數(shù)學(xué)相交線與平行線單元練習(xí) 2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

第1頁(yè)（共1頁(yè)）北師大新版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第2章相交線與平行線一．選擇題（共10小題）1．如圖，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC＝30°，則∠AOD為（）A．120° B．130° C．150° D．90°2．如圖，圖中∠1與∠2是同位角的是（）A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）3．如圖，點(diǎn)F，E分別在線段AB和CD上，下列條件不能判定AB∥CD的是（）A．∠A+∠ADC＝180° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠44．一張對(duì)邊互相平行的紙條折成如圖，EF是折痕，若∠EFB＝35°，則①∠C'EF＝35°；②∠AEC＝120°③∠BGE＝70°；④∠BFD＝100°．以上結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．已知：AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝20°，則∠α度數(shù)為（）A．60° B．80° C．85° D．75°6．將三角板的直角頂點(diǎn)按如圖所示擺放在直尺的一邊上，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠1+∠3＝90° B．∠2+∠3＝90° C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠27．將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，且AB∥FC，則∠CBD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°8．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝55°，則∠2﹣∠1＝（）A．35° B．40° C．45° D．55°9．如圖，已知直線l1∥l2，若∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．35° B．30° C．36° D．0°10．折紙是一種以紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支．按如圖所示方法折紙，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．∠1與∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1與∠AEC互補(bǔ)二．填空題（共6小題）11．如圖是小九同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段的長(zhǎng)度．12．如圖，直線l1∥l2，∠EAB＝125°，∠FBA＝85°，則∠1+∠2＝．13．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝55°，則∠1＝°，∠2＝°．14．觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角）；（1）如圖①，圖中共有對(duì)對(duì)頂角；（2）如圖②，圖中共有對(duì)對(duì)頂角；（3）如圖③，圖中共有對(duì)對(duì)頂角；（4）研究（1）～（3）小題中直線條數(shù)與對(duì)頂角的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成對(duì)對(duì)頂角；（5）若有2022條直線相交于一點(diǎn)，則可形成對(duì)對(duì)頂角．15．如圖：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，則∠BCD的度數(shù)是．16．如圖①：MA1∥NA2，圖②：MA1∥NA3，圖③：MA1∥NA4，圖④：MA1∥NA5，…，則第n個(gè)圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1＝°（用含n的代數(shù)式表示）．三．解答題（共9小題）17．已知一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的14小1218．已知一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，請(qǐng)結(jié)合圖形回答下列問題：（1）如圖①，AB∥CD，BE∥DF，直接寫出∠1與∠2的關(guān)系；（2）如圖②，AB∥CD，BE∥DF，猜想∠1與∠2的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）由（1）（2），我們可以得出結(jié)論：一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的分別平行，那么這兩個(gè)角；（4）應(yīng)用：兩個(gè)角的兩邊分別平行，且一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少60°，求出這兩個(gè)角的度數(shù)分別是多少度？19．如圖，CD⊥AB于D，點(diǎn)F是BC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AB于E，且∠1＝∠2，∠3＝80°．（1）試證明∠B＝∠ADG；（2）求∠BCA的度數(shù)．20．如圖，在△ABC中，E、G分別是AB、AC上的點(diǎn)，F(xiàn)、D是BC上的點(diǎn)，連接EF、AD、DG，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求證：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝4∠B﹣20°，求∠B的度數(shù)．21．已知：如圖，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求證：AB∥CD．（在每步證明過程后面注明理由）22．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中∠A＝60°，∠B＝45°）．（1）如圖1，若∠DCE＝40°，則∠ACE＝度，∠ACB＝度．（2）由（1）猜想∠ACB與∠DCE滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）若固定△ACD，將△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，①如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至BE∥AC時(shí)，則∠ACE＝度．②如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至BC∥DA時(shí)，求∠ACE的度數(shù)．23．將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝110°，則∠ACE＝．（2）試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若按住三角板ABC不動(dòng)，三角板DCE繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)一周，試探究∠ACE等于多少度時(shí)，CE∥AB，請(qǐng)畫出圖，并說(shuō)明理由．24．（1）如圖1，已知直線l3和l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，∠1+∠2＝∠3，則l1和l2的位置關(guān)系是．（2）如圖2，點(diǎn)A在B處北偏東40°方向，在C處的北偏西45°方向，則∠BAC＝．（3）如圖3，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點(diǎn)F，∠1+∠2＝90°，試說(shuō)明：AB∥CD；并探究∠2與∠3的數(shù)量關(guān)系．25．如圖，直線CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且滿足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度數(shù)；（2）若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；若不變，求出這個(gè)比值．（3）在平行移動(dòng)AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

