吉林省吉林市第四高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

吉林四中2024—2025學(xué)年度下學(xué)期3月份月考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求1.一物體的運(yùn)動(dòng)方程是，則在時(shí)的瞬時(shí)速度是（）A. B. C.1 D.22.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（）A.1 B.2 C. D.33.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.4.現(xiàn)有3名老師、6名男同學(xué)和4名女同學(xué)共13人．若需1名老師和1名學(xué)生參加評(píng)選會(huì)議，則不同的選法種數(shù)為（）A.30 B.18 C.12 D.135.過點(diǎn)作函數(shù)的切線方程為（）A. B.C. D.6.如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，則（）A.1 B.2 C.0 D.7.已知直線與曲線相切，則的值為（）A. B. C. D.18.已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且．若，則的取值范圍是（）A. B.C D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.B.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則C.函數(shù)在處有極大值，則或6D.設(shè)，則“”是“”的充要條件10.若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A. B. C.0 D.211.對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的（）A.在處取得極大值 B.有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C. D.若恒成立，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，12.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．13.曲線在處切線的傾斜角是______.14.將一個(gè)邊長(zhǎng)為a正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形，做成一個(gè)無蓋方盒，若要使方盒的容積V最大，則邊長(zhǎng)x為________.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值；（2）求函數(shù)在上的最小值.17.設(shè)函數(shù)和函數(shù).（1）曲線在點(diǎn)處切線與曲線相切于點(diǎn)，求、的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.18.已知函數(shù)在時(shí)取得極值．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上最小值；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求值．19.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，求證：對(duì)，且，都有.

吉林四中2024—2025學(xué)年度下學(xué)期3月份月考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求1.一物體的運(yùn)動(dòng)方程是，則在時(shí)的瞬時(shí)速度是（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】表示，計(jì)算，利用可計(jì)算出時(shí)的瞬時(shí)速度.【詳解】∵，∴，∴在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：B.2.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可得解.【詳解】由依題意，知,則，故選：A3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并令解不等式可得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】易知函數(shù)定義域?yàn)?，可得，顯然，令，可得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A4.現(xiàn)有3名老師、6名男同學(xué)和4名女同學(xué)共13人．若需1名老師和1名學(xué)生參加評(píng)選會(huì)議，則不同的選法種數(shù)為（）A.30 B.18 C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題意，直接求解即可.【詳解】先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從10名學(xué)生中任選1名，有10種選法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×10＝30．故選：A.5.過點(diǎn)作函數(shù)的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程，結(jié)合所過的點(diǎn)求參數(shù)m，進(jìn)而確定切線方程.【詳解】由，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，切線方程為，又過點(diǎn)，所以，整理得，所以，切線方程為，則.故選：C6.如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，則（）A.1 B.2 C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求出切線的方程，從而可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則可得，求出直線的斜率可得的值，從而可得答案.【詳解】由圖象可得切線過點(diǎn)，所以切線的方程為，即，所以切線的斜率為，所以因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，所以，所以，故選：C7.已知直線與曲線相切，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)切點(diǎn)在切線、曲線上及切線的斜率為建立方程組，求解即得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo).∵，∴，則，由②得，，代入①得，，整理得，解得，故.故選：A.8.已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且．若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解出，所以，即，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】由題意可得，所以，解得，所以，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.B.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則C.函數(shù)在處有極大值，則或6D.設(shè)，則“”是“”的充要條件【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0可判斷；對(duì)于B，求導(dǎo)函數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)，利用方程解出，即可判斷；對(duì)于C，通過驗(yàn)證可知當(dāng)時(shí)，在處有極小值，即可排除C，對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合，即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，則，解得，故B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)在處有極大值，所以，又，則，解得或6.若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處有極小值，不符合題意，故C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)：設(shè)，.則，因?yàn)楹愠闪ⅲ也缓愕扔?，所以恒成立，且不恒等于0，則在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以“”是“”的充要條件，故D正確.故選：BD.10.若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A. B. C.0 D.2【答案】BD【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)問題，由判別式可解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，依題意知，有兩個(gè)不相等零點(diǎn)，所以，解得且，故選：BD．11.對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的（）A.在處取得極大值 B.有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C. D.若恒成立，則【答案】ACD【解析】【分析】求得，得到的單調(diào)區(qū)間，可判定A正確；根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)的單調(diào)性，得到，結(jié)合，可判定C正確；轉(zhuǎn)化為在恒成立，令gx=lnxx+1x,x>0，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性與，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象，如圖所示，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；由函數(shù)的圖象，可得，因?yàn)椋?，所以C正確；若在恒成立，則在恒成立，令gx=ln當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，12.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立，即，所以.故答案為：.13.曲線在處切線的傾斜角是______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)切線的傾斜角為，因?yàn)?，則，且，則，所以曲線在處切線的傾斜角是.故答案為：14.將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形，做成一個(gè)無蓋方盒，若要使方盒的容積V最大，則邊長(zhǎng)x為________.【答案】##【解析】【分析】依題意，可得，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意，折成無蓋盒子的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為，則，由，得，令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且在處取得最大值.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)公式與四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則求解；（2）根據(jù)求導(dǎo)公式與四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則求解；（3）利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求.【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】令，則16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值；（2）求函數(shù)在上的最小值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，無極小值（2）1【解析】【分析】(1)先求函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)第(1)小問的單調(diào)性，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而函數(shù)的最小值是，比較和的大小，求得函數(shù)的最小值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域是.又，令，得，令，得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的極大值為，無極小值.【小問2詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值為.因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上的最小值為1.17.設(shè)函數(shù)和函數(shù).（1）曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，求、的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出曲線在點(diǎn)處的切線方程為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出，即可求得實(shí)數(shù)、的值；（2）分析可知，對(duì)任意的恒成立，設(shè)，可知對(duì)任意的恒成立，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可.【小問1詳解】解：因?yàn)椋瑒t，所以，，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又因?yàn)榕c曲線相切于點(diǎn)，且，所以，，解得.【小問2詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，恒成立，所以，，解得或.而當(dāng)或時(shí)，均不是常函數(shù)，故若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為或.18.已知函數(shù)在時(shí)取得極值．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求值．【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）（3）或【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，由可求出的值，進(jìn)而確定導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可得解.（2）由（1）可知函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最低的端點(diǎn)值和極小值進(jìn)行比較即可得解.（3）將函數(shù)零問題轉(zhuǎn)化成圖像交點(diǎn)問題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值情況即可求解.【小問1詳解】由題得，且定義域?yàn)?由函數(shù)在時(shí)取得極值，得，解得，此時(shí)，顯然是的變號(hào)零點(diǎn)，即是極值點(diǎn)，因此，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.【小問3詳解】因?yàn)?，由?）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極小值為，極大值為，由有兩個(gè)零點(diǎn)得直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，故或，所以或.19.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，求證：對(duì)，且，都有.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程，求值即可；（2），根據(jù)參數(shù)與1的大小關(guān)系分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）