30、鉛筆模型（答案）

1．（2023春?天元區(qū)校級期末）如圖，，，、、分別是線段、、上的點(diǎn)，且滿足．是的角平分線與交于點(diǎn)，在上截一點(diǎn)，連接，令．（1）如圖1，若，求的度數(shù)．（2）如圖1，連接，若，是線段上的一點(diǎn)，連接，使得，求和的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖2，在（2）的條件下，過點(diǎn)作，垂足為．是線段上的一點(diǎn)，且滿足．求和的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）如圖：，，，，，，，，，，，，即；（2）由，設(shè)，，是的角平分線，，，，，．，，，，，，又，，，，由（1）知：，，，，即；（3）如圖：設(shè)，是的角平分線，，，，，，在中，，，即．2．（2023春?巴南區(qū)月考）已知直線，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)在直線和之間．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，點(diǎn)在直線上，且，求證：；（3）如圖3，平分，平分，且．若，直接寫出的度數(shù)．【解答】（1）證明：過點(diǎn)作，如圖：，，，，．（2）證明：．，，，，，．（3）解：．，，，，平分，平分，，，又，，，，．．3．（2023春?武漢期末）已知，，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過作射線、分別交直線、于點(diǎn)、．（1）如圖1，當(dāng)時，求的度數(shù)；（2）如圖2，若和的角平分線交于點(diǎn)，求和的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)，且，時，射線繞點(diǎn)以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為秒，當(dāng)射線與的一邊互相平行時，請直接寫出的值．【解答】解：（1）如圖所示：過點(diǎn)作，，，，，，，；（2）如圖所示：平分，平分，，，，，，，，，，，；（3）如圖所示：分三種情況：①如圖1所示：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，，，，，，，，，，，，平分，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的速度每秒，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的速度為每秒，秒；②如圖2所示：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，，，，，，，，，，平分，，，秒；③如圖3所示：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，，，①已證，平分，，秒；當(dāng)射線與的一邊互相平行時，的值為10或26或34秒．4．（2023春?金華期末）佛堂古鎮(zhèn)的萬善浮橋，其夜晚的燈光秀美輪美奐，兩岸景觀照明還榮獲了中國照明學(xué)會第十六屆照明獎的一等獎．如圖所示，記浮橋兩岸所在直線分別為、，且，浮橋上裝有兩種不同的激光燈和激光燈（假設(shè)、以及由、兩點(diǎn)發(fā)出的光射線始終在同一平面內(nèi)）．燈的光射線以2度每秒的速度從射線順時針旋轉(zhuǎn)至射線后繼續(xù)回轉(zhuǎn)，燈的光射線以5度每秒的速度從射線順時針旋轉(zhuǎn)到射線后也繼續(xù)回轉(zhuǎn)．當(dāng)打開激光燈的總開關(guān)時，激光燈和激光燈同時開始轉(zhuǎn)動．（1）若購買2盞燈和4盞燈共需10萬元，購買3盞燈和2盞燈共需8.6萬元，請問：購買燈和燈的單價分別是多少萬元？（2）打開總開關(guān)，當(dāng)燈的光射線第一次從射線旋轉(zhuǎn)至射線的過程中，求燈和燈的光射線恰好互相垂直時所需要的時間．（3）如圖，打開總開關(guān)，當(dāng)燈的光射線第一次從射線旋轉(zhuǎn)至射線的過程中，若燈和燈的光射線有交點(diǎn)（記為點(diǎn)，延長至點(diǎn)，作與的角平分線并交于點(diǎn)，求與的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）設(shè)購買燈的單價是萬元，購買燈的單價是萬元，根據(jù)題意得，，解得，答：購買燈的單價是1.8萬元，購買燈的單價是1.6萬元；（2）設(shè)燈和燈轉(zhuǎn)動的時間是秒，當(dāng)燈的光射線第一次從射線旋轉(zhuǎn)至射線的過程中，，①如圖1，燈的光射線從射線第一次旋轉(zhuǎn)到射線，即時，，，，，，即，解得；②如圖2，燈的光射線從射線旋轉(zhuǎn)回到射線，即時，，，，，，，即，解得；③如圖3，燈的光射線從射線第二次旋轉(zhuǎn)到射線，即時，，，，，，，即，解得，，，，，都符合題意．綜上所述，當(dāng)燈和燈的光射線恰好互相垂直時所需要的時間為30秒或秒或90秒；（3）是的外角，，平分，平分，，，，，，，即．5．（2023春?長垣市期末）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)以“兩條平行線，和一塊含角的直角三角尺”為主題開展數(shù)學(xué)活動，已知點(diǎn)，不可能同時落在直線和之間．探究：（1）如圖1，把三角尺的角的頂點(diǎn)，分別放在，上，若，求的度數(shù)；類比：（2）如圖2，把三角尺的銳角頂點(diǎn)放在上，且保持不動，若點(diǎn)恰好落在和之間，且與所夾銳角為，求的度數(shù)；遷移：（3）把三角尺的銳角頂點(diǎn)放在上，且保持不動，旋轉(zhuǎn)三角尺，若存在，直接寫出射線與所夾銳角的度數(shù)．【解答】解：（1），，，；（2）過點(diǎn)作，如圖，，，．，，；（3）存在，有兩種情況；①②當(dāng)點(diǎn)在上方時，如圖；，，，射線與所夾銳角的度數(shù)為；②當(dāng)點(diǎn)在上方時，如圖；，，即，，射線與所夾銳角，綜上所述射線與所夾銳角的度數(shù)為或．6．