清華大學-楊虎-應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計課后習題參考答案 (一)

習題一

1設(shè)總體X的樣本容量〃=5,寫出在以下4種情況下樣本的聯(lián)合概率分布.

I)X?8(1,p)；2)X~尸(㈤；

3)4)X~N(〃,1).

解設(shè)總體的樣本為X?X2,X3,X4,X5,

1)對總體X~3(l,〃)，

其中：才x,

JI=I

2)對總體X~P(X)

其中：工=:七七

J1=1

3)對總體X~U(a,b)

4)對總體X?N(〃,l)

2為了研究玻璃產(chǎn)品在集裝箱托運過程中的損壞情況，現(xiàn)隨機抽取20個集裝箱檢查其產(chǎn)品損壞的

件數(shù)，記錄結(jié)果為：1,1,1,1,2,0,0,1,3,1,(),0,2,4,0,3,1,4,0,2,寫出樣本頻

率分布、經(jīng)驗分布函數(shù)并畫出圖形.

解設(shè)i(i=0,1,2,3,4)代表各箱檢查中抽到的產(chǎn)品損壞件數(shù),由題意可統(tǒng)計出如下的樣本頻率分布表

表1.1頻率分布表

i01234

個數(shù)67322

A0.30.350.150.1().1

經(jīng)驗分布函數(shù)的定義式為:

0,x<x(I)

k

工(力<x<x[k+irZ:=I,2,,

據(jù)此得出樣本分布函數(shù)；

圖1.1經(jīng)驗分布函數(shù)

3某地區(qū)測量了95位男性成年人身高，得數(shù)據(jù)(單位：cm)如下:

組下限165167169171173175177

組上限167169171173175177179

人數(shù)310212322115

試畫出身高直方圖，它是否近似服從某個正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.

解

圖1.2數(shù)據(jù)直方圖

它近似服從均值為172,方差為5.64的正態(tài)分布，即N(172,5.64).

4設(shè)總體X的方差為%均值為H，現(xiàn)抽取容晟為100的樣本，試確定常數(shù)k,使得滿足

P(|X-//|<Z:)=0.9.

解P信-“<&)

因％較大，由中心極限定理，三&~N(0,l)：

x/WO

所以：①(5左)=0.95

查表得：52=1.65,.?.%=0.33

5從總體X~N(52,6.31中抽取容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.

_(V_CQ、

解2(50.8＜又＜53.8)=P-1.1429＜,＜1.7143

I,6.32/36}

6從總體x~N(20,3)中分別抽取容量為10與15的兩個獨立的樣本，求它們的均值之差的絕對值

大于0.3的概率.

解設(shè)兩個獨立的樣本分別為：%,,Xi。與幾.,九,其對應(yīng)的樣本均值為：區(qū)和P.

由題意知：區(qū)和P相互獨立，且：

一3一3

X-N(20,—)?P~N(20,二)

1015

10

7設(shè)%,區(qū)。是總體乂~乂(0,4)的樣本，試確定C,使得P(Zx：＞0=0.05.

r=l

V

解因XrN(0,4)，那么一~N(O,1),且各樣本相互獨立，那么有：

2

10]10C

所以：P(Zx：＞c)=P(zZx：＞7)

r=l4J=)4

查卡方分位數(shù)表：”4=18.31,那么c=73.24.

8設(shè)總體X具有連續(xù)的分布函數(shù)五x(x)，X|,…,X”是來自總體X的樣本，且EXj=〃，定義隨

機變量：

試確定統(tǒng)計量為匕的分布.

i=i

解由條件得：匕~3(1,〃)，其中〃=「&(〃).

因為X,互相獨立，所以工也互相獨立，再根據(jù)二項分布的可加性，有

￡Y「B5，P),p=l-Fx").

