高中數(shù)學題型全面歸納（學生版）：第五節(jié)直線與圓錐曲線

第五節(jié)直線與圓錐曲線

考綱解讀

掌握直線與圓錐曲線的位置關系，能熟練運用函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，等

價轉(zhuǎn)化和分類討論思想解題。

命題趨勢探究

從內(nèi)容上看，直線與圓錐曲線位置關系問題是高考的熱點，涉及直線與圓

錐曲線關系中的求弦長，焦點弦長及弦中點，取值范圍和最值等問題。

從形式上看，以解答題為主，難度較大

從能力上看，要求考生具備數(shù)形結(jié)合，分析轉(zhuǎn)化及分類討論的能力

預測在2019年高考中：

題目主要以解答題的形式出現(xiàn)，這類問題的綜合性強，注重與一元二次方程

的判別式，韋達定理，不等式相結(jié)合，重在考查學生的基本數(shù)學素質(zhì)和數(shù)學運算

能力，具有較高的區(qū)分度，關注與向量綜合的探索性題目，分值基本保持在12-14

分。

知識點精講

一、直線/與圓錐曲線。的位置關系的判斷

判斷直線/與圓錐曲線C的位置關系時,通常將直線I的方程Ax+By+c=O

代入圓錐曲線C的方程F(x,y)=O，消去y(也可以消去x)得到關系一個變量的

Ax+By+c=0.

一元二次方程,，即1/；，消去y后得依2+反+。=0

⑴當。=0時，即得到一個一元一次方程,則/與C相交,且只有一個交點,此時，

若。為雙曲線,則直線I與雙曲線的漸近線平行;若C為拋物線,則直線I與拋物線

的對稱軸平行

(2)當時，A>0,直線/與曲線C有兩個不同的交點；△=(),直線/與曲

線C相切，即有唯一的公共點(切點)；A<0，直線/與曲線C

二、圓錐曲線的弦

連接圓錐曲線上兩點的線段稱為圓錐曲線的弦

直線/:/(x,y)=O,曲線C:F(x,y)=O,A,B為/與C的兩個不同的交點，坐標分別

f（x,y）=0

為4（石，乂）,3（%2,%），則A&,%）,5（%,%）是方程組?的兩組解,

F（%,y）=0

方程組消元后化為關于x或y的一元二次方程-2+&+。=0(A2O),判別式

A=B2-4AC，應有△>()，所以玉是方程"2+&+c=0的根，由根與系數(shù)關

系(韋達定理)求出％+々=2，所以A,5兩點間的距離為

AA

\AB\=J1+\2[X]-X2|=J1+GJ(XI+X2)2-4XJX2=含,即弦長公式,弦長

公式也可以寫成關于y的形式

|=yjl+k21%-%|=，1+公+（左彳0）

三，已知弦的中點，研究的斜率和方程

22

（1）是橢圓點+方=l（a>b.O）的一條弦，中點y0），則AB的斜率為

—彳也，運用點差法求的斜率;設4（4乂）3（%2，%）（工產(chǎn)工2）,46都在橢圓

a%

[22

工+￡=12222

上，所以a\b\,兩式相減得笠豐+"二巨=0

才+婷①b

I/+溟一1

所以（西+々）（3—々）+（必+%）（%-％）=0

7

a22b

空言V-儀,故2-"

a

a（X+%）。為y0

（1）運用類似的方法可以推出；若是雙曲線二―3=1（?！?.0）的弦，中點

ab

加（%,%）,則KB="；若曲線是拋物線歹=2勿（0>0）,貝必的=二

a-y0y0

題型歸納及思路提示

題型147直線與圓錐曲線的位置關系

思路提示

（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)

