《備考指南一輪 數(shù)學(xué) 》課件-第8章 第1講

第八章第1講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2020年新余模擬)如圖，一圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4，其側(cè)面積為4π，則這個(gè)圓錐的體積為()A．eq\f(\r(15),3) B．eq\f(8\r(3),3)C．eq\f(\r(15),3)π D．eq\f(8\r(3),3)π【答案】C2．棱長(zhǎng)為4的正方體的內(nèi)切球的體積為()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．24π【答案】B3．(2019年婁底期末)已知一個(gè)圓柱的高是底面圓半徑的2倍，則該圓柱的側(cè)面積與表面積的比值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)【答案】C4．正三角形的邊長(zhǎng)為2，將它沿BC邊上的高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為eq\r(3)，此時(shí)四面體A－BCD的外接球的表面積為()A．eq\f(10π,3) B．4πC．eq\f(13π,3) D．7π【答案】D5．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中提到了一種名為“芻甍[chúméng]”的五面體(如圖)，四邊形ABCD為矩形，棱EF∥AB．若此幾何體中，AB＝6，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則此幾何體的體積為()A．eq\f(32\r(2),3) B．eq\f(44\r(3),3)C．eq\f(56\r(2),3) D．eq\f(64\r(3),3)【答案】C【解析】過點(diǎn)F作FO⊥平面ABCD，垂足為O，取BC的中點(diǎn)P，連接PF，過點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，連接OQ，延長(zhǎng)QO交CD于點(diǎn)G，連接FG.因?yàn)椤鰽DE和△BCF都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以O(shè)P＝eq\f(1,2)(AB－EF)＝2，PF＝2eq\r(3)，OQ＝eq\f(1,2)BC＝2.因?yàn)镕O⊥平面ABCD，所以FO⊥OP.所以O(shè)F＝eq\r(PF2－OP2)＝2eq\r(2).如圖，把此“芻甍”分為兩側(cè)各一個(gè)四棱錐，中間一個(gè)三棱柱．因?yàn)镕Q⊥AB，F(xiàn)O⊥AB，所以AB⊥平面FGQ.所以AB⊥GQ，所以四邊形BCGQ是矩形．V＝2×eq\f(1,3)×4×2×2eq\r(2)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)×2＝eq\f(56\r(2),3).6．(2019年泉州期末)兩直角邊分別為1，eq\r(3)的直角三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的表面積是()A．eq\f(3＋\r(3),2)π B．3πC．eq\f(9＋2\r(3),4)π D．(3＋2eq\r(3))π【答案】A【解析】由題知該幾何體為兩個(gè)圓錐底對(duì)底組合在一起，其中若L1＝1，R1＝eq\f(\r(3),2)與L2＝eq\r(3)，R2＝eq\f(\r(3),2)，所以S＝eq\f(1,2)×eq\r(3)π×1＋eq\f(1,2)×eq\r(3)π×eq\r(3)＝eq\f(3＋\r(3),2)π.7．(2019年上海期末)圓錐的母線長(zhǎng)是eq\r(3)，高是eq\r(2)，則其側(cè)面積是________．【答案】eq\r(3)π8．(2020年湖北一模)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA與圓錐底面所成的角為30°，若圓錐的體積為8π，則此圓錐的側(cè)面積為________．【答案】8eq\r(3)π【解析】如圖所示，由題意設(shè)圓錐的高為h，則底面半徑為eq\r(3)h，母線長(zhǎng)為l＝2h，所以圓錐的體積為V圓錐＝eq\f(1,3)π·3h2·h＝8π，解得h＝2，r＝2eq\r(3)，l＝4.所以此圓錐的側(cè)面積為S側(cè)面積＝πrl＝π×2eq\r(3)×4＝8eq\r(3)π.9．如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為4，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側(cè)面積；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？解：(1)如圖，設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為r.S圓柱側(cè)＝2πr·x①，因?yàn)閑q\f(r,2)＝eq\f(4－x,4)，所以r＝eq\f(1,2)(4－x)②，將②代入①，S圓柱側(cè)＝2πx·eq\f(1,2)(4－x)＝π(－x2＋4x)(0＜x＜4)．(2)因?yàn)镾圓柱側(cè)＝π(－x2＋4x)＝π[－(x－2)2＋4]，所以x＝2時(shí)，S圓柱側(cè)最大＝4π.10．如圖所示，正四棱臺(tái)的高是17cm，兩底面邊長(zhǎng)分別為4cm和解：設(shè)棱臺(tái)兩底面的中心分別為O′和O，B′C′，BC的中點(diǎn)分別為E′，E，連接O′B′，O′E′，O′O，OE，OB，EE′，則四邊形O′E′EO，OBB′O′均為直角梯形．在正方形ABCD中，BC＝16則OB＝8eq\r(2)在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4則O′B′＝2eq\r(2)cm，O在直角梯形O′OBB′中，BB′＝eq\r(OO′2＋OB－O′B′2)＝19cm.在直角梯形O′OEE′中，EE′＝eq\r(OO′2＋OE－O′E′2)＝5eq\r(13)cm.所以這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm，斜高為[B級(jí)能力提升]11．