高中數(shù)學(xué)必修一《單調(diào)性與奇偶性》微專題講義

微專題1.單調(diào)性與奇偶性微專題

設(shè)計(jì)目標(biāo).

本節(jié)是在學(xué)完函數(shù)單調(diào)性與奇偶性后設(shè)計(jì)的一次微專題探究課，眾所周知，

函數(shù)性質(zhì)是高一上一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)也是高考必考點(diǎn)，所以有必要通過(guò)設(shè)計(jì)此次微專

題課達(dá)到兩方面目標(biāo)：

1.加強(qiáng)對(duì)函數(shù)單調(diào)性奇偶性的理解與認(rèn)識(shí)，特別是在兩個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用方面，要通

過(guò)題目強(qiáng)化認(rèn)知，數(shù)形結(jié)合，提高認(rèn)知能力.

2.拓展對(duì)奇偶性的認(rèn)知，將其推廣到函數(shù)對(duì)稱性，并進(jìn)一步考慮單調(diào)性與對(duì)稱性

的綜合應(yīng)用，再次加強(qiáng)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，最后通過(guò)個(gè)別高考題目達(dá)到強(qiáng)化，培

優(yōu)的效果.

二.知識(shí)回顧

1.函數(shù)的單調(diào)性定義

2.判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的常見(jiàn)方法

3.單調(diào)性的常見(jiàn)應(yīng)用

4.函數(shù)奇偶性定義

5.判斷或證明函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)方法

6.奇偶性常見(jiàn)應(yīng)用

三.微專題探究

2.1.奇偶性與單調(diào)性綜合問(wèn)題.

例1.已知偶函數(shù)在區(qū)間0+8）上單調(diào)遞增，則滿足/（2xT）＜/（；）的x取

值范圍為（）

例2.已知函數(shù)〃x)=x5+10x,若“r)+/(l-3r)<0,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是()

11

A.-.4-00C.D.—00—

24

例1.解析.."(x)為偶函數(shù)，「./(x)=/(|x|).則/(|2x—l|)

ii7

又,."(x)在［0,+-)上單調(diào)遞增，|2X—1|<3,解得5Vx<§.故選：A.

例2解析：由題得/(一%)=一/一1Ox=_(/+］0幻=一/(尤)，所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，

因?yàn)閞(x)=5/+io>O,所以是R上的增函數(shù)，所以/(，)<—/(1-3，)=/(3，—1),

所以/<3，-1,.二方>—做選：A

2

練習(xí)1.定義在R上的偶函數(shù)/*)滿足：對(duì)任意的％，9￡［。，+°°)(不工9)，有

**2)-"&)<0貝|J()

馬一天

A./(2021)</(-2020)</(2019)B./(2019)</(-2020)</(2021)

C./(-2020)</(2019)</(2021)D./(-2020)</(2021)</(-2019)

故選：A.

2.2函數(shù)的對(duì)稱性.

函數(shù)對(duì)稱性主要有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱兩種情況.函數(shù)對(duì)稱性研究的是一個(gè)

函數(shù)本身所具有的性質(zhì).

1.軸對(duì)稱：函數(shù)圖象關(guān)于一條垂直于x軸的直線對(duì)稱，則當(dāng)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)

點(diǎn)(%,/(尤1)),(々，/(々力到直線x=a的距離相等且函數(shù)值/(%,)=f(x2)時(shí).我們

就稱函數(shù)y=/(%)關(guān)于x=。對(duì)稱.

代數(shù)表示：(1).f(a+x)-f(a-x)

(2)./(x)=/(2a-x)

即當(dāng)兩個(gè)自變量之和為一個(gè)定值，函數(shù)值相等時(shí),則函數(shù)圖像都關(guān)于直線x=a對(duì)

稱.

一般地，若函數(shù)y=/(x)滿足/(a+x)=/(b-x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)

于直線x=生心對(duì)稱.

2

特別地，偶函數(shù)(關(guān)于)，軸對(duì)稱)，/(%)=/(-%),即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離

相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù))，函數(shù)值相等.

