《誤差理論與數(shù)據(jù)處理（苐7版）》教案 第1-3章 緒論-誤差的合成與分配

PAGEPAGE18/71誤差理論與數(shù)據(jù)處理教案目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章緒論 4第一節(jié) 研究誤差的意義 4第二節(jié)誤差的基本概念 4第三節(jié)精度 6第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算 7第二章誤差的基本性質(zhì)與處理 8第一節(jié)隨機(jī)誤差 8第二節(jié)系統(tǒng)誤差 20第三節(jié)粗大誤差 25第四節(jié) 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例 28第三章誤差的合成與分配 30第一節(jié)函數(shù)誤差 30第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成 33第三節(jié) 系統(tǒng)誤差合成 34第四節(jié) 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成 36第五節(jié)誤差分配 37第六節(jié) 微小誤差取舍準(zhǔn)則 38第七節(jié) 最佳測量方案的確定 39第四章測量不確定度 40第一節(jié) 測量不確定度的基本概念 40第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度的評(píng)定 40第三節(jié) 測量不確定度的合成 42第四節(jié) 測量不確定度應(yīng)用實(shí)例 43第五章線性測量的參數(shù)最小二乘處理 49第一節(jié) 最小二乘原理 49第二節(jié) 正規(guī)方程 52第三節(jié) 精度估計(jì) 57第四節(jié) 組合測量的最小二乘處理 59第六章回歸分析 61第一節(jié) 回歸分析的基本概念 61第二節(jié) 一元線性回歸 61第三節(jié) 兩個(gè)變量都具有誤差時(shí)線性回歸方程得確定 65第四節(jié)一元非線性回歸 65第七章動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)處理基本方法 67第一節(jié) 動(dòng)態(tài)測試基本概念 67第二節(jié) 隨機(jī)過程及其特點(diǎn) 67第三節(jié) 隨機(jī)過程特征量的估計(jì) 69 第一章緒論第一節(jié) 研究誤差的意義研究誤差的意義主要?dú)w納為：1、正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因—從根本上，消除或減小誤差2、正確處理測量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果—通過計(jì)算得到更接近真值的數(shù)據(jù)3、正確組織實(shí)驗(yàn)過程，合理設(shè)計(jì)、選用儀器或測量方法—根據(jù)目標(biāo)確定最佳系統(tǒng)第二節(jié)誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法誤差的定義：測得值與被測量的真值之間的差。表達(dá)式為：誤差＝測得值－真值真值（ruelue：觀測一個(gè)量時(shí)，該量本身所具有的真實(shí)大小。包括理論值和約定真值。約定真值(oetionalruealue：對于給定用途具有適當(dāng)不確定度的、賦予特定量的值。也稱為指定值、最佳估計(jì)值、約定值或參考值。按表示形式可分為：絕對誤差和相對誤差。按性質(zhì)可分為：隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差。（一）絕對誤差定義：某量值的測得值和真值之間的差值。通常簡稱為誤差。表達(dá)式為：絕對誤差＝測得值－真值真值常用約定真值來表示特點(diǎn)：絕對誤差是一個(gè)具有確定的大小、符號(hào)及單位的量。給出了被測量的量綱，其單位與測得值相同。在實(shí)際使用時(shí)，為方便消除系統(tǒng)誤差，常使用修正值。修正值的定義：為了消除固定的系統(tǒng)誤差用代數(shù)法而加到測量結(jié)果上的值。其表達(dá)式為：修正值≈真值－測得值特點(diǎn)：與誤差大小近似相等，但方向相反。修正值本身還有誤差。舉例說明測得值、真值、絕對誤差。（二）相對誤差定義：絕對誤差與被測量真值之比。其表達(dá)式為：特點(diǎn)：