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該正四棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的體積為()A．eq\f(81π,4) B．eq\f(243π,16)C．9π D．16π【答案】B【解析】如圖所示，R2＝(4－R)2＋2，所以R2＝16－8R＋R2＋2，所以R＝eq\f(9,4)，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(243π,16).12．(多選)(2020年濰坊模擬)等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為()A．eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))π【答案】AB【解析】若繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，則圓錐的底面半徑為1，高為1，所以母線長(zhǎng)l＝eq\r(2)，這時(shí)表面積為π·1·l＋π·12＝(1＋eq\r(2))π；若繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)體由兩個(gè)圓錐對(duì)底組合在一起，且由題意知其底面半徑為eq\f(\r(2),2)，圓錐的母線長(zhǎng)為1，所以表面積S＝2·π·eq\f(\r(2),2)·1＝eq\r(2)π.13．(2020年武漢調(diào)研)祖暅(公元前5～6世紀(jì))，祖沖之之子，是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家．他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．該原理在西方直到17世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖將底面直徑皆為2b，高皆為a的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面于距平面β任意高d處可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面，可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，短軸長(zhǎng)為4cm，長(zhǎng)軸為6【答案】16π【解析】因?yàn)榭傆蠸圓＝S環(huán)，所以橢半球體的體積等于V柱－V錐＝πb2a－eq\f(1,3)πb2a＝eq\f(2,3)πb2a，橢球體的體積為V＝eq\f(4,3)πb2a.因?yàn)?b＝4,2a＝6，所以b＝2，a＝3，所以該橢球體的體積是eq\f(4,3)×22×3π＝16πcm3.14．(一題兩空)(2020年濱州模擬)在四面體S－ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，則該四面體體積的最大值為________，此時(shí)四面體外接球的表面積為________．【答案】eq\f(\r(30),6)8π【解析】四面體的體積最大時(shí)即平面SAB⊥平面ABC，SA＝SB＝2.又SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，所以∠ACB＝90°.取AB的中點(diǎn)H，連接CH，SH，SH⊥AB，平面SAB∩平面ABC＝AB，SH在平面SAB內(nèi)，而SH＝eq\f(1,2)·eq\r(2)SA＝eq\r(2)，所以SH⊥平面ABC．所以VS－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·SH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(30),6).所以外接球的球心在SH上，設(shè)球心為O，連接OC，CH＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)·eq\r(2)SA＝eq\r(2).由SH＝eq\f(1,2)·eq\r(2)SA＝eq\r(2)，知O與H重合．所以R＝CH＝SH＝eq\r(2).所以四面體的外接球的表面積S＝4πR2＝8π.15．現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m．因?yàn)锳1B1＝AB＝6m，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24m3正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312故倉(cāng)庫(kù)的容積是312[C級(jí)創(chuàng)新突破]16．在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA＝eq\r(3)，SB＝2eq\r(3)，二面角S－AB－C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】21π【解析】根據(jù)題意得SA2＋AB2＝SB2，即SA⊥AB．取AB的中點(diǎn)為D，SB的中點(diǎn)為M，連接CD，MD，得∠CDM為二面角S－AB－C的平面角，所以∠MDC＝120°.如圖，設(shè)三角形ABC的外心為O1，則O1在CD上，連接BO1，則CO1＝eq\r(3)＝BO1，DO1＝eq\f(\r(3),2).設(shè)外接球半徑為R，易知球心為過M垂直面ABS的垂線與過O1垂直面ABC的垂線的交點(diǎn)O.在四邊形MDO1O中，因?yàn)槎娼荢－AB－C的平面角∠MDC＝120°，且MO⊥MD，O1O⊥DO1，MD＝O1D＝eq\f(\r(3),2)，所以∠ODO1＝60°，OO1＝O1D·tan60°＝eq\f(3,2)，連接OB，則R2＝OB2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1B2＝eq\f(9,4)＋3＝eq\f(21,4)，所以球的表面積S＝4πR2＝21π.17．如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由)；(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成兩部分的體積的比值．解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足