2.中心對(duì)稱：函數(shù)y=/(x)上任意一點(diǎn)()關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱的點(diǎn)

(x2,/(x2))也在函數(shù)圖像上，此時(shí)我們就稱函數(shù)為關(guān)于點(diǎn)(。力)對(duì)稱的中心對(duì)

稱圖像，點(diǎn)(a,〃)為對(duì)稱中心.

用代數(shù)式表示：(1).+

(2)./(%)+f(2a—x)-2b

一般地，若函數(shù)y=/(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)

(粵對(duì)稱.

22

特別地，奇函數(shù)(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，/(x)=-/(-x),即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距

離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù))，函數(shù)值相反.

3.注釋：對(duì)稱性的作用：知一半而得全部，即一旦函數(shù)具備對(duì)稱性，則只需分析

一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì).

(1).利用對(duì)稱性求得函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值.

(2).利用對(duì)稱性可以在作圖時(shí)只需作出一半的圖象，然后再根據(jù)對(duì)稱性作出另一

半的圖象.

(3).對(duì)于軸對(duì)稱函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；對(duì)于中心對(duì)

稱函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同.

2.3.對(duì)稱性的應(yīng)用

2.3.1對(duì)稱性與單調(diào)性

例3.在R上定義的函數(shù)/(x)是偶函數(shù),且"x)=〃2-x).若"x)在區(qū)間［L2］上

是減函數(shù)，則()

A.在區(qū)間［-2-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

B.在區(qū)間卜2,-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

例3解析：由/(力=/(2—力可得/(x+l)=/(l—x),所以解析的對(duì)稱軸為x=l,

因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以=

由〃x)="2r)可得：〃r)"(2+x),

所以〃x)=/(2+x),所以是周期為2的周期函數(shù)，

若在區(qū)間U2上是減函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性可知/(X)在［()』上是增函數(shù)，

根據(jù)周期為2可知：/(x)在區(qū)間卜2,-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)，

故選：A.

2.3.2已知對(duì)稱性求解析式

例4.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?e』)(l,4w),且〃x+l)為奇函數(shù)，當(dāng)x<l時(shí),

f(x)=-x2-2x,則.f(x)=：的所有根之和等于

A.4B.5C.6D.12

例4解析：因?yàn)?(x+1)為奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于(0,。)對(duì)稱，

所以函數(shù)y=fM的圖像關(guān)于(1,0)對(duì)稱，即〃x)+〃2-力=0

當(dāng)x<l時(shí)，fM=-x2-2x,

所以當(dāng)尤>1時(shí)，/U)=X2-6X+8

當(dāng)-x?-2x=g時(shí)，可得±+&=-2

當(dāng);c2-6x+8=g時(shí)，可得忍+匕=6

所以/*)=g的所有根之和為6-2=4

故選A

2.3.3對(duì)稱函數(shù)的圖象性質(zhì)

例5.已知函數(shù)/(xgeR)滿足/(%)=/(2-％),若函數(shù)y=|V—2x-3|的圖象

“1

與函數(shù)y=/(x)的圖象的交點(diǎn)為(為,M),區(qū),必)，…(x,“，y”)，則2可=()

i=l

A.0B.tnC.2mD.4m

結(jié)論1.若/(x)=/0。-幻或/^-幻:/5+何則y二人幻的圖像關(guān)于直線》二。

對(duì)稱.設(shè)f(x)=0有〃個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，貝IJ

玉+%2+,??+工〃=%+(2〃一2)+%2+(2。一*2)+???+工〃+(2?-xn)=na.

22

(當(dāng)〃=24+1時(shí)，必有X]=2。一%],=>X]=a)

_V4-1

例8.已知函數(shù)/(用(了€/?)滿足了(一幻=2-7(幻，若函數(shù)y=-------與y=/(x)圖

X

_叫

像的交點(diǎn)為。2，、2)…，(七”3，則Z(X，+%)=

1=1

A.0B.mC.2mD.4m

結(jié)論2.若y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(/?,%)對(duì)稱，則x+x'=2/?,y+y，=2%,

BP/(x)+f(x/)=f(x)+f(2h-x)=2k.