相對誤差=絕對誤差/真值*100%相對誤差有大小和符號(hào)。無量綱，一般用百分?jǐn)?shù)來表示。舉例比較絕對誤差與相對誤差（略）（三）引用誤差定義：是一種表示儀器儀表示值相對誤差，它是以儀器儀表某一刻度點(diǎn)的示值誤差為分子，以測得范圍上限值或全量程值為分母的比值。其表達(dá)式為：引用誤差=絕對誤差/儀表量程*100%說明標(biāo)稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對誤差、滿度誤差。舉例說明誤差的各種表示法。二、誤差來源為了減小測量誤差，提高測量準(zhǔn)確度，就必須了解誤差來源。而誤差來源是多方面的，在測量過程中，幾乎所有因素都將引入測量誤差。來源包括：1．測量裝置誤差：標(biāo)準(zhǔn)量具誤差、儀器誤差、附件誤差2．環(huán)境誤差：指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。4．人員誤差：測量人員的工作責(zé)任心、技術(shù)熟練程度、生理感官與心理因素、測量習(xí)慣等的不同而引起的誤差。為了減小測量人員誤差，就要求測量人員要認(rèn)真了解測量儀器的特性和測量原理，熟練掌握測量規(guī)程，精心進(jìn)行測量操作，并正確處理測量結(jié)果。三、誤差分類按照性質(zhì)可以劃分為：（一）系統(tǒng)誤差定義：在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。特征：在相同條件下，多次測量同一量值時(shí)，該誤差的絕對值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差。由于系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性，因此可以根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取一定的技術(shù)措施，設(shè)法消除或減或者通過多次變化條件下的重復(fù)測量的辦法，設(shè)法找出其系統(tǒng)誤差的規(guī)律后，：誤差絕對值和符號(hào)已經(jīng)明確的系統(tǒng)誤差。未定系統(tǒng)誤差：誤差絕對值和符號(hào)未能確定的系統(tǒng)誤差，但通常估計(jì)出誤差范圍。舉例說明（略）按誤差出現(xiàn)規(guī)律，系統(tǒng)誤差可分為：不變系統(tǒng)誤差：誤差絕對值和符號(hào)固定不變的系統(tǒng)誤差。變化系統(tǒng)誤差：誤差絕對值和符號(hào)變化的系統(tǒng)誤差。按其變化規(guī)律，變化系統(tǒng)誤差又可分為線性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。舉例說明（略）（二）隨機(jī)誤差定義：測得值與在重復(fù)性條件下對同一被測量進(jìn)行無限多次測量結(jié)果的平均值之差。又稱為偶然誤差。特征：在相同測量條件下，多次測量同一量值時(shí)，絕對值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因：實(shí)驗(yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)等。性質(zhì)：隨機(jī)誤差的大小、方向均隨機(jī)不定，不可預(yù)見，不可修正。雖然一經(jīng)過大量的重復(fù)測量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。因此，可以用概率（三）粗大誤差定義：指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。產(chǎn)生原因：某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。（。（。處理方法：由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。（四）三類誤差的關(guān)系及其對測得值的影響系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的定義是科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，不能混淆的。但在測量實(shí)踐中，由于誤差劃分的人為性和條件性，使得他們并不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。也就是說一個(gè)具體誤差究竟屬于哪一類，應(yīng)根據(jù)所考察的實(shí)際問題和具體條件，經(jīng)分析和實(shí)驗(yàn)后確定。如一塊電表，它的刻度誤差在制造時(shí)可能是隨機(jī)的，但用此電表來校準(zhǔn)一批其它電表時(shí)，該電表的刻度誤差就會(huì)造成被校準(zhǔn)的這一批電表的系統(tǒng)誤差。又如，由于電表刻度不準(zhǔn)，用它來測量某電源的電壓時(shí)必帶來系統(tǒng)誤差，但如果采用很多塊電表測此電壓，由于每一塊電表的刻度誤差有大有小，有正有負(fù)，就使得這些測量誤差具有隨機(jī)性。第三節(jié)精度精度：反映測量結(jié)果與真值接近程度的量。它與誤差的大小相對應(yīng)，誤差小則精度高，誤差大則精度低，因此可用誤差大小來表示精度的高低。精度可分為：準(zhǔn)確度（orrectness：它反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響。精密度（Pecision：它反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度。（Accuracy（略）精確度（精度）在數(shù)值上一般多用相對誤差來表示，但不用百分?jǐn)?shù)。如某一測量結(jié)果的相對誤差為0.001%，則其精度為10-5。第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算一、有效數(shù)字：含有誤差的任何數(shù)，如果其絕對誤差界是最末尾數(shù)的半個(gè)單位，那么從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，不管是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。測量結(jié)果保留位數(shù)的原則1：最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字是可靠的。測量結(jié)果保留位數(shù)的原則2：在進(jìn)行重要的測量時(shí)，測量結(jié)果和測量誤差可比上述原則再多取一維數(shù)字作為參考。二、數(shù)字的舍入規(guī)則計(jì)算和測量過程中，對很多位的近似數(shù)進(jìn)行取舍時(shí)，應(yīng)按照下述原則進(jìn)行湊整：若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)加1。若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)減1。1。三、數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則（或稱為安全數(shù)字。在近似數(shù)平方或開方運(yùn)算時(shí)，近似數(shù)的選取與乘除運(yùn)算相同。n(n位對數(shù)表，以免損失精度。系：角度誤差（″）1010.10.01函數(shù)值位數(shù)5678第二章誤差的基本性質(zhì)與處理第一節(jié)隨機(jī)誤差一、隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因當(dāng)對同一測量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測量時(shí)，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列，每個(gè)測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：①測量裝置方面的因素：不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等。②環(huán)境方面的因素：溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場變化等。③人為方面的因素：瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。二、正態(tài)分布隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的特性。設(shè)被測量值的真值為L0，一系列測得值為li，則測量列的隨機(jī)誤差i可表示為：式中i2, ,n0。

iliL0

（2-1）正態(tài)分布的分布密度f與分布函數(shù)F為 ef 1 e

222

(2-2) 1 2(22 F e 式中：——標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）e——自然對數(shù)的底，基值為2.7182……。它的數(shù)學(xué)期望為：

(2-3)它的方差為：其平均誤差為：

Ef)d022f()d

(2-4)(2-5)

f()d0.797945

(2-6)

f()d1可解得或然誤差為：2由式（2-2）可以推導(dǎo)出：

0.674523

(2-7)①分布具有對稱性，即絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性；②當(dāng)0時(shí)推知單峰性，即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；nF的存在區(qū)間是只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即kk，稱為誤差的有界性；ni④隨著測量次數(shù)的增加隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于零i0這n n稱為誤差的補(bǔ)償性。圖2-1圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，B值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。三、算術(shù)平均值對某量進(jìn)行一系列等精度測量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。(一)算術(shù)平均值的意義設(shè)l1,l2 ,ln為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值x為： ll

l

nnlix1 2 nin n

（2-8）下面來證明當(dāng)測量次數(shù)無限增加時(shí)，則算術(shù)平均值x必然趨近于真值L0。iilin nnn nnl2 ln)iin0i1 i1n ni iL0

iin nn由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知：nlixi1Ln 0由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無限多次測量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測量次數(shù)無限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值）被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差：ilix