（2023春?廣平縣期末）如圖，直線，連接，直線、及線段把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動點(diǎn)落在某個部分時，連接，，構(gòu)成，，三個角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是角）（1）當(dāng)動點(diǎn)落在第①部分時，、、之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（2）當(dāng)動點(diǎn)落在第②部分時，、、之間又滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（3）當(dāng)動點(diǎn)落在第③部分時且在直線右側(cè)時，，，之間又滿足怎樣的關(guān)系，直接寫出最后的結(jié)論．【解答】解：（1），理由：過點(diǎn)作，，，，，，；（2），理由：過點(diǎn)作，，，，，，即；（3），理由：過點(diǎn)作，，，，，，．7．（2023春?邵陽縣期末）如圖，直線，連接，直線，及線段把平面分成①②③④四個部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動點(diǎn)落在某個部分時，連接，，構(gòu)成，，三個角．（1）當(dāng)動點(diǎn)落在第③部分時，如圖一，試說明：，，三者的關(guān)系；（2）當(dāng)動點(diǎn)落在第②部分時，如圖二，思考（1）中三者關(guān)系是否仍然成立若不成立，說明理由．【解答】解：（1），理由：過點(diǎn)作，，，，，，；（2）（1）中三者關(guān)系不成立，理由：過點(diǎn)作，，，，，，即．8．（2023春?遂寧期末）如圖，直線，兩個三角形如圖①放置，其中，，，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，均在直線上，且平分．（1）求的度數(shù)；（2）如圖②，若將繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，當(dāng)時，邊與有何位置關(guān)系？請說明理由．【解答】解：（1），，平分，，，，，，；（2），理由如下：當(dāng)時，轉(zhuǎn)動了，即，由（1）可知，，，，．9．（2023春?孝義市期末）綜合與探究數(shù)學(xué)活動課上，老師以“一個含的直角三角板和兩條平行線”為背景展開探究活動，如圖1，已知直線，直角三角板中，，．（1）如圖1，若，則；（直接寫出答案）（2）“啟航”小組在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)展開探究：如圖2，調(diào)整三角板的位置，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)在直線上，直線與，相交時，他們得出的結(jié)論是：，你認(rèn)為啟航小組的結(jié)論是否正確，請說明理由；（3）如圖3，受到“啟航”小組的啟發(fā)，“睿智”小組提出的問題是：在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)調(diào)整三角板的位置，當(dāng)點(diǎn)不在直線上，直線與，相交時，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你用平行線的知識說明理由．【解答】解：（1）直線，，，，故答案為：；（2）正確，理由如下：如圖所示：過點(diǎn)作，，，，，，，，；（3），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)作，，，，，．10．（2023春?安化縣期末）在課后學(xué)習(xí)中，小紅探究平行線中的線段與角的數(shù)量關(guān)系，如圖，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為平面上任意一點(diǎn)，連接，，．（1）如圖1，點(diǎn)在直線上，平分，試說明；（2）如圖2，點(diǎn)在直線，之間，，，求的度數(shù)；（3）如圖3，和的平分線交于點(diǎn)，與有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【解答】解：（1），．平分，，；（2）如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，；（3），理由如下：由（2）可知，同理可得：，和分別是和的平分線，，，，．11．（2023春?東至縣期末）【閱讀學(xué)習(xí)】閱讀下面的解題過程：（1）如圖①，，過點(diǎn)作，由平行線的傳遞性可得，利用平行線的性質(zhì)，我們不難發(fā)現(xiàn)：與、之間的數(shù)量關(guān)系是；與、之間的數(shù)量關(guān)系是．【知識運(yùn)用】利用上面的結(jié)論解決下列問題：（2）如圖②，，點(diǎn)是和的平分線的交點(diǎn)，，則的度數(shù)是．（3）如圖③，，平分，，平分，若比大，求的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖①，作，，，，，，即；，，，，即．故答案為：，；（2）如圖②，，由（1）得，，，由（1）得，，分別平分和，．故答案為：；（3）如圖③，，由（1）得，設(shè)，則，，，，平分，，由（1）得，，，比大，，解得，．12．（2023春?赫山區(qū)期末）【問題情景】（1）如圖1，，，，求的度數(shù)；【問題遷移】（2）如圖2，已知，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，連接，，，，求與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動”改為“點(diǎn)在，兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動（點(diǎn)與點(diǎn)，，三點(diǎn)不重合）”其他條件不變，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）過點(diǎn)作，，，，，，的度數(shù)為；（2），理由：過作交于，，，，，；（3）分兩種情況：當(dāng)在延長線時，，理由：如圖3，過作交于，，，，，；當(dāng)在延長線時，，理由：如圖4，過作交于，，，，，，綜上所述，或．