9設(shè)X，,X“是來自總體X的樣本，試求成，。門ES,假設(shè)總體的分布為：

I)X?B(N,p);2)X~P(2);3)X~U[a,b];4)X~N(〃,l);

解1)EX=EX=Np

2)EX=EX=A

3)EX=EX=—

2

4)EX=EX=//

10設(shè)X1,,X”為總體X的樣本,求

2

EX(xz.-x)與。豆(Xj—反)2。

_J=IJLi=i_

解

4

又因為(〃：產(chǎn)2?/(〃—D,所以:Q[冬(Xj-N)2=2(/I-1)<T

—1n

11設(shè)x，.,x”來自正態(tài)總體MOJ)，定義：X=I^I，K=-Zix,|,計算

n仁

解由題意知又~N(O」/〃)，令：Y=G又,那么y~N(o』)

12設(shè)X>.,X”是總體X~N(〃,4)的樣本，區(qū)為樣本均值，試問樣本容量〃應(yīng)分別取多大，才能

使以下各式成立：

1)E|X-//|2<0.1；2)E\X-p\<().1;3)P(\X-p|<l)=0.95o

解1)

?.?X~N(",4)X~N",-)=u~N(0,1)

n'21G

所以：/?>40

2)

令：上q=U~N(0,l)

所以：平一“號唇。1

計算可得：n>225

3)

查表可得:^>?0975=1.96,n>15.36,而〃取整數(shù)，:.n>\6.

所以：\[a=，/,(〃)

I—

故:2(〃)二也(1,〃).

16設(shè)乂,、2是來自總體X~N(O,I)的一個樣本，求常數(shù)c,使:

(X1+X);c)=0.1

22

(Xi+X2)+(Xl-X2)

V1V

解易知X+X2~N(O,2),那么??N(O,1)；

V_V

同理X1—Xz?N(0,2),那么I2~N(0,D

v2

又因:Cov(XI+X2,XI-X2)=0,所以x+x?與X-X2相互獨立.

所以：—=/;(l,l)=39.9

\-c9

計算得：c=0976.

17設(shè)x.x,…，X”,X,川為總體X~N(〃,2)的容量〃+1的樣本，元S?為樣本(XL,X?)的樣本均

值和樣本方差，求證：

"T=J六~X"、--?_I)；

2

2)X-Xn+1-/V(0,—o-)；

C_,〃一]2

3)X1一X~N(O,——a),

n

解1)因：E(X-X)=O,D(X^-X)=—(y2

zJ+1tn

所以：＜T2),--?N(O,I)

n歷+1

乂：

b

且：X"；「'與相互獨立

bb

n

X

2

2)由1)可得：x-x1+rm—o-)

n

3)因：E(X,-X)=O,D(X-X)=—a2

n

/I—?1c

所以：X「X~N(O,—cr2)

n

18設(shè)%,,乂“為總體乂~'（”.『）的樣本，又為樣本均值，求〃，使得

P(\X-^\<0.25<7)>0.95.

解

所以:①(0.254/0.975

查表可得：0.256＞《）975=1.96,即nN62.

19設(shè)為,,乂“為總體1~3〃向的樣本，試求:

1）X⑴的密度函數(shù)；2）Xg的密度函數(shù);

解因：X-U[a9b],

所以X的密度函數(shù)為:

1

,xe[a,b]

f(x)=<b-a

0,x^[a,b]

，

由定理：/1)(x)=H(l-F(x)r/(x)

20設(shè)，Xs為總體X~N(12,4)的樣本，試求：

1)P(X(1)<10);2)P(X⑸<15)

解

21設(shè)(X”為總體X~N(0,/)的一個樣本，試確定以下統(tǒng)計量的分布:

22

"ZX；1/m\1(m+nX

□x=-r=2)3)工=+嬴ZX,

X”mb\/=()"b3="用7

6際

Jr?m4|

解1)因為：WX~N(0,〃/)

r=l

yx.,

所以：?N(O,1),

7mof+1cr

jn

Xirn+iiX2

巨+一與ZT相互獨立，由抽樣定理可得：

\lfna,=m+ib

?巾1n

2)因為：i￡x；~%2(〃z),x；~/2(H)

G/=!bi=m+l

1nt1-

E—￡x,2與丁￡x：相互獨立，

bf=lbJ=m+1

州1，〃/

這x：—^x,2m

所以：—=——?FQn，n)

m￡X；小

r=m+l0j=〃?+l/

mm+n

3)因為：￡Xj?N(0,〃Q2),￡x「N(0,〃/)

i=li="1+l

mw+rt

(Zx,)2(Ex,)?