立方程消元后得到一元二次方程，其中A>0；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線

有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到。

（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物

線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切。

例10.35已知兩點M,給出下列曲線方程

①4x+2y-l=0②x2+y2=3

r2

④L=1

在曲線上存在點P滿足=|PN|的所有曲線方程是o（寫出所以正確的編號）

變式1對于拋物線C:/=4x,我們稱滿足兒2<4%的點在拋物線的內(nèi)部，

若點加（%,%）在拋物線的內(nèi)部，則直線/：為y=2a+孔）與拋物線C的位置關系是一

變式2設拋物線/=4x的準線與x軸交于點。，若過點。的直線/與拋物線有公共點,

則直線/的斜率的取值范圍是

例10.36如圖10-26所示，在平面直角坐標系中，過y軸正方向上一點C(0,c)(c>0)

任作一直線，與拋物線、相交于A3兩點，一條直線垂直于x軸的直線分別與線段

AB和直線/:y=—c交于P,Q兩點.

(1)若出?麗=2,求c的值

(2)若P為線段的中點，求證：QA為此拋物線的切線。

變式1（2017課標II,文20）設O為坐標原點，動點M在橢圓C、上，過M

X.24

：v+y=1

作X軸的垂線，垂足為N,點P滿足而=J5而7（1）求點P的軌跡方程；（2）設點。在直

線％=—3上，且赤?①=1.證明過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.

題型148中點弦問題

思路提示

直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高

考的一個熱點問題.這類問題一般有以下3種類型：（1）求中點弦所在直線方程

問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）對稱問題，但凡涉及到弦的中點斜率

的問題。首先要考慮是點差法.

即設出弦的端點坐標，根據(jù)端點在曲線上，結(jié)合中點坐標公式，尋找中點坐

標與弦的斜率之間的聯(lián)系.除此之外，最好也記住如下結(jié)論：

在橢圓一圖10-28z>b>0）中，中點弦的斜率為左，滿足左o.%=—-

aa

222

在雙曲r線v下-卷中，中點弦的斜率為左，滿足熱.左二h一.（其中

aba

勺為原點與弦中點連線的斜率）.

在拋物線y2=2px（p>0）中，中點弦的斜率為3滿足-%=夕（%為中點

縱坐標）.

112___

例10.37已知過點“（5q）的直線/與橢圓r豆+丁2=1交與A,3兩點，且加k=

白麗+西（。為坐標原點），求直線/的方程.

r2

變式】已知橢圓方程為E+/=1.。）求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程;

（2）過點尸⑵1）的直線/與橢圓相交，求被/截得的弦的中點的軌跡方程.

例10.38如圖10-29所示，在平面直角坐標系X0V中，已知橢圓?+5=1,過

坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中點P在第一象限，過尸作x軸的垂線,

垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點3,設直線心的斜率為左.求證：對任

意左〉0,都有必，PB

圖10-29

例10.39已知橢圓寧+(■=1,試確定加的取值范圍，使得對于直線/:y=4%+加,

橢圓c上有兩個不同的點關于這條直線對稱.

變式1如圖10-30所示，已知橢圓E經(jīng)過點A（,3）,對稱軸為坐標軸，焦點K,

R在x軸上，離心率e=’.

2

（1）求橢圓E的方程；

（2）求NEAR的角平分線所在直線/的方程；

（3）在橢圓E上是否存在關于直線/對稱的相異兩點？若存在，請找出；若

不存在，請說明理由.

尤2

變式2已知A,用C是橢圓W:1+>2=1上的三個點，。是坐標原點.

（1）當點3是W的右頂點，且四邊形0A3C為菱形時，求此菱形的面積；

（2）當點3不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

題型149弦長面積問題

思路提示

在弦長有關的問題中，一般有三類問題:

(1)弦長公式：|+k2卜-|=Jl+k2

(2)與焦點相關的弦長計算，利用定義;

(3)涉及到面積的計算問題.

例10.40過拋物線V=2Px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于

43兩點，若線段A3的長為8,則〃=.

變式1已知橢圓C:=+/=1,過橢圓C的左焦點F且傾斜角為三的直線I與橢

26

圓C交與43,求弦長卜

例10.41已知橢圓G:?+_y2=i,過點（見0）作圓V+y2=1的切線/交橢圓G

與A,3兩點.

