、。的對邊，R為AA8。的外接圓

的半徑，則

有，一=〃-=—^=2/?

sinAsinBsinC

8、余弓玄定理*=/j24-r2—2/jrcosA,h2=n2+c2—2/yrcosR,r2=a2+h2-2〃〃cnsC.

推論：COSA二位至COSB二■*cosC=Jj

2bclaclab

9、三角形面積公式：5=—Z?csinA=—czZ?sinC=—6/csinB

AABC2

考點五：平面向量

a+b=AB+BC=ACa+b=AB+AD=AC

1、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連，首指尾

⑵平行四邊形法則的特點：首首相連,對角線

（3）坐標運算：設。=（』,）［）,日=（與,%），則4+5=（百+9,乂+%）

a-^=AC-AB=B

2、向量減法運算:

⑴三角形法則的特點：首首相連，指被減

⑵坐標運算：設4=(西,?)，方二(9,%)，則之一5=(內一9,%-%)

3、向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)義與向量日的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作上/

①|蜀=憶|同

②當4>0時，/IM的方向與1的方向相同；

當4<0時，Aa的方向與a的方向相反；

當2=()時，2a=6

(2)坐標運算：設2=(x,y),則而=4(x,y)=(/lx,/l)，)

4、向量共線定理：向量行伍工6)與5共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)4，使屋而

設不=(不％)%=(X2，%)，其中方/°，則當且僅當不)'272%=()時，向量葭

萬伍工。)共線

5、平面向量的數(shù)量積：

⑴①5=1同Wcos4萬力。,5工。,0Y0W180).零向量與任一向量的數(shù)量積為0

⑵性質：設值和B都是非零向量，則①M_LBU>MZ=O②當d與B同向時，

cib=|同W

當d與〃反向時，一同慟d'd=a2=\d^3c|?|=-Ja-d③

abW同忖

⑶坐標運算：設兩個非零向量d=(%,))),b=(x2,y2),則小〃=%工2+，1)’2

若a=(x,y)，則同2=f+y2,或同="2+),2

aLb<=>芭毛+乂兄=0

cosgjB.4馬:入匕

同M址+4M+貨

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

(1)cos(cr-/7)=cos(zcos/?+sin(zsin/?⑵

cos(a+=cosacos￡—sinasin[3

(3)sin(a一夕)=sinacos/?-cosasin/⑷

sin(?+/?)=sinezcos^+cosasin0

(5)tan(a-/?)=y~~~:門彳(tancr-tan/7=tan(?-/?)(!+tan?tan/?))

(6)tan(a+/?)=:+(1ali々+31/7=tan(a+/?)(l-tanatan〃))

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

(i)sinla=2sinacosa

/\C2-2c2<1,2/，COS2a+1

(2)cos2a=cosa-sina=2cosa-\=\-2sma(cosa---------

.21-cos2a、

sin-a=--------)

2

,、c2tana

(3)tan2a=-----

1-tan-a

26、輔助角公式：asina+〃cosa=Ja'sin(a十0)，其中tan°=2

考點六：數(shù)列

1、等差數(shù)列：%=q+（〃—l）d

ffig:等差中項：若a、b、c成等差，則2b=a+c

a+a

若機+〃=〃+夕（〃？、〃、p、gwN),則。陽+/=Pq；

若2〃=〃+4（〃、〃、qeN,)，則2%=%+%

〃(〃一1)

前〃項和的公式：①S”=〃（"「）②S〃二《十'，d

2、等比數(shù)列：4=*7

性質：等比中項：若。，G,/）成等比數(shù)列，則G?="

若"2+"=〃+9，則%,;

若2n=p+q，則a；=apq

照（4=1）

前〃項和的公式：S”=<q")_a「a“q

(g)

\-q\-q

，n=\

3、和項關系：4二

Sr-Sn-\

4、數(shù)列求和的方法：（1）套用公式法：①等差數(shù)列求和公式：

S.=-U=na.+——2d

n212

②等比數(shù)列求和公式

〃4（夕=1）

S〃=,（1一，），「凡q

4（X）

1一4i-q

（2）裂項相消法：—=yf-一一二,

〃（〃+攵）k\nn+kJ

（3）分組求和法：等差+等比

（4）錯位相減法：等差*等比

（5）倒序相加法

考點七：不等式

基本不等式：若。>0,〃>0,則。+〃之2而，即”而

2

變形①/十尸之2ab(a,b￡R)?ab<{^^\(a>0/>0)