北師大新版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第2章相交線與平行線參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案CCDBDCBBBC一．選擇題（共10小題）1．如圖，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC＝30°，則∠AOD為（）A．120° B．130° C．150° D．90°【分析】先根據(jù)OC⊥OA，∠BOC＝30°，即可得出∠AOB＝90°﹣30°＝60°，再根據(jù)OB⊥OD，即可得到∠AOD的度數(shù)．【解答】解：∵OC⊥OA，∠BOC＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，又∵OB⊥OD，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+90°＝150°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余角與補(bǔ)角，解題時(shí)注意：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．2．如圖，圖中∠1與∠2是同位角的是（）A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）【分析】根據(jù)同位角的定義作答．【解答】解：（1）（2）（4）中，∠1與∠2是同位角；圖（3）中，∠1與∠2不是同位角，因?yàn)檫@兩個(gè)角的邊所在的直線沒有一條公共邊．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】?jī)蓷l直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在兩條被截直線的同側(cè)的兩個(gè)角是同位角．如果兩個(gè)角是同位角，那么它們一定有一條邊在同一條直線上．3．如圖，點(diǎn)F，E分別在線段AB和CD上，下列條件不能判定AB∥CD的是（）A．∠A+∠ADC＝180° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4【分析】根據(jù)平行線的判定條件進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、當(dāng)∠A+∠ADC＝180°時(shí)，由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得AB∥CD，故A不符合題意；B、當(dāng)∠2＝∠3時(shí)，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得AB∥CD，故B不符合題意；C、當(dāng)∠1＝∠4時(shí)，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得AB∥CD，故C不符合題意；D、當(dāng)∠3＝∠4時(shí)，由同位角相等，兩直線平行得BF∥BE，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件并靈活運(yùn)用．4．一張對(duì)邊互相平行的紙條折成如圖，EF是折痕，若∠EFB＝35°，則①∠C'EF＝35°；②∠AEC＝120°③∠BGE＝70°；④∠BFD＝100°．以上結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】利用平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)對(duì)各結(jié)論進(jìn)行分析即可．【解答】解：由折疊可得：∠DFE＝∠D'FE，∠C'EF＝∠GEF，∵AC'∥BD'，∠EFB＝35°，∴∠C'EF＝∠EFB＝35°，故①結(jié)論正確；∠C'EF+∠D'FE＝180°，∠C'EF＝∠BGE，∴∠D'FE＝180°﹣∠C'EF＝145°，∠GEF＝35°，∴∠C'EG＝∠CEF+∠GEF＝70°，∴∠BGE＝70°，故③結(jié)論正確；∠AEC＝180°﹣∠C'EF＝110°，故②結(jié)論錯(cuò)誤；∠DFE＝135°，∴∠BFD＝∠DFE﹣∠EFB＝110°，故④結(jié)論錯(cuò)誤．綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．5．已知：AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝20°，則∠α度數(shù)為（）A．60° B．80° C．85° D．75°【分析】過點(diǎn)E作EF∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠B+∠BEF＝180°，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠C＝∠FEC，然后整理即可得解．【解答】解：過點(diǎn)E作EF∥CD，∵∠C＝20°，EF∥CD，∴∠C＝∠FEC＝20°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵AB∥CD（已知），∴EF∥AB（平行于同一直線的兩直線平行），∠ABE＝125°，∴∠B+∠BEF＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）即125°+∠BEF＝180°，∴∠BEF＝55°，∴∠α＝∠BEF+∠FEC＝75°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出平行線是解題的關(guān)鍵．6．將三角板的直角頂點(diǎn)按如圖所示擺放在直尺的一邊上，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠1+∠3＝90° B．∠2+∠3＝90° C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠2【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求解．【解答】解：∵兩直線平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，∴選項(xiàng)D不符合題意；∵∠1＝∠2，∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴選項(xiàng)A不符合題意；∴∠2+∠3＝90°，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∴∠3+∠4＝180°，但∠3≠∠2∴∠2+∠4≠180°選項(xiàng)C符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)定理．7．