第三章圓拓展-內(nèi)外兼修：認(rèn)識(shí)三角形的外接圓和內(nèi)切圓 教學(xué)設(shè)計(jì) 2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

第三章圓拓展-內(nèi)外兼修：認(rèn)識(shí)三角形的外接圓和內(nèi)切圓教學(xué)設(shè)計(jì)2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱(chēng)：第三章圓拓展-內(nèi)外兼修：認(rèn)識(shí)三角形的外接圓和內(nèi)切圓

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)（1）班

3.授課時(shí)間：周四上午第三節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)

親愛(ài)的同學(xué)們，大家好！今天我們要一起走進(jìn)數(shù)學(xué)的奇妙世界，探索三角形的外接圓和內(nèi)切圓。這節(jié)課，我們將內(nèi)外兼修，一起領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力！??????核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過(guò)研究三角形的外接圓和內(nèi)切圓，學(xué)生將學(xué)會(huì)運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行抽象思考，發(fā)展邏輯推理能力；通過(guò)動(dòng)手操作和觀察，提升直觀想象能力；同時(shí)，通過(guò)計(jì)算和證明，鍛煉數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)。

2.利用這些性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。

難點(diǎn)：

1.理解并應(yīng)用正弦定理和余弦定理找到三角形外接圓的半徑。

2.掌握內(nèi)切圓半徑與三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。

解決辦法：

1.通過(guò)實(shí)際繪制三角形的外接圓和內(nèi)切圓，幫助學(xué)生直觀理解其性質(zhì)。

2.結(jié)合具體例題，逐步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決問(wèn)題。

3.設(shè)計(jì)一系列遞進(jìn)練習(xí)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，幫助學(xué)生逐步突破難點(diǎn)。教學(xué)資源-軟硬件資源：筆記本電腦、投影儀、白板、直尺、圓規(guī)、三角板

-課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部數(shù)學(xué)教學(xué)平臺(tái)

-信息化資源：三角形外接圓和內(nèi)切圓的動(dòng)畫(huà)演示視頻、相關(guān)教學(xué)課件

-教學(xué)手段：實(shí)物教具展示、小組合作探究、課堂討論、計(jì)算器輔助計(jì)算教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

-老師展示一幅包含多個(gè)三角形的圖片，引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形的基本性質(zhì)。

-提問(wèn)：“同學(xué)們，你們知道三角形有哪些特殊的圖形嗎？”

-引出本節(jié)課的主題：“今天，我們將一起探索三角形的一種特殊圖形——三角形的外接圓和內(nèi)切圓。”

2.新課講授（用時(shí)15分鐘）

-第一部分：三角形外接圓的性質(zhì)

-老師演示如何繪制三角形的外接圓，并解釋外接圓的定義。

-通過(guò)動(dòng)畫(huà)展示，讓學(xué)生直觀理解外接圓的半徑與三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。

-提問(wèn)：“三角形的外接圓有哪些性質(zhì)？”

-學(xué)生回答后，老師總結(jié)并板書(shū)關(guān)鍵性質(zhì)。

-第二部分：三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)

-老師演示如何繪制三角形的內(nèi)切圓，并解釋內(nèi)切圓的定義。

-通過(guò)動(dòng)畫(huà)展示，讓學(xué)生直觀理解內(nèi)切圓的半徑與三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。

-提問(wèn)：“三角形內(nèi)切圓有哪些性質(zhì)？”

-學(xué)生回答后，老師總結(jié)并板書(shū)關(guān)鍵性質(zhì)。

-第三部分：應(yīng)用實(shí)例

-老師給出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)進(jìn)行解答。

-學(xué)生獨(dú)立完成，老師巡視指導(dǎo)。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)15分鐘）