(2-9),n此時(shí)可用更簡便算法來求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測得值的數(shù)l0作為參考值，計(jì)算每個(gè)測得值與l0,nlilil0

i1,2,n n nlixi1=

(l0li)i

(linl0)=i=l+x

(2-10)n n n 0 0式中的

xi

為簡單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡單。例2-1測量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。（計(jì)算略）（二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。nn n由iixiinxx（2-8i1 i1x為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有：nnvi0i1

(2-11)Δ。經(jīng)過分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為：①殘差代數(shù)和應(yīng)符合：n n當(dāng)linxx為零；ii1n n當(dāng)linxxx時(shí)i1的余數(shù)；

i1n n當(dāng)linxx為非湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，x時(shí)i1的虧數(shù)。②殘差代數(shù)和絕對值應(yīng)符合：

i1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

nnvii1

nA；2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

nnvii1

(n0.5)A；2式中的A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值x末位數(shù)的一個(gè)單位。以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實(shí)際運(yùn)算情況選擇一種進(jìn)行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。例2-2用例2-1數(shù)據(jù)對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。（計(jì)算略）四、測量的標(biāo)準(zhǔn)差（一）均方根誤差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）由于值反映了測量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此值可作為隨機(jī)誤差ff減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖2-2所示。標(biāo)準(zhǔn)差不是測量到中任何一個(gè)具體測量值的隨機(jī)誤差，的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機(jī)誤差，一般都不等于，但卻認(rèn)為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率分布。在不同條件下，對同一被測量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。五、標(biāo)準(zhǔn)差的幾種計(jì)算方法（一）等精度測量列單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算1、貝塞爾(Bessel)公式計(jì)算公式為：ininv2i1 n12、別捷爾斯法計(jì)算公式為：1.253

nnvin(nn(n1)例2-4用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。（計(jì)算略）3、極差法用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余計(jì)算公式為：ndn例2-5仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。（計(jì)算略）4、最大誤差法計(jì)算公式：K'vimaxK'n例2-6仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差（計(jì)算略）5、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)①貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)化測量的需要；②別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍；③用極差法計(jì)算σ，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當(dāng)n10時(shí)可用來計(jì)算，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式；④用最大誤差法計(jì)算更為簡捷，容易掌握，當(dāng)n10時(shí)可用最大誤差法，計(jì)算精度大多高于貝氏公式，尤其是對于破壞性實(shí)驗(yàn)(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。（二）多次測量的測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差在多次測量的測量列中，是以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。如果在相同條件下對同一量值作多組重復(fù)的系列測量，每一系列測量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測量的各個(gè)獨(dú)立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。多次測量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式為：nxn

（2-21）即在n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的1 nn高。增加測量次數(shù)，可以提高測量精度，但測量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測量精度，必須付出較大的勞動(dòng)。由圖2-3可知,一定時(shí)，當(dāng)n10以后，x已減少得非常緩慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以保證測量n10若用殘余誤差表示或然誤差和平均誤差，則有：2in22in2i1 3 n(n1)4in24in2i1 5 n(n1)例2-8用游標(biāo)卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。（計(jì)算略）六、測量的極限誤差（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）p，并使差值1p可予忽略。（一）單次測量的極限誤差測量列的測量次數(shù)足夠多和單次測量誤差為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，正態(tài)分布曲線和橫坐標(biāo)軸間所包含的面積等于其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即：p

f

1 2e22d1 當(dāng)研究誤差落在區(qū)間,之間的概率時(shí)，有：2(t) 2

tet2/2dt0這樣我們就可以求出積分值p，為了應(yīng)用方便，其積分值一般列成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值表。當(dāng)t給定時(shí)，t值可由該表查出?，F(xiàn)已查出t1,2,3,4等幾個(gè)特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率pt1t，如表2-6所示（圖2－4隨著t的增大，超出的概率減小得很快。當(dāng)t2時(shí)，即22次測量中只有1范圍;而當(dāng)t3

2時(shí)，在3時(shí)，在370次測量中只有一次誤差絕對值超出3范圍。由于在一般測量中，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認(rèn)為絕對值大于3的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個(gè)誤差稱為單次測量的極限誤差limx，即lim xlim當(dāng)t3時(shí)，對應(yīng)的概率P99.73%。

(2-35)在實(shí)際測量中，有時(shí)也可取其他t值來表示單次測量的極限誤差。如取tP99%;tPPlim xtlim

(2-36)若已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差，選定置信系數(shù)t，則可由式（2-36）求得單次測量的極限誤差。（二）算術(shù)平均值的極限誤差測量列的算術(shù)平均值與被測量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差 ，即xxxL0當(dāng)多個(gè)測量列的算術(shù)平均值誤差(i2, ,N)為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，同樣可得測量列算術(shù)平均值的極限誤差表達(dá)式為lim x xtlim xit為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。i