將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，且AB∥FC，則∠CBD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠EDF＝45°，則∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，代入數(shù)據(jù)即可求出．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，又∵∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，∴∠CBD＝45°﹣30°＝15°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，熟悉一副直角三角板各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝55°，則∠2﹣∠1＝（）A．35° B．40° C．45° D．55°【分析】由平行得∠DEF＝∠EFG＝55°，由折疊得∠DEG，從而得到∠1和∠2，然后求得∠2﹣∠1．【解答】解：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠DEG，∠DEF＝∠EFG＝55°，由折疊得，∠DEF＝∠GEF，∴∠DEG＝2∠DEF＝2×55°＝110°，∴∠2＝110°，∠1＝180°﹣110°＝70°，∴∠2﹣∠1＝110°﹣70°＝40°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．如圖，已知直線l1∥l2，若∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．35° B．30° C．36° D．0°【分析】由l1∥l2，知∠CEA+∠BFD＝180°，根據(jù)∠CEA＝∠CAB﹣∠1，∠DFB＝∠ABD﹣∠2得∠CAB﹣∠1+∠ABD﹣∠2＝180°，繼而可得答案．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠CEA+∠BFD＝180°，∵∠CEA＝∠CAB﹣∠1，∠DFB＝∠ABD﹣∠2且∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，∴∠CAB﹣∠1+∠ABD﹣∠2＝180°，∴125°﹣∠1+85°﹣∠2＝180°，∴∠1+∠2＝30°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)．10．折紙是一種以紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支．按如圖所示方法折紙，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．∠1與∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1與∠AEC互補(bǔ)【分析】利用折疊的性質(zhì)及余角和補(bǔ)角的定義進(jìn)行分析即可判斷．【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC，∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°，∴2（∠1+∠3）＝180°，即∠1+∠3＝90°，故A不符合題意；∴∠2＝90°，故B不符合題意，C符合題意；∵∠1+∠AEC＝180°，∴∠1與∠AEC互補(bǔ)，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的翻折變換，余角，補(bǔ)角的定義，掌握?qǐng)D形的翻折變換的特征是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）11．如圖是小九同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段BP的長(zhǎng)度．【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可．【解答】解：由圖可知，他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段BP的長(zhǎng)．故答案為：BP．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂線段最短，熟知從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短是解題的關(guān)鍵．12．如圖，直線l1∥l2，∠EAB＝125°，∠FBA＝85°，則∠1+∠2＝30°．【分析】設(shè)AB交l1于點(diǎn)M，交l2于點(diǎn)N．由l1∥l2，得∠EMA+∠FNB＝180°．然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠1+∠EMA+∠2+∠FNB＝∠EAB+∠FBA，所以∠1+∠2+（∠EMA+∠FNB）＝210°，故∠1+∠2＝30°．【解答】解：如圖，設(shè)AB交l1于點(diǎn)M，交l2于點(diǎn)N．∵l1∥l2，∴∠EMA+∠FNB＝180°．又∵∠1+∠EMA＝180°﹣∠EAM＝180°﹣（180°∠EAB）＝∠EAB，∠2+∠FNB＝180°﹣∠FBN＝180°﹣（180°﹣∠FBA）＝∠FBA，∴∠1+∠EMA+∠2+∠FNB＝∠EAB+∠FBA∴∠1+∠2+（∠EMA+∠FNB）＝125°+85°＝210°．∴∠1+∠2+180°＝210°．∴∠1+∠2＝30°．故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝55°，則∠1＝70°，∠2＝110°．【分析】由折疊的性質(zhì)可得，∠DEF＝∠GEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，∠DEF＝∠EFG＝55°，根據(jù)平角的定義即可求得∠1，從而再由平行線的性質(zhì)求得∠2．【解答】解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠DEF＝∠FEG＝55°，∠1+∠2＝180°，由折疊的性質(zhì)可得，∠GEF＝∠DEF＝55°，∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝180°﹣55°﹣55°＝70°，∴∠2＝180°﹣∠1＝110°．故答案為：70；110．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和平角的定義．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．14．觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角）；（1）如圖①，圖中共有2對(duì)對(duì)頂角；（2）如圖②，圖中共有6對(duì)對(duì)頂角；（3）如圖③，圖中共有12對(duì)對(duì)頂角；（4）研究（1）～（3）小題中直線條數(shù)與對(duì)頂角的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成n（n﹣1）對(duì)對(duì)頂角；（5）若有2022條直線相交于一點(diǎn)，則可形成4086462對(duì)對(duì)頂角．【分析】由圖示可得，（1）兩條直線相交于一點(diǎn)，形成2對(duì)對(duì)頂角；（2）三條直線相交于一點(diǎn)，形成6對(duì)對(duì)頂角，（3）4條直線相交于一點(diǎn)，形成12對(duì)對(duì)頂角；（4）依次可找出規(guī)律，若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成n（n﹣1）對(duì)對(duì)頂角；（5）將n＝2022代入n（n﹣1），可得2022條直線相交于一點(diǎn)可形成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)．