13．（2023春?大同期末）綜合與探究已知直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)G，H（0°＜∠EHD＜90°）．將一把含30°角的直角三角尺PMN按如圖1所示的方式放置，使點(diǎn)N，M分別在直線AB，CD上，且在直線EF的右側(cè)．（1）填空：∠PNB+∠PMD＝∠MPN．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）若∠MNG的平分線NO交直線CD于點(diǎn)O．①如圖2，當(dāng)NO∥PM∥EF時，求∠EHD的度數(shù)；②如圖3，若將三角尺PMN沿直線BA向左移動，保持PM∥EF（點(diǎn)N不與點(diǎn)G重合），點(diǎn)N，M分別在直線AB、CD上，請直接寫出∠MON和∠EHD之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）如圖所示：過點(diǎn)P作PK∥AB，∴∠PNB＝∠NPK，∵AB∥CD，∴PK∥CD，∴∠KPM＝∠PMD，∴∠PNB+∠PMD＝∠NPK+∠KPM＝∠MPN，故答案為：＝；（2）①由題意可知：∠MNP＝30°，∠MPN＝90°，∴∠NMP＝60°，∵∠MNG的平分線NO交直線CD于點(diǎn)O，∴∠ANO＝∠MNO，∵AB∥CD，∴∠ANO＝∠NOM，∴∠MNO＝∠NOM，∵NO∥PM∥EF，∴∠EHD＝∠NOM＝∠PMD，∵∠NMO+∠NMP+∠PMD＝180°，∴∠NMO＝180°﹣∠PMD﹣60°＝120°﹣∠PMD，∵∠ONM+∠NOM+∠NMO＝180°，∴2∠NOM+120°﹣∠PMD＝180°，∴∠NOM＝60°，∴∠EHD＝∠NOM＝60°；②由題意可知：∠MNP＝30°，∠MPN＝90°，∴∠NMP＝60°，∵∠MNG的平分線NO交直線CD于點(diǎn)O，∴∠ANO＝∠MNO，∵AB∥CD，∴∠ANO＝∠MON，∴∠MON＝∠ONM，∵∠MON+∠NMO+∠ONM＝180°，∴∠NMO＝180°﹣2∠MON，∵EF∥PM，∴∠EHD+∠NMO+∠NMP＝180°，∴∠EHD+180°﹣2∠MON+60°＝180°，∴∠EHD+60°＝2∠MON．14．（2023春?望花區(qū)期末）已知直線、被射線所截，且，點(diǎn)是直線上一定點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，連接，當(dāng)時，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，寫出和之間的數(shù)量關(guān)系，并完成下面的證明．解：（1）和之間的數(shù)量關(guān)系：．證明：過點(diǎn)作．，，（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），，，，，，，即，（等量代換）．（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，請直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）【解答】解：（1）和之間的數(shù)量關(guān)系：，證明：過點(diǎn)作，，，（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），，，，（垂直的性質(zhì)），即，（等量代換），故答案為：，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，，垂直的性質(zhì)；（2）如圖所示：．15．（2023春?安陽期末）【學(xué)習(xí)新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為，反射光線與水平鏡面的夾角為，則．（1）【初步應(yīng)用】生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測距．如圖2當(dāng)一束“激光”射到平面鏡上，被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線，回答下列問題：①當(dāng)（即時，求的度數(shù)；②當(dāng)時，任何射到平面鏡上的光線經(jīng)過平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請你根據(jù)所學(xué)知識及新知說明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和等于（2）【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經(jīng)過三次反射，得到反射光線已知，若要使，請直接寫出的度數(shù)；【解答】解：（1）①，，，，，，，，；②，，，，，，，（2）如圖所示，過點(diǎn)作，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．16．（2023春?于洪區(qū)期中）已知，點(diǎn)，分別在直線，上，在平行線，之間有一動點(diǎn)（點(diǎn)在直線的左側(cè)）．（1）如圖1，請寫出，和之間的等量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，與的角平分線相交于點(diǎn)，請直接寫出與之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，和的角平分線相交于點(diǎn)，和的角平分線相交于點(diǎn)，和的角平分線相交于點(diǎn)，和的角平分線相交于點(diǎn)，，以此類推，則（用含的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)作直線，，，，，，，即；（2）如圖，過點(diǎn)作直線，同理可得：，平分，平分，，，由（1）知，，在四邊形中，；（3）同理可得：，，為的平分線，為的平分線，，，為的平分線，為的平分線，，，，，由（2）知，，，同理可得：，，．