（2-37）通常取t3，則

x

（2-38）lim xt“學(xué)生氏”“Studentdistribution或稱tlim xlimxtax(2-39)式中的taP1和自由度n1來確定，具體數(shù)值見附錄表3；為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平，通常取0.010.02,0.05ni為n次測量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。對于同一個(gè)測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因而求得的算術(shù)平均值極限誤差也不相同。例2-9對某量進(jìn)行6802.40802.50802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。（計(jì)算略）七、不等精度測量①在實(shí)際測量過程中，由于客觀條件的限制，測量條件是變動(dòng)的，得到了不等精度測量。②對于精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測量結(jié)果，需要在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進(jìn)行測量。如果這些測量結(jié)果是相互一致的。那么測量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測量條件而進(jìn)行的不等精度測量。得到了不同的測量結(jié)果。我們就需要將這些測量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個(gè)最為滿意的準(zhǔn)確的測量結(jié)果。這也是不等精度測量。對于不等精度測（如標(biāo)準(zhǔn)差（一）權(quán)的概念在等精度測量中，各個(gè)測得值可認(rèn)為同樣可靠，并取所有測得值的算術(shù)平因而不能簡單地取各測量結(jié)果的算術(shù)平均值作為最后測量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后結(jié)果中占的比重大一些，可靠程度小的占比重小一些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這個(gè)數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”，記為p。因此測量結(jié)果的權(quán)可理解為，當(dāng)它與另一些測量結(jié)果比較時(shí)，對該測量結(jié)果所給予的信賴程度。（二）權(quán)的確定方法既然測量結(jié)果的權(quán)說明了測量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。最簡單的方法是按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次數(shù)越多，其可靠程度也越大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即pini。假設(shè)同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。因?yàn)閱未螠y量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差與權(quán)的關(guān)系為p p 1 1m2 2121 2x1 x2 xm即：每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成反比，若已知算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。則可按式（2-42）確定相應(yīng)權(quán)的大小，測量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個(gè)無量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)乘以相同的系數(shù)，使其以相同倍數(shù)增大或減小，而各組間的比例關(guān)系保持不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再約簡的整數(shù)，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。舉例說明（計(jì)算略）（三）加權(quán)算術(shù)平均值計(jì)算公式：m piximxi1 mpii1pm當(dāng)各組的權(quán)相等，即p1pm

（2-44）p時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值可簡化為m m pxi

xixi1 i1 mp

（2-45）2-11的平均長度為999.9425mm（三次測量的、999.9416mm（兩次測量的、9999419mm（五次測量的，每單次測量均為等精度測量，求最后測量結(jié)果。（計(jì)算略）,m(四)單位權(quán)的概念由式（,mix此式又可表示為ix

p2

i1,2,ixp22pix

（2-47式中的為等精度單次測得值的標(biāo)準(zhǔn)差。由此可認(rèn)為，具有同一方差2的等精度單次測得值的權(quán)數(shù)為1。若已知方差2，只要確定各組的權(quán)pi，就可按式（2-47）分別求得各組的方差2。由于測得值的方差2的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故特稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而2為具有單位權(quán)的測得值方差，為具有單位權(quán)的測得值標(biāo)準(zhǔn)差利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測量問題化為等權(quán)測量問題來處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式1：pippipii1mpiipii1m

（2-49計(jì)算公式2：mpv2ixi impv2ixi i1 m(m1)pii1x注意：用式（2-51）可由各組測量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，但是只有組數(shù)m足夠多時(shí)，才能得到較為精確的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計(jì)值。在上述兩個(gè)計(jì)算公式中，公式（2－49）比公式（2－51）可靠，應(yīng)優(yōu)先采用。舉例：例2－12略。八、隨機(jī)誤差的其他分布正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。(一)均勻分布在測量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點(diǎn)是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形分布或等概率分布。其數(shù)學(xué)期望為：a它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

Ea2ad0a2

（2-54）2 （2-5533a3

（2-56(二)反正弦分布反正弦分布實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點(diǎn)是該隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系。它的數(shù)學(xué)期望為：它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

a a22Ea a22

（2-58）a22 （2-5922a2

（2-60（三）三角形分布當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分布的隨機(jī)誤差求和時(shí)，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。實(shí)際測量中，若整個(gè)測量過程必須進(jìn)行兩次才能完成，而每次測量的隨機(jī)誤差服從相同的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。它的數(shù)學(xué)期望為：它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差為

E0a2

（2-64）2 （2-65）66a6

（2-66）如果對兩個(gè)誤差限為不相等的均勻分布隨機(jī)誤差求和時(shí)，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點(diǎn)分布等，在此不做一一敘述。(四)2分布2v令1,2, ,v為v個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量對服從標(biāo)準(zhǔn)化正太分布，定義一2v1 2221 2

（2-67）隨機(jī)變量2稱為自由度為v的卡埃平方變量。自由度數(shù)v表示式（2-67）中項(xiàng)數(shù)或獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。它的數(shù)學(xué)期望為：E

2 2

v/21

e/2d2v

（2-69）2v2v/2()2它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

22v

（2-702v （2-712v在本書最小二乘法中要用到2分布，此外它也是t分布和F分布的基礎(chǔ)。由圖2-8的兩條2理論曲線可看出，當(dāng)v逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對稱?？梢宰C明當(dāng)vv為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。（五）t分布令和是獨(dú)立的隨機(jī)變量，具有自由度為v的2分布函數(shù)，具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為/vt /v式中，v為自由度隨機(jī)變量t稱自由度為v的學(xué)生氏變量t。它的數(shù)學(xué)期望為(v1)E2

t)(v1)/2dt

2（2-74）2它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差為

(v)v22vv2vv2

vv2

（2-75）（2-76）t2-9t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度vt分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。六）F分布數(shù)學(xué)期望為：E0Ff(FdF

v2v22

(v2>2)

