第18章 平行四邊形專題-平行四邊形中的折疊與動點(diǎn)問題(含答案)

八年級數(shù)學(xué)新課標(biāo)測試專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷【平行四邊形中的折疊與動點(diǎn)問題】Ⅰ、平行四邊形中的折疊問題類型一平行四邊形中的折疊問題1.如圖，在□ABCD中，∠C＝136°，M,N分別是邊AD,BC上的點(diǎn)，將□ABCD沿MN進(jìn)行折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A落在□ABCD外的點(diǎn)A′處，若∠CB′N＝28°，求∠A′MD的度數(shù)2.如圖，將平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，AB′與CD交于點(diǎn)E.(1)求證：△AED≌△CEB′；(2)過點(diǎn)E作EF⊥AC交AB于點(diǎn)F,連接CF,判斷四邊形AECF的形狀并給予證明.類型二矩形中的折疊問題3.【方程思想】如圖，長方形紙片ABCD中，AB＝8,BC＝10,折疊紙片的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，AE為折痕.請回答下列問題：(1)AF＝_______；(2)試求線段DE的長度；(3)若點(diǎn)P為線段AE上的一個動點(diǎn)，連接BP和FP,求BP+FP的最小值.4.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)M處，點(diǎn)F在BC上，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)N處(1)求證：四邊形EBFD是平行四邊形；(2)若AB＝6,BC＝8,求FN的長.類型三菱形中的折疊問題5.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對角線BD上的點(diǎn)G處(點(diǎn)G不與B、D重合)，折痕為EF,若DG＝2,BG＝6,求BE的長類型四正方形中的折疊問題6.把正方形ABCD對折，得到折痕MN(如圖①)，展開后把正方形ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在MN上的點(diǎn)B′處，連接B′D(如圖②).試求∠BCB′及∠ADB′的度數(shù).Ⅱ、平行四邊形中的動點(diǎn)問題類型一平行四邊形中的動點(diǎn)問題1.已知在□ABCD中，動點(diǎn)P在AD邊上，以每秒0.5cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(1)如圖①，在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，若CP平分∠BCD,且滿足CD＝CP,求∠B的度數(shù)；(2)如圖②，另一動點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒2cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在BC上往返運(yùn)動，P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(同時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動)，若AD＝6cm,求當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為多少秒時(shí)，以P,D,Q,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.類型二矩形中的動點(diǎn)問題2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝24厘米，BC＝10厘米，點(diǎn)P從A開始沿AB邊以4厘米/秒的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊以2厘米/秒的速度運(yùn)動，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒(1)當(dāng)t＝2時(shí)，求P、Q兩點(diǎn)之間的距離；(2)t為何值時(shí)，線段AQ與DP互相平分？(3)t為何值時(shí)，四邊形APQD的面積為矩形ABCD面積的？類型三菱形中的動點(diǎn)問題3.如圖，在菱形ABCD中，AB＝4cm,∠DAB＝60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A→D→C運(yùn)動，過點(diǎn)P作射線AB的垂線，交射線AB于點(diǎn)Q,在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s).(1)寫出線段PD的長(用含t的式子表示)；(2)當(dāng)PQ平分菱形ABCD的面積時(shí)，求t的值.類型四正方形中的動點(diǎn)問題4.【方程思想】如圖，已知正方形ABCD的邊長為10厘米，點(diǎn)E在AB邊上，BE＝6厘米.(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以4厘米/秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動.①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPE與△CQP是否全等？請說明理由.②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等？(2)若點(diǎn)Q以(1)②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以4厘米/秒的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿正方形ABCD四邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，并說明在何處相遇