【解答】解：（1）如圖①，圖中共有1×2＝2對(duì)對(duì)頂角，故答案為：2；（2）如圖②，圖中共有2×3＝6對(duì)對(duì)頂角，故答案為：6；（3）如圖③，圖中共有3×4＝12對(duì)對(duì)頂角，故答案為：12；（4）研究（1）～（3）小題中直線條數(shù)與對(duì)頂角的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成n（n﹣1）對(duì)對(duì)頂角，故答案為：n（n﹣1）；（5）若有2022條直線相交于一點(diǎn)，則可形成（2022﹣1）×2022＝4086462對(duì)對(duì)頂角，故答案為：4086462；【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角，解答的關(guān)鍵是明確若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成（n﹣1）n對(duì)對(duì)頂角．15．如圖：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，則∠BCD的度數(shù)是20°．【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∠CDE＝130°，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故答案為：20°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．16．如圖①：MA1∥NA2，圖②：MA1∥NA3，圖③：MA1∥NA4，圖④：MA1∥NA5，…，則第n個(gè)圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1＝180?n°（用含n的代數(shù)式表示）．【分析】分別求出圖①、圖②、圖③中，這些角的和，探究規(guī)律后，理由規(guī)律解決問題即可．【解答】解：如圖①中，∠A1+∠A2＝180°＝1×180°，如圖②中，∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°，如圖③中，∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°，…，第個(gè)圖，∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1學(xué)會(huì)從＝n?180°，故答案為180?n【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住平行線的性質(zhì)，學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究方法，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共9小題）17．已知一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的14小12【分析】設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x，根據(jù)互余的兩個(gè)角的和等于90°表示出它的余角，互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°表示出它的補(bǔ)角，然后根據(jù)這個(gè)角的余角和補(bǔ)角的關(guān)系列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x，則它的余角為90°﹣x，它的補(bǔ)角為180°﹣x，由題意得，90°﹣x=14（180°﹣x）﹣解得x＝76°，答：這個(gè)角的度數(shù)是76°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角，熟記余角和補(bǔ)角的概念并列出方程是解題的關(guān)鍵．18．已知一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，請(qǐng)結(jié)合圖形回答下列問題：（1）如圖①，AB∥CD，BE∥DF，直接寫出∠1與∠2的關(guān)系∠1＝∠2；（2）如圖②，AB∥CD，BE∥DF，猜想∠1與∠2的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）由（1）（2），我們可以得出結(jié)論：一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；（4）應(yīng)用：兩個(gè)角的兩邊分別平行，且一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少60°，求出這兩個(gè)角的度數(shù)分別是多少度？【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)易得∠1＝∠3，∠2＝∠3，則∠1＝∠2；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)易得∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，所以∠1+∠2＝180°；（3）由（1）和（2）的結(jié)論進(jìn)行回答；（4）設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為x，則另一個(gè)角的度數(shù)為3x﹣60°，根據(jù)（3）的結(jié)論進(jìn)行討論：x＝3x﹣60°或x+3x﹣60°＝180°，然后分別解方程求出x，則可得到對(duì)應(yīng)兩個(gè)角的度數(shù)．【解答】解：（1）∠1＝∠2．理由如下：∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵BE∥DF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）∠1+∠2＝180°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵BE∥DF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（3）如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；故答案為：相等或互補(bǔ)；（4）設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為x，則另一個(gè)角的度數(shù)為3x﹣60°，當(dāng)x＝3x﹣60°，解得x＝30°，則這兩個(gè)角的度數(shù)分別為30°，30°；當(dāng)x+3x﹣60°＝180°，解得x＝60°，則這兩個(gè)角的度數(shù)分別為60°，120°．綜上所述：這兩個(gè)角的度數(shù)分別為30°，30°或60°，120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．19．如圖，CD⊥AB于D，點(diǎn)F是BC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AB于E，且∠1＝∠2，∠3＝80°．（1）試證明∠B＝∠ADG；（2）求∠BCA的度數(shù)．【分析】（1）由CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，則CD∥EF，則∠2＝∠BCD，從而證得BC∥DG，即∠B＝∠ADG；（2）由CD∥EF，則∠3＝∠BCG．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴BC∥DG，∴∠B＝∠ADG；（2）解：∵DG∥BC，∴∠3＝∠BCG，∵∠3＝80°，∴∠BCA＝80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用．