（2-79它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為2v2vv222 1 2

(v>4)

（2-80v(v2)2v

4 212 2 2 1 2 2 2 1 2 2v vv22v(v2) v42122

（2-90F分布也是一種重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。第二節(jié)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在確定的測量條件下，某種測量方法和裝置，在測量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。實(shí)際上測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測量又不能減小它對測量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于：①測量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素③測量方法的因素④測量人員的因素二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下，多次測量同一測量值時(shí)，誤差的絕對值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。由系統(tǒng)誤差的特征可知，在多次重復(fù)測量同一值時(shí)，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差。從廣義上講，系統(tǒng)誤差是指服從某一確定規(guī)律變化的誤差。系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。（一）不變系統(tǒng)誤差固定系統(tǒng)誤差是指在整個(gè)測量過程中，誤差的大小和符號(hào)始終是不變的。如千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等，均為不變系統(tǒng)誤差。它對每一測量值的影響均為一個(gè)常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。（二）變化系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差指在整個(gè)測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種：①線性變化的系統(tǒng)誤差②周期變化的系統(tǒng)誤差③復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法由于形成系統(tǒng)誤差的原因復(fù)雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是我們可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識(shí)別：1、用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實(shí)驗(yàn)對比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法；2、用于發(fā)現(xiàn)各組測量這間的系統(tǒng)誤差，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法、和t檢驗(yàn)法。（一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、實(shí)驗(yàn)對比法實(shí)驗(yàn)對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。2、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個(gè)殘余誤差大小和符號(hào)的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。3、殘余誤差校核法包括兩種方法：①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差：測量列中前K個(gè)殘余誤差相加，后(nk)個(gè)殘余誤差相加（當(dāng)n為偶數(shù)，取Kn2；n為奇數(shù)，取K(n1）2,兩者相減得K n=ii1

jjK1若上式的兩部分值Δ顯著不為Δ=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。+n+n-1nn1ui1i1

12+23+若u n2，則認(rèn)為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫（Abbe-Helmert準(zhǔn)則4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法對等精度測量，可用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式inv2in1

121.253

nnvin(nn(n1)令 21u1n1若 u 2n1

（2-86）則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。說明：在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。(二)測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法依據(jù)：對同一量進(jìn)行多組測量，得到很多數(shù)據(jù)，通過多組計(jì)算數(shù)據(jù)比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機(jī)誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。若對同一量獨(dú)立測得m組結(jié)果，并知它們的算數(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為;xm,mx1,1;x;xm,m而任意兩組結(jié)果之差為其標(biāo)準(zhǔn)差為

xixj222i j則任意兩組結(jié)果xi與xj間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是22i jxx22i ji j2、秩和檢驗(yàn)法——用于檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差對某量進(jìn)行兩組測量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗(yàn)法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。若獨(dú)立測得兩組的數(shù)據(jù)為xii2, ,nxyij2, ,ny將它們混和以后，從1開始，按從小到大的順序重新排列，觀察測量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號(hào)和T即：秩和。1）兩組的測量次數(shù)n110，n210，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次數(shù)n1和n22-10T和T+（0.05若T（2-88則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。2）當(dāng)n110，n210，秩和T近似服從正態(tài)分布N(n21), n21))2 12括號(hào)中第一項(xiàng)為數(shù)學(xué)期望，第二項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)T和T+可由正態(tài)分布算出。根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值a和標(biāo)準(zhǔn)差，則Ta，tTa選取概率(t)，由正態(tài)分布積分表（附表1）查得t，若t

ta則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。舉例及計(jì)算略注意：若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按所排列的兩個(gè)次序的平均值計(jì)算。3、t檢驗(yàn)法當(dāng)兩組測得值服從正態(tài)分布時(shí)，可用t檢驗(yàn)法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。若獨(dú)立測得的兩組數(shù)據(jù)為,xn1x1,,xn1,y,yn2

n22)n22)(nn)(nS2nS21 2 11 22

,y2,

(2-89)此變量服從自由度為(n1n22)的t分布變量式中S21(xx)2，S21(y1 1

y)2nni 2 inn1 2nx1x，y1 yni iii1 n2取顯著度，由t分布表（附表3）查P(t

ta)中的ta，若實(shí)測數(shù)列中t注意:

ta，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。式中使用的S2不是方差的無偏估計(jì)，若將貝塞爾計(jì)算的方差用于上式，則該式應(yīng)作相應(yīng)的變動(dòng)。舉例及計(jì)算略四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測量人員，對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在正式測試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時(shí)，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的：①所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)確可靠；②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書；③儀器的調(diào)整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；④所采用的測量方法和計(jì)算方法是否正確，有無理論誤差；⑤測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等；⑥注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。（二）加修正值法這種方法是預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計(jì)算出來，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。如量塊的實(shí)際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應(yīng)按經(jīng)過檢定的實(shí)際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項(xiàng)系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。（三）改進(jìn)測量方法在測量過程中，根據(jù)具體的測量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法，使測得值中的系統(tǒng)誤差在測量過程中相互抵消而不帶入測量結(jié)果之中，從而實(shí)現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法在沒有條件或無法獲之基準(zhǔn)測量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時(shí)必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測量過程中予以消除，常用的方法有：①反向補(bǔ)償法②代替法③抵消法④交換法2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法—對稱法3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法—半周期法4、消除復(fù)雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法第三節(jié)粗大誤差一、粗大誤差產(chǎn)生的原因產(chǎn)生粗大誤差的原因是多方面的，大致可歸納為：①測量人員的主觀原因②客觀外界條件的原因二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則（一）準(zhǔn)則計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)的殘差vi，若殘差滿足：vd