-第一條：繪制三角形的外接圓和內(nèi)切圓

-學(xué)生分組，每組準(zhǔn)備一張白紙、直尺、圓規(guī)和三角板。

-老師演示繪制過(guò)程，學(xué)生跟隨操作。

-學(xué)生完成繪制后，相互檢查并討論。

-第二條：計(jì)算三角形外接圓和內(nèi)切圓的半徑

-老師給出不同類(lèi)型的三角形，要求學(xué)生計(jì)算其外接圓和內(nèi)切圓的半徑。

-學(xué)生獨(dú)立完成，老師巡視指導(dǎo)。

-第三條：解決實(shí)際問(wèn)題

-老師給出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。

-學(xué)生分組討論，每組派代表匯報(bào)解答過(guò)程。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

-第一方面：三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)

-學(xué)生討論外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)，例如半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系、圓心位置等。

-第二方面：如何運(yùn)用性質(zhì)解決問(wèn)題

-學(xué)生討論如何運(yùn)用外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，例如計(jì)算面積、周長(zhǎng)等。

-第三方面：不同類(lèi)型三角形的特殊情況

-學(xué)生討論不同類(lèi)型三角形（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）在外接圓和內(nèi)切圓方面的特點(diǎn)。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

-老師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)、應(yīng)用實(shí)例等。

-提問(wèn)：“今天我們學(xué)習(xí)了哪些三角形的知識(shí)？”

-學(xué)生回答后，老師總結(jié)并強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)難點(diǎn)。

-老師布置課后作業(yè)，要求學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果是衡量教學(xué)成功與否的重要標(biāo)準(zhǔn)。在本節(jié)課“第三章圓拓展-內(nèi)外兼修：認(rèn)識(shí)三角形的外接圓和內(nèi)切圓”的教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)一系列的學(xué)習(xí)活動(dòng)，取得了以下效果：

1.**數(shù)學(xué)抽象能力的提升**

-學(xué)生能夠從具體的三角形圖形中抽象出外接圓和內(nèi)切圓的概念，并理解其幾何性質(zhì)。

-學(xué)生學(xué)會(huì)了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行思考和解決。

2.**邏輯推理能力的增強(qiáng)**

-學(xué)生通過(guò)證明外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)，鍛煉了邏輯推理能力。

-在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能夠合理運(yùn)用已知的幾何定理和性質(zhì)，逐步推導(dǎo)出結(jié)論。

3.**數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)**

-學(xué)生通過(guò)繪制三角形的外接圓和內(nèi)切圓，將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的幾何圖形聯(lián)系起來(lái)，提升了數(shù)學(xué)建模能力。

-學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，能夠根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用模型進(jìn)行解答。

4.**直觀想象能力的提高**

-通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示和實(shí)物操作，學(xué)生能夠直觀地理解外接圓和內(nèi)切圓的位置關(guān)系。

-學(xué)生在小組討論中，能夠通過(guò)圖形的變換和比較，發(fā)展空間想象能力。

5.**數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的鍛煉**

-學(xué)生在計(jì)算三角形外接圓和內(nèi)切圓的半徑時(shí)，提高了計(jì)算能力和精確度。

-學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠熟練運(yùn)用三角函數(shù)和代數(shù)運(yùn)算，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

6.**團(tuán)隊(duì)合作能力的加強(qiáng)**

-在小組討論和實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)會(huì)了與他人合作，共同完成任務(wù)。

-學(xué)生在交流中互相學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，提高了團(tuán)隊(duì)合作和溝通能力。

7.**學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)**

-通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)幾何圖形產(chǎn)生了濃厚的興趣，激發(fā)了進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)奧秘的欲望。

-學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的自信心。教學(xué)評(píng)價(jià)1.課堂評(píng)價(jià)：

-提問(wèn)：通過(guò)課堂提問(wèn)，了解學(xué)生對(duì)三角形外接圓和內(nèi)切圓概念的理解程度。例如，提問(wèn)：“誰(shuí)能告訴我，三角形的外接圓是什么？它有什么性質(zhì)？”通過(guò)學(xué)生的回答，評(píng)估他們對(duì)概念的理解。