所以：0~4⑴,上J——z2d)

mbncy

〃？m+n

(EX)(ZXJ2

巨百，與上叱y—相互獨立，

"ib7b

i州、一?、一

由卡方分布可加性得：-7yxf-+—ryx,.?彳：（2）.

〃b1”1J〃b/

22設(shè)總體X服從正態(tài)分布%（小。2）,樣本X'X?,…,X”來自總體X,0是樣本方差，問樣本

(〃一1)5

容量〃取多大能滿足尸<32.67=0.95?

b

解由抽樣分布定理：上「S??/（〃一］）,尸（二152<32.67）=0.95,

a~b

查表可得：n—l=21,n=22.

23從兩個正態(tài)總體中分另1抽取容量為20和15的兩獨立的樣本，設(shè)總體方差相等，S：,S；分別

為兩樣本方差，求>2.39.

解設(shè)“二20,“2=15分別為兩樣本的容量，4為總體方差，由題意,

S2

又因S；,S；分別為兩獨立的樣本方差:=*~產(chǎn)(19,14)

14S；L.32

ri4

bl

(s2][SS2；}

所以:Pg」r>2.39J=\-P&々42.39J=1-0.95=0.05.

24設(shè)總體X~N（〃,b3抽取容量為20的樣本X'X?,…,X2O,求概率

20

Z(Xj-M2

1)P1().85<-^-<37.57

CT2

20

2

￡(X;-X)

2)P11.65<閆——5-------<38.58

cr

解1）因￡LW~N（O,I）,且各樣本間相互獨立，所以:

a

故：P(10.85<z2<37.57)=0.99-0.05=0.94

2,因:圣

1QQ2

所以:

(T*

25設(shè)總體X?N（80,。?），從中抽取一容量為25的樣本，試在以下兩種情況下P（|V-8q>3）

的值:

1）。=20：

2）。未知，但樣本標準差S=7.2674.

解I）

2)P(|X-80|>3)=P

7.2674/5

26設(shè)%,區(qū),為總體*~陽小/）的樣本，匕S?為樣本均值和樣本方差，當〃=20時，求:

1)P(X</z+—2)p(|s2-a21<

4.472

3)確定C,使2(=^>c)=o.9O.

X-〃

解1)

<S2-(T2<—

2)w一小m2J

1QC2

其中/二「一?九2(19),那么

<y"

3)

又W7(19),那么

其中,T=

S/V20

叵=小(19)=1.328,計算得：c=3.3676

所以:

c'

27設(shè)總體X的均值〃與方差。2存在，假設(shè)吊，乂2,…，X〃為它的一個樣本，V是樣本均值，試證明

對，工),相關(guān)系數(shù)“Xj-》,Xj-刀)=------.

〃一1

__cov(X,—冗Xj—5)

證明r(X「X,Xj—X)=IIJ_

”>(Xj-X)JD(X廠X)

——1

所以：r(X.-X,X.-X)=------.

n-\

28.設(shè)總體X~N(小/),從該總體中抽取簡單隨機樣本XrXz，…，X2.(〃21),亍是它的樣本

均值，求統(tǒng)計量7='(*,+元切-2T)2的數(shù)學期望.

r=l

解因X~N(〃,/),X”X>…,X2“(〃N1)為該總體的簡單隨機樣本，令工=Xj+X”「那么有

y~N(2〃,2")

可得：y=l^y;=2x

習題二

1設(shè)總體的分布密度為：

(X1,,、X〃)為其樣本，求參數(shù)。的矩估計量々和極大似然估計量也.現(xiàn)測得樣本觀測值為：0.1,

0.2,0.9,0.8,0.7,0.7,求參數(shù)a的估計值.