xdx

3則可認(rèn)為第d個(gè)數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。利用貝塞爾公式容易說明：在n10的情形，用3準(zhǔn)則剔除粗大誤差注定失敗。為此，在測量次數(shù)較少時(shí)，最好不要選用3準(zhǔn)則。舉例及計(jì)算略（二）格羅布斯（Grubbs）準(zhǔn)則1950年格拉布斯根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的某種分布規(guī)律提出一種判別粗大誤差的1974年我國有人用電子計(jì)算機(jī)做過統(tǒng)計(jì)模擬試驗(yàn)與其它幾個(gè)準(zhǔn)則相比，對樣本中僅混入一個(gè)異常值的情況，用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)的功率最高。設(shè)對某量作多次等精度獨(dú)立測量，得,x2, ,xn,假定xi服從正態(tài)分布。為了檢驗(yàn)xi中是否含有粗大誤差，將xi按大小順序排列成順序統(tǒng)計(jì)量x(i)，而x(1)x(2) x(n)g

x(n)xg

xx(1)的分布，取定顯著度（一般(n) 為0.05或0.01），可得如表2-12所列的臨界值g0(n,)

，而P(x(n)xg

(n,))及P(xx(1)g

(n,))若認(rèn)為x(i)可疑，則有：若認(rèn)為x(n)可疑，則有：

g(1)g

xx(1)x(n)x(n) g(i)g0(n,)（2-91即判別該測得值含有粗大誤差，應(yīng)予剔除。舉例及計(jì)算略（三）狄克松準(zhǔn)則1950年狄克松（Dixon）提出另一種無需估算算術(shù)平均值和標(biāo)差的方法，它是根據(jù)測量數(shù)據(jù)按大小排列后的順序差來判別是否存在粗大誤差。有人指出，用Dixon準(zhǔn)則判斷樣本數(shù)據(jù)中混有一個(gè)以上異常值的情形效果較好。設(shè)正態(tài)測量總體的一個(gè)樣本,x2, ,xn,將xi按大小順序排列成順序統(tǒng)計(jì)量xi)x(1)x2) x(n)。xn)x(1)和，分以下幾種情形：rx(n)x(n1)與r

x(2)x(1)

n710

x x

10 x x (n) (1) (n) (1) x x x xr

n) (n1)與r

(2)

n:81011

x x

11 x x(n) (2) (n-1) (1)rx(n)x(n2)與rx(3)x(1)

n:111321

x x

21 x x (n) (2) (n1) rx(n)x(n1)與rx(2)x(1)

n1410

x(n)x(1)

10 x

(n)x(1)或大于臨界值(n,x(1xn)含有粗大誤差。臨界值r0(n,)由表2－13查得。舉例及計(jì)算略（四）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則t分布的實(shí)際誤差分布范圍來判別粗大誤差較為合tt分布檢驗(yàn)被剔除的值是否是含有粗大誤差。設(shè)對某量作多次等精度測量，得,x2, ,xn,若認(rèn)為測量值xi為可疑數(shù)據(jù)，將其剔除后計(jì)算平均值及標(biāo)準(zhǔn)差為(計(jì)算時(shí)不包括xi)：x 1n1