<2J

考點八：圓錐曲線

1、橢圓：平面內與兩個定點耳，尸2的距離之和等于常數(shù)(大于|不巴|)的點的軌跡稱

為橢圓

即：|MfJ+1MF?\=2d(2a>|FXF2|)，這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱

為橢圓的焦距

幾何性質：

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

?

圖形

[+[=1(32)

標準方程]+方=1(〃>6>。)

軸長短軸的長=2b長軸的長=2a

A4-a,())、A2(f/,0)

頂點

B"0,一〃)、B2(0,/?)

焦點￡(—C,0)、6(GO)E(O,-c)、6(0?

內馬=206=〃2-力2)

焦距

對稱性關于大軸、y軸、原點對稱

，二廠/7(。<”1)

離心率

2、雙曲線：平面內與兩個定點招,尸2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于I片EI）的點

的軌跡

即：||MF{\-\MF,11=2〃,（2〃<1大鳥I）這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距察稱為

雙曲線的焦距幾何性質:

焦點的位置焦點在A軸上焦點在y軸上

圖形

2222

標準方程^r_2_=i(6Z>o,/?>o)土三二l(a>0,b>0)

頂點A1（-4,0）、A?（。,0）A1(O,-辦A2(O,t?)

k（-C,0）、瑪（c,o）

焦點￡(0,-c)、

忻圖=2水、2=42+/）

焦距

對稱性關于X軸、），軸對稱，關于原點中心對稱

C

離心率e=—=、

a\

漸近線方

,b,a

y=±—xy=±—x

ab

程

3、拋物線：平面內與一個定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡.定點F稱為拋

物線的焦點，定直線/稱為拋物線的準線

4、幾何性質：（〃>€））

標準方y(tǒng)2=2Qy2=-2px*2=2py

x2=—2py

程

圖形a

頂點（。.。）

對稱

X軸y軸

軸

噌,?！呈琷一二，。、尸3芳）

12J

焦點

準線方

x/

2y=-2

程

離心率e=l

普通高等學校全國統(tǒng)一招生考試數(shù)學真題及答案詳解【兩套】

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）.

1.若（1+，）+（2-3，）=〃+〃（。/￡尺，是虛數(shù)單位），則。力的值分別等于（）

A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4

【答案】A

【解析】

試題分析：由已知得3-2，=。+罰，所以。=3/=-2，選A.

考點：復數(shù)的概念.

2.若集合M={x|-23〈2},N={0,l,2}，則等于()

A.{()}B.{1}C.{0,1,2}D{0,l}

【解析】

【答案】D

考點：集合的運算.試題分析：由交集定義得“）V={0』，故選D.

3.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（)

A.y=4xB.y=exC.y=cosxD.y=ex-ex

【答案】D

【解析】

試題分析：函數(shù)丁=五和》=，是非奇非偶函數(shù)；），=cosx是偶函數(shù)；），=-一￡-'是

奇函數(shù)，故選D.

考點：函數(shù)的奇偶性.

4.閱讀如圖所示的程序框圖，閱讀相應的程序.若輸入x的值為1，則輸出），的值為（

A.2B.7C.8D.128

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意得,該程序表示分段函數(shù)

l2\x>2,

5|J/(1)=9-1=8，故選C.

-9-x,x<2r

考點：程序框圖.

5.若直線'=1（。>0,b>（））過點（1,1）,則。+人的最小值等于（）

ab

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

試題分析：由已知得1+1=1，則a+5=3+5）d*一1）=2+2-且，因為4>0：5>0,所以

ababab

故a+524,當±=4,即4=5=2時取等號.

abVab05

考點：基本不等式.

6.若sina=-^，且。為第四象限角，則tan。的值等于（）

1」

【答案】D

【解析】

試題分析：由sina=-吉，且a為第四象限角，則cosa=Jl-sin?a=,則

sina

tana------

cosa

=--j^,故選D.

