2025版數(shù)學(xué)中考《二輪總復(fù)習(xí)微專題學(xué)案》二輪講義27 正方形含答案或解析

微專題27正方形考點(diǎn)精講構(gòu)建知識(shí)體系考點(diǎn)梳理1.正方形的性質(zhì)與判定(6年8考)(1)定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形(2)正方形的性質(zhì)邊四條邊都相等，對(duì)邊平行角四個(gè)角都是直角對(duì)角線對(duì)角線相等且互相①；每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是兩條②的交點(diǎn)(3)正方形的判定邊有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是③的平行四邊形是正方形(定義)；有一組鄰邊④的矩形是正方形角有一個(gè)角是⑤的菱形是正方形對(duì)角線對(duì)角線⑥的矩形是正方形；對(duì)角線⑦的菱形是正方形；對(duì)角線互相⑧的四邊形是正方形2.正方形面積面積計(jì)算公式：S＝a2＝12l2(a表示邊長(zhǎng)，l表示對(duì)角線長(zhǎng)3.平行四邊形與四邊形、特殊四邊形之間的關(guān)系4.中點(diǎn)四邊形概念依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形原圖形任意四邊形矩形菱形正方形對(duì)角線相等的四邊形對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)角線垂直且相等的四邊形中點(diǎn)四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形菱形矩形正方形【溫馨提示】連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形面積是原圖形面積的一半練考點(diǎn)1.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且BD＝42，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE.第1題圖(1)∠ACB的度數(shù)為；(2)AO的長(zhǎng)為；(3)正方形ABCD的周長(zhǎng)為，面積為；(4)若∠ABE＝15°，則BE的長(zhǎng)為.2.下列說法中，正確的是()A.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形D.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形3.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH一定是.(填“平行四邊形”“矩形”“菱形”或“正方形”)第3題圖高頻考點(diǎn)考點(diǎn)1與正方形有關(guān)的證明及計(jì)算(6年8考)例1已知四邊形ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M為BD上一點(diǎn)，連接AM.(1)如圖①，過點(diǎn)M分別作AB，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：四邊形BEMF是正方形；例1題圖①(2)如圖②，若BM＝3DM，求AM的長(zhǎng)；例1題圖②(3)如圖③，連接AC交BD于點(diǎn)O，若AM平分∠DAC，延長(zhǎng)AM交CD于點(diǎn)N，求DNAB的值例1題圖③(4)如圖④，過點(diǎn)B作BE⊥AM于點(diǎn)E，分別延長(zhǎng)BE，AM交AD于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)N，連接DE，若N是CD的中點(diǎn)，求∠DEN的度數(shù).例1題圖④考點(diǎn)2中點(diǎn)四邊形例2如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)添加的條件是()例2題圖A.AB＝CD B.AC⊥BD C.CD＝BC D.AC＝BD變式1(2024山西)在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，EG，F(xiàn)H交于點(diǎn)O.若四邊形ABCD的對(duì)角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為()互相垂直平分 B.互相平分且相等 C.互相垂直且相等 D.互相垂直平分且相等真題及變式命題點(diǎn)與正方形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算(6年8考) 1.(2024廣東7題3分)完全相同的4個(gè)正方形面積之和是100，則正方形的邊長(zhǎng)是()A.2 B.5 C.10 D.202.(2019廣東10題3分)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E使EB＝2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，延長(zhǎng)FG交DC于點(diǎn)M，連接AM，AF，H為AD的中點(diǎn)，連接FH分別與AB，AM交于點(diǎn)N，K.則下列結(jié)論：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正確的結(jié)論有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)第2題圖2.1變條件——增加線段DF如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E使EB＝2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，連接DF，H是DF的中點(diǎn)，連接BH，則BH的長(zhǎng)為.變式2.1題圖3.(2023廣東15題3分)邊長(zhǎng)分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上(如圖)，則圖中陰影部分的面積為.第3題圖3.1變條件——增加線段改變陰影區(qū)域的位置如圖，邊長(zhǎng)分別為5，3，2的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上，圖中陰影部分的面積分別為S1，S2，則S1S2變式3.1題圖新考法4.[數(shù)學(xué)文化](人教八下習(xí)題改編)2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b，那么(a＋b)2的值為()第4題圖A.13 B.19 C.25 D.169