nninv2iinv2i1 n2i1ij根據(jù)測量次數(shù)n和選取的顯著度，即可由表2-14查得t分布的檢驗(yàn)系數(shù)K(n,)。xjxK（2-93則認(rèn)為測量值xi含有粗大誤差，剔除xi是正確的，否則認(rèn)為xi不含有粗大誤差，應(yīng)予保留。舉例及計(jì)算略總結(jié)：幾點(diǎn)考慮去具體應(yīng)用：（n50）用準(zhǔn)則最簡單方便，雖然這種判別準(zhǔn)則的可30n503n30個(gè)異常值，用狄克遜準(zhǔn)則適于剔除一個(gè)以上異常值。當(dāng)測量次數(shù)比較小時(shí)，也可根據(jù)情況采用羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則。②在較為精密的實(shí)驗(yàn)場合，可以選用二、三種準(zhǔn)則同時(shí)判斷，當(dāng)一致認(rèn)為某值應(yīng)剔除或保留時(shí)，則可以放心地加以剔除或保留。當(dāng)幾種方法的判斷結(jié)果有矛盾時(shí)，則應(yīng)慎重考慮，一般以不剔除為妥。因?yàn)榱粝履硞€(gè)懷疑的數(shù)據(jù)后算出的σ只是偏大一點(diǎn)，這樣較為安全。另外，可以再增添測量次數(shù)，以消除或減少它對平均值的影響。三、防止與消除粗大誤差的方法對粗大誤差，除了設(shè)法從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)和鑒別而加以剔除外，更重要的是要加強(qiáng)測量結(jié)果者的工作責(zé)任心和以嚴(yán)格的科學(xué)態(tài)度對待測量工作；此外，還要保證測量條件的穩(wěn)定，或者應(yīng)避免在外界條件發(fā)生激烈變化時(shí)進(jìn)行測量。如能達(dá)到以上要求，一般情況下是可以防止粗大誤差產(chǎn)生的。在某些情況下，為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)與防止測得值中含有粗大誤差，可采用不等精度測量和互相之間進(jìn)行校核的方法。例如對某一測量值，可由兩位測量者進(jìn)行測量、讀數(shù)和記錄；或者用兩種不同儀器、或兩種不同測量方法進(jìn)行測量。四、三類測量誤差處理的方法總結(jié)①隨機(jī)誤差具有抵償性，這是它最本質(zhì)的特性，算術(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差是表示測量結(jié)果的兩個(gè)主要統(tǒng)計(jì)量；系統(tǒng)誤差則違背抵償性，因而會(huì)影響算術(shù)均值，變化的系統(tǒng)誤差還影響標(biāo)準(zhǔn)差；粗大誤差則存在于個(gè)別的可疑數(shù)據(jù)中，也會(huì)影響算術(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。②隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是無法消除的，但通過適當(dāng)增加測量次數(shù)可提高測量精度；系統(tǒng)誤差則是有確定性規(guī)律，在掌握這個(gè)規(guī)律后，可以采取適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p小它；粗大誤差既違背統(tǒng)計(jì)規(guī)律，又違背確定性規(guī)律，可用物理或統(tǒng)計(jì)的方法判斷后剔除。③為處理一組測量數(shù)據(jù)，往往先找出個(gè)別可疑數(shù)據(jù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)判斷確認(rèn)無粗大誤差后，再用適當(dāng)?shù)姆椒z驗(yàn)數(shù)據(jù)中是否含有明顯的系統(tǒng)誤差，如確認(rèn)已無系統(tǒng)誤差，最后處理隨機(jī)誤差，統(tǒng)計(jì)算術(shù)平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及極限誤差，以正確的表達(dá)方式給出測量結(jié)果。第四節(jié) 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例分兩種情況：等精度直接測量列測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例和不等精度直接測量列測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例。一、等精度直接測量列測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例例：對恒溫箱的保溫性進(jìn)行研究，等精度測量某一溫度點(diǎn)的值20次，測得值如下：（單位：℃）25.5325.5225.5025.5225.5325.5325.5025.4925.4925.5125.5325.5225.4925.3825.5025.5225.5425.4725.4825.51已知溫度計(jì)的系統(tǒng)誤差為-0.05℃,除此以外不再含有其它的系統(tǒng)誤差，試判斷該測量列是否含有粗大誤差，并求當(dāng)置信概率為99.73%時(shí)該溫度點(diǎn)的測量結(jié)果。解：由于測量溫度計(jì)的系統(tǒng)誤差為-0.05℃,除此以外不再含有其它的系統(tǒng)誤差，故這里不考慮系統(tǒng)誤差的辨別。1.求算術(shù)平均值：nni

510.02Ti 25.50℃2.求殘余誤差：即

n 20viTiT0.03,v20.02,v30,v40.02,v50.03,v60.03,v70,v80.01,v90.01,0.03,0.02,0.01,0.12,0,0.02,0.04,0.03,0.02,v200.01（也可列表計(jì)算）3.校核算術(shù)平均值及其殘余誤差：（略）4.求測量列單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差：根據(jù)Bessel公式，單次測量標(biāo)準(zhǔn)差為：ininv2in10.02319 0.0355.判別粗大誤差：用3準(zhǔn)則判別粗大誤差，判定第14個(gè)測量值，即25.38為粗大誤差，剔除。6.重新計(jì)算算術(shù)平均值和單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差為：nn i

484.68Ti 25.51℃n 19=

inv2iinv2in10.0069187.再判別粗大誤差，根據(jù)3準(zhǔn)則，發(fā)現(xiàn)此時(shí)測量列中不含有粗大誤差。8.求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：nTn

0.0200.005℃199.求算術(shù)平均值的極限誤差：19由于給定置信概率為99.73%，按照正態(tài)分布，此時(shí)0.27，t3算術(shù)平均值極限誤差為：limTtT30.0050.015℃10.給出最后的測量結(jié)果（要減去已定系統(tǒng)誤差）：TT0.05limT25.56二、不等精度直接測量列測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例略第三章誤差的合成與分配第一節(jié)函數(shù)誤差測量分類：直接測量與間接測量間接測量中的函數(shù)誤差：間接測得的被測量誤差也應(yīng)是直接測得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測量的誤差為函數(shù)誤差一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算間接測量的數(shù)學(xué)模型：yf(x1,x2, ,xn)由y的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差y的計(jì)算公式y(tǒng)fx

fx

x2

fx

xn1 2 n幾種簡單函數(shù)的系統(tǒng)誤差1、線性函數(shù)：ya2x2 anxnya2x22、三角函數(shù)形式

anxn,xanxn,xn,)sin

f(,x2,

cosxxii1 i,xn,)1 n,xn,)cos

f(,x2,

sinxxii1 i舉例：用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡h50mms500mmhh-計(jì)算略二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算函數(shù)的一般形式y(tǒng)若變量中只有隨機(jī)誤差，即

f(x1,x2, ,xn)yy

f(x1,x2x2, ,xnxn)泰勒展開，并取其一階項(xiàng)作為近似值：fxnyfxfxnx 1 x 2 n1 2((f)xn2f

22f

22

22

n ffy (x)