考點：同角三角函數(shù)基本關系式.

7.設2=（1,2）,B=（l,l）,c=a+kb.g/ilc，則實數(shù)攵的值等于（）

人35「5^3

A.—B.—C.-D.—

2332

【答案】A

【解析】

試題分析：由已知得￡=（1二）+奴1」）=伏+1用+：）,因為則5工=0,因此k+l+k+2=0,

解得k=-2,故選A.

考點：平面向量數(shù)量積.

8.如圖，矩形ABCD中，點A在K軸上，點B的坐標為(1,0).且點。與點。在函數(shù)

X+l,X>0

fM=]1,八的圖像上.若在矩形八86內隨機取一點,則該點取自距影部

——x+l,x<0

2

分的概率等于()

A.-B.-clD.1

【解析】

試題分析：由已知得B(L0),C(ls2),Z)(-2:2),r(0:l).則矩形JBC。面積為3x2=6,陰影部

分面積為ix3xl=2,故該點取自陰影部分的概率等于2=1.

2264

考點：古典概型.

9?某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()

A.8+2V2B.H+2V2C.14+2V2D.15

2

正現(xiàn)圖,里兌圖

花祇國

【答案】B

【解析】

試題分析：由三視圖還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，且

底面直角梯形的兩底分別為1，2,直角腰長為1,斜腰為V2.底面積為2xgx3=3,側

面積為則其表面積為

2+2+4+20=8+26,所以該幾何體的表面積為11+2夜，故選B.

考點：三視圖和表面積.

x+y>0

10.變量乂），滿足約束條件卜2），+220,若Z=2A）的最大值為2,則實數(shù)，〃等于

mx-y<0

（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

試題分析：將目標函數(shù)變形為），=2x-z，當z取最大值，則直線縱截距最小，故當〃叱。

時不滿足題意當，〃＞（）時畫出可行域，如圖所示，其中僅；；-顯然0（0,0）

2m-12/n-1

22m42/zz

不是最優(yōu)解，故只能~~；）是最優(yōu)解，代入目標函數(shù)得^~~---^-=2,

2w-l2m-l2ni-l2m

解得"2=1,故選C.

考點：線性規(guī)劃.

22

11.已知橢圓E：￡+親■=1（。＞人＞0）的右焦點為F.短軸的一個端點為M，直線

/:3x—4），=0交橢圓E于A8兩點.若|人目+忸目=4，點M到直線/的距離不小于:，

則橢圓E的離心率的取值范圍是（）

A.（0,-^-]B.。[C.[-^,1）D.[（」）

【答案】A

【解析】

試題分析：設左焦點為F,連接.巧，BE.則四邊形3不LF是平行四邊形，故，亞|=忸下|,所以

:

\AF\+\AFl\=4=2a,所以a=2,設1/(0力)，則蘭之\,故521,從而0<c<3,

0<c<V3,所以橢圓E的離心率的取值范圍是(0：￡],故選A.

一

考點：1、橢圓的定義和簡單幾何性質；2、點到直線距離公式.

,tn

12.“對任意xw(0,5),ks\nxcosx<x是k<\"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

試題分析：當上<1時，/csinxcosx=^-sin2.v,構造函數(shù)/(x)=：sin則

?

/(x)=A:cos2x-l<0.故在xw(0百單調遂增,故f(x)v/G)=q<0,則

■—一

ksinxcosx<x；當k=l時，不等式上sinrvcos工v<等價于」sin<x,構造函數(shù)

一?

g(x)=-^-sin2x-x,則g(x)=cos2;v-l<0,故g(x)在xwQ[)遞噌，故g(。<g(g)=-彳<0，

■■■

則sinxcosxvx.綜上所述，”對任意：vw,ksinxcosx<：K”是"上v1"的必要不充分條件，

選3.

—sin2x<x

0

考點：導數(shù)的應用.

第n卷(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡的相應位置.

13?某校高一年級有900名學生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該

年級學生中抽取一個容量為45的樣本，則應抽取的男生人數(shù)為?