一般地，對(duì)于

f(xt)+f(x2)+---+f(xn)+f(2h-xn)+f(2h-xn_1)+---+f(2h-x])=2nk

練習(xí)2.已知函數(shù)〃x+l)是偶函數(shù)，當(dāng)1"<吃時(shí)，"(玉)-外電)]。-&)>0恒

成立，設(shè)〃=/(-￡),。=〃2),c=f(3),則叫3c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

練習(xí)3.已知函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù),

則下列結(jié)論成立的是()

—({HUB.佃［⑴<嗚)

C.佃</(|卜川)>?")倔

練習(xí)2【詳解】

當(dāng)1VxicW時(shí)，［/(為)一/(々)］(十一馬)>。,則/(w)>/(xj,

所以，函數(shù)/(X)為(1,+?)上的增函數(shù),

由于函數(shù)〃X+1)是偶函數(shù)，可得/(1+X)=/(1—X),

?■?“7信M「11“+{H1}

3>—>2>1,因此，b<a<c.

2

故選：A.

練習(xí)3【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(—x+2),即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱,

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞減.

因?yàn)椤?)=〃3)，|>3>|,所以

故選：B.

一'單選題

1.已知函數(shù)y=F(x)(xeR)滿足/(—)=6-/(2+力，若函數(shù)y=-——與y=/(x)(xeR)

x-l

〃1

圖象的交點(diǎn)為(不y)，(%，%)(%%,),則Z(x,+y)的值為()

/=1

A.4/77B.3mC.2mD.m

2.已知函數(shù)〃x）（xeR）滿足〃f）=6-〃x）,函數(shù)產(chǎn)危+3的圖象與y=〃x）的

II

圖象的交點(diǎn)為（ax）,（孫衛(wèi)）,…，（與，％）,則2（占+）1）=（）

i=l

A.40B.50C.33D.70

3.已知函數(shù)/（x+1）是偶函數(shù)，當(dāng)々＞占＞1時(shí)，［〃動(dòng)-“再）［（々-X）＞0恒成立,

設(shè)-；j/=/（T），c=/⑵貝IJa,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

4.已知定義在R上的函數(shù)/“）在（T，w）上為增函數(shù)，且函數(shù)/（x-1）為偶函數(shù)，則

11

J（-4）J⑶的大小關(guān)系為（)

1111

A.f</(-4)</(3)B./MX/</(3)

1111

C./(3)</</(-4)D./(-4)</(3)</

5.已知函數(shù)y=/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且/（x）=-“X+2）,當(dāng)x?0,2）時(shí),

/(x)=2x-x2,則的大小關(guān)系是()

A./圖</(—)</(7)B.</(?-)</(-1)

C.D./(-!)</

二'填空題

6.若函數(shù)“同=（廠3）.3-〃）為偶函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞增，則/,（2-力＞0的

解集為.

7.已知定義在R上的奇函數(shù)＞=〃尤）滿足〃2+X）=〃T）,且/⑴=2,貝I］

〃102）+/（103）的值為.

8.已知函數(shù)y=/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xN（）時(shí)，/（x）=x-2,那么不等

式2〃x)+1＜。的解集是.

三.直擊高考

1.(2021年高考全國(guó)甲卷理科)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镵,/(X+1)為奇函數(shù),

9

/(%+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，/(x)=o?+/，.若/(0)+〃3)=6,貝I]/

2.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)II卷理科)設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,滿足

/(x+l)=2/(x),且當(dāng)xe(O,l]時(shí)，/(x)=x(x-l).若對(duì)任意xe(Y0,〃?],都有

Q

/(X)N-2,則用的取值范圍是

9

A.-00,—B.-co,—C.-co,—D.-oo,-

I4」(3」(2」I3」

3.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷(理))已知/(幻是定義域?yàn)?fo,+8)的奇函數(shù),

滿足〃l-x)=/(l+x).若阿=2,則/⑴+〃2)+八3)++/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