故答案為：．17．（2023春?富錦市校級期末）（1）如圖①，直線，是與之間的一點(diǎn)，連接，，求證：．（2）如果點(diǎn)運(yùn)動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：．（3）如圖③，，其他條件不變，則、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出，不需證明．【解答】（1）證明：過點(diǎn)作，，，，，，；（2）證明：過點(diǎn)作，，，，，，；（3）解：，理由：過點(diǎn)作，，，，，，．18．（2022春?寧陽縣期末）如圖，，點(diǎn)為兩直線之間的一點(diǎn)．（1）如圖1，若，，則；（2）如圖2，試說明，；（3）①如圖3，若的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，若設(shè)，，，請直接用含、的代數(shù)式表示的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)作，，，，，故答案為．（2）如圖所示，過點(diǎn)作，，，，，即．（3）①，理由如下：由（1）可得，，平分，平分，，，，由（2）可知，，．②由①知，，，，，，，，．19．（2022春?普蘭店區(qū)期中）直線，點(diǎn)在和之間任一點(diǎn)，射線經(jīng)過點(diǎn)．（1）如圖1，若，，，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，，若，求的度數(shù)（用含式子表示）．（3）如圖3，若的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)，試找出和的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【解答】解：（1）過點(diǎn)作，，，，，，，，，，，的度數(shù)為；（2）過點(diǎn)作，，，，，，，，，，，，的度數(shù)為；（3），理由：延長交直線于點(diǎn)，設(shè)，，平分，平分，，，，，，由（2）得：，，，．20．（2022春?隨州期末）已知，點(diǎn)在射線，之間．（1）如圖1，若，，小聰同學(xué)過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)，求得120度；（2）如圖2，請寫出你發(fā)現(xiàn)的，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1），，，，，，，，，，故答案為：120；（2），證明：過點(diǎn)作，，，，，，，；（3），理由：平分，平分，，，，，由（2）得：，，，，，．21．（2021秋?香坊區(qū)期末）已知：直線、被直線所截，直線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，，，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在直線上，分別連接、，，連接，，，平分，于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【解答】（1）證明：如圖1，，，，；（2）解：如圖2，由（1）知：，，，，，，；（3）如圖3，設(shè)，，，，，，，，平分，，，，，，，，，解得：，，，，，，．22．（2022春?莆田期末）李想是一位善于思考的學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)活動課上，他將一塊含有的直角三角板擺放在一組平行線上展開探究．已知直線，直角三角板中，，，點(diǎn)為直線上一定點(diǎn)．將直角三角板繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動，當(dāng)點(diǎn)在直線上時，點(diǎn)也恰好在直線上．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)在直線上方，點(diǎn)在下方，與交于點(diǎn)，作的角平分線并反向延長與的角平分線交于點(diǎn)．在直角三角板繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動的過程中，的度數(shù)是否保持不變？若不變，求出的度數(shù)；否則，請說明理由；（3）如圖3，直角三角板繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動，若點(diǎn)在直線，之間（不含，上），點(diǎn)在下方，，分別與交于點(diǎn)，．設(shè)，是否存在正整數(shù)和，使得，若存在，請求出和的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，．（2）的度數(shù)保持不變．理由如下：過點(diǎn)作，，，，，，平分，平分，，，，，，．的度數(shù)保持不變，始終是．（3）存在．理由如下：，，，，，，，，，由此得出，，點(diǎn)在直線，之間（不含，上），點(diǎn)在下方，，即，，是正整數(shù)，當(dāng)時，，不符合題意，舍去；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，不是正整數(shù)，舍去；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意，舍去．綜上所得，，，或，，或，．23．（2021春?白云區(qū)期末）在四邊形中，，平分．（1）如圖1，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部，平分，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)在四邊形外部，平分，和有怎樣的等量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；（3）如圖3，點(diǎn)在四