【答案】25

【解析】

4511

試題分析：由題意得抽樣比例為嬴=)，故應抽取的男生人數(shù)為500x)=25.

考點：分層抽樣.

14.若AABC中，AC=y/3,A=45°zC=75°,BC=.

【答案】6

【解析】

試題分析：由題意得B=180°-A-C=60°.由正弦定理得笠二且二，則

sinBsmA

_ACsinA

一?

sinB

國也

所以BC=—#-=近.

2

考點：正弦定理.

15.若函數(shù)fa)=2*a(awR)滿足f(l+x)=f(D,且/(x)在［〃7,+8)單調遞增,

則實數(shù)〃?的最小值等于.

【答案】1

【解析】

試題分析：由/(I+/)=/(I-幻得函數(shù)f(x)關于X=I對稱，故”1,則f(x)=2日，

由復合函數(shù)單調性得/(X)在［1,+8)遞增，故〃22I,所以實數(shù)加的最小值等于1.

考點：函數(shù)的圖象與性質.

16.若是函數(shù)/(x)=f-〃X+9(〃>0M>0)的兩個不同的零點，且。,4-2這

三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則〃+4的值等于

【答案】9

【解析】

成題分析：由韋達定理得a+3二P，a-b=qf則a>0萬a0,當兄”-2適當排序后成等比數(shù)列時，-2

必為等比中項，故>5=勺=4,5=：.當適當排序后成等差數(shù)列時，-2必不是等差中項，當々是等差中

4JQ

項時，2a=--2,解得a=l,5=4；當一是等差中項時，二=。一2,解得々=4,5=1,綜上所述,

aaa

a+6=p=5,所以p+q=9.

考點：等差中項和等比中項.

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

等差數(shù)列｛4｝中，出=4,%+%=15.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(n)設2=2'2+〃，求々+與+4+…+%的值.

【答案】(I)勺=〃+2;(口)2101.

【解析】

試題分析：(I)利用基本量法可求得4/，進而求｛4｝的通項公式；(口)求數(shù)列前n項

和，首先考慮其通項公式，根據通項公式的不同特點，選擇相應的求和方法，本題4=2"+〃，

故可采取分組求和法求其前10項和.

試題解析：(1)設等差數(shù)列M的公差為d.

(q+d=4

由已知得?

[(4+3d)+(q+6d)=15c

q=3

解得

所以4=4+(〃-1)〃="+2.

(二)由(：)可得八=2：+北.

所以4+&+A+…+九=門+"+|2:+2|+(23+3|+-一+(210+10|

=(2+2:+23+--+21OK(1+2+3+--+1O'I

2(1-2%(1+10)x10

1-22

=(2n-2|+55

=2ll+53=2101.

考點：1、等差數(shù)列通項公式；2、分組求和法.

18.（本題滿分12分）

全網傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網民中影響了的綜合指標根據相關報道提供的

全網傳播20XX年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數(shù)的數(shù)據，對名列前20

名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)迸行分組統(tǒng)計，結果如表所示.

組號頻數(shù)

1[4,5)2

2[5,6)8

3[6,7)7

4[7,8]3

（I）現(xiàn)從融合指數(shù)在［4,5）和［7,8］內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調研,

求至少有1家的融合指數(shù)在［7,8］的概率；

（n）根據分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)的平均數(shù).

9

【答案】（I）—；（n）6.05.

【解析】

試題分析：（I）融合指數(shù)在［15）和S］內的“省級衛(wèi)視新聞臺”共5家，從中隨機抽取2家，寫出所有

的基本事件，共10中，其中至少有1家的融合指數(shù)在3］包含的基本事件數(shù)為9個，代入古典概型的概

率計算公式即可；（II）每組區(qū)間的中點乘以該組的頻率誼再累加，得這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合

指數(shù)的平均數(shù).

解法一融合指數(shù)在［7,8］內的“省級衛(wèi)視新聞臺“記為A-A?.A?渤合指數(shù)在［4,5）

內的“省級衛(wèi)視新聞臺“記為耳，B2.從融合指數(shù)在［4,5）和［7,8］內的“省級衛(wèi)視新聞

臺“中隨機抽取2家的所有基本事件是：{入小?},{A?A3}r{A2,A3},{A?B,},

{A?B2},{A2,B,},{A2,B2},{A3,B,},{A3,B2},{B|B},共10個.