x1 (x) x2

xn 2(xx

Dij)1 2或者

1ij i jn2(f)22n

(f)22

(f)22

2

(ff)y x

x1 x x2

x xn

xx

ijxixj1 2 n相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式為：

1ij i j2(f

)2

(f

)2

(f

)22y

x1 x x2

x xn或者令fxi

ai

1 2 n(f)2(f)22(f)22xx11xx2(f)222xxnna a a 2222a221 x1 2x2nxnaa a 2222a221x1 2x2nxn三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算

y1）正弦函數(shù)形式為：sin函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：

f(x1,x2, ,xn)1cos x1cos x(f)22(f)22x11xx2(f)22xn2xn2）余弦函數(shù)形式為：cos函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：

f(x1,x2, ,xn)1sin 1sin x(f)22(f)22x1xx2(f)22xxn12n3）正切函數(shù)形式為:tan函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：

f(x1,x2, ,xn)(f)22(f)22(f)22xx11xx2(f)222xxnn4）余切函數(shù)形式為:cot函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：

f(x1,x2, ,xn)(f)22(f)22(f)22xx11xx2(f)222xxnn舉例：用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡h50mms500mmh,弦長的系統(tǒng)誤差h-計(jì)算略2、相關(guān)系數(shù)估計(jì)相關(guān)系數(shù)對函數(shù)誤差的影響函數(shù)隨機(jī)誤差公式2f

22f

22

22

n f

fy (x)

x1 (x) x2

xn 2(xx

ijxixj)(f)xn1 2 1i(f)xna a a 2222a221 x1 2x2nxny當(dāng)相關(guān)系數(shù)為±1時(shí)xnyx1xn相關(guān)系數(shù)的確定1、直接判斷法可判斷相關(guān)系數(shù)為0的情形1）斷定兩分量之間沒有相互依賴關(guān)系的影響2）當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量呈正負(fù)交替變化，反之亦然3）兩分量屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量4）兩分量雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計(jì)的弱相關(guān)可判斷1或1的情形1）斷定兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關(guān)系或負(fù)的線性關(guān)系2）當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量依次增大或減小，反之亦然3）兩分量屬于同一體系的分量，如用1m基準(zhǔn)尺測2m尺，則各米分量間完全正相關(guān)2、試樣觀察法和簡略計(jì)算法（1）觀察法（2）簡單計(jì)算法cosn1n3n（3）直接計(jì)算法

n n(x,x)

(xik)(xjkxj)ki j (x

x)2(x

x)2（4）理論計(jì)算法

ik i jk jk第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成解決隨機(jī)誤差的合成問題一般基于標(biāo)準(zhǔn)差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個(gè)誤差之間的相關(guān)性影響隨機(jī)誤差的合成形式包括：標(biāo)準(zhǔn)差合成和極限誤差合成一、標(biāo)準(zhǔn)差合成合成標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式:i1i1q(a)2 aa2ii ijijijq1ijii1q(a)2ii用標(biāo)準(zhǔn)差合成有明顯的優(yōu)點(diǎn)，不僅簡單方便，而且無論各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布如何，只要給出各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，均可計(jì)算出總的標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)誤差傳播系數(shù)為1、且各相關(guān)系數(shù)均可視為0的情形iqiq2i1視各個(gè)誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說各個(gè)誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量。二、極限誤差合成若單項(xiàng)極限誤差為：ikii

i1,2,,q其中，i為單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，ki為單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)。則合成極限誤差為：k合成極限誤差計(jì)算公式：((ii)qaq22 aa ijijkji iki1iji jk應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：1）ij為第i個(gè)和第j個(gè)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。2）根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成3）各個(gè)置信系數(shù)不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)4）對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)相同5）對于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差的數(shù)目q較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布。此時(shí)：k2 kqkii1q(a)2 aa2ii ijijijq1ijiq2i各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式。第三節(jié) 系統(tǒng)誤差合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成定義：誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號(hào)：rr合成方法：按照代數(shù)和法進(jìn)行合成。即：aiii二、未定系統(tǒng)誤差的合成（一）未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費(fèi)過多精力去掌握，而只能或者只需估計(jì)出其不致超過某一范圍e的系統(tǒng)誤差特征：1）在測量條件不變時(shí)為一恒定值，多次重復(fù)測量時(shí)其值固定不變，因而單項(xiàng)系統(tǒng)誤差在重復(fù)測量中不具有低償性2）隨機(jī)性。當(dāng)測量條件改變時(shí)，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，且服從一定的概論分布，具有隨機(jī)誤差的特性。表示符號(hào)：極限誤差：e；標(biāo)準(zhǔn)差：u（二）未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機(jī)性，服從一定的概率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機(jī)誤差的合成公式，這就給測量結(jié)果的處理帶來很大方便。同隨機(jī)誤差的合成時(shí)，未定系統(tǒng)誤差合成時(shí)即可以按照標(biāo)準(zhǔn)差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。1、標(biāo)準(zhǔn)差合成若測量過程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為,u2, ,us，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為,a2, ,as，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差u為 i iisau2s2 aauu ijijiji11ij式中，ij為第i個(gè)和第j個(gè)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)s ii(au)s ii(au)2i12、極限誤差的合成由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：s iis ii(au)2 aauu2