考點(diǎn)精講①垂直平分②對(duì)角線③直角(90°)④相等⑤直角(90°)⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等練考點(diǎn)1.(1)45°；(2)22；(3)16，16；(4)42.C3.平行四邊形高頻考點(diǎn)例1(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥BC，∴四邊形BEMF是矩形.∵∠ABD＝45°，∠MEB＝90°，∴∠EBM＝∠EMB＝45°，∴BE＝EM，∴四邊形BEMF是正方形；(2)解：如解圖①，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OD.∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴OA＝OD＝22AD＝22∵BM＝3DM，∴點(diǎn)M是OD的中點(diǎn)，∴OM＝2，在Rt△AOM中，由勾股定理得AM＝OA2＋例1解圖①(3)解：如解圖②，過點(diǎn)N作NG⊥AC于點(diǎn)G，例1題解圖②∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∵AM平分∠DAC，∴DN＝GN.設(shè)DN＝x，則GN＝x，CN＝4－x.∵∠NCG＝45°，∴△NGC是等腰直角三角形，∴CN＝2CG，即4－x＝2x，解得x＝42－4，∴DNAB＝2－1(4)解：如解圖③，過點(diǎn)D作DG⊥DE交AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵BF⊥AN，∴∠ABF＋∠AFB＝∠DAN＋∠AFB＝90°，即∠ABF＝∠DAN.又∵AB＝DA，∠BAF＝∠ADN＝90°，∴△ABF≌△DAN，∴AF＝DN，∠AFB＝∠DNA，∴∠DFE＝∠DNG.∵N是CD的中點(diǎn)，∴DN＝12CD＝12AD＝∴F為AD的中點(diǎn)，∴DF＝DN.∵DE⊥DG，∴∠EDF＋∠EDN＝∠GDN＋∠EDN，即∠EDF＝∠GDN，∴△DEF≌△DGN，∴DE＝DG，∴△DEG是等腰直角三角形，∴∠DEN的度數(shù)為45°.例1題解圖③例2D【解析】應(yīng)添加的條件是AC＝BD，∵E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，且AC＝BD，∴EH＝12BD，F(xiàn)G＝12BD，HG＝12AC，EF＝12AC，∴EH＝HG＝GF＝EF，變式1A【解析】∵在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如解圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，BD，AC，∴EF＝12AC，F(xiàn)G＝12BD，GH＝12AC，EH＝12BD.∵四邊形ABCD的對(duì)角線相等，即AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四邊形EFGH為菱形，∴EG變式1題解圖真題及變式1.B【解析】由題意得每個(gè)正方形的面積為100÷4＝25，∴正方形的邊長(zhǎng)為5.2.C【解析】∵四邊形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，H為AD的中點(diǎn)，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正確；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝2FG＝2AH，∴∠AFH≠∠AHF，∵AD∥FG，∴∠AHF＝∠HFG，∴∠AFN≠∠HFG，故②錯(cuò)誤；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝12AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴AHAN＝GMAG＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正確；易知四邊形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝12AN·FG＝12×1×2＝1，S△ADM＝12AD·DM＝12×4×2＝4，∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，變式2.110【解析】如解圖，連接BD，BF，在正方形ABCD和正方形EFGB中，∠ABD＝∠GBF＝45°，∴∠DBF＝90°.由題意，得EB＝2，BC＝4，∴BF＝2EB＝22，BD＝2BC＝42，在Rt△DBF中，由勾股定理，得DF＝BF2＋BD2＝210，又∵H是DF的中點(diǎn)，∴BH變式2.1題解圖3.15【解析】如解圖，∵四邊形ABCD，ECGF，IGHK均為正方形，∴CD＝AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴GLCJ＝GHCH＝25，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S陰影＝S梯形EJLF＝12(EJ＋FL)·EF＝12×(1＋4)第3題解圖變式3.1425【解析】如解圖，設(shè)AH分別交CD，F(xiàn)G，BM于點(diǎn)K，I，L，BM分別交CD，F(xiàn)G于點(diǎn)P，Q，AH＝m，∵正方形ABCD，正方形CEFG和正方形GHMN的一邊在同一條直線上，∴∠ABC＝∠DCG＝∠FGH＝∠MHG＝90°，AB＝BC＝AD＝5，CG＝EF＝3，GH＝HM＝MN＝2，∴AB∥CD∥FG∥MH，BH＝5＋3＋2＝10，HC＝3＋2＝5，∵HM∥AB，∴△HLM∽△ALB，∴HLAL＝HMAB＝2