解計算其最大似然估計：

其矩估計為：

日產(chǎn)0.3077,出方0.2112

2設(shè)總體X服從區(qū)間[0,上的均勻分布，即X~U[0,9],（X「.X“）為其樣本，

I〕求參數(shù)e的矩估計量。和極大似然估計量用；

2）現(xiàn)測得一組樣本觀測值：1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,試分別用矩法和極大似然法求總體均值、總

體方差的估計值.

解1）矩估計最：

最大似然估計量：

無解.此時，依定義可得：0.=maxX.

\<i<n

2）矩法：EX=」=1.2,DX='=0.472

212

極大似然估計：EX=-=1.1,DX=-=0.4033

212

3設(shè)XH..,X”是來自總體X的樣本，試分別求總體未知參數(shù)的矩估計量與極大似然估計量.總體X的

分布密度為：

八0未知

10，

2)/(x;2)=—e1,“=0,1.2.”>0未知

A'!

a<x<b

3)f(x\a,b)=</,-</“<6未知

其它

0<<9<.v<-Ko

4)/(x:0)=<。未知

0其它

-e

5)/(A;?,/?)=<pZ?>0，其中參數(shù)a,夕未知

10，

00x0〃

6)a，Z?>0，其中參數(shù)d4未知

.2'

4.r

7)/(x；0)=?'x'°,。>0未知

0.A<0

解1)

1一人1

矩法估計：EX=w=X,4=g

最大似然估計:

*1強=失與=。，2=式/

/=1

2)

矩估計：EX=A=X,^=X

最大似然估計：

d._府八;正

dlX

3）

矩估計：EX=—,DX=^~^

212

聯(lián)立方程：

最大似然估計：

L（0、7???&）=立于5;0）=?JnL--/zln（Z?-a）

行（b-a）

生吐=」一二0,無解，當力=minXj時，使得似然函數(shù)最大,

dab-a⑼"

依照定義，G=minXj,同理可得白=maxXj

\<l<n\mn'

4）

矩估計：

EX=J—dt=einx|U，不存在

ox

最大似然估計：

a,7人

—lnL=-=O,無解;依照定義，0=X（\、

da6⑴.

5）

矩估計：

即&產(chǎn)N_麻=又（兄_，A=M冬（兄_又）2

最大似然估計：

d._nz.3._nn、八

—lnL=—=0,—lnL=--+—（x-?）=0,無解

dapcppp~

依定義有：/=XQ），BL=又一a=又一X（i）

6)

短估計：EX=\/jx—xa-xdx==A7,

J。夕。+11

M

解方程組可得：?二

M

最大似然估計:

1

夕無解，依定義得，B=Xg解得I”

E%)_一Eh】七

〃1=1

矩估計：

最大似然估計:

8）

矩估計：

最大似然估計:

In

—In￡=

S6~e

4.設(shè)總體的概率分布或密度函數(shù)為f（rd）,其中參數(shù)，,記p=p（x>%）,樣本X，...,兀來自于總體

X.那么求參數(shù)p的最大似然估計量p.

解記y=1,七>/；%=0.Xj</那么Y,-B(l,p)；

P=Y

5設(shè)元件無故障工作時間X具有指數(shù)分布，取1000個元件工作時間的記錄數(shù)據(jù)，經(jīng)分組后得到它的頻

數(shù)分布為：

組中值W5152535455565

頻數(shù)匕365245150100704525

如果各組中數(shù)據(jù)都取為組中值，試用最大似然法求參數(shù)力的點估計.

.解最大似然估計：

6某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命（單位：小時）

為：

1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948

設(shè)總體參數(shù)都未知，試用極大似然法估計這個星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時以上的概率.

解設(shè)燈泡的壽命為x,x~N(〃b’),極大似然估計為：==-Y'(xj-xY

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到：//=997.1,<72=17235.81.

經(jīng)計算得，這個星期生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時的概率為0.0075.

