江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四立體幾何第2講空間點線面的位置關(guān)系學(xué)案文蘇教版

PAGE1-第2講空間點、線、面的位置關(guān)系[2024考向?qū)Ш絔考點掃描三年考情考向預(yù)料2024202420241．空間點、線、面位置關(guān)系的推斷江蘇高考立體幾何解答題一般位居試卷15或16題的位置．試題主要來源于課本習(xí)題改編，主要考查空間平行和垂直，這是近幾年一貫的命題原則．預(yù)料2024年命題仍會堅持這個命題思想．空間點、線、面位置關(guān)系的推斷一般會作為填空題考查，平面圖形的折疊問題和探究性問題是命題的冷點，復(fù)習(xí)做適當(dāng)關(guān)注．2．空間平行和垂直第16題第15題第15題3．平面圖形的折疊問題4．立體幾何中的探究性問題1．必記的概念與定理(1)線面平行與線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理；(2)面面平行與面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理．2．須要活用的關(guān)系與結(jié)論3．須要關(guān)注的易錯點運用有關(guān)平行、垂直的判定定理時，要留意其具備的條件，缺一不行．解答高考題時，推理過程不完整是失分的重要緣由，需引起特殊留意．空間線面位置關(guān)系的推斷[典型例題](2024·鎮(zhèn)江期末)設(shè)α，β為互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列三個命題：①若m∥n，n?α，則m∥α；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β．其中正確命題的序號為________．【解析】①中，當(dāng)m?α?xí)r命題不成立；②中，只有當(dāng)m，n相交時才確定成立；③是平面與平面垂直的性質(zhì)定理，故只有③正確．【答案】③eq\a\vs4\al()解決此類問題，可以從三個角度加以探討，一是與相關(guān)的定理的條件進(jìn)行比較，看是否缺少條件，若缺少條件，則確定是錯誤的；二是采納模型法，即從一個常見的幾何體中來找尋滿意條件的模型，看它在模型中是否確定成立；三是反例法，看能否舉出一個反例．[對點訓(xùn)練]1．設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面，以下四個命題：①若l∥α，l∥β，則α∥β；②若l∥α，l⊥β，則α⊥β；③若α⊥β，l⊥α，則l⊥β；④若α⊥β，l∥α，則l⊥β，其中正確的是________．[解析]設(shè)α∩β＝a，若直線l∥a，且l?α，l?β，則l∥α，l∥β，因此α不確定平行于β，故①錯誤；由于l∥α，故在α內(nèi)存在直線l′∥l，又因為l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以②正確；若α⊥β，在β內(nèi)作交線的垂線l，則l⊥α，此時l在平面β內(nèi)，因此③錯誤；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β內(nèi)，則l∥α且l∥β，因此④錯誤．[答案]②空間平行和垂直[典型例題](2024·高考江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB＝BC．求證：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E．【證明】(1)因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED．又因為ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．(2)因為AB＝BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC．因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC．又因為BE?平面ABC，所以C1C⊥BE．因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1．因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E．eq\a\vs4\al()(1)立體幾何中，要證線面平行，可利用線線平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理證明．(2)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中找尋，若圖中不存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加協(xié)助線解決．(3)證明立體幾何問題，要緊密結(jié)合圖形，有時要利用平面幾何的相關(guān)學(xué)問，因此有時候須要畫出一些圖形協(xié)助運用．[對點訓(xùn)練]2．(2024·高考江蘇卷)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1．求證：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC．[證明](1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因為AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．又因為AA1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B．又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因為A1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因為AB1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．平面圖形的折疊問題[典型例題]已知在矩形ABCD中，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE．若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，正確的命題是________．①BM是定值；②點M在圓上運動；③確定存在某個位置，使DE⊥A1C；④確定存在某個位置，使MB∥平面A1DE．【解析】取DC中點N，連結(jié)MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，所以平面MNB∥平面A1DE，因為MB?平面MNB，所以MB∥平面A1DE，④正確；∠A1DE＝∠MNB，MN＝eq\f(1,2)A1D＝定值，NB＝DE＝定值，依據(jù)余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值．①正確；B是定點，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，②正確；當(dāng)矩形ABCD滿意AC⊥DE時存在，其他狀況不存在，③不正確．所以①②④正確．【答案】①②④eq\a\vs4\al()(1)解決與翻折有關(guān)的幾何問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后哪些量變更、哪些量不變，抓住翻折前后不變的量，充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口．(2)把平面圖形翻折后，經(jīng)過恰當(dāng)連線就能得到三棱錐、四棱錐，從而把問題轉(zhuǎn)化到我們熟識的幾何體中去解決．[對點訓(xùn)練]3．(2024·江蘇省高考命題探討專家原創(chuàng)卷(七))如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點．將矩形ABCD沿線段EF折起，使得∠DFA＝60°．設(shè)G為AF上的點．(1)試確定點G的位置，使得CF∥平面BDG；(2)在(1)的條件下，證明：DG⊥AE．[解](1)當(dāng)點G為AF的中點時，CF∥平面BDG．證明如下：因為E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點，所以EF∥AB∥CD．連接AC，交BD于點O，連接OG，則AO＝CO，又G為AF的中點，所以CF∥OG，因為CF?平面BDG，OG?平面DBG．所以CF∥平面BDG．(2)證明：因為E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點，所以EF⊥FD，EF⊥FA．又FD∩FA＝F，所以EF⊥平面ADF，因為DG?平面ADF，所以EF⊥DG．因為FD＝FA，∠DFA＝60°，所以△ADF是等邊三角形，DG⊥AF，又AF∩EF＝F，所以DG⊥平面ABEF．因為AE?平面ABEF，所以DG⊥AE．立體幾何中的探究性問題[典型例題](2024·江蘇省高考名校聯(lián)考(九))如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，CO⊥AD，且AB＝AO＝eq\f(1,3)AD＝1，OP＝eq\f(1,2)CD＝eq\r(2)，PA＝eq\r(3)．(1)在線段PD上找一點M，使得CM∥平面PAB；(2)證明：平面PCD⊥平面PAB．【解】(1)在線段PD上取點M，使得PM＝eq\f(1,3)PD，連接OM．在△PAD中，OA＝eq\f(1,3)AD，PM＝eq\f(1,3)PD，所以O(shè)M∥PA．又在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CO⊥AD，所以AB∥CO．因為AB∩PA＝A，CO∩OM＝O，所以平面MOC∥平面PAB，又CM?平面MOC，所以CM∥平面PAB．(2)證明：在△PAO中，PA＝eq\r(3)，AO＝1，OP＝eq\r(2)，所以AO2＋OP2＝AP2，故AO⊥OP．在Rt△POD中，OD＝2，故PD2＝OP2＋OD2＝(eq\r(2))2＋22＝6．故在△PAD中，PA2＋PD2＝AD2，所以AP⊥PD．因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AB⊥PD．又AB?平面PAB，AP?平面PAB，AB∩AP＝A，所以PD⊥平面PAB．又PD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAB．eq\a\vs4\al()立體幾何探究性命題的類型一、探究條件，即探究能使結(jié)論成立的條件是什么．解這類題采納的策略是：(1)通過各種探究嘗試給出條件．(2)找出命題成立的必要條件，再證明充分性．二、探究結(jié)論，即在給定的條件下命題的結(jié)論是什么．對命題結(jié)論的探究，常從條件動身，探究出要求的結(jié)論是什么，探究的結(jié)論是否存在．解這類題采納的策略是：常假設(shè)結(jié)論存在，再找尋與條件相容還是沖突的結(jié)論．[對點訓(xùn)練]4．(2024·南通模擬)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是BC的中點，BC＝BB1．(1)求證：A1C∥平面AB1D；(2)試在棱CC1上找一點M，使MB⊥AB1．[解](1)證明：連結(jié)A1B，交AB1于點O,連結(jié)OD．因為O、D分別是A1B、BC的中點，所以A1C∥OD．因為A1C?平面AB1D，OD?平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．(2)M為CC1的中點．證明如下：因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝BB1，所以四邊形BCC1B1是正方形．因為M為CC1的中點，D是BC的中點，所以△B1BD≌△BCM，所以∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB．又因為∠BB1D＋∠BDB1＝eq\f(π,2)，∠CBM＋∠BDB1＝eq\f(π,2)，所以BM⊥B1D．因為△ABC是正三角形，D是BC的中點，所以AD⊥BC．因為平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD?平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C．因為BM?平面BB1C1C，所以AD⊥BM．因為AD∩B1D＝D，所以BM⊥平面AB1D．因為AB1?平面AB1D，所以MB⊥AB1．1．(2024·揭陽模擬改編)設(shè)平面α，β，直線a，b，a?α，b?α，則“a∥β，b∥β”是“α∥β”的________條件．[解析]由平面與平面平行的判定定理可知，若直線a，b是平面α內(nèi)兩條相交直線，且a∥β，b∥β，則α∥β；當(dāng)α∥β，若a?α，b?α，則a∥β，b∥β，因此“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．[答案]必要不充分2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與過點A、E、C的平面的位置關(guān)系是________．[解析]連結(jié)AC、BD相交于一點O，連結(jié)OE、AE、EC，因為四邊形ABCD為正方形，所以DO＝BO．而DE＝D1E，所以EO為△DD1B的中位線，所以EO∥D1B，所以BD1∥平面AEC．[答案]BD1∥平面AEC3．(2024·南京模擬)四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA＝4，則PC與底面ABCD所成角的正切值為________．[解析]因為PA⊥底面ABCD，所以PC在底面ABCD上的射影為AC，∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(2)．[答案]eq\r(2)4．(2024·南京、鹽城模擬)已知平面α，β，直線m，n，給出下列命題：①若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n．其中是真命題的是________．(填寫全部真命題的序號)[解析]①錯誤，還有可能α，β相交；②錯誤，直線m，n可能平行、相交或異面；③④正確．[答案]③④5．(2024·鎮(zhèn)江期末)如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列命題正確的是________．(填序號)①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC．[解析]因為在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，則CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．[答案]④6．(2024·無錫期末)已知兩條直線m、n，兩個平面α、β．給出下面四個命題：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m∥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β．其中正確命題的序號是________．[解析]兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，故①正確；兩平面平行，分別在這兩平面內(nèi)的兩直線可能平行，也可能異面，故②錯；m∥n，m∥α?xí)r，n∥α或n?α，故③錯；由α∥β，m⊥α得m⊥β，由m⊥β，n∥m得n⊥β，故④正確．[答案]①④7．(2024·蘇州調(diào)研)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點M為CC1的中點，點N為線段DD1上靠近D1的三等分點，平面BMN交AA1于點Q，則線段AQ的長為________．[解析]如圖所示，在線段DD1上靠近點D處取一點T，使得DT＝eq\f(1,3)，因為N是線段DD1上靠近D1的三等分點，故D1N＝eq\f(2,3)，故NT＝2－eq\f(1,3)－eq\f(2,3)＝1，因為M為CC1的中點，故CM＝1，連接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四邊形CMNT為平行四邊形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近A處取一點Q′，使得AQ′＝eq\f(1,3)，連接BQ′，TQ′，則有BQ′∥CT∥MN，故BQ′與MN共面，即Q′與Q重合，故AQ＝eq\f(1,3)．[答案]eq\f(1,3)8．如圖，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于點E，AF⊥DC交DC于點F，且AD＝AB＝2，則三棱錐D-AEF體積的最大值為________．[解析]因為DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF．又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB．又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE為三棱錐D-AEF的高．因為AE為等腰直角三角形ABD斜邊上的高，所以AE＝eq\r(2)，設(shè)AF＝a，F(xiàn)E＝b，則△AEF的面積S＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2)·eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,2)＝eq\f(1,2)，所以三棱錐D-AEF的體積V≤eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),6)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時等號成立)．[答案]eq\f(\r(2),6)9．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論中正確的是________．(填序號)①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱錐A-BEF的體積為定值；④△AEF的面積與△BEF的面積相等．[解析]因為AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D，所以AC⊥BE，故①正確．因為B1D1∥平面ABCD，又E、F在線段B1D1上運動，故EF∥平面ABCD．故②正確．③中由于點B到直線EF的距離是定值，故△BEF的面積為定值，又點A到平面BEF的距離為定值，故VA-BEF不變．故③正確．由于點A到B1D1的距離與點B到B1D1的距離不相等，因此△AEF與△BEF的面積不相等，故④錯誤．[答案]①②③10．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一個動點，則PM的最小值為________．[解析]如圖，因為PC⊥平面ABC，MC?平面ABC，所以PC⊥MC．故PM＝eq\r(PC2＋MC2)＝eq\r(MC2＋16)．又因為MC的最小值為eq\f(4×4\r(3),8)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值為2eq\r(7)．[答案]2eq\r(7)11．(2024·江蘇省高考名校聯(lián)考(五))如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1＝CA，點E，F(xiàn)分別為AC1，BC1的中點．(1)若B1C1上存在一點G，使得平面EFG∥平面AA1B1B，求證：點G為B1C1的中點；(2)若AC1⊥AB，求證：平面CEF⊥平面ABC1．[證明](1)如圖，連接AB1，因為平面EFG∥平面AA1B1B，EG?平面EFG，所以EG∥平面AA1B1B．因為EG?平面AB1C1，平面AB1C1∩平面AA1B1B＝AB1，所以EG∥AB1，因為點E為AC1的中點，所以點G為B1C1的中點．(2)因為CC1＝CA，點E為AC1的中點，所以CE⊥AC1．因為點E，F(xiàn)分別為AC1，BC1的中點，所以EF∥AB，因為AC1⊥AB，所以EF⊥AC1．又CE∩EF＝E，CE，EF?平面CEF，所以AC1⊥平面CEF，因為AC1?平面ABC1，所以平面CEF⊥平面ABC1．12．(2024·南通調(diào)研)如圖，在四面體ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°．M，N，Q分別為棱AD，BD，AC的中點．(1)求證：CD∥平面MNQ；(2)求證：平面MNQ⊥平面CAD．[證明](1)因為M，Q分別為棱AD，AC的中點，所以MQ∥CD，又CD?平面MNQ，MQ?平面MNQ，故CD∥平面MNQ．(2)因為M，N分別為棱AD，BD的中點，所以MN∥AB，又∠BAD＝90°，故MN⊥AD．因為平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD＝AD，且MN?平面ABD，所以MN⊥平面CAD．又MN?平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面CAD．13．(2024·南京、鹽城模擬)如圖①，E，F(xiàn)分別是直角三角形ABC邊AB和AC的中點，∠B＝90°，沿EF將三角形ABC折成如圖②所示的銳二面角A1-EF-B，若M為線段A1C的中點．求證：(1)直線FM∥平面A1EB；(2)平面A1FC⊥平面A1BC．[證明](1)取A1B中點N，連結(jié)NE，NM(圖略)，則MN綊