-觀察：在學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，觀察他們的操作過(guò)程，看是否能夠正確繪制外接圓和內(nèi)切圓，以及他們是否能夠獨(dú)立完成計(jì)算。

-測(cè)試：在課程結(jié)束后，進(jìn)行小測(cè)驗(yàn)，包括選擇題、填空題和解答題，以評(píng)估學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。測(cè)試題應(yīng)涵蓋三角形外接圓和內(nèi)切圓的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-認(rèn)真批改：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行逐題批改，確保作業(yè)的準(zhǔn)確性。對(duì)于錯(cuò)誤，給出詳細(xì)的批改意見(jiàn)，幫助學(xué)生理解錯(cuò)誤原因。

-點(diǎn)評(píng)：在作業(yè)批改中，不僅指出錯(cuò)誤，還要對(duì)學(xué)生的努力和進(jìn)步給予肯定。例如，對(duì)于解題思路正確但計(jì)算有誤的學(xué)生，可以特別指出其解題思路的可取之處。

-及時(shí)反饋：將批改后的作業(yè)及時(shí)返還給學(xué)生，并要求他們?cè)谙麓握n前完成訂正。通過(guò)這種方式，學(xué)生能夠及時(shí)了解自己的學(xué)習(xí)效果，并針對(duì)不足進(jìn)行改進(jìn)。

3.學(xué)生自評(píng)與互評(píng)：

-學(xué)生自評(píng)：鼓勵(lì)學(xué)生在完成作業(yè)后進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，反思自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中的優(yōu)點(diǎn)和不足。

-互評(píng)：在小組活動(dòng)中，學(xué)生之間可以互相評(píng)價(jià)彼此的作業(yè)，這種互評(píng)有助于學(xué)生從不同角度看待問(wèn)題，并學(xué)會(huì)尊重他人的觀點(diǎn)。

4.教學(xué)反思：

-教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)不斷反思自己的教學(xué)方法，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋調(diào)整教學(xué)策略。例如，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解某些概念時(shí)存在困難，可以增加課堂上的講解時(shí)間和示例。

-教師應(yīng)記錄學(xué)生的進(jìn)步和問(wèn)題，以便在后續(xù)的教學(xué)中有的放矢。

5.家長(zhǎng)反饋：

-定期與家長(zhǎng)溝通，了解學(xué)生在家的學(xué)習(xí)情況，以及家長(zhǎng)對(duì)教學(xué)的意見(jiàn)和建議。家長(zhǎng)的反饋對(duì)于改進(jìn)教學(xué)方法和提高教學(xué)質(zhì)量具有重要意義。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.多媒體輔助教學(xué)：在講解三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)時(shí)，利用多媒體展示動(dòng)態(tài)圖形，讓學(xué)生更直觀地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

2.實(shí)物教具演示：引入直尺、圓規(guī)、三角板等實(shí)物教具，讓學(xué)生親自動(dòng)手繪制圖形，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間想象力。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生對(duì)幾何概念的理解不夠深入：部分學(xué)生在理解三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)時(shí)，缺乏深入思考，只是機(jī)械記憶。

2.學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)缺乏靈活性：學(xué)生在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)的解題思路不夠靈活，往往局限于已學(xué)過(guò)的知識(shí)，難以運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題。

3.課堂互動(dòng)不足：在課堂討論環(huán)節(jié)，部分學(xué)生參與度不高，課堂氛圍不夠活躍，影響了教學(xué)效果。

反思改進(jìn)措施（三）

1.深化概念教學(xué)：在講解幾何概念時(shí)，注重引導(dǎo)學(xué)生深入思考，通過(guò)提問(wèn)、討論等方式，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)。

2.培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力：在教學(xué)中，設(shè)計(jì)更多具有挑戰(zhàn)性的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決，提高學(xué)生的靈活性。