【參考答案及解析】專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷：Ⅰ、平行四邊形中的折疊問題1.【解析】：∴∠C＝136°，∠CB′N＝28°，∴∠B′NC＝16°，由折疊性質(zhì)可知∠BNM＝∠MNB′,∠AMN＝∠A′MN,∴∠BNM＝×(180°－16°)＝82°,∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC,∴∠AMN+∠BNM＝180°，∴∠AMN＝180°－82°＝98°，∴∠A′MN＝98°，∴∠A′MD＝98°+98°－180°＝16°.【方法解讀】圖形的折疊(1)折疊的實(shí)質(zhì)是軸對稱，位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕成軸對稱.(2)折疊前后的兩部分圖形全等，對應(yīng)邊，對應(yīng)角，對應(yīng)線段，周長，面積均相等.2.【解析】：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC,∠B＝∠D,由折疊可得BC＝B′C,∠B＝∠B′,∴∠D＝∠B′,AD＝B′C,又∠DEA＝∠B′EC,∴△AED≌△CEB′(AAS).(2)四邊形AECF是菱形，證明：∵△AED≌△CEB′,.AE＝CE,又EF⊥AC,∴EF垂直平分AC,∠AEF＝∠CEF,.AF＝CF,∵CD∥AB,∴∠CEF＝∠EFA,..∠AEF＝∠EFA.∵AF＝AE,∴AF＝AE＝CE＝CF,∴四邊形AECF是菱形.3.【解析】：(1)折疊紙片，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，則AF＝AD＝BC＝10,故答案為10.(2)在Rt△ABF中，BF＝＝＝6，∴FC＝BC－BF＝10－6＝4,由折疊的性質(zhì)知DE＝EF,設(shè)DE＝EF＝x,則EC＝DC－DE＝8－x,在Rt△EFC中，,即42+(8－x)2＝x2,解得x＝5,∴DE＝5.(3)如圖，連接PD,BD,由折疊的性質(zhì)知D、F關(guān)于AE對稱，∴PF＝PD,則BP+PF＝BP+PD≥BD，∴BP+PF的最小值為BD的長，在Rt△BCD中，BD＝＝＝2，∴BP+PF的最小值為2.4.【解析】：(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABD＝∠CDB,由翻折的性質(zhì)可知∠EBD＝∠ABD,∠FDB＝∠CDB,∴∠EBD＝∠FDB,∴BE∥FD,又DE∥BF,∴四邊形EBFD是平行四邊形.(2)在Rt△BCD中，BD＝＝＝10，設(shè)CF＝x,則BF＝8－x,由翻折的性質(zhì)可知，DN＝CD＝6,FN＝CF＝x,∠FND＝90°，∴BN＝BD－DN＝4,在Rt△BNF中，BF2＝FN2+BN2,即(8－x)2＝x2+42,解得x＝3,即FN＝3.5.【解析】：作EH⊥BD于H(如圖)，由折疊的性質(zhì)可知EG＝EA,由題意得BD＝DG+BG＝8,四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB,∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴AB＝BD＝8,設(shè)BE＝x,則EG＝AE＝8－x,在Rt△EHB中,BH＝x,EH＝x,在R△ENG中.EG2＝EH2+CH2.即,解得x＝2.8,即BE＝2.8.6.【解析】：連接BB′,如圖，由折疊可得BC＝B′C,BB′＝B′C,∴BC＝BB′＝B′C,∴△B′BC是等邊三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠B′CD＝30°，∵DC＝B′C,∴∠CB′D＝∠CDB′,∴∠CB′D＝∠CDB′＝×(180°－30°)＝75°，.∴∠ADB′＝90°－75°＝15°.Ⅱ、平行四邊形中的動點(diǎn)問題1.【解析】：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，.AD∥BC,∴∠DPC＝∠PCB,∴CP平分∠BCD,∴∠PCD＝∠PCB,∴∠DPC＝∠DCP,∴DP＝CD,∴CD＝CP,∴CP＝CD＝DP,∴△PDC是等邊三角形，∴∠B＝∠D＝60°.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,PD∥BQ,∴以P,D,Q,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PD＝BQ,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，①當(dāng)0≤t≤3時(shí)，PD＝(6－0.5t)cm,BO＝(6－2t)cm,.6－0.5t＝6－2t,解得t＝0；②當(dāng)3<t≤6時(shí),PD＝(6－0.5t)cm,BQ＝(2t－6)cm,∴6－0.5t＝2t－6,解得t＝4.8；③當(dāng)6<t≤9時(shí)，PD＝(6－0.5t)cm,BQ＝(18－2t)cm,∴6－0.5t＝18－2t,解得t＝8；④當(dāng)9<t≤12時(shí)，PD＝(6－0.5t)cm,BQ＝(2t－18)cm,∴6－0.5t＝2t－18,解得t＝9.6.綜上所述，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為0秒或4.8秒或8秒或9.6秒時(shí)，以P,D,Q,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.2.【解析】：(1)如圖所示，連接PQ,過點(diǎn)P作PE⊥DQ于點(diǎn)E,∵點(diǎn)P從A開始沿AB邊以4厘米/秒的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊以2厘米/秒的速度運(yùn)動，∴當(dāng)t＝2時(shí)，QC＝4cm,AP＝8cm,∴DQ＝24－QC＝20cm,則EQ＝12cm,∴PQ＝＝＝2(cm),即當(dāng)t＝2時(shí)，P,Q兩點(diǎn)之間的距離為2cm.(2)由題意知AP＝4tcm,DQ＝(24－2t)cm,當(dāng)線段AQ與DP互相平分時(shí)，四邊形APQD為矩形，則AP＝DQ,即4t＝24－2t,解得t＝4.故t為4時(shí)，線段AQ與DP互相平分(3)S四邊形APQD＝(AP+DQ)·AD＝(4t+24－2t)×10＝(10t+120)cm2,S矩形ABCD＝10×24＝240cm2,∴10t+120＝×240,解得t＝3.∴t為3時(shí)，四邊形APQD的面積為矩形ABCD面積的.【方法解讀】動點(diǎn)問題的解題策略策略一:動中尋靜,在“靜”中探求“動”的規(guī)律,獲得圖形在運(yùn)動的過程中具有的某種性質(zhì)，抓住變化中不變的因素，進(jìn)行求解；策略二：化動為靜，抓住動的一個瞬間(或一個確定的位置)，從而找到“動”與“靜”的關(guān)系；策略三：以靜制動，當(dāng)圖形中點(diǎn)的位置變化導(dǎo)致線段間數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化時(shí)，可尋找變量間的等量關(guān)系，建立函數(shù)模型或方程模型進(jìn)行求解.3.【解析】：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝4cm,當(dāng)0≤t≤2時(shí)，PD＝(4－2t)cm；當(dāng)2<t≤4時(shí)，PD＝(2t－4)cm.(2)如圖，連接BD,設(shè)BD交PQ于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M,則四邊形DPQM為矩形，∴DP＝MQ,∵AD＝AB＝4cm,∠DAB＝60°，∴AM＝AD＝2.cm,當(dāng)PQ平分菱形ABCD的面積時(shí)，PQ經(jīng)過BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD,四邊形ABCD是菱形，DC∥AB,∴∠PDO＝∠OBQ,∠DPO＝∠BQO,△DPO≌△BQO(AAS),∴DP＝BQ＝(2t－4)cm,∴2+2t－4+2t－4＝4,解得t＝4.【解析】：(1)①全等，理由：由題意得BP＝CQ＝4×1＝4厘米，∵正方形ABCD的邊長為10厘米，∴PC＝6厘米＝BE,又∵正方形AB