7.為檢驗?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機抽取50升，化驗每升水中大場桿菌的個

數(shù)(假定一升水中大腸桿菌個數(shù)服從Poisson分布)，其化驗結(jié)果如下：

大腸桿菌數(shù)/升0123456

升數(shù)/,1720102100

試問平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為多少時，才能使上述情況的概率為最大？

解設(shè)工為每升水中大腸桿菌個數(shù)，x~P(4),Ex=A,由3題(2)問知，4的最大似然估計

為所以

所以平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為1時，出現(xiàn)上述情況的概率最大.

8設(shè)總體試利用容量為〃的樣本王…,X」分別就以下兩種情況，求出使

P(X>A)=0.05的點八的最大似然估計展.

1)假設(shè)cr=l時；2)假設(shè)〃，人均未知時.

解I)b=l,〃的最大似然估計量為了，

所以A=1/0954-X

2)〃的最大似然估計量為了，/最大似然估計為M；,由極大似然估計的不變性，直接推出

'=。0.95+X.

9設(shè)總體X具有以下概率分布下蒼夕),。￡[1,2,3｝：

X/（司1）/（苫2）f（x；3）

01/31/40

11/31/40

201/41/4

31/61/41/2

41/601/4

求參數(shù)。的極大似然估計量0.假設(shè)給定樣本觀測值：1,0,4,3,1,4,3,1,求最大似然估計

值4.

解分別計算夕=1,2,3,時樣本觀測值出現(xiàn)的概率：

由最大似然估計可得：0=\

10設(shè)總體X具有以下概率分布

1

1,0<x<I—p=,0<x<1

〃x；0）=〈其它，，"）=2?

0,

0,其它

求參數(shù)。的最大似然估計量點.

解〃最大似然估計應(yīng)該滿岸：

結(jié)果取決于樣本觀測值（X，工2??支〃）

11設(shè)x，x°,x?x4是總體X的樣本，設(shè)有下述三個統(tǒng)計量：

指出4,今，&中哪幾個是總體均值a=EX的無偏估計量，并指出哪一個方差最小？

解

Ea2=（a+2a+3a+4cf）/10=a,Da2-0.3/

所以&I，心，&3無偏，&3方差最小.

12設(shè)總體X,，.…X“為其樣本，

I）求常數(shù)&，使32=,￡（乂卬-*,）2為02的無偏估計量；

ke

2）求常數(shù)攵，使3=L￡|X,-9|為。的無偏估計量.

ke

解1）

令商=組工2“2

K

得攵=2（〃-1）

2）

令—七一^-----

yi=Xi-x=-N；0,口02

nn\n

13設(shè)x,..…X.是來自總體X的樣本，并且EX=〃，DX=a\元S?是樣本均值和樣本方差，試確定常

數(shù)C,使尸-不是/的無偏估計量.

解

1

所以c=一

n

14設(shè)有二元總體（x,y）,（%片）,（冗瀉）,,（xj）為其樣本,證明:

是協(xié)方差2=€：0丫（X.丫）的無偏估計量.

證明

_1ZXkz%

由于(％—x)(X--)0=(叱1%—歸J)(口X-XJ)

nnnn

所以：

EC=—77(^—Exy-^^-ExEy)=Exy-ExEy=cov(X,r)=Z,證畢.

n-\nn

15設(shè)總體x~N(〃,『)，樣本為S?是樣本方差，定義s'tllsLS；=—S2,試比擬

nH+1

估計量s\s：,s；哪一個是參數(shù)，的無偏估計量？哪一個對T的均方誤差成最??？

1_->1n_1n_

222

解1)ES=E(——(Xz-X)')=E(——(YX--/?X))=——(YEX；-nEX)

〃一1、n-\Mn-\片

所以S?是的0?無偏估計

2)

力(盯$2)=2(〃-1),所以，D52--^-j-<74,Z?(52-(72)2-D52一告b4

可以看出E(S；—『丫最小.

16設(shè)總體X~U[OM，XjX、、X、為樣本，試證：,maxX與4minX都是參數(shù)。的無偏估計量，問哪一

,*'3_"3tIU53_I

個較有效？

解

所以g4x⑺比擬有效.