其中，至少有1家融合指數(shù)在［7,8］內的基本事件是：,{A,A},

{APA2},{APA3}23

{ApBj,,{A,B,1,{A,BJ,,{A,B},共9個.

{APB2}222{A3,BJ}32

9

所以所求的概率P==.

（n）這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)平均數(shù)等于

3

4.5x—+5.5XA+6.5X—7.5x—=6.05

20202020

解法二1I）融合指數(shù)在［7,8］內的“省級衛(wèi)視新聞臺“記為A-A2,A3:融合指數(shù)在［4.5）

內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為B「B2.從融合指數(shù)在［4,5）和［7,8］內的“省級衛(wèi)視新聞

臺“中隨機抽取2家的所有基本事件是：{A.A?}f）A?A3},{A2,A3},{APB,},

,{A,B,},{A,B},{A,Bj,{A,B},，共10個.

{APB2}222332{BPB2}

其中，沒有1家融合指數(shù)在［7,8］內的基本事件是:，共1個.

{BPB2}

19

所以所求的概率p=i-m=m.

（II）同解法一.

考點：1、古典概型；2、平均值.

19.（本小題滿分12分）

已知點R為拋物線￡：/=2px（p>0）的焦點，點4（2,⑼在拋物線E上，且|Ab|=3.

（I）求拋物線E的方程；

（口）已知點G（-1,0），延長A方交拋物線E于點8，證明：以點尸為圓心且與直線GA

相切的圓，必與直線G8相切.

【答案】（I）/=4x;（口）詳見解析.

【解析】

試題分析：（I）利用拋物線定義，將拋物線上的點到焦點距離和到準線距離相互轉化.本

題由|A月=3可得2+5=3,可求〃的值，進而確定拋物線方程;（n）欲證明以點F為

圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.可證明點F到直線GA和直線GB的距離

相等（此時需確定兩條直線方程）；也可以證明NAGF=ZBGF,可轉化為證明兩條直線

的斜率互為相反數(shù).

試題解析：解法一：（1）由拋物線的定義得|AF|=2+].

因為|AFj=3，即2+§=3,解得〃=2，所以拋物線E的方程為丁二41.

（n）因為點A（2,m）在拋物線E:y2=4x上，

所以〃z=±2&，由拋物線的對稱性，不妨設A（2,2&）.

由A（2,2⑹，F(xiàn)（1,O）可得直線AF的方程為），二28（工一1）.

由，，,，，得2/一5工+2=0,

y2=4x

解得x=2或x=:，從而B（!，—血、.

212）

又G（-1,O）,

心“2&-02&.-V2-02后

所以%=再刁=亍，^=T--=

'7耳」㈠)

所以《A+《B=0，從而NAGF=NBGF,這表明點F到直線GA,GB的距離相等，

故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.

解法二：（1）同解法一.

（H）設以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.

因為點A（2,⑼在拋物線E:/=4.t±,

所以"?=±20，由拋物線的對稱性,不妨設A（2,2C）.

由A（2,2立）,F（1,O）可得直線AF的方程為y=2&（x-l）.

由）&（x-1）,得功2_5丹2=0,

y2=4x

解得x=2或x,從而B（g,一jf|.

又G（-1,O）,故直線GA的方程為2&x-3y+2立=0,

|2夜+2閩4^/2

從而「=---ic八—二I—?

V8+9V17

又直線GB的方程為28工+3），+20=。，

I2V2+2V2I4夜

所以點F到直線GB的距離d=J~~=*=廠.

JX+9x/17

這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.

考點：，拋物線標準方程；2、直線和圓的位置關系.

20.（本題滿分12分）

如圖，AB是圓。的直徑，點C是圓。上異于的點，P。垂直于圓。所在的平面，且

PO=OB=1.

（I）若。為線段AC的中點，求證AC，平面PDO;

（n）求三棱錐P-ABC體積的最大值；

（田）若BC=C，點E在線