20．如圖，在△ABC中，E、G分別是AB、AC上的點(diǎn)，F(xiàn)、D是BC上的點(diǎn)，連接EF、AD、DG，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求證：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝4∠B﹣20°，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)AD∥EF可得∠BAD+∠2＝180°，根據(jù)等量代換可得∠BAD＝∠1，再根據(jù)平行線的判定方法“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可求解；（2）根據(jù)平行線，角平分線的性質(zhì)可得∠1＝∠GDC＝∠B，再根據(jù)∠2＝4∠B﹣20°，∠1+∠2＝180°進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】（1）證明：∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°，又∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD＝∠1，∴AB∥DG．（2）解：∵DG是∠ADC的平分線，∴∠1＝∠GDC，∵AB∥DG，∴∠GDC＝∠B，又∵∠1＝∠GDC，∴∠1＝∠GDC＝∠B，∵∠2＝4∠B﹣20°，∠1+∠2＝180°．∴180°﹣∠1＝4∠B﹣20°，∴180°﹣∠B＝4∠B﹣20°，∴∠B＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．已知：如圖，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求證：AB∥CD．（在每步證明過程后面注明理由）【分析】結(jié)合圖形，利用平行線的性質(zhì)及判定逐步分析解答．【解答】證明：∵∠1與∠CGD是對(duì)頂角，∴∠1＝∠CGD（對(duì)頂角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠CGD+∠2＝180°（等量代換），∴AE∥FD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠A＝∠BFD（兩直線平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴∠BFD＝∠D（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了平行線的判定和性質(zhì)，還利用了對(duì)頂角相等，等量代換等知識(shí)．22．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中∠A＝60°，∠B＝45°）．（1）如圖1，若∠DCE＝40°，則∠ACE＝50度，∠ACB＝140度．（2）由（1）猜想∠ACB與∠DCE滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）若固定△ACD，將△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，①如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至BE∥AC時(shí)，則∠ACE＝45度．②如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至BC∥DA時(shí)，求∠ACE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角板中的特殊角，以及互余的意義可求答案；（2）利用∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，得出結(jié)論；（3）①由平行線的性質(zhì)，得出兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案；②利用平行線的性質(zhì)和三角板的特殊角以及角的和差關(guān)系得出答案．【解答】解：（1）∵∠DCE＝40°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°，故答案為：50°，140°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由是：∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，∴∠ACB+∠DCE＝180°；（3）①∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°；故答案為：45°；②∵BC∥DA，∴∠A+∠ACB＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，三角板的特殊內(nèi)角，掌握平行線的性質(zhì)和三角板的內(nèi)角度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．23．將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝110°，則∠ACE＝70°．（2）試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若按住三角板ABC不動(dòng)，三角板DCE繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)一周，試探究∠ACE等于多少度時(shí)，CE∥AB，請(qǐng)畫出圖，并說(shuō)明理由．【分析】（1）依據(jù)∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度數(shù)；（2）依據(jù)∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度數(shù)；（3）分兩種情況討論，依據(jù)平行線的判定，即可得到當(dāng)∠BCD等于150°或30°時(shí)，CE∥AB．【解答】解：（1）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠ACE＝70°，故答案為：70°；（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；（3）分兩種情況：①如圖1所示，當(dāng)∠BCD＝150°時(shí)，AB∥CE．∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝30°，∴∠A＝∠ACE＝30°，∴AB∥CE．②如圖2所示，當(dāng)∠BCD＝30°時(shí)，AB∥CE．∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠B＝60°，∴AB∥CE．綜上所述，∠BCD等于150°或30°時(shí)，CE∥AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理并且能夠準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．24．（1）如圖1，已知直線l3和l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，∠1+∠2＝∠3，則l1和l2的位置關(guān)系是l1∥l2．（2）如圖2，點(diǎn)A在B處北偏東40°方向，在C處的北偏西45°方向，則∠BAC＝85°．（3）如圖3，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點(diǎn)F，∠1+∠2＝90°，試說(shuō)明：AB∥CD；并探究∠2與∠3的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）在圖1中，作PM∥AC，利用平