17設(shè)自，&是o的兩個獨立的無偏估計量，并且&的方差是a的方差的兩倍.試確定常數(shù)口，。2,使

得,也+為夕的線性最小方差無偏估計量.

解：設(shè)幽=/2,岫=2/

當《二—?=；,上式到達最小，此時C2=l—q=g.

18.設(shè)樣本尤來自于總體X,且X~P(/l)(泊松分布)，求E冗D又,并求C-R不等式下界，證明估

計量X是參數(shù)2的有效估計量.

--DXA

解EX=EX=4,DX=——

nn

所以其C-R方差下界為-^-=-

7(2)n

所以又是參數(shù)4有效估計量.

19設(shè)總體X具有如下密度函數(shù),

九…,尤是來自于總體x的樣本，對可估計函數(shù)g（e）=L,求g（。）的有效估計量以0），并確定R-c

0

下界.

解因為似然函數(shù)

所以取統(tǒng)計量7=—'Xin人;

n

得￡T='=以8）,所以7=-In%是無偏估計量

”n

1

令以。）=〃由定理知T是有效估計量，由。7=&竺=上=」

c（0）-nnOr

所以C-R方差下界為上

20設(shè)總體X服從兒何分布：P（X=%）=p（l-〃尸，&=12，對可估計函數(shù)g（p）=L,那么

P

1）求g（〃）的有效估計量T（X1,；

2）求。7和/（〃）；

3）驗證7的相合性.

解1）因為似然函數(shù)L（p,網(wǎng)…%）=jjp（l-p）3=pn（l-p產(chǎn)〃

f=l

所以取統(tǒng)計量7=又.

又因為EX=EX=之即（l-p）i=（―川l-p）i=或齊

hiidq

—n—

所以丁=*是且（〃）的無偏估計量，取以p）=------，由定理得到，T=X是有效估計量

1-〃

2）

所以7二又是相合估計量.

21設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，

九..”人是來自于總體X的樣本，是否存在可估計函數(shù)儀。）以及與之對應(yīng)的有效估計量鋼。）？如果存

在冢8）和由8）,請具體找出，假設(shè)不存在，請說明為什么.

解因為似然函數(shù)Ua玉..X,，）坨野=然人

i=1"1I"1）

G\nO-e+\

所以令g（e）=

(6>-l)ln6>

一0

所以g（e）=x是g（e）的無偏估計量，取。（。）二一一,由定理得到，以e）二x是以。）有效估計

n

所以：放。）一又是以夕）有效估計量.

22設(shè)xX,是來自于總體X的樣本，總體X的概率分布為：

1）求參數(shù)e的極大似然估計最心

2）試問極大似然估計6是否是有效估計量？如果是，請求它的方差。。和信息量/（。）；

3）試問A是否是相合估計量？

解I）

得到。最大似然估計量o=-Y|刈

n

2)

￡=￡/

所以XE

-nSM-nSII=

所以。是無偏估計量，c（e）=°（］；〃）,由定理得到。是。有效估計量

信息量/（夕）=:

nC7（l—u）

3）

所以，T也是相合估計量.

23設(shè)樣本來自總體N（〃,l）,并且〃的區(qū)間估計為（區(qū)-1,又+1）,問以多大的概率推斷

參數(shù)”取值于此區(qū)間.

解設(shè)以概率〃=1-a推斷參數(shù)〃取值于（9-I,又+1）,在方差為1條件下，推斷參數(shù)〃

力的置信度為1一。的置信區(qū)間為（》一〃。號，又+“

,-7Qn,_yyjn

所以q°亍^=1,彳色=2,得至ija=0.0456

即以概率p=0.9544推斷參數(shù)〃取值于（滅-1,滅+1）

24從一批螺釘中隨機地取16枚，測得其長度（單位：cm）為：

2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,

2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11

設(shè)釘長分布為正態(tài)，在如下兩種情況下，試求總體均值"的90%置信區(qū)間，

I）假設(shè)b=0.0lcm；2J假設(shè)。未知；

解因為又=2.125,〃=16,s=0.171,14=0.95,495=1.65,r0,95（15）=1.753

1）計算

所以置信區(qū)間為［1.121,2.129］

2）計算

所以置信區(qū)間為［2.115,2.135］

25測量鋁的密度16次，測得三=2.705,5=0.029,試求鋁的比重的0.95的置信區(qū)間(假設(shè)鋁的比重服

從正態(tài)分布).

