28、雙角平分線模型（答案）

1．（2021秋?青山區(qū)期末）已知，，，，分別平分和，繞著點順時針旋轉(zhuǎn)．（1）若．①如圖1，當旋轉(zhuǎn)到與重合時，求的度數(shù)；②如圖2，當從圖1的位置開始繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，其中，求的度數(shù)；（2）若，從圖3的位置與重合）開始繞著點順時針旋轉(zhuǎn)一周，則的度數(shù)為或．【解答】解：（1）①，，，與重合，，，，分別平分和，，，；②從圖1的位置開始繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，其中，，，，，分別平分和，，，，；（2）設從圖3的位置與重合）開始繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是，①當時，如圖：，，，分別平分和，，，，，②當而時，如圖：，，，分別平分和，，，，，③當而時，如圖：，，，分別平分和，，，，，綜上所述，為或．故答案為：或．2．（2020春?葉集區(qū)期末）如圖，直線，，，在上，且滿足，平分．（1）求的度數(shù)；（2）若平行移動，那么的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；若不變，求出這個比值；（3）在平行移動的過程中，是否存在某種情況使？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，說明理由．【解答】解：（1），，平分，，，；（2）的值不變．，，，，，，是定值；（3）在和中，，，，、、是的四等分線，，，故存在某種情況，使，此時．3．（2017春?仙游縣期中）如圖1，直線，，、在上，且滿足，并且平分．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，若平行移動，那么的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；若不變，求出這個比值；（3）在平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，說明理由．【解答】解：（1），，，平分，，，；（2）的值不會發(fā)生變化，為，，，，，，；（3）存在．設，，，，，，，，，，．4．（2022秋?黃石港區(qū)期末）已知，，平分，平分．（本題中的角均為大于且小于等于的角）．（1）如圖，當、重合時，求的度數(shù)；（2）當從如圖所示位置繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，且時，直接寫出的取值范圍．（3）當從如圖所示位置繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)時，的值是否為定值？若是定值，求出的值；若不是，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，與重合，平分，即平分，，平分，即平分，，；（2）當時，如圖2，，，，平分，，平分，，，此時，為定值；當時，如圖3．，，，平分，，平分，，，此時，為定值；當時，如圖4．，，，平分，，平分，，；，，解得：（不符合題意，舍去）；綜上所述，的取值范圍．（3）的值不是定值，理由是：當時，如圖5．的值是定值，理由是：，，平分，平分，、，為定值；當時，如圖6．，，，平分，，平分，，則，不是定值，故的值不是定值．5．（2022秋?滕州市校級期末）已知：如圖1，，．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，若射線從開始繞點以每秒旋轉(zhuǎn)10的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線從開始繞點以每秒旋轉(zhuǎn)的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；其中射線到達后立即改變運動方向，以相同速度繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當射線到達時，射線，同時停止運動，設旋轉(zhuǎn)的時間為秒，當時，試求的值；（3）如圖3，若射線從開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，作平分，平分，試求在運動過程中，的度數(shù)是多少？（請直接寫出結(jié)果）【解答】解：（1），，，，；（2）由（1）知，，，①逆時針運動時，即時，由，的運動可知，，，，相遇前，如圖2（1），，即，解得，，相遇后，如圖2（2），，即，解得；②順時針旋轉(zhuǎn)時，，，，相遇前，如圖（3），，即，解得，，相遇后，如圖（4），，即，解得，綜上，當?shù)闹禐?，10，12.5或13.75時，．（3）由（1）知，根據(jù)射線的運動，需要分四種情況，①當射線與重合前，如圖3（1），平分，平分，，，；②當射線與重合后，前，如圖3（2），平分，平分，，，；③前，如圖3（3），平分，平分，，，；④與重合前，如圖3（4），平分，平分，，，；綜上，的度數(shù)為或．6．（2022秋?成都期中）如圖，點，，三點在一直線上，在同側(cè)作、，若，分別平分，，過點作的平分線交于點．（1）已知，求的度數(shù)；（2）若，，求線段的長；（3）在（2）的條件下，若，求線段的長．【解答】解：（1），分別平分，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，；（3）延長交于，作于，，，，，，，，，，，，，平分，，，，，，．7．（2021秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖所示，，，是以直線上一點為端點的三條射線，且，，．射線從處開始出發(fā)，繞點逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度；射線從處開始出發(fā)，繞點順時針勻速旋轉(zhuǎn)．兩條射線同時開始旋轉(zhuǎn)（當射線旋轉(zhuǎn)至與射線重合時，、同時停止運動），旋轉(zhuǎn)時間為秒．（旋轉(zhuǎn)速度旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)時間）（1）當10秒，射線平分時；（2）若射線的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時，請求出當時，射線旋轉(zhuǎn)的時間；（3）若射線的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時，是否存在某個時刻，使得射線，，中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）作的角平分線此時的運動時間（秒（2），，由題意可得，，①如圖所示：②如圖所示：此時停止運動時間，以上兩種情況均符合當時，的旋轉(zhuǎn)時間為或秒（3）存在．或8．如圖，在長方形中，是邊上一點（不與點，重合），將長方形沿折疊后點落在點處，的平分線交直線于點，交的延長線于點，的平分線交直線于點，交于點．（1）若，則的度數(shù)為；（2）的度數(shù)為；（3）是否存在是等腰三角形？若存在，請求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由折疊可知，，，，，平分，，，．故答案為：．（2）由折疊的性質(zhì)，，，平分，平分，，，，，，，，．故答案為：．（3）存在，理由如下：當時，，，．當時，，不合題意；當時，，不合題意．綜上，當時，是等腰三角形．9．已知：如圖1，，直線分別交，于點，．的平分線與的平分線交于點．（1）直線，有何關系？并寫出證明過程；（2）在圖1的基礎上，分別作的平分線與的平分線交于點，得到圖2，求的度數(shù)．（3）如圖3，，直線分別交，于點，．點在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點，請猜想與滿足的數(shù)量關系，并證明它．【解答】解：（1）結(jié)論：；理由：如圖1中，，，平分，平分，，，，在中，，，．（2）如圖2中，由題意，，平分，平分，，，（3）結(jié)論：．理由：如圖3中，由題意，，，平分，平分，，，．10．（2020秋?黃陂區(qū)期末）如圖，長方形紙片，點為邊上一點，連接、．將沿對折，點落在點處；將沿對折，點落在點處．若．下列結(jié)論：①若，，則；②；③若，則；④若平分，則．其中一定正確的有②③（填序號即可）．【解答】解：①若，，則；故①錯誤；②由折疊可知，，，，；故②正確；③若，則，，，解得，；故③正確；④若平分，則，，，，，則，故④錯誤；故答案為：②③．11．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）平面內(nèi)，，為內(nèi)部一點，射線平分，射線平分，射線平分，當時，的度數(shù)是或．【解答】解：當在外部時，射線平分，射找平分，，，，射線平分，，設，則，，，解得或，或；當在內(nèi)部時，射線平分，射找平分，，，，射線平分，，設，則，，，方程無解，此種情況不存在．綜上，或．故答案為：或．12．（2021秋?冷水灘區(qū)期末）已知，（1）如圖1，、分別平分和，若，則是38；（2）如圖2，、分別平分和，若，求的度數(shù)（寫推理過程）．（3）若、分別平分和，，則的度數(shù)是（在稿紙上畫圖分析，直接填空）．【解答】解：（1），平分，，，，又平分，．（2），，，又、分別平分和，，，，（3）分兩種情況：當時，，當時，．