經(jīng)管類(lèi)微積分試題及答案

經(jīng)管類(lèi)微積分試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是：

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

2.函數(shù)f(x)=x^3在x=0處的導(dǎo)數(shù)是：

A.0

B.1

C.3

D.-3

3.若f'(x)=2x+1，則f(x)的表達(dá)式為：

A.f(x)=x^2+x

B.f(x)=x^2+2x+1

C.f(x)=x^2+x+1

D.f(x)=x^2+2x

4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上必定存在：

A.極大值

B.極小值

C.零點(diǎn)

D.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)

5.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)是：

A.f(a)

B.f'(a)

C.0

D.無(wú)定義

二、填空題（每題5分，共20分）

1.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的導(dǎo)數(shù)是________。

2.若f'(x)=3x^2-2x，則f(x)的表達(dá)式為_(kāi)_______。

3.函數(shù)f(x)=ln(x)的導(dǎo)數(shù)是________。

4.若f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為2，則f'(1)=________。

5.函數(shù)f(x)=x^3-4x^2+3x+1在x=1處的導(dǎo)數(shù)是________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2處的導(dǎo)數(shù)。

2.求函數(shù)f(x)=e^x-x^2在x=1處的導(dǎo)數(shù)。

3.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求f'(x)。

4.求函數(shù)f(x)=ln(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)內(nèi)必定存在至少一個(gè)點(diǎn)c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。

2.證明：若函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f'(0)=0，則存在一個(gè)包含x=0的鄰域，使得對(duì)于任意的x屬于該鄰域，有f(x)≈x。

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.某商品的原價(jià)為100元，若每天降價(jià)2%，求第5天商品的價(jià)格。

2.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為1000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的變動(dòng)成本為10元，每件產(chǎn)品的售價(jià)為20元。求每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，工廠的利潤(rùn)最大。

六、綜合題（每題20分，共40分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

2.設(shè)函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.B。因?yàn)閨x|在x=0處不可導(dǎo)，其他選項(xiàng)在x=0處可導(dǎo)。

2.C。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(0)=lim(h→0)[f(0+h)-f(0)]/h=lim(h→0)[h^3-0]/h=lim(h→0)h^2=0。

3.A。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h=lim(h→0)[(x+h)^2-x^2]/h=lim(h→0)[2xh+h^2]/h=lim(h→0)[2x+h]=2x。

4.C。根據(jù)零點(diǎn)定理，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。

5.B。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h。

二、填空題答案及解析：

1.e^0=1。

2.f(x)=x^3-x^2+C，其中C為常數(shù)。

3.f'(x)=1/x。

4.f'(1)=2。

5.f'(1)=3*1^2-2*1+0=1。

三、解答題答案及解析：

1.f'(x)=3x^2-6x+2，f'(2)=3*2^2-6*2+2=8。

2.f'(x)=e^x-2x，f'(1)=e^1-2*1=e-2。

3.f'(x)=6x^2-6x+4。

4.f'(x)=1/x，f'(1)=1/1=1。

四、證明題答案及解析：

1.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在c屬于(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。

2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(0)=lim(h→0)[f(0+h)-f(0)]/h=lim(h→0)[f(h)-f(0)]/h=0。

五、應(yīng)用題答案及解析：

1.第5天商品的價(jià)格為100*(1-0.02)^5≈95.06元。

2.設(shè)每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)=20x-10x-1000=10x-1000。當(dāng)x=100時(shí)，L(x)取得最大值，即每天生產(chǎn)100件產(chǎn)品時(shí)，工廠的利潤(rùn)最大。

六、綜合題答案及解析：

1.f'(x)=6x^2-6x+4，f''(x)=12x-6。令f'(x)=0，解得x=1/2。f''(1/2)=0，f''(3)=18>0，所以f(x)在x=1/2處取得最大值f(1/2)=-1/8，f(x)在x=3處取得最小值f(3)