解這是正態(tài)分布下，方差未知，對于均值的區(qū)間估計：

因為3=2.705,n=16,s=0.029,a=0.05,1-1=0.975,r095(15)=2.131

_o029_o029

計算a二斤一975(15)=7==2.6896,Z?=X+r()975(15)=2.7204

'V16J16

所以置信區(qū)間為[2.6895,2.7025]

26在方差優(yōu)的正態(tài)總體下，問抽取容量〃為多大的樣本，才能使總體均值〃的置信度為的置信

區(qū)間長度不大于I?

解均值〃的置信度為l-a的置信區(qū)間為(又-a

_2〃1ab

要使2〃—4

〃I

即n>44a

27從正態(tài)總體N(3.4,36)中抽取容量為〃的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間(145.4)內(nèi)的概率不

小于0.95,問樣本容量〃至少應(yīng)取多大？

解

=>2①(半)-1>0.95=>7^>5.88,n>34.57,所以，〃之35

28假設(shè)0.5,1.25,0.8,2.0是總體X的簡單隨機樣本值.y=InX~N(a,l).

1)求參數(shù)〃的置信度為0.95的置信區(qū)間；

2)求EX的置信度為0.95的置信區(qū)間.

解1)y=lnX服從N(",l)正態(tài)分布，按照正態(tài)分布均值〃的區(qū)間估計，其置信區(qū)間為

Y±U°,由題意，從總體X中抽取的四個樣本為：

其中，〃=40=1,％975=196.7=。，代入公式，得到置信區(qū)間為(—0.98,0.98)

2)

一()r)2

EX=Eeykdy=e/z+05由1)知道〃的置信區(qū)間為(-0.98,0.98),所以

EX置信區(qū)間為(6?98+。.5c-0.98+0.5、/^-0.48

e)=(e

29隨機地從A批導線中抽取4根，并從B批導線中抽取5根，測得其電阻(Q)為:

A批導線：0.143,0.142,0.143,0.137

B批導線:0.140,0.142,0.136,0.138,0.140

設(shè)測試數(shù)據(jù)分別服從N（從和N（人,『），并且它們相互獨立,又必,必『均未知,求參數(shù)必-4的

置信度為95%的置信區(qū)間.

解由題意，這是兩正太總體，在方差未知且相等條件下，對總體均值差的估計：

置信區(qū)間為又一科土，a（%+〃，—2）S」,+,

匕~V?1%

計算得

所以［-0.0022,0.0063］

30有兩位化驗員A、B,他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測定，其測定

值的方差S?依次為0.5419和0.6065,設(shè)封與蘇分別為A、B所測量數(shù)據(jù)的總體的方差（正態(tài)總體），求

方差比蘇/蘇的置信度為95%的置信區(qū)間.

解由題意，這是兩正太總體方差比的區(qū)間估計：

計算得S；=0.5419,SQ=0.6065,.=%=10,衣=0.05

所以置信為［0.2217,3.6008］

31隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，測得炮口速度的樣本標準差s=ll（m/s）,設(shè)炮口速度服從正態(tài)分

布，求這種炮彈的炮口速度的標準差。的置信度為95%的置信區(qū)間.

解由題意標準差＜7的置信度為0.95的置信區(qū)間為（，,。、，,,6）

瘟⑻瘟（8）

計算得

所以置信區(qū)間為［7,431,21.072］

32在一批貨物的容量為100的樣本中，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)16個次品，試求這批貨物次品率的置信度為95%

的置信區(qū)間

解設(shè)X表示來自總體的樣本，樣本為次品時X=l,樣本