（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率；

（2）將卜固表示為根的函數(shù)，并求出的最大值.

變式1已知橢圓。：?+方=1（。〉6〉0）經(jīng)過點〃（1,1）,其離心率為

（1）求橢圓。的方程；

（2）設直線/：y=丘+根（網(wǎng)?；）與橢圓C相交于兩點，以線段04,

為鄰邊作平行四邊形0AP3,其中頂點P在橢圓C上，。為原點，求|OP|的

取值范圍.

變式2已知橢圓。：=+?=1（?！怠！?）的右頂點4（2,0）,離心率為且，O

a-b2

為坐標原點.（1）求橢圓C的方程；（2）已知尸（異于點A）為橢圓C上一個動

點，過。作線段AP的垂線/交橢圓C于點E,D.如圖10-31所示，求里目的

圖10-31

22

例10.42已知R,R是橢圓土+匕=1的左右焦點，AB是過點R的一條動

43

弦，求△A3F2的面積的最大值.

22

變式I已知橢圓M：/Y+2v=Ka〉'〉。)的離心率?為\/2:‘且橢圓上一點與橢

圓的兩個焦點構成的三角形周長為6+4忘.

(1)求橢圓〃的方程；

(2)設直線/交橢圓M交與點A,B,且以A3為直徑的圓過橢圓的右頂點C,

求△ABC面積的最大值.

X

例10.43(2017福建三明5月質(zhì)檢)已知橢圓「：二+

a

橢圓「的左，右頂點分別為M,N.過點尸的直線與橢圓交于CD兩點，且AMCD的面

積是ANCD的面積的3倍.

(I)求橢圓『的方程；

(II)若與軸垂直，A3是橢圓「上位于直線兩側(cè)的動點，且滿足

ZACD=ZBCD,試問直線A5的斜率是否為定值，請說明理由.

最有效訓練題46（限時45分鐘）

22

1.已知橢圓土+匕=1的左右焦點分別為R,R,過己且傾斜角為45°的直線/

42

交橢圓于點A,B,以下結(jié)論中：①的周長為8；②原點到/的距離為1；

③|A3|=|,正確結(jié)論的個數(shù)為（）.

A.3B.2C.1D.0

22

2.斜率為2的直線/過雙曲線=-\=l（a〉O力〉0）的右焦點，且與雙曲線的左

ab

右兩支分別相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（）.

A.（1,0）B.（1,A/3）C.（1,A/5）D.（右,+OO）

3.拋物線V=?的焦點為R過R且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方

的曲線交于點A,則AR的長為（）.

A.2B.4C.6D.8

4.過點P（0,2）的直線/與拋物線V=4x交于點A,5則弦A3的中點M的軌跡方

程為（）.

A./-2y-2x=0（y<0或y>4）B.y2-2y-2x-Q

C.y2-2y-4x=0D.y2-2y-4x-0（y<0）

22

5.橢圓土+匕=1的一條弦被A（4,2）平分，那么這條弦所在的直線方程是

369

（）.

A.x—2y=0B.2x+y—10=0

C.2x—y—2—0D.%+2y—8=0

22

6.已知45P是雙曲線谷=1上不同的三點，且A,3連線經(jīng)過坐標原點，

ab

9

若直線以，P3的斜率乘積場.左PB=§,則該雙曲線的離心率為（）.

A布R娓「萬力屈

A.------￡）.------Cz.vZly.------

223

7.橢圓以2+勿2=1與直線y=1—x交于4,B兩點，過原點與線段AB中點的直線

的斜率為無，則q的值為_________.

2b一

8.已知拋物線丁=4%,過點P(4,0)的直線與拋物線交于A&,%),3(%,%)兩點，

則城+￡的最小值是.

9.拋物線C:_/=2px(p>0)與直線/: