《誤差理論與數(shù)據(jù)處理（苐7版）》課件 第3-7章 誤差的合成與分配-動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)處理

第3章

誤差的合成與分配教學(xué)目標(biāo)本章闡述了函數(shù)誤差、誤差合成與分配的基本方法，并討論了微小誤差的取舍、最佳測(cè)量方案的確定等問(wèn)題。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)掌握函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算以及誤差的合成和分配。重點(diǎn)和難點(diǎn)函數(shù)系統(tǒng)誤差函數(shù)隨機(jī)誤差函數(shù)誤差分布的模擬計(jì)算隨機(jī)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成誤差分配微小誤差取舍準(zhǔn)則最佳測(cè)量方案的確定間接測(cè)量

函數(shù)誤差

間接測(cè)得的被測(cè)量誤差也應(yīng)是直接測(cè)得量及其誤差的函數(shù)，故稱(chēng)這種間接測(cè)量的誤差為函數(shù)誤差

通過(guò)直接測(cè)得的量與被測(cè)量之間的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測(cè)量第一節(jié)函數(shù)誤差一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算第一節(jié)函數(shù)誤差間接測(cè)量的數(shù)學(xué)模型

與被測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測(cè)量值

y

間接測(cè)量值求上述函數(shù)y

的全微分，其表達(dá)式為：和的量綱或單位不相同，則起到誤差單位換算的作用和的量綱或單位相同，則起到誤差放大或縮小的作用由y的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算公式為各個(gè)輸入量在該測(cè)量點(diǎn)處的誤差傳播系數(shù)第一節(jié)函數(shù)誤差幾種簡(jiǎn)單函數(shù)的系統(tǒng)誤差

1、線(xiàn)性函數(shù)2、三角函數(shù)形式

系統(tǒng)誤差公式當(dāng)當(dāng)函數(shù)為各測(cè)量值之和時(shí)，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個(gè)測(cè)量值系統(tǒng)誤差之和第一節(jié)函數(shù)誤差【例】用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑。如圖所示，車(chē)間工人用一把卡尺量得弓高h(yuǎn)=50mm

，弦長(zhǎng)s=500mm。已知，弓高的系統(tǒng)誤差

h=-0.1mm,玄長(zhǎng)的系統(tǒng)誤差

h=-1mm。試問(wèn)車(chē)間工人測(cè)量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測(cè)量結(jié)果?！窘狻拷㈤g接測(cè)量大工件直徑的函數(shù)模型

不考慮測(cè)量值的系統(tǒng)誤差，可求出在處的直徑測(cè)量值第一節(jié)函數(shù)誤差車(chē)間工人測(cè)量弓高h(yuǎn)、弦長(zhǎng)l

的系統(tǒng)誤差

直徑的系統(tǒng)誤差:故修正后的測(cè)量結(jié)果:

計(jì)算結(jié)果：誤差傳遞系數(shù)為:第一節(jié)函數(shù)誤差二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算第一節(jié)函數(shù)誤差數(shù)學(xué)模型

變量中只有隨機(jī)誤差泰勒展開(kāi)，并取其一階項(xiàng)作為近似值函數(shù)的一般形式得到即：可得：函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算

或第i個(gè)直接測(cè)得量的標(biāo)準(zhǔn)差第i個(gè)測(cè)量值和第j個(gè)測(cè)量值之間的相關(guān)系數(shù)第i個(gè)測(cè)量值和第j個(gè)測(cè)量值之間的協(xié)方差第i個(gè)直接測(cè)得量對(duì)間接量在該測(cè)量點(diǎn)處的誤差傳播系數(shù)第一節(jié)函數(shù)誤差或相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算

若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，相關(guān)項(xiàng)令第一節(jié)函數(shù)誤差則當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差都為正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式第i個(gè)直接測(cè)得量的極限誤差三角形式的函數(shù)隨機(jī)誤差公式1）正弦函數(shù)形式為:函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：第一節(jié)函數(shù)誤差2）余弦函數(shù)形式為:函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算

3）正切函數(shù)形式為:函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：4）余弦函數(shù)形式為:函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：【解】【例】用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑。如圖所示，車(chē)間工人用一把卡尺量得弓高h(yuǎn)=50mm

，弦長(zhǎng)s=500mm。已知，弓高的系統(tǒng)誤差

h=-0.1mm,玄長(zhǎng)的系統(tǒng)誤差

h=-1mm。試求測(cè)量該工件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差，并求修正后的測(cè)量結(jié)果。已知：，有修正后的測(cè)量結(jié)果

第一節(jié)函數(shù)誤差相關(guān)系數(shù)對(duì)函數(shù)誤差的影響

反映了各隨機(jī)誤差分量相互間的線(xiàn)性關(guān)聯(lián)對(duì)函數(shù)總誤差的影響函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與各隨機(jī)誤差分量標(biāo)準(zhǔn)差之間具有線(xiàn)性的傳播關(guān)系函數(shù)隨機(jī)誤差公式當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)2、相關(guān)系數(shù)估計(jì)第一節(jié)函數(shù)誤差相關(guān)系數(shù)的確定可判斷的情形斷定與兩分量之間沒(méi)有相互依賴(lài)關(guān)系的影響當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量呈正負(fù)交替變化，反之亦然與屬于完全不相干的兩類(lèi)體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量與雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計(jì)的弱相關(guān)1、直接判斷法第一節(jié)函數(shù)誤差可判斷或的情形斷定與兩分量間近似呈現(xiàn)正的線(xiàn)性關(guān)系或負(fù)的線(xiàn)性關(guān)系當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量依次增大或減小，反之亦然與屬于同一體系的分量，如用1m基準(zhǔn)尺測(cè)2m尺，則各米分量間完全正相關(guān)第一節(jié)函數(shù)誤差2、試樣觀(guān)察法和簡(jiǎn)略計(jì)算法

（1）觀(guān)察法第一節(jié)函數(shù)誤差

（2）簡(jiǎn)單計(jì)算法其中，n2n3n4n10

（3）直接計(jì)算法根據(jù)的多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值，按如下統(tǒng)計(jì)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)、分別為、的算術(shù)平均值

（4）理論計(jì)算法第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成任何測(cè)量結(jié)果都包含有一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量過(guò)程中各個(gè)環(huán)節(jié)一系列誤差因素作用的結(jié)果。誤差合成就是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎(chǔ)上，正確地表述這些誤差的綜合影響。標(biāo)準(zhǔn)差合成極限誤差合成解決隨機(jī)誤差的合成問(wèn)題一般基于標(biāo)準(zhǔn)差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個(gè)誤差之間的相關(guān)性影響隨機(jī)誤差的合成形式包括：一、標(biāo)準(zhǔn)差合成合成標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式:

q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，標(biāo)準(zhǔn)差

誤差傳播系數(shù)

由間接測(cè)量的顯函數(shù)模型求得根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)給出知道影響測(cè)量結(jié)果的誤差因素而不知道每個(gè)和第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成當(dāng)誤差傳播系數(shù)、且各相關(guān)系數(shù)均可視為0的情形第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成若各個(gè)誤差互不相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)則合成標(biāo)準(zhǔn)差用標(biāo)準(zhǔn)差合成有明顯的優(yōu)點(diǎn)，不僅簡(jiǎn)單方便，而且無(wú)論各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布如何，只要給出各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，均可計(jì)算出總的標(biāo)準(zhǔn)差視各個(gè)誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說(shuō)各個(gè)誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量二、極限誤差合成

單項(xiàng)極限誤差:

單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)合成極限誤差:

合成標(biāo)準(zhǔn)差合成極限誤差的置信系數(shù)第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成合成極限誤差計(jì)算公式根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成各個(gè)置信系數(shù)、

不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)對(duì)于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)相同對(duì)于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成

ij

為第i個(gè)和第j個(gè)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差的數(shù)目q較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布合成極限誤差：若和各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線(xiàn)性無(wú)關(guān)或近似線(xiàn)性無(wú)關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成時(shí)：此時(shí)第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的分類(lèi)：1）已定系統(tǒng)誤差2）未定系統(tǒng)誤差定義：誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號(hào)：

合成方法：按照代數(shù)和法進(jìn)行合成

i為第i個(gè)系統(tǒng)誤差，ai為其傳遞系數(shù)系統(tǒng)誤差可以在測(cè)量過(guò)程中消除，也可在合成后在測(cè)量結(jié)果中消除二、未定系統(tǒng)誤差的合成

第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成（一）未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費(fèi)過(guò)多精力去掌握，而只能或者只需估計(jì)出其不致超過(guò)某一范圍

e的系統(tǒng)誤差特征：1）

在測(cè)量條件不變時(shí)為一恒定值，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)其值固定不變，因而單項(xiàng)系統(tǒng)誤差在重復(fù)測(cè)量中不具有低償性2）隨機(jī)性。當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，且服從一定的概論分布，具有隨機(jī)誤差的特性。表示符號(hào)：

極限誤差：e

標(biāo)準(zhǔn)差：u1、標(biāo)準(zhǔn)差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成（二）未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機(jī)性，服從一定的概率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機(jī)誤差的合成公式，這就給測(cè)量結(jié)果的處理帶來(lái)很大方便。

同隨機(jī)誤差的合成時(shí)，未定系統(tǒng)誤差合成時(shí)即克可以按照標(biāo)準(zhǔn)差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。若測(cè)量過(guò)程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為u1，u2，……，us，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a1，a2，……，as

，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差u為:則由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：式中，

ij

為第i個(gè)和第j個(gè)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成當(dāng)

ij=0時(shí)2、極限誤差的合成因?yàn)楦鱾€(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為:若總的未定系統(tǒng)誤差極限誤差表示為：則有：第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成或者，由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨(dú)立無(wú)關(guān)，即，則上式可簡(jiǎn)化為：第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成一、按極限誤差合成

誤差的合成可按照兩種形式合成：按極限誤差誤差形式合成、按標(biāo)準(zhǔn)差形式合成。測(cè)量過(guò)程中，假定有r

個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，s

個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q

個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為：1、單次測(cè)量情況若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：式中，R為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差可簡(jiǎn)化為：第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根值，即：2、n

次重復(fù)測(cè)量情況當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行n次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù)n。總極限誤差變?yōu)椋旱谒墓?jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成二、按標(biāo)準(zhǔn)差合成

測(cè)量過(guò)程中，假定有s

個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q

個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：1、單次測(cè)量情況若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：式中，R為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。若用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成公式，則只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成。當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差為：2、n

次重復(fù)測(cè)量情況當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行n次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù)n。第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成總極限誤差變?yōu)椋骸纠吭谌f(wàn)能工具顯微鏡上用影像法測(cè)量某一平面工件的長(zhǎng)度共兩次，測(cè)得結(jié)果分別為，，已知工件的和高度為，求測(cè)量結(jié)果及其極限誤差。第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成序號(hào)123456誤差因素極限誤差隨機(jī)誤差未定系統(tǒng)誤差備注阿貝誤差光學(xué)刻尺刻度誤差溫度誤差讀數(shù)誤差瞄準(zhǔn)誤差光學(xué)刻尺檢定誤差－－－－0.81－－0.50.351.251未修正時(shí)計(jì)入總誤差修正時(shí)計(jì)入總誤差根據(jù)工具顯微鏡的工作原理和結(jié)構(gòu)可知，測(cè)量過(guò)程中主要的誤差見(jiàn)表?！窘狻?jī)纱螠y(cè)量結(jié)果的平均值為:根據(jù)萬(wàn)能工具顯光學(xué)刻線(xiàn)尺的刻度誤差表，查得在50mm范圍內(nèi)的誤差

=-0.0008mm

，此項(xiàng)誤差為已定系統(tǒng)誤差，應(yīng)予修正。則測(cè)量結(jié)果為：第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成在萬(wàn)工顯上用影像法測(cè)量平面工件尺寸時(shí)，其主要誤差分析如下：1、隨機(jī)誤差由讀數(shù)誤差和工件瞄準(zhǔn)引起，其極限誤差分別為

1）讀數(shù)誤差：

2）瞄準(zhǔn)誤差：第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成2、未定系統(tǒng)誤差由阿貝誤差等引起，其極限誤差分別為

1）阿貝誤差：

2）瞄準(zhǔn)誤差：

3）溫度誤差：

4）光學(xué)刻度尺的檢定誤差：第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成3、計(jì)算測(cè)量值及其誤差計(jì)算測(cè)量值的誤差時(shí)有兩種方法：方法1當(dāng)未修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí)測(cè)量結(jié)果可表示為：方法2當(dāng)已修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí)

【例】用TC328B型天平，配用三等標(biāo)準(zhǔn)砝碼稱(chēng)一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱(chēng)量得鋼球質(zhì)量，求測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成(1)隨機(jī)誤差:天平示值變動(dòng)性所引起的誤差為隨機(jī)誤差。多次重復(fù)稱(chēng)量同一球的質(zhì)量的天平標(biāo)準(zhǔn)差為(2)未定系統(tǒng)誤差:標(biāo)準(zhǔn)砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標(biāo)準(zhǔn)差），故這兩項(xiàng)誤差均屬未定系統(tǒng)誤差。①砝碼誤差:天平稱(chēng)量時(shí)所用的標(biāo)準(zhǔn)砝碼有三個(gè)，即的一個(gè)，的兩個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差分別為:故三個(gè)砝碼組合使用時(shí)，質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為根據(jù)TC328B型天平的稱(chēng)重方法，其測(cè)量結(jié)果的主要誤差如下：②天平示值誤差該項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差為:第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成三項(xiàng)誤差互不相關(guān)，且各個(gè)誤差傳播系數(shù)均為1，因此誤差合成后可得到測(cè)量結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差為最后測(cè)量結(jié)果應(yīng)表示為（１倍標(biāo)準(zhǔn)差）：

第五節(jié)誤差分配誤差分配

給定測(cè)量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。在誤差分配時(shí)，隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。假設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，有：若已經(jīng)給定，如何確定Di

或相應(yīng)的

i,使其滿(mǎn)足式中，稱(chēng)為部分誤差，或局部誤差一、按等影響原則分配誤差等影響原則：各分項(xiàng)誤差對(duì)函數(shù)誤差的影響相等，即由此可得：或用極限誤差表示：函數(shù)的總極限誤差各單項(xiàng)誤差的極限誤差第五節(jié)誤差分配進(jìn)行誤差分配時(shí)，一般應(yīng)按照下述步驟：二、按可能性調(diào)整誤差

(1)對(duì)各分項(xiàng)誤差平均分配的結(jié)果，會(huì)造成對(duì)部分測(cè)量誤差的需求實(shí)現(xiàn)頗感容易，而對(duì)令一些測(cè)量誤差的要求難以達(dá)到。這樣，勢(shì)必需要用昂貴的高準(zhǔn)確度等級(jí)的儀器，或者以增加測(cè)量次數(shù)及測(cè)量成本為代價(jià)。按等影響原則分配誤差的不合理性

(2)當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所以各個(gè)部分誤差相等，相應(yīng)測(cè)量值的誤差并不相等，有時(shí)可能相差較大。在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，其余誤差項(xiàng)不予調(diào)整。第五節(jié)誤差分配

測(cè)量一圓柱體的體積時(shí)，可間接測(cè)量圓柱直徑D

及高度

h，根據(jù)函數(shù)式三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差

誤差按等影響原理確定后，應(yīng)按照誤差合成公式計(jì)算實(shí)際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再進(jìn)行縮小。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)的誤差，合成后與要求的總誤差進(jìn)行比較，直到滿(mǎn)足要求為止。第五節(jié)誤差分配【例】求得體積V，若要求測(cè)量體積的相對(duì)誤差為1％，已知直徑和高度的公稱(chēng)值分別為，試確定直徑D及高度h的準(zhǔn)確度。一、按等影響分配原則分配誤差得到測(cè)量直徑D

與高度h的極限誤差:第五節(jié)誤差分配【解】計(jì)算體積體積的絕對(duì)誤差:用這兩種量具測(cè)量的體積極限誤差為

因?yàn)椴橘Y料，可用分度值為0.1mm的游標(biāo)卡尺測(cè)高，在50mm測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.02mm的游標(biāo)卡尺測(cè)直徑，在20mm范圍內(nèi)的極限誤差為。第五節(jié)誤差分配二、調(diào)整后的測(cè)量極限誤差

顯然采用的量具準(zhǔn)確度偏高，選得不合理，應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整。若改用分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺來(lái)測(cè)量直徑和高度，在50mm測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為。此時(shí)測(cè)量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測(cè)量高度允許的多余部分得到補(bǔ)償。調(diào)整后的實(shí)際測(cè)量極限誤差為因?yàn)橐虼苏{(diào)整后用一把游標(biāo)卡尺測(cè)量直徑和高度即能保證測(cè)量準(zhǔn)確度。第五節(jié)誤差分配微小誤差

測(cè)量過(guò)程包含有多種誤差時(shí)，當(dāng)某個(gè)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果總誤差的影響，可以忽略不計(jì)的誤差。已知測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差：若將其中的部分誤差取出后，則得

如果，則稱(chēng)為微小誤差

第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則測(cè)量誤差的有效數(shù)字取一位：

某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿(mǎn)足：或則對(duì)測(cè)量結(jié)果的誤差計(jì)算沒(méi)有影響。

測(cè)量誤差的有效數(shù)字取二位：

或?qū)τ陔S機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍區(qū)準(zhǔn)則是被舍去的誤差必須小于或等于測(cè)量結(jié)果的十分之一到三分之一。對(duì)于已定系統(tǒng)誤差，按百分之一到十分之一原則取舍。

第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿(mǎn)足：應(yīng)用：

計(jì)算總誤差或進(jìn)行誤差分配時(shí)，若發(fā)現(xiàn)有微小誤差，可不靠率該項(xiàng)誤差對(duì)總誤差的影響。選擇高一級(jí)精度的標(biāo)準(zhǔn)器具時(shí)，其誤差一般應(yīng)為被檢器具允許誤差的1/10～3/10。最佳測(cè)量方案的確定：當(dāng)測(cè)量結(jié)果與多個(gè)測(cè)量因素有關(guān)時(shí)，采用什么方法確定各個(gè)因素，才能使測(cè)量結(jié)果的誤差最小。研究間接測(cè)量中使函數(shù)誤差為最小的最佳測(cè)量方案。函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為：

欲使為最小，可從哪幾方面來(lái)考慮？

第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定考慮因素：因?yàn)橐讯ㄏ到y(tǒng)誤差可以通過(guò)誤差修正的方法來(lái)消除，所以設(shè)計(jì)最佳測(cè)量方案時(shí)，只需考慮隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差的影響。研究對(duì)象和目標(biāo)：一、選擇最佳函數(shù)誤差公式間接測(cè)量中如果可由不同的函數(shù)公式來(lái)表示，則應(yīng)選取包含直接測(cè)量值最小的函數(shù)公式。不同的數(shù)學(xué)公式所包含的直接測(cè)量值數(shù)目相同，則應(yīng)選取誤差較小的直接測(cè)量值的函數(shù)公式。第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定【例】用分度值為O.05mm游標(biāo)卡尺測(cè)量?jī)奢S的中心距L，試選擇最佳測(cè)量方案。已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為:方法一：測(cè)量?jī)奢S直徑d1、d2和外尺寸L1，其函數(shù)式及誤差為由計(jì)算結(jié)果可知，方法三誤差最小，方法二誤差最大，這是因?yàn)榉椒ǘ暮瘮?shù)式最簡(jiǎn)單，而方法二包含的直接量較多?！窘狻繙y(cè)量中心距L有下列三種方法：第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定方法二

：測(cè)量?jī)奢S直徑d1、d2和外尺寸L2，其函數(shù)式及誤差為方法三

：測(cè)量?jī)?nèi)尺寸

L2和外尺寸L2，其函數(shù)式及誤差為二、使誤差傳播系數(shù)盡量小由函數(shù)誤差公式，若使各個(gè)測(cè)量值對(duì)函數(shù)的誤差傳播系數(shù)或?yàn)樽钚。瑒t函數(shù)誤差可相應(yīng)減少。根據(jù)這個(gè)原則，對(duì)某些測(cè)量實(shí)踐，盡管有時(shí)不可能達(dá)到使等于零的測(cè)量條件，但卻指出了達(dá)到最佳測(cè)量方案的趨向。第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定【例】用弓高弦長(zhǎng)法測(cè)量工件直徑，已知其函數(shù)式為:試確定最佳測(cè)量方案。【解】由函數(shù)式求得函數(shù)誤差的誤差表達(dá)式：欲使為最小，必須滿(mǎn)足：

1、使?jié)M足此條件，必須，但由圖中幾何關(guān)系可知，此時(shí)有，因而無(wú)實(shí)際意義。2、使為最小若滿(mǎn)足為最小，則值愈大愈好，即值愈接近直徑愈好。3、使?jié)M足此條件，必須使，即要求直接測(cè)量直徑，才能消除對(duì)函數(shù)誤差的影響。第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定由上述分析可知，欲使為最小，必須測(cè)量直徑，此時(shí)弓高的測(cè)量誤差已不影響直徑的測(cè)量準(zhǔn)確度，而只有弦長(zhǎng)的測(cè)量誤差影響直徑的測(cè)量準(zhǔn)確度。但對(duì)大直徑測(cè)量，此條件難以滿(mǎn)足，不過(guò)他指出了當(dāng)值愈接近值時(shí)，直徑的測(cè)量誤差也越小第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定分析：第4章

測(cè)量不確定度教學(xué)目標(biāo)測(cè)量不確定度是評(píng)定測(cè)量結(jié)果高低的重要指標(biāo)。本章重點(diǎn)介紹測(cè)量不確定度的基本概念，測(cè)量不確定度的Ａ類(lèi)評(píng)定和Ｂ類(lèi)評(píng)定方法，以及測(cè)量不確定度的合成等。并結(jié)合一些應(yīng)用實(shí)例，使學(xué)生學(xué)會(huì)在各種測(cè)量情況下對(duì)測(cè)量結(jié)果的不確定度作出科學(xué)的評(píng)定。測(cè)量不確定度的基本概念測(cè)量不確定度的Ａ類(lèi)評(píng)定測(cè)量不確定度的Ｂ類(lèi)評(píng)定測(cè)量不確定度的合成重點(diǎn)與難點(diǎn)一、概述1993，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO)等頒布實(shí)施《測(cè)量不確定度表示指南》（GUM）。二、測(cè)量不確定度的定義測(cè)量不確定度：測(cè)量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，表征被測(cè)量值的分散性。測(cè)量結(jié)果＝被測(cè)量的估計(jì)值＋不確定度第一節(jié)測(cè)量不確定度的基本概念三、測(cè)量不確定度的評(píng)定方法A類(lèi)評(píng)定：通過(guò)對(duì)一系列觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析來(lái)評(píng)定B類(lèi)評(píng)定：基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息所認(rèn)定的概率分布來(lái)評(píng)定四、測(cè)量不確定度與誤差聯(lián)系：測(cè)量結(jié)果的精度評(píng)定參數(shù)；所有的不確定度分量都用標(biāo)準(zhǔn)差表征，由隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差引起；誤差是不確定度的基礎(chǔ)。第一節(jié)測(cè)量不確定度的基本概念區(qū)別：誤差以真值或約定真值為中心，不確定度以被測(cè)量的估計(jì)值為中心；誤差一般難以定值，不確定度可以定量評(píng)定；誤差有三類(lèi)，界限模糊，難以嚴(yán)格區(qū)分；測(cè)量不確定度分兩類(lèi)，界限分明，分析方法簡(jiǎn)單。第一節(jié)測(cè)量不確定度的基本概念標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)差表征的不確定度。一、標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類(lèi)評(píng)定當(dāng)被測(cè)量Y取決于其他N個(gè)量X1,X2,…,XN時(shí)，則Y的估計(jì)值y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度如何估計(jì)？思考：?jiǎn)未螠y(cè)量值：算術(shù)平均值：解釋?zhuān)旱诙?jié)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度的評(píng)定二、標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類(lèi)評(píng)定以前的測(cè)量數(shù)據(jù)、經(jīng)驗(yàn)和資料；有關(guān)儀器和裝置的一般知識(shí)、制造說(shuō)明書(shū)和檢定證書(shū)或其他報(bào)告所提供的數(shù)據(jù)；由手冊(cè)提供的參考數(shù)據(jù)等。1）B類(lèi)評(píng)定的提出2）B類(lèi)評(píng)定的依據(jù)3）常見(jiàn)情況的B類(lèi)評(píng)定a、當(dāng)估計(jì)值受多個(gè)獨(dú)立因素的影響，且影響大小相近時(shí)，可假設(shè)為正態(tài)分布第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度的評(píng)定b、當(dāng)估計(jì)值取自相關(guān)資料，所給出的測(cè)量不確定度

為標(biāo)準(zhǔn)差的k倍時(shí)c、若x服從均勻分布，即若在區(qū)間（x-a,x+a）內(nèi)的概率為1，且在各處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，則d、當(dāng)x受到兩個(gè)獨(dú)立且皆滿(mǎn)足均勻分布的因素影響時(shí)，則x服從區(qū)間為（x-a,x+a）內(nèi)的三角分布e、當(dāng)x服從區(qū)間（x-a,x+a）內(nèi)的反正弦分布時(shí)，則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度的評(píng)定2）自由度的確定a.A類(lèi)評(píng)定的自由度:Bessel公式：=n-1

其他公式：表4－1（P82）

三、自由度及其確定1）自由度的概念自由度：將不確定度計(jì)算表達(dá)式中總和所包含的項(xiàng)數(shù)減去各項(xiàng)之間存在的約束條件數(shù)所得的差值，用表示。意義：反映不確定度評(píng)定的質(zhì)量，自由度越大，標(biāo)準(zhǔn)差越可信賴(lài)，不確定度評(píng)定質(zhì)量越好。b.B類(lèi)評(píng)定的自由度:第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度的評(píng)定一、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度1、uc的確定步驟第一步明確影響測(cè)量結(jié)果的多個(gè)不確定度分量；第二步確定各分量與測(cè)量結(jié)果的傳遞關(guān)系和它們之間的相關(guān)系數(shù)；第三步給出各分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度；第四步按方和根法合成。2、uc

的合成例：間接測(cè)量中，設(shè)各直接測(cè)得量xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為uxi，它對(duì)被測(cè)量的傳遞系數(shù)為。

第三節(jié)測(cè)量不確定度的合成而測(cè)量結(jié)果y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc可用下式表征：若：，則由xi引起的被測(cè)量y的不確定度分量為其中，任意兩個(gè)直接測(cè)量值xi，xj不確定度的相關(guān)系數(shù)。3、結(jié)果表示第三節(jié)測(cè)量不確定度的合成二、展伸不確定度1、展伸不確定度的提出2、展伸不確定度的評(píng)定：其中，k由t分布的臨界值給出，即。－uc的自由度，當(dāng)各不確定度分量相互獨(dú)立時(shí)，P－給定的置信概率。第三節(jié)測(cè)量不確定度的合成測(cè)量結(jié)果：當(dāng)自由度無(wú)法按上式計(jì)算時(shí)，取。三、不確定度報(bào)告1、測(cè)量結(jié)果的表示用uc表示:用U表示:與d的表示形式相同，為避免混淆，應(yīng)給出相應(yīng)說(shuō)明。用相對(duì)不確定度表示：第三節(jié)測(cè)量不確定度的合成2、注意事項(xiàng)1）有效數(shù)字一般不超過(guò)兩位；2）不確定度數(shù)值與被測(cè)量的估計(jì)值末位對(duì)齊；

3）“三分之一準(zhǔn)則”修約。第三節(jié)測(cè)量不確定度的合成一、測(cè)量不確定度計(jì)算步驟1）列出主要分量；2）計(jì)算各分量的傳遞系數(shù)；3）評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，給出自由度；4）分析各誤差之間的相關(guān)系數(shù)；5）求uc和自由度，若有必要，給出展伸不確定度U；6）給出不確定度報(bào)告。第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例例1：測(cè)某一圓柱體的體積。由分度值為0.01mm的測(cè)微儀重復(fù)測(cè)量直徑D和高度h各6次，數(shù)據(jù)如下：Di/mm10.07510.08510.09510.06010.08510.080hi/mm10.10510.11510.11510.11010.11010.115計(jì)算D、h的平均值，求V的估計(jì)值（單個(gè)計(jì)算求

平均如何？）2.不確定度評(píng)定（1）D的測(cè)量重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例因，則（2）h的測(cè)量重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量則因（3）測(cè)微儀的示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量（儀器說(shuō)明書(shū)：測(cè)微儀的示值誤差范圍）取均勻分布，，則第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例設(shè)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)應(yīng)的自由度為3、不確定度合成因，則體積測(cè)量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度其自由度為第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例4、展伸不確定度取置信概率P＝0.95，查t分布表得包含因子于是，體積測(cè)量的展伸不確定度為5、不確定度報(bào)告1）用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示測(cè)量結(jié)果第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例2）用展伸不確定度表示測(cè)量結(jié)果其中，符號(hào)后的數(shù)值表示展伸不確定度由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及包含因子確定。第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例例2：用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字電壓表在標(biāo)準(zhǔn)條件下測(cè)直流電壓源的輸出電壓10次，測(cè)得值（V）：10.000107,10.000103,10.000097,10.000111,10.000091,10.000108,10.000121,10.000101,10.000110,10.000094。1、計(jì)算電壓估計(jì)值:V2、不確定度評(píng)定（1）標(biāo)準(zhǔn)電壓表示值穩(wěn)定度引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量已知24h內(nèi)該測(cè)點(diǎn)的示值穩(wěn)定度不超過(guò)，取均勻分布，則第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例（2）標(biāo)準(zhǔn)電壓表示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量檢定證書(shū)：示值誤差(按3倍標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算),則（3）電壓測(cè)量重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量由Bessel公式計(jì)算得第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例3、不確定度合成4、展伸不確定度取P＝0.95，，查得包含因子，電壓測(cè)量的展伸不確定度為5、不確定度報(bào)告第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例例3：測(cè)某液體粘度，先用標(biāo)準(zhǔn)粘度油和高精度計(jì)時(shí)秒表標(biāo)定粘度計(jì)常數(shù)c，然后將被測(cè)液體通過(guò)該粘度計(jì)，由計(jì)算液體粘度。1、不確定度評(píng)定1)溫度變化引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量液體粘度隨溫度增高而減小，控溫，在此溫度條件下，粘度測(cè)量的相對(duì)誤差為0.025%,（對(duì)應(yīng)于3），則第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例4）粘度計(jì)傾斜引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量5）空氣浮力引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量2）粘度計(jì)體積變化引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量已知：由此引起的粘度測(cè)量的相對(duì)誤差為0.1%3）時(shí)間測(cè)量引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量（對(duì)應(yīng)于3）第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例2、不確定度合成3、展伸不確定度4、不確定度報(bào)告因則粘度測(cè)量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為因各個(gè)不確定度分量和合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的誤差范圍皆為3，故取，則展伸不確定度為粘度測(cè)量的展伸不確定度，由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及包含因子確定。例4：量塊校準(zhǔn)的不確定度計(jì)算。在比較儀上對(duì)被校準(zhǔn)量塊進(jìn)行5次測(cè)量，考慮溫度的影響，經(jīng)推導(dǎo)得測(cè)量的數(shù)學(xué)模型為已求得被校準(zhǔn)量塊20℃時(shí)的長(zhǎng)度為，求其不確定度。1、計(jì)算不確定度分量（1）標(biāo)準(zhǔn)量塊的校準(zhǔn)不確定度引起得不確定度分量由標(biāo)準(zhǔn)量塊的校準(zhǔn)證書(shū)測(cè)量19次，得第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例（2）長(zhǎng)度差測(cè)量不確定度引起得不確定度分量分析：a、已知：比較儀的25次觀(guān)測(cè)值得b、檢定證書(shū)：比較儀的示值誤差第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例則由引起得不確定度分量為（3）熱膨脹系數(shù)之差的不確定度引起的不確定度分量已知：的變化界限為,均勻分布，相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為10％,那么第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例（4）溫度差的不確定度引起的不確定度分量已知：實(shí)際溫差等概率落于，相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為50％,第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例2、不確定度合成因則量塊校準(zhǔn)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為其自由度為取置信概率P＝0.99，查t分布表得包含因子。于是，量塊校準(zhǔn)的展伸不確3、展伸不確定度定度為：4、不確定度報(bào)告量塊校準(zhǔn)的展伸不確定度，是由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及包含因子（基于自由度，置信概率為99％的t分布臨界值）所確定的。第四節(jié)測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例第5章

線(xiàn)性參數(shù)的最小二乘處理最小二乘法原理是一種在多學(xué)科領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)處理方法．本章將重點(diǎn)闡述最小二乘法原理在線(xiàn)性參數(shù)和非線(xiàn)性參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用。從而使學(xué)生掌握最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度測(cè)量中線(xiàn)性、非線(xiàn)性參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，并科學(xué)給出估計(jì)精度。教學(xué)目標(biāo)最小二乘法原理等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)的最小二乘處理不等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)的最小二乘處理最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)組合測(cè)量的最小二乘法處理重點(diǎn)與難點(diǎn)第一節(jié)最小二乘原理

一、引入待測(cè)量（難以直接測(cè)量）：直接測(cè)量量：?jiǎn)栴}：如何根據(jù)和測(cè)量方程解得待測(cè)

量的估計(jì)值？直接求得。有利于減小隨機(jī)誤差，方程組有冗余，采用最小二乘原理求。第一節(jié)最小二乘原理

討論：最小二乘原理：最可信賴(lài)值應(yīng)使殘余誤差平方和最小。第一節(jié)最小二乘原理

二、最小二乘原理設(shè)直接測(cè)量量的估計(jì)值為，則有由此得測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差殘差方程式第一節(jié)最小二乘原理

若不存在系統(tǒng)誤差，相互獨(dú)立并服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則出現(xiàn)在相應(yīng)真值附近區(qū)域內(nèi)的概率為由概率論可知，各測(cè)量數(shù)據(jù)同時(shí)出現(xiàn)在相應(yīng)區(qū)域的概率為第一節(jié)最小二乘原理

測(cè)量值已經(jīng)出現(xiàn)，有理由認(rèn)為這n個(gè)測(cè)量值出現(xiàn)于相應(yīng)區(qū)間的概率P為最大。要使P最大，應(yīng)有最小由于結(jié)果只是接近真值的估計(jì)值，因此上述條件應(yīng)表示為最小等精度測(cè)量的最小二乘原理：最小不等精度測(cè)量的最小二乘原理：第一節(jié)最小二乘原理

最小最小二乘原理（其他分布也適用）測(cè)量結(jié)果的最可信賴(lài)值應(yīng)使殘余誤差平方和（或加權(quán)殘余誤差平方和）最小。第一節(jié)最小二乘原理

三、等精度測(cè)量的線(xiàn)性參數(shù)最小二乘原理線(xiàn)性參數(shù)的測(cè)量方程和相應(yīng)的估計(jì)量為：殘差方程為第一節(jié)最小二乘原理

令則殘差方程的矩陣表達(dá)式為等精度測(cè)量最小二乘原理的矩陣形式：不等精度測(cè)量最小二乘原理的矩陣形式：第一節(jié)最小二乘原理

思路一：權(quán)矩陣四、不等精度測(cè)量的線(xiàn)性參數(shù)最小二乘原理第一節(jié)最小二乘原理

思路二：不等精度等精度則有：第二節(jié)正規(guī)方程

正規(guī)方程：誤差方程按最小二乘法原理轉(zhuǎn)化得到的有確定解的代數(shù)方程組。一、等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程第二節(jié)正規(guī)方程

正規(guī)方程：特點(diǎn)：主對(duì)角線(xiàn)分布著平方項(xiàng)系數(shù)，正數(shù)相對(duì)于主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)分布的各系數(shù)兩兩相等看正規(guī)方程組中第r個(gè)方程：則正規(guī)方程可寫(xiě)成第二節(jié)正規(guī)方程

即正規(guī)方程的矩陣形式第二節(jié)正規(guī)方程

將代入到中，得（待測(cè)量Ｘ的無(wú)偏估計(jì)）第二節(jié)正規(guī)方程

例5.1已知銅棒的長(zhǎng)度和溫度之間具有線(xiàn)性關(guān)系：，為。為獲得０℃時(shí)銅棒的長(zhǎng)度和銅的線(xiàn)膨脹系數(shù)，現(xiàn)測(cè)得不同溫度下銅棒的長(zhǎng)度，如下表，求，的最可信賴(lài)值。1020304050602000.362000.722000.82001.072001.482000.60解：1）列出誤差方程令為兩個(gè)待估參量，則誤差方程為第二節(jié)正規(guī)方程

按照最小二乘的矩陣形式計(jì)算則有：第二節(jié)正規(guī)方程

那么：第二節(jié)正規(guī)方程

二、不等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程由此可得不等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程：第二節(jié)正規(guī)方程

整理得：第二節(jié)正規(guī)方程

即不等精度的正規(guī)方程將代入上式，得（待測(cè)量Ｘ的無(wú)偏估計(jì)）第二節(jié)正規(guī)方程

例5.2

某測(cè)量過(guò)程有誤差方程式及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差：試求的最可信賴(lài)值。解：首先確定各式的權(quán)第二節(jié)正規(guī)方程

令三、非線(xiàn)性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程第二節(jié)正規(guī)方程

針對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)其測(cè)量誤差方程為令，現(xiàn)將函數(shù)在處展開(kāi)，則有將上述展開(kāi)式代入誤差方程，令則誤差方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性方程組于是可解得，進(jìn)而可得。近似值第二節(jié)正規(guī)方程

第二節(jié)正規(guī)方程

為獲得函數(shù)的展開(kāi)式，必須首先確定1）直接測(cè)量2）通過(guò)部分方程式進(jìn)行計(jì)算：從誤差方程中選取最簡(jiǎn)單的t個(gè)方程式，如令，由此可解得。四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系為確定一個(gè)被測(cè)量X的估計(jì)值x，對(duì)它進(jìn)行n次直接測(cè)量，得n個(gè)數(shù)據(jù)，相應(yīng)的權(quán)分別為，則測(cè)量的誤差方程為按照最小二乘原理可求得結(jié)論：最小二乘原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)平均值原理是最小二乘原理的特例。第二節(jié)正規(guī)方程

第三節(jié)精度估計(jì)

目的：給出估計(jì)量的精度。一、測(cè)量數(shù)據(jù)精度估計(jì)A）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)對(duì)進(jìn)行n次等精度測(cè)量，得的估計(jì)量?？梢宰C明是自由度（n－t）的變量。根據(jù)變量的性質(zhì)，有則可取第三節(jié)精度估計(jì)

作為的無(wú)偏估計(jì)量。因此測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為第三節(jié)精度估計(jì)

B）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)第三節(jié)精度估計(jì)

二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)A）等精度測(cè)量最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)設(shè)有正規(guī)方程第三節(jié)精度估計(jì)

設(shè)利用上述不定乘數(shù)，可求得其中：第三節(jié)精度估計(jì)

由于為等精度的相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，則同理可得則相應(yīng)的最小二乘估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差為B）不等精度測(cè)量最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)第三節(jié)精度估計(jì)

同理經(jīng)推導(dǎo)可得：各不定乘數(shù)由求得：第四節(jié)組合測(cè)量的最小二乘處理

組合測(cè)量：通過(guò)直接測(cè)量待測(cè)參數(shù)的組合量（一般是等精度），然后對(duì)這些測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，

從而求得待測(cè)參數(shù)的估計(jì)量，求其精度估計(jì)。以檢定三段刻線(xiàn)間距為例，要求檢定刻線(xiàn)A、B、C、D間的距離。ABCDABCD第四節(jié)組合測(cè)量的最小二乘處理

直接測(cè)量各組合量，得首先列出誤差方程由此可得：第四節(jié)組合測(cè)量的最小二乘處理

則式中，現(xiàn)求上述估計(jì)量的精度估計(jì)。將最佳估計(jì)值代入誤差方程中，第四節(jié)組合測(cè)量的最小二乘處理

第四節(jié)組合測(cè)量的最小二乘處理

那么，測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為第四節(jié)組合測(cè)量的最小二乘處理

已知?jiǎng)t最小二乘估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為第6章回歸分析本章主要闡述回歸分析的基本概念，并重點(diǎn)介紹一元線(xiàn)性回歸和非線(xiàn)性回歸的基本方法，給出回歸方程的方差分析和顯著性檢驗(yàn)。從而使學(xué)生掌握回歸分析方法的基本原理，學(xué)會(huì)從實(shí)際測(cè)量中尋求兩個(gè)變量和多個(gè)變量之間的內(nèi)在關(guān)系。教學(xué)目標(biāo)回歸分析的基本概念和主要內(nèi)容一元線(xiàn)性回歸方程的求法回歸方程的方差分析和顯著性檢驗(yàn)一元非線(xiàn)性回歸方法重點(diǎn)與難點(diǎn)第一節(jié)回歸分析的基本概念一、函數(shù)與相關(guān)函數(shù)關(guān)系：可以用明確的函數(shù)關(guān)系式精確地表示出來(lái)相關(guān)關(guān)系：這些變量之間既存在著密切的關(guān)系，又不能由一個(gè)（或幾個(gè)）自變量的數(shù)值精確地求出另一個(gè)因變量的數(shù)值，而是要通過(guò)試驗(yàn)和調(diào)查研究，才能確定它們之間的關(guān)系。第一節(jié)回歸分析的基本概念二、回歸分析思路1、由數(shù)據(jù)確定變量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式－回歸方程或經(jīng)驗(yàn)公式；2、對(duì)回歸方程的可信度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；3、因素分析。第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸一元線(xiàn)性回歸：確定兩個(gè)變量之間的線(xiàn)性關(guān)系，即直線(xiàn)擬合問(wèn)題。一、回歸方程的確定例：確定某段導(dǎo)線(xiàn)的電阻與溫度之間的關(guān)系：19.125.030.136.040.046.550.076.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10散點(diǎn)圖：202530354045507678828084第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸從散點(diǎn)圖可以看出：電阻與溫度大致成線(xiàn)性關(guān)系。設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：式中，分別表示其它隨機(jī)因素對(duì)電阻值影響的總和。思路：要求電阻y與x的關(guān)系，即根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)要求出和的估計(jì)值。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，可以得到7個(gè)測(cè)量方程，結(jié)合前面所學(xué)，未知數(shù)有兩個(gè)，而方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，適合于用最小二乘法求解。第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸設(shè)得到的回歸方程殘差方程為根據(jù)最小二乘原理可求得回歸系數(shù)b0和b。對(duì)照第五章最小二乘法的矩陣形式，令第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸則誤差方程的矩陣形式為對(duì)照，設(shè)測(cè)得值的精度相等，則有將測(cè)得值分別代入上式，可計(jì)算得第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸其中二、回歸方程的方差分析及顯著性檢驗(yàn)第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸問(wèn)題：這條回歸直線(xiàn)是否符合y與x之間的客觀(guān)規(guī)律？回歸直線(xiàn)的預(yù)報(bào)精度如何？對(duì)N個(gè)觀(guān)測(cè)值與其算術(shù)平均值之差的平方和進(jìn)行分解；從量值上區(qū)別對(duì)Ｎ個(gè)觀(guān)測(cè)值的影響因素；用F檢驗(yàn)法對(duì)所求回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。方差分析法第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸（一）回歸方程的方差分析1、引起變差的原因：

A、自變量x取值的不同；

B、其它因素（包括試驗(yàn)誤差）的影響。2、方差分析總的離差平方和（即N個(gè)觀(guān)測(cè)值之間的變差）可以證明：第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸S=U+Q其中U—回歸平方和，反映總變差中由于x和y的線(xiàn)性關(guān)系而引起y變化的部分。Q—?dú)堄嗥椒胶?，反映所有觀(guān)測(cè)點(diǎn)到回歸直線(xiàn)的殘余誤差，即其它因素對(duì)y變差的影響。第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸（二）回歸方程顯著性檢驗(yàn)—F檢驗(yàn)法基本思路：方程是否顯著取決于U和Q的大小，U越大，Q越小，說(shuō)明y與x的線(xiàn)性關(guān)系愈密切。計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F對(duì)一元線(xiàn)性回歸，應(yīng)為查F分布表，根據(jù)給定的顯著性水平和已知的自由度1和N-2進(jìn)行檢驗(yàn)：若

回歸在0.01的水平上高度顯著。第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸回歸在0.05的水平上顯著?；貧w在0.1的水平上顯著?；貧w不顯著。（三）殘余方差與殘余標(biāo)準(zhǔn)差第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸殘余方差：排除了x對(duì)y的線(xiàn)性影響后，衡量y隨機(jī)波動(dòng)的特征量。殘余標(biāo)準(zhǔn)差：含義：越小，回歸直線(xiàn)的精度越高。第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸（四）方差分析表來(lái)源平方和自由度方差F顯著性回歸殘余1N-2－總計(jì)N-1－－－三、重復(fù)試驗(yàn)情況1、重復(fù)試驗(yàn)的意義“回歸方程顯著”：只表明因素x的一次項(xiàng)對(duì)y的影響顯著；難以確定影響y的是否還有其它不可忽略的因素？x和y是否線(xiàn)性?不表明該方程擬合得很好。為檢驗(yàn)一個(gè)回歸方程擬合的好壞，可通過(guò)重復(fù)試驗(yàn)，獲得誤差平方和和失擬平方和，然后用對(duì)進(jìn)行F檢驗(yàn)。第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸2、重復(fù)試驗(yàn)回歸直線(xiàn)的求法1）設(shè)N個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)重復(fù)m次試驗(yàn)，則將這m次試驗(yàn)取平均值，然后再按照前面的方法進(jìn)行擬合，見(jiàn)表6－5和表6－6。2）方差分析來(lái)源平方和自由度方差

F顯著性回歸失擬誤差總計(jì)－－－第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸3）方差檢驗(yàn):判斷一元回歸方程擬合效果:判斷失擬平方和對(duì)試驗(yàn)誤差的影響:綜合判斷一元回歸方程擬合效果第二節(jié)一元線(xiàn)性回歸1）分組法－平均值法將自變量按由小到大次序排列，分成個(gè)數(shù)相等或近于相等的兩個(gè)組（分組數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)），則可建立相應(yīng)的兩組觀(guān)測(cè)方程：將兩組觀(guān)測(cè)方程分別相加，得b和b02）圖解法－緊繩法四、回歸直線(xiàn)的簡(jiǎn)便求法第三節(jié)一元非線(xiàn)性回歸2、求解未知參數(shù)?？苫€(xiàn)回歸為直線(xiàn)回歸，

用最小二乘法求解；可化曲線(xiàn)回歸為多項(xiàng)式

回歸。1、確定函數(shù)類(lèi)型并檢驗(yàn)。一、求解思路二、回歸曲線(xiàn)函數(shù)類(lèi)型的選取和檢驗(yàn)1、直接判斷法2、作圖觀(guān)察法，與典型曲線(xiàn)比較，確定其屬于何

種類(lèi)型，然后檢驗(yàn)。第三節(jié)一元非線(xiàn)性回歸3、直線(xiàn)檢驗(yàn)法（適用于待求參數(shù)不多的情況）a、預(yù)選回歸曲線(xiàn)b、c、求出幾對(duì)與x,y相對(duì)應(yīng)的Z1,Z2值d、以Z1,Z2為坐標(biāo)作圖，若為直線(xiàn)，則說(shuō)明原

選定的曲線(xiàn)類(lèi)型是合適的，否則重新考慮