河南省環(huán)際大聯(lián)考“逐夢計劃”2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期階段性考試（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁環(huán)際大聯(lián)考“逐夢計劃”2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期階段考試（一）高一數(shù)學(xué)試題（試卷總分：150分考試時間：120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知角，那么的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】將用到的角表示出，進而確定其所在的象限.【詳解】角，而，所以的終邊在第二象限.故選：B2.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】若，則或；若，則，所以“”是“”的必要而不充分條件，故選：B.3.已知x是三角形的一個內(nèi)角，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，注意三角形中角的范圍限制即可.【詳解】因為單調(diào)遞減，，，所以，故選：D.4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函數(shù)定義域，排除A；再由函數(shù)奇偶性排除D，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可得出B正確，C錯誤.【詳解】A選項，的定義域為，故A不滿足題意；D選項，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故D不滿足題意；B選項，正切函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間是增函數(shù)，即B正確；C選項，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間是增函數(shù)；因此是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故C不滿足題意.故選：B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟記三角函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可，屬于基礎(chǔ)題型.5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】依題意，，，，所以.故選：B.6.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是A.函數(shù)圖像的對稱中心為，B.函數(shù)圖像的一條對稱軸方程是C.函數(shù)在區(qū)間上增函數(shù)D.函數(shù)的最小正周期是【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別分析其對稱中心，對稱軸，周期，增減性即可.【詳解】對于A，當(dāng)或時，即或是函數(shù)的對稱中心，故錯誤，對于B,正切型函數(shù)無對稱軸，故錯誤，對于C,當(dāng)時，，正切函數(shù)在此區(qū)間不單調(diào)，故錯誤，對于D,周期，故正確.所以選D.【點睛】本題主要考查了正切型函數(shù)的性質(zhì)，特別要注意函數(shù)無對稱軸，屬于中檔題.7.已知（）在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求出范圍.【詳解】當(dāng)時，，而在上單調(diào)遞增，則，解得，所以的取值范圍是.故選：C8.已知函數(shù)，則下列函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】證得函數(shù)為奇函數(shù)，可得關(guān)于原點對稱，進而可得函數(shù)關(guān)于對稱，再結(jié)合函數(shù)關(guān)于點對稱，即可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)，定義域為，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，則關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)為函數(shù)向右平移一個單位得到，故函數(shù)關(guān)于對稱，且函數(shù)關(guān)于點對稱，因此函數(shù)關(guān)于點對稱，故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知角和的終邊關(guān)于x軸對稱，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因為角和的終邊關(guān)于x軸對稱，可得，．對于A，由，A錯誤；對于B，由，B正確；對于C，由，C正確；對于D，由，D錯誤．故選：AC．10.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（）A.B.C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，是偶函數(shù)D.方程在上有兩個根，則【答案】ACD【解析】【分析】由得出，再由求出，由結(jié)合，得出值，即可判斷AB選項，再由平移得出判斷C選項；結(jié)合題中圖象即可判斷D選項.【詳解】由圖象知，最小正周期，得，由的圖象知，，由過點，得，又，則，當(dāng)時，，又的圖象過點，則，解得，，得，，又，故無解，即不符合題意；當(dāng)時，，又的圖象過點，則，即，，于是，，而，則，故，則A正確，B錯誤；函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；由圖象知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，且，，，則當(dāng)方程在上有兩個根時，，D正確．故選：ACD11.下列選項正確的是（）A.B.，使C.若，則D.曲線與在有6個交點【答案】ACD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡判斷A；利用正余弦函數(shù)值域及不等式性質(zhì)推理判斷B；利用誘導(dǎo)公式及同角公式計算判斷C；建立方程并轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點個數(shù)求解判斷D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，，則，，因此不存在，使，B錯誤；對于C，由，得，，因此，C正確：對于D，由，得，函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增，在每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，直線與的圖象只有1個交點，，因此在時，直線與的圖象有5個交點，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，此時直線與的圖象有1個交點，因此直線與的圖象共有6個交點，所以曲線與在有6個交點，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域為___________.【答案】【解析】【分析】先得到使函數(shù)有意義關(guān)系式，求解即可.【詳解】若使函數(shù)有意義，需滿足：，解得；故答案為：13.已知，則_________．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡結(jié)合已知即可得結(jié)果.【詳解】，故答案為：.14.《樂府詩集》輯有晉詩一組，屬清商曲辭吳聲歌曲，標(biāo)題為《子夜四時歌七十五首》．其中《夏歌二十首》的第五首曰：疊扇放床上，企想遠風(fēng)來．輕袖佛華妝，窈窕登高臺、詩里的疊扇，就是折扇．折扇展開后可看作是半徑為R的扇形，是圓面的一部分，如圖所示．設(shè)某扇形的面積為，該扇形所在圓面的面積為，當(dāng)與的比值為時，該扇面為“黃金美觀扇面”．若某扇面為“黃金美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為_________．【答案】【解析】【分析】利用與比值，列出方程即可.【詳解】扇形所在圓面的面積為又，即所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先將原式利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)的商的關(guān)系化“弦”為“切”，求得，由即得所求；（2）先利用將原式變形為齊次分式，再將分子分母同時除以得到關(guān)于的式子，代入的值即可.【小問1詳解】由，得，所以.【小問2詳解】16.已知函數(shù)（1）用“五點法”作出在上的簡圖;（2）寫出的對稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間;（3）求最大值以及取得最大值時的集合.【答案】（1）作圖見解析；（2）對稱中心，增區(qū)間為；（3）最大值為2,.【解析】【分析】（1）根據(jù)的范圍求出的取值范圍，然后按照“列表、描點、連線”的步驟畫出函數(shù)的圖象．（2）將作為一個整體，并結(jié)合正弦函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)求解．（3）根據(jù)給定條件，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值作答．【小問1詳解】由，得，列表如下：012101畫出函數(shù)的圖象，如圖：【小問2詳解】由，得，因此函數(shù)圖象的對稱中心為，由，得，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為．【小問3詳解】當(dāng)，即時，，所以函數(shù)的最大值為2，此時的集合為．17.已知函數(shù)（，），的部分圖象如圖所示，P，Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標(biāo)為．（1）求的最小正周期及的值；（2）若點R的坐標(biāo)為，，求A的值．【答案】（1）最小正周期，；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)式及圖象，利用正弦函數(shù)周期公式及最值點求得答案.（2）過點Q作于點S，結(jié)合（1）信息求出，再利用給定角求出.【小問1詳解】函數(shù)的最小正周期，由為函數(shù)圖象的最高點，得，，解得，，而，所以.【小問2詳解】由Q為函數(shù)圖象的最低點，，，得點Q的坐標(biāo)為，，又，則，過點Q作于點S，，因此.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓（圓心在原點，半徑為1）交于點P．過點P作圓O的切線，分別交x軸、y軸于點與．（1）若的面積為2，求的值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）由題意求出與，根據(jù)的面積為2，結(jié)合三角函數(shù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）可表示出，利用基本不等式即可求得答案.【小問1詳解】由題意得為銳角，故P在第一象限，則，在x，y軸正半軸上，由題意可知，故，故，，故，則，由的面積為2，得，即．所以，又，故，即，解得；【小問2詳解】由題意是銳角，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為16．19.函數(shù)與函數(shù)分別稱為雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，它們在懸鏈線問題，相對論，復(fù)數(shù)分析，電路分析，熱傳導(dǎo)與波動方程中有廣泛的應(yīng)用．（1）判斷函數(shù)（其中）的奇偶性，并加以證明；（2）我們知道三角函數(shù)有非常多