參考答案

練習(xí)題

1.A

解：由/(-x)=6-/(2+x),得/(2+x)+/(-x)=6,

所以函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,3)對(duì)稱,

3x-2^11=3+4

因?yàn)閥=

x-\x—\x-\

所以>的圖像可以看成是由y=，的圖像向右平移i個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得

x-1X

到的，所以函數(shù)y=1的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,3)對(duì)稱，

所以函數(shù)了=2=與y=/(x)(xeR)的圖像交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,3)對(duì)稱，

x-1

所以％+/=*2+x“,T=W+x,“_2=…=2,y+y,?=y2+ym_t=y3+y,?_2=…=6，

設(shè)M=&+々+/+…+x”，貝I]M=xm+xm_}+%,?,2+?■?+%),

所以2M=(%+x”)+(x,+)+…+(x,“+%)=2"，所以例=加，

設(shè)N=%+必+%+…+%，則N=ym+ym_t+幾_2+…+X，

所以2%=(%+%)+(必+%1)+…+(%+y)=6〃i,所以N=3m,

所以，￡(%+y)=M+N=4〃？

i=\

故選：A

2.C由/(x)=6-/(—x)可知y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,3)對(duì)稱，

又因?yàn)閥=d+3的圖象也關(guān)于點(diǎn)(0,3)對(duì)稱，

所以兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)((),3)對(duì)稱，

即X+%2+???+%]=o,y+必+…+y“=33,

所以W(x,+%)=33,故選：C.

?=1

3.D.由題設(shè)知：xw(l,”)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，

???/(X+1)是偶函數(shù)，

???/(X)關(guān)于X=1對(duì)稱，即xw(-00,1)上/(X)單調(diào)遞減,

由對(duì)稱性可知：c=/(2)=/(0),而

2

J./(—1)>/(-萬(wàn))>/(0),即A>a>c.

故選：D.

4.D.因?yàn)楹瘮?shù)/(x-1)為偶函數(shù)，所以函數(shù)/(x)關(guān)于x=-l對(duì)稱，

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(TE)上為增函數(shù)，所以函數(shù)/(x)在(ro,-1)上為減函數(shù),

又因?yàn)?(-4)-(一1)1<|3-(一1)卜]^■[(一1),所以〃-4)<〃3)

故選：D

5.C.由于“X)是R上的奇函數(shù)，且f(x)=-f(x+2),

所以〃x+4)=/(x+2+2)=-/(x+2)=/(x),

所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).當(dāng)xe(O,2)時(shí)，

/(x)=2X-X2=-x2+2x./(-l)=-/(I)=-(-l+2)=-l<0,

/(49>o.

4

/(1)=/'(萬(wàn)-4)=-/(4-")=一[-(4一%)2+2(4-%)]

=/-6萬(wàn)+8=(九一2)(乃一4)a-0.9804>—1.

所以〃-1)<〃幻</(￡|.

故選：C.

6.(5,+oo)-.-/(x)=(x-3)?(ar-b)=ar2-(3a+Z?)x+3Z?為偶函數(shù),

/(-%)=+(^3a+b^x+3b=ax2-(3a+b)x+3h,

3a+b=0,即人=一3。，

/(x)=ax2-9a=a^x2-9),

???1(同在(0,+e)上單調(diào)遞增，一.a>0,

,//(2-x)=iz(-x-l)(5-x)>0,

(x+l)(x-5)>0,解得x<-l或x>5,

??.不等式的解集為(F,-1)U(5,m).

故答案為：(f^T)(5,+00).

7.-2對(duì)任意xeR,由/(x)是奇函數(shù)得了(-x)=-/(x),又“2+x)=/(-x),所以

/(x+2)=-/(x),貝l]/(x+4)=-/(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的函數(shù).

由fM是R上的奇函數(shù)得/(0)=0,所以/(102)=/(2)=/(0)=0,

/(103)=/(3)=/(-1)=-/(I)=一2,故/(102)+./(103)=-2.

故答案為：-2.

x|-2<<2因?yàn)楫?dāng)X20時(shí)，/(x)=x-2,所以/(T)=|-2=-g,

8.x

22

即〃x)(同,

由2/(x)+l<0可得：/(x)<-p

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)是定義在R上的偶函數(shù),

所以f(X)=/(-X)=,

所以可刈</圖，

因?yàn)閤NO時(shí)，f(x)=x-2,可知y=/(x)在(0,+。)單調(diào)遞增,

所以|小彳