3.激發(fā)學(xué)生參與課堂：通過(guò)小組合作、角色扮演等方式，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論，營(yíng)造活躍的課堂氛圍。

4.優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)更具針對(duì)性的作業(yè)，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，同時(shí)注重作業(yè)的多樣性，提高學(xué)生的興趣。

5.加強(qiáng)教學(xué)反思：在教學(xué)過(guò)程中，不斷反思自己的教學(xué)方法，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋調(diào)整教學(xué)策略，提高教學(xué)質(zhì)量。內(nèi)容邏輯關(guān)系①三角形外接圓的性質(zhì)

-定義：三角形外接圓是指一個(gè)圓恰好通過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。

-性質(zhì)：外接圓圓心是三角形三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，半徑等于三角形三邊的中線(xiàn)長(zhǎng)度的一半。

②三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)

-定義：三角形內(nèi)切圓是指一個(gè)圓與三角形的每一邊都相切。

-性質(zhì)：內(nèi)切圓圓心是三角形三內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，半徑等于三角形三邊之和的一半減去三角形的周長(zhǎng)。

③外接圓和內(nèi)切圓的關(guān)系

-位置關(guān)系：三角形的外接圓和內(nèi)切圓在三角形內(nèi)部相交。

-半徑比：三角形外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為2：1。

-面積比：三角形外接圓的面積與內(nèi)切圓的面積之比為4：1。重點(diǎn)題型整理1.**題目**：已知一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊分別為3cm和4cm，求該三角形的外接圓半徑。

**解答**：首先，根據(jù)勾股定理，可以求出斜邊長(zhǎng)度：

\[

斜邊長(zhǎng)度=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{cm}

\]

由于直角三角形的外接圓半徑等于斜邊長(zhǎng)度的一半，所以外接圓半徑為：

\[

外接圓半徑=\frac{斜邊長(zhǎng)度}{2}=\frac{5}{2}=2.5\text{cm}

\]

2.**題目**：在三角形ABC中，已知AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm，求三角形ABC的內(nèi)切圓半徑。

**解答**：首先，根據(jù)海倫公式計(jì)算三角形ABC的面積S：

\[

p=\frac{AB+BC+CA}{2}=\frac{6+8+10}{2}=12\text{cm}

\]

\[

S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}=\sqrt{12\times(12-6)\times(12-8)\times(12-10)}=\sqrt{12\times6\times4\times2}=\sqrt{576}=24\text{cm}^2

\]

然后利用內(nèi)切圓半徑公式：

\[

r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2\text{cm}

\]

3.**題目**：在三角形ABC中，已知AB=8cm，BC=15cm，AC=17cm，求三角形ABC的外接圓半徑。

**解答**：由于AB2+BC2=AC2，根據(jù)勾股定理，三角形ABC是直角三角形，所以其外接圓半徑等于斜邊AC的一半：

\[

外接圓半徑=\frac{AC}{2}=\frac{17}{2}=8.5\text{cm}

\]

4.**題目**：一個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑為4cm，三邊分別為5cm、12cm和13cm，求該三角形的面積。

**解答**：設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式：

\[

r=\frac{S}{p}

\]

其中S為三角形面積，p為半周長(zhǎng)。代入已知值：

\[

4=\frac{S}{\frac{5+12+13}{2}}=\frac{S}{15}

\]

解得：

\[

S=4\times15=60\text{cm}^2

\]

5.**題目**：已知三角形ABC的外接圓半徑為10cm，三邊分別為6cm、8cm和10cm，求三角形ABC的面積。

**解答**：設(shè)外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理：

\[

2R=\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}

\]

其中a、b、c為三角形的三邊。由于R已知，可以求出各角的正弦值：

\[

\sinA=\frac{a}{2R}=\frac{6}{20}=0.3

\]

\[

\sinB=\frac{2R}=\frac{8}{20}=0.