《備考指南一輪 數(shù)學(xué) 》課件-第8章 第3講

第八章第3講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．有下列命題：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】A2．下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是()A．①③ B．②③C．①④ D．②④【答案】C3．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能【答案】B4．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n?α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥α，m⊥n，則n⊥α【答案】B5．(2019年棗莊診斷)如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA′＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M分別是邊AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在四邊形EFGH內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，并且始終有MP∥平面ACC′A′，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為()A．2 B．2πC．2eq\r(3) D．4【答案】D【解析】連接MF，F(xiàn)H，MH，因?yàn)镸，F(xiàn)，H分別為BC，AB，A′B′的中點(diǎn)，所以MF∥平面AA′C′C，F(xiàn)H∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M與線段FH上任意一點(diǎn)的連線都平行于平面AA′C′C，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段FH，其長(zhǎng)度為4.6．在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．【答案】平面ABD與平面ABC【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)E.連接AE，BE，由于M，N分別是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分別過(guò)M，N，且EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB．因?yàn)锳B?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC．7．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF【答案】eq\r(2)【解析】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2).又E為AD中點(diǎn)，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC中點(diǎn)，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).8．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝eq\f(π,3)，AC＝4，M為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BM的中點(diǎn)，Q在線段CA1上，且A1Q＝3QC，則PQ的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．【答案】eq\r(13)【解析】由題意知，AB＝8，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB交AA1于點(diǎn)D，連接DQ，則D為AM中點(diǎn)，PD＝eq\f(1,2)AB＝4.又因?yàn)閑q\f(A1Q,QC)＝eq\f(A1D,AD)＝3，所以DQ∥AC，∠PDQ＝eq\f(π,3)，DQ＝eq\f(3,4)AC＝3.在△PDQ中，PQ＝eq\r(42＋32－2×4×3×cos\f(π,3))＝eq\r(13).9．(2019年南昌模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1．設(shè)M，N分別為PD，AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P－ABM的體積．解：(1)證明：因?yàn)镸，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，所以MN∥PA．因?yàn)镸N?平面PAB，PA?平面PAB，所以MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB．因?yàn)镃N?平面PAB，AB?平面PAB，所以CN∥平面PAB．又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB．(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，所以點(diǎn)M到平面PAB的距離等于點(diǎn)C到平面PAB的距離．由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝eq\r(3).所以三棱錐P－ABM的體積V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3).10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，C1D1，A1A的中點(diǎn)．(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.證明：(1)如圖所示，取BB1的中點(diǎn)M，連接MH，MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，所以HD1∥MC1．又因?yàn)镸C1∥BF，所以BF∥HD1．(2)取BD的中點(diǎn)O，連接EO，D1O，則OE綉eq\f(1,2)DC．又D1G綉eq\f(1,2)DC，所以O(shè)E綉D1G，所以四邊形OEGD1是平行四邊形，所以GE∥D1O.又GE?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D．(3)由(1)知BF∥HD1，又BF?平面B1D1H，HD1?平面B1D1H，所以BF∥平面B1D1H.又BD∥B1D1，BD?平面B1D1H，B1D1?平面B1D1H，所以BD∥平面B1D1H.又DB∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.[B級(jí)能力提升]11．已知E，F(xiàn)分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1上的點(diǎn)，且AE＝eq\f(1,2)AB，AF＝eq\f(1,3)AA1，M，N分別為線段D1E和線段C1F上的點(diǎn)，則與平面ABCD平行的直線MN有()A．1條 B．3條C．6條 D．無(wú)數(shù)條【答案】D【解析】在線段A1F上任取一點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H可以作與平面ABCD平行的平面α，顯然D1E，C1F都與這個(gè)平面α相交，連接兩個(gè)交點(diǎn)的直線必與平面ABCD平行，故滿足條件的直線12．(多選)(2020年青島月考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列直線或平面與平面ACD1平行的有A．直線A1B B．直線BB1C．平面A1DC1 D．平面A1BC1【答案】AD【解析】對(duì)于A，由于A1B∥D1C，且A1B?平面ACD1，可得直線A1B∥平面ACD1；對(duì)于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直線B1B不平行平面ACD1；對(duì)于C，由于A1D∩AD1，A1D?平面A1DC1，可得平面A1DC1不與平面ACD1平行；對(duì)于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B，C1B?平面A1BC1，可得平面A1BC1∥13．如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1【答案】1【解析】設(shè)BC1∩B1C＝O，連接OD．因?yàn)锳1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD．因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是菱形，所以O(shè)為BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1的中點(diǎn)，則A1D∶DC114．(2020年北京期末)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝eq\f(π,2)，AA1＝AB＝AC＝1，CC1的中點(diǎn)為H，點(diǎn)N在棱A1B1上，HN∥平面A1BC，則eq\f(A1N,A1B1)的值為_(kāi)_____．【答案】eq\f(1,2)【解析】取A1C1的中點(diǎn)M，A1B1的中點(diǎn)N，連接HM，MN，由H，M，N分別為CC1，A1C1，A1B1的中點(diǎn)，得MH∥A1C，MN∥B1C1∥B因?yàn)锳1C?平面A1BC，MH?平面A1BC，所以MH∥平面A1BC．因?yàn)锽C?平面A1BC，MN?平面A1BC，所以MN∥平面A1BC．又MH∩MN＝M，所以平面MNH∥平面A1BC，則NH∥平面A1BC．由N為A1B1的中點(diǎn)，可知eq\f(A1N,A1B1)的值為eq\f(1,2).15．(2019年河南八市聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AD，PA的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)Q是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面BEF∥平面PDQ；(2)當(dāng)BD⊥FQ時(shí)，求eq\f(BQ,QC)的值．解：(1)證明：因?yàn)镋，Q分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以ED＝BQ，ED∥BQ，所以四邊形BEDQ是平行四邊形．所以BE∥DQ.又BE?平面PDQ，DQ?平面PDQ.所以BE∥平面PDQ.又F是PA的中點(diǎn)，所以EF∥PD．因?yàn)镋F?平面PDQ，PD?平面PDQ，所以EF∥平面PDQ.因?yàn)锽E∩EF＝E，BE?平面BEF，EF?平面BEF，所以平面BEF∥平面PDQ.(2)如圖，連接AQ，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．因?yàn)锽D⊥FQ，PA∩FQ＝F，PA?平面PAQ，F(xiàn)Q?平面PAQ，所以BD⊥平面PAQ.因?yàn)锳Q?平面PAQ，所以AQ⊥BD．在矩形ABCD中，由AQ⊥BD得△AQB與△DBA相似，所以AB2＝AD×BQ.又AB＝1，AD＝2，所以BQ＝eq\f(1,2)，QC＝eq\f(3,2).所以eq\f(BQ,QC)＝eq\f(1,3).16．(2020年北京期末)如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)．(1)求證：BC∥平面PAD；(2)設(shè)平面EBC∩平面PAD＝EF，點(diǎn)F在PA上，求證：F為PA的中點(diǎn)．證明：(1)因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以BC∥AD．因?yàn)锳D?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD．(2)因?yàn)槠矫鍱BC∩平面PAD＝EF，點(diǎn)F在PA上，BC∥平面PAD，BC?平面EBC，所以EF∥BC．因?yàn)辄c(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F為PA的中點(diǎn)．[C級(jí)創(chuàng)新突破]17．(2020年紹興期中)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CC1上，且CF＝2FC1，點(diǎn)P是側(cè)面AA1D1D(包括邊界)上一動(dòng)點(diǎn)，且PB1∥平面DEF，則tan∠ABP的取值范圍為_(kāi)_______【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(13),3)))【解析】如圖所示，作出平面MNQB1∥平面DEF，則A1Q＝2AQ，DN＝2D1N.因?yàn)镻B1∥平面DEF，所以P的軌跡是線段QN.當(dāng)點(diǎn)P在Q處，tan∠ABP取最小值，tan∠ABP＝eq\f(1,3)；當(dāng)P在N處，tan∠ABP取最大值，tan∠ABP＝eq\f(\r(13),3).所以tan∠ABP的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(13),3))).18．(2020年衡水一模)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q，使得A，E，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共面？若存在，求出eq\f(PQ,QC)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：如圖，取PA的中點(diǎn)M，連接MD，MF，因?yàn)镕，M分別為PB，PA的中點(diǎn)，所以FM∥AB，F(xiàn)M＝eq\f(1,2)AB．又四邊形ABCD是平行四邊形，故AB∥CD，AB＝CD．因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB．所以DE∥FM，DE＝FM，則四邊形DEFM為平行四邊形，所以EF∥DM.因?yàn)镋F?平面PAD，DM?平面PAD．所以EF∥平面PAD．(2)存